2019年中考数学试题分类汇编40：新定义型

合集下载

[精品课件](北京专版)2019年中考数学一轮复习第七章专题拓展 7.7 新定义问题(试卷部分)课件

当 3 ≤t≤1时3, ≤m≤1.
4
4
∴ 3 ≤m≤1.
③当4 m>1时,由题意知,边界值t≥m.
∴不存在满足 3 ≤t≤1的m值.
4
综上所述,当0≤m≤ 1 或3 ≤m≤1时,满足3 ≤t≤1.
44
4
5.(2013北京,25,8分)对于平面直角坐标系xOy中的点P和☉C,给出如下定义:若☉C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为☉C的关联点.
3.(2015北京,29,8分)在平面直角坐标系xOy中,☉C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于 ☉C的反称点的定义如下:若在射线CP上存在一点P',满足CP+CP'=2r,则称P'为点P关于☉C的反称点.下图为点P及其关于☉C的反称点P'的示意图. 特别地,当点P'与圆心C重合时,规定CP'=0.
均满足:与圆心C的距离大于等于1,且小于等于3.
以下为临界情况:
如图a,C1E⊥AB,且C1E=1,此时点C1的横坐标为1- ; 2
图a
如图b,C2A=3,此时点C2的横坐标为-2;
图b 如图c,AC3=1,此时点C3的横坐标为2;
图c
如图d,C4B=3,此时点C4的横坐标为2 .2
图d 易知点C在线段C1C2和C3C4上满足题意, ∴圆心C的横坐标xC的取值范围是-2≤xC≤1- 或2 2≤xC≤2 . 2
∴对于射线OP上任意一点P',总有OP+OP'>2.
∴点P关于☉O的反称点不存在. 综上所述,点P的横坐标x的取值范围是0<x<2.
图1 (2)若线段AB上存在点P,使得点P关于☉C的反称点P'在☉C的内部,则1<CP≤2. 依题意可知,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,2 )3,∠BAO=30°.设圆心C的坐标为(x,0). ①当x<6时,过点C作CH⊥AB于点H,如图2. ∴0<CH≤CP≤2. ∴0<CA≤4.∴0<6-x≤4. ∴2≤x<6.

中考数学71个模型4类新定义问题

模型08 新定义问题（1）【模型分析】新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【经典例题】例1．（2020·湖南广益实验中学七年级月考）规定：用{}m 表示大于m 的最小整数，例如5{}32=，{4}5=，{1.5}1-=-等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如7[]32=，[2]2=，[3.2]4-=-，如果整数x 满足关系式：2{}3[]32x x +=，则x 的值为（）A ．3B ．5-C ．6D ．7【分析】根据题意，可将2x ＋3[x ]＝32变形为2x ＋2＋3x ＝32，解方程后即可得出结论．【解析】∵x 为整数， ∵{x }＝x ＋1， [x ]＝x ，∵2{x }＋3[x ]＝32可化为：2（x ＋1）＋3x ＝32 去括号，得 2x ＋2＋3x ＝32，移项合并，得5x ＝30，系数化为1，得x ＝6．选C ．【小结】本题结合新定义主要考查解一元一次方程，比较新颖，注意仔细审题，理解新定义运算的规则是解题的关键．例2．（2021·河南安阳市·八年级期末）对于有理数a ，b ，定义{},min a b ：当a b ≥时，{},min a b b =；当a b ≤时，{},min a b a =．若{}2240,12440min m n m n -+--=，则n m 的值为______．【分析】根据22124-+--m n m n 与40的大小，再根据{}2240,12440min m n m n -+--=，从而确定m ，n 的值即可得出n m 的值．【解析】∵{}2240,12440min m n m n -+--=∵40≤22124-+--m n m n ∵22412400+-≤++m n n m ∵（m +6）2+（n -2）2≤0 ∵（m +6）2+（n -2）2≥0 ∵m +6=0，n -2=0 ∵m =-6，n =2 ∵()2636=-=n m【小结】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．例3．（2021·北京西城区·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，已知点123(,),(,),(,)P a b P c b P c d ，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点123,,P P P 的“最佳间距”．例如：如图，点123(1,2),(1,2),(1,3)P P P -的“最佳间距”是1（1）点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 的“最佳间距”是__________ （2）已知点(0,0)O ，(3,0)A -，(3,)B y -①若点O ，A ，B 的“最佳间距”是1，则y 的值为__________ ②点O ，A ，B 的“最佳间距”的最大值为________（3）已知直线l 与坐标轴分别交于点()0,3C 和()4,0D ，点()P m n ,是线段CD 上的一个动点．当点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P 的坐标【分析】（1）根据题意，分别求出点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 任意两点间的距离，比较后即可得出结论（2）①根据三个点的坐标特点可得AB ∥y 轴，由此可求出OA 、OB 均不满足点O ，A ，B 的“最佳间距”是1，则可得AB ＝1，从而求出y 值的两种情况② 根据OA ＝3，且OA 为定值，可得无论y 取何值，点O ，A ，B 的“最佳间距”最大值为3；（3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD 的解析式，由(),0E m ，()P m n ,可判断PE ∵x 轴，同（2）②则可得出点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,“最佳间距”取到最大值时的条件为OE ＝PE ，从而可列出关于m 的方程，求解后即可求出点P 坐标．【解析】（1）∵点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q∵212Q Q =，323Q Q =，13Q Q ==∵2＜3∵点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 的“最佳间距”是2 （2）①∵点(0,0)O ，(3,0)A -，(3,)B y - ∵AB ∥y 轴 ∵OA ＝3，OB ＞OA∵点O ，A ，B 的“最佳间距”是1 ∵AB ＝1 ∵y ＝±1②当－3≤y ≤3时，点O ，A ，B 的“最佳间距”是y ＝AB ≤3当y ＞3或y ＜－3时，AB ＞3，点O ，A ，B 的“最佳间距”是OA ＝3， ∵点O ，A ，B 的“最佳间距”的最大值为3．（3）如图，设直线CD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将()0,3C ，()4,0D 代入：111340b k b =⎧⎨+=⎩，解得11343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∵334y x =-+，∵()P m n ,，(),0E m ， ∵PE ∵x 轴，当且仅当OE ＝PE 时，点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,的“最佳间距”取到最大值，∵OE ＝m ，PE ＝n ＝334m -+， ∵334m m =-+，解得127m =，∵P （127，127），当点O ，E ，P 的“最佳间距”取到最大值时，点P 的坐标为（127，127）．【小结】本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的关键．【巩固提升】1．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（）A 2B ．2C ．2D ．无法确定【分析】作Rt ∵ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC =2a ，则CE =a ，BE =2a ，在Rt ∵BCE 中∠BCE =90°，根据勾股定理可求出BC 、AB ，则AC ：BC ：AB 的值可求出．【解析】如图①，作Rt ∵ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，∵∠ACB =90°， ∵12CF AB AB =≠，又在Rt ∵ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，,AD BC ∴≠∵满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC =2a ，则,2,CE AE a BE a ===在Rt ∵BCE 中∠BCE =90°，∵,BC ==在Rt ∵ABC 中，,AB ===∵AC ：BC ：AB =22a = 选B ．【小结】考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数例如：[]1.71=，305⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦根据你学习函数的经验，下列关于函数[]y x =的判断中，正确的是（）A ．函数[]y x =的定义域是一切整数B ．函数[]y x =的图像是经过原点的一条直线 C ．点2(2,2)5在函数[]y x =图像上 D ．函数[]y x =的函数值y 随x 的增大而增大【分析】根据题意描述的概念逐项分析即可．【解析】A 、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误； B 、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误； C 、由题意可知2225⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则点2(2,2)5在函数[]y x =图像上，故正确；D 、例如113⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即当13x =，12x =时，函数值均为1y =，不是y 随x 的增大而增大，故错误；选C ．【小结】考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）定义运算“∵”：, ,aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若5x ※的值为整数，则整数x 的值为_______．【分析】根据题中的新定义可分若5＞x ，若5＜x ，两种情况分别求解，最后合并结果．【解析】若5＞x ，则5x ※=55x-为整数，则x =0或4或6（舍）或10（舍），若5＜x ，则5x ※=5551555x x x x x -+==+---为整数，则x =0（舍）或4（舍）或6或10，综上：整数x 的值为：0或4或6或10，【小结】此题考查了分式的值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是理解题中的新定义．4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）材料：一般地，n 个相同因数a 相乘：n a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅个记为n a ．如328=，此时3叫做以2为底的8的对数，记为2log 8（即2log 83=）．那么3log 9=_____，()2231log 16log 813+=_____．【分析】由239=可求出2log 93=，由4216=，43=81可分别求出2log 164=，3log 814=，继而可计算出结果【解析】（1）由题意可知：239=，则2log 93=（2）由题意可知：4216=，43=81，则2log 164=，3log 814= ∵223141(log 16)log 811617333+=+= 【小结】本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．6．（2021·北京顺义区·七年级期末）我们规定：若有理数,a b 满足a b ab +=，则称,a b 互为“等和积数”，其中a 叫做b 的“等和积数”，b 也叫a 的“等和积数”．例如：因为()11122+-=-，()11122⨯-=-，所以()()221111-=⨯-+，则12与1-互为“等和积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是__________；（2）有理数1_________（填“有”或“没有”）“等和积数”；（3）若m 的“等和积数”是25，n 的“等和积数”是37，求34m n +的值．【分析】（1）根据“等和积数”的定义列方程求解即可；（2）根据“等和积数”的定列方程求解即可；（3）根据“等和积数”的定列方程求出m 和n 的值，代入34m n +计算即可．【解析】（1）设有理数2的“等和积数”是x ，由题意得2+x =2x ，解得x =2，（2）设有理数1的“等和积数”是y ，由题意得1+y =y ， ∵y -y =1，∵此方程无解，∵有理数1没有 “等和积数”；（3）∵m 的“等和积数”是25，∵m +25=25m ，解得m =23-； ∵n 的“等和积数”是37，∵n +37=37n ，解得n =34-；∵34m n +=3×(23-)+4×(34-)=-5．【小结】考查新定义，以及一元一次方程的应用，根据新定义列方程求解是解答本题的关键．6．（2021·北京海淀区·北理工附中七年级期末）我们把a cb d称为二阶行列式，且a c ad bcb d=-．如：121(4)321034=⨯--⨯=--．（1）计算：2135=-_______；4235=-________；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有数都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式．即ka kc a cka c a kc a c kbdkb kdkb db kdb d====，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．（3）若1k ≠，且113232x x x x kk++=，求x 的值．【分析】（1）各式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）小明的说法不正确，举一个反例即可；（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x 的值．【解析】（1）原式=2×5-1×（-3）=10+3=13，原式=4×5-2×（-3）=20+6=26 （2）小明的说法错误，当k =0时，203054145⨯⨯=-=，而002345=⨯，不相等；（3）已知等式整理得：2（x +1）-3x =2k （x +1）-3kx ，去括号得：2x +2-3x =2kx +2k -3kx ，整理得：（k -1）x =2（k -1）， ∵k ≠1， ∵k -1≠0，解得：x =2．【小结】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减、新定义，解一元一次方程等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．模型09 新定义问题（2）【模型分析】知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

2019中考专题复习--新定义模型专题1

2017中考专题复习--新定义模型专题1“新定义”型问题：是指在问题中新定义了没有学过的一些概念、新运算、新符号，结合题意并用已学的知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型. “新定义”型问题解题策略：抓住两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．即：读懂题意，理解问题的实质，运用已掌握的知识和方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，现学现用。

“新定义”型问题常见的类型：定义一种新数；定义一种新的运算；定义一种新的法则；定义一种新图形。

一、定义一种新数1.(2011广西崇左)我们把分子为1的分数叫理想分数，如21，31，41，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如613121+=，1214131+=，2015141+=，….根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数b a n 111+=(n 是不小于2的整数，且a ＜b)，那么a+b=___________.(用含有n 的式子表示).2.(2010鄞州区模拟)把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a 是集合的元素时，实数8-a 也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．(1)请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；(2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子．解：（1）集合{1，2}不是好的集合。

∵8-1=7，而7不是{1，2}中的数，∴{1，2}不是好的集合，{1，4，7}是好的集合。

∵8-1=7，7是{1，4，7}中的数，8-4=4，4也是{1，4，7}中的数，8-7=1，1又是{1，4，7}中的数．∴{1，4，7}是好的集合；（2）答案不唯一．集合{4}、{3，4，5}、{2，6}、{1，2，4，6，7}等都是好的集合．3.（2010安徽蚌埠）记n S =n a a a +++ 21，令12n n S S S T n +++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。

中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题(含答案)

中考数学复习《新定义及阅读理解型问题》测试题（含答案）题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大．其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)，例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2计算．例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离．解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”．【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．1. B 【解析】根据题意a ⊗b ＝1a －b 2，则 x ⊗(－2)＝1x －（－2）2＝1x －4，又∵x ⊗(－2)＝2x －4－1，∴1x －4＝2x －4－1，解得x ＝5，经检验x ＝5是原方程的根，∴原方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是x ＝5. 2. B 【解析】当x ＋3≥－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝x ＋3，此时x ≥－1，∴y ≥2；当x ＋3＜－x ＋1时，max{x ＋3，－x ＋1}＝－x ＋1，此时x ＜－1，∴y ＞2.综上y 的最小值为2.3. B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确． 4. C 【解析】∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，若a @b ＝0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝0，∴(a ＋b )2＝(a －b )2, ∴a ＋b ＝±(a －b )，∴a ＝0或b ＝0，∴①正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，∴a @(b ＋c )＝[a ＋(b ＋c )]2－[a －(b ＋c )]2＝[a ＋(b ＋c )＋a －(b ＋c )][a ＋(b ＋c )－(a －b －c )]＝4ab ＋4ac ，∵a @b ＋a @c ＝(a ＋b )2－(a －b )2＋(a ＋c )2－(a －c )2＝a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＋a 2＋2ac ＋c 2－ a 2＋2ac －c 2＝4ab ＋4ac ，∴a @(b ＋c )＝a @b ＋a @c ，∴②正确；∵a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝ a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋2ab －b 2＝4ab ，当a ＝b ＝0时，满足a @b ＝a 2＋5b 2，∴③错误；若矩形的周长固定，设为2c ，则2c ＝2a ＋2b ，b ＝c －a ，a @b ＝(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ＝4a (c －a )＝－4(a －12c )2＋c 2，∴当a ＝12c 时，4ab 有最大值是c 2，即a ＝b 时，a @b 的值最大，∴④正确．综上，正确结论有①②④.5. －1 【解析】根据新定义，当a<b 时，a*b ＝a －b 列出常规运算，进行计算便可．∵－3<－2，∴由定义可知，原式＝－3－(－2)＝－1.6. 32 【解析】根据新运算法则，得log 1001000＝log 101000log 10100＝log 10103log 10102＝32. 7. 25－4 【解析】设AN ＝y ，MN ＝x ，由题意可知：AM 2＝BM ·AB ，∴(x ＋y)2＝2(2－x －y)，解得x ＋y ＝5－1(取正)，又BN 2＝AN·AB ，∴(2－y)2＝2y ，解得y ＝3－5(y ＜2)，∴m －n ＝MN ＝x ＝5－1－(3－5)＝25－4，故填25－4.8. 解：(1)又∵∠A ＝∠C ，CG ＝AB. ∴△MBA ≌△MGC(SAS )，∴MB ＝MG . 又∵MD ⊥BC ， ∴BD ＝GD ，∴CD ＝CG ＋GD ＝AB ＋BD. (2)2＋2 2.【解法提示】折线BDC 为⊙O 的一条折弦，由题意知A 为BDC ︵中点，由材料中折弦定理易得BE ＝DE ＋CD ，在Rt △ABE 中可得BE ＝2，所以△BCD 周长为BC ＋CD ＋DE ＋BE ＝2＋2 2.9. 解：(1)作图如解图①.第9题解图①(2)△AEF是“匀称三角形”．理由如下：如解图②，第9题解图②连接AD、OD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC中点，∵O是AB中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DF切⊙O于D点，∴OD⊥DF，∴EF⊥AF，过点B作BG⊥EF于点G，易证Rt△BDG≌Rt△CDF(AAS)，∴BG＝CF，∵BECF＝53，∴BEBG＝53，∵BG∥AF(或Rt△BEG∽Rt△AEF)，∴BEBG＝AEAF＝53.在Rt△AEF中，设AE＝5k，则AF＝3k，由勾股定理得，EF＝4k，∴AF＋EF＋AE3＝3k＋4k＋5k3＝4k＝EF，∴△AEF是“匀称三角形”．10. (1)证明：∵m是一个完全平方数，∴m＝p×q，当p＝q时，p×q就是m的最佳分解，∴F(m)＝pq＝pp＝1.(2)解：由题意得，(10y＋x)－(10x＋y)＝18，得y＝x＋2(y≤9)，∴t＝10x＋y＝10x＋x＋2＝11x＋2(1≤x≤7)，则所有的“吉祥数”为：13，24，35，46，57，68，79共7个，∵13＝1×13，24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，35＝1×35＝5×7，46＝1×46＝2×23，57＝1×57，68＝1×68＝2×34＝4×17，79＝1×79，∴F(13)＝113，F(24)＝46＝23，F(35)＝57，F(46)＝223，F(57)＝157，F(68)＝417，F(79)＝179，∴“吉祥数”中F(t)的最大值为：F(35)＝57.11. 解：(1)∵直线y ＝x －1，其中k ＝1，b ＝－1， ∴点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离为： d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|1－（－1）－1|1＋12＝12＝22.(2)相切．理由如下：∵直线y ＝3x ＋9，其中k ＝3，b ＝9，∴圆心Q(0，5)到直线y ＝3x ＋9的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×0－5＋9|1＋（3）2＝42＝2，又∵⊙Q 的半径r 为2，∴⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系为相切．(3)在直线y ＝－2x ＋4上任意取一点P ，当x ＝0时，y ＝4， ∴P(0，4)，∵直线y ＝－2x －6，其中k ＝－2，b ＝－6，∴点P(0，4)到直线y ＝－2x －6的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|－2×0－4－6|1＋（－2）2＝105＝25，∴这两条直线之间的距离为2 5.12. (1)选择图①.证明：依题意得∠DAD′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠DAP ＝∠DAD′－∠PAD′＝60°－∠PAD′，∠D ′AO ＝∠PAO －∠PAD ′＝60°－∠PAD′， ∴∠DAP ＝∠D′AO.∵∠D ＝∠D′，AD ＝AD′， ∴△DAP ≌△D ′AO(ASA )， ∴AP ＝AO ，又∵∠PAO ＝60°，∴△AOP 是等边三角形．选择图②.证明：依题意得∠EAE′＝60°，∠PAO ＝60°. ∵∠EAP ＝∠EAE′－∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∠E ′AO ＝∠PAO －∠PAE′＝60°－∠PAE′， ∴∠EAP ＝∠E′AO(ASA )． ∵∠E ＝∠E′，AE ＝AE′， ∴△EAP ≌△E ′AO ， ∴AP ＝AO ，又∵∠PAO ＝60°， ∴△AOP 是等边三角形．第12题解图(2)证明：如解图，连接AC ，AD ′，CD ′. ∵AE ′＝AB ，∠E′＝∠B ＝180°×（5－2）5＝108°，E ′D ′＝BC ，∴△AE ′D ′≌△ABC(SAS )，∴AD ′＝AC ，∠AD ′E ′＝∠ACB ， ∴∠AD ′C ＝∠ACD′， ∴∠OD ′C ＝∠OCD′， ∴OC ＝OD′，∴BC －OC ＝E′D′－OD′，即BO ＝E′O. ∵AB ＝AE′，∠B ＝∠E′， ∴△ABO ≌△AE ′O(SAS )， ∴∠OAB ＝∠OAE′. (3)15°，24°.【解法提示】∵由(1)得，在图①中，△AOP 是等边三角形， ∴∠DAP ＋∠OAB ＝90°－60°＝30°，在△OAB 和△OAD′中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OABA ＝D′A， ∴△ABO ≌△AD ′O(HL )， ∴∠OAB ＝∠D′AO ，由(1)知∠D′AO ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝∠DAP ， ∴∠OAB ＝12×30°＝15°；∵由(1)得，在图②中，△PAO 为等边三角形， ∴∠PAE ＋∠BAO ＝∠EAB －∠PAO ，∵∠EAB＝15×180°×(5－2)＝108°，∴∠PAE＋∠BAO＝48°，同理可证得∠OAB＝∠PAE，∴∠OAB＝12×48°＝24°.(4)是．【解法提示】由(1)(2)可知，“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，AO＝AP，且∠PAO ＝60°，故△AOP是等边三角形．(5)60°－180°n(n≥3)．【解法提示】由(1)(2)(3)可知，“叠弦角”的度数为正n边形的内角度数减去60°之后再除以2，即∠OAB＝180°（n－2）n－60°2，化简得∠OAB＝60°－180°n(n≥3)．13. 解：(1)由题意得n＝1，∴抛物线y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，顶点为Q(1，0)，将(1，0)代入y＝mx＋1，得m＝－1，∴m＝－1，n＝1.(2)由题意设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点Q的坐标在y＝6x和y＝2x－4上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝6hk＝2h－4，解得h＝－1或3，∴顶点Q的坐标为(－1，－6)或(3，2)，∴y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，又∵“路线”L过P(0，－4)，代入解得a＝2(顶点为(－1，－6))，a＝－23(顶点为(3，2))，∴y＝2(x＋1)2－6或y＝－23(x－3)2＋2，即y＝2x2＋4x－4或y＝－23x2＋4x－4.(3)由题可知抛物线顶点坐标为(－3k2－2k＋12a，4ak－（3k2－2k＋1）24a)，设带线l：y＝px＋k，代入顶点坐标得p＝3k2－2k＋12，11 ∴y ＝3k 2－2k ＋12x ＋k ，令y ＝0，则带线l 交x 轴于点(－2k 3k 2－2k ＋1，0)，令x ＝0，则带线l 交y 轴于点(0，k)， ∵k ≥12＞0， ∴3k 2－2k ＋1＝3(k －13)2＋23＞0， ∴带线l 与坐标轴围成三角形面积为S ＝12·2k 3k 2－2k ＋1·k ＝k 23k 2－2k ＋1＝11k 2－2·1k ＋3，令t ＝1k ，∵12≤k ≤2，∴12≤t ≤2，∴S ＝1t 2－2t ＋3，∴1S ＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2，故当t ＝2时，(1S )max ＝3；当t ＝1时，(1S )min ＝2.∴13≤S ≤12.。

专题50 中考数学新定义型试题解法(解析版)

专题50 中考数学新定义型试题解法
1.新定义问题
所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．
2.新定义问题类型
主要包括以下几种类型：
（1）概念的“新定义”；
（2）运算的“新定义”；
（3）规则的“新定义”；
（4）实验操作的“新定义”；
（5）几何图形的新定义．
3.新定义问题解题策略
“新定义型专题”关键要把握两点：
一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；
二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。

【例题1】（2020•河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根。

2019年中考数学一轮复习第七章专题拓展 7.7 新定义问题

4.(2014北京,25,8分)对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足 -M≤y≤M,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,下图中的函数是有界函数,其边界值是1.
(1)分别判断函数y= 1 (x>0)和y=x+1(-4<x≤2)是不是有界函数?若是有界函数,求其边界值;
事实上,当点C是EF的中点时,对所有r≥1的☉C,线段EF上的所有点都是☉C的关联点. 综上所述,r≥1.
6.(2018北京东城一模,28)给出如下定义:对于☉O的弦MN和☉O外一点P(M,O,N三点不共线,且 P,O在直线MN的异侧),当∠MPN+∠MON=180°时,称点 P是线段MN关于点O的关联点.图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.
中考数学 (北京专用)
§7.7 新定义问题
好题精练
1.(2018北京,28,7分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的 “闭距离”,记作d(M,N). 已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2). (1)求d(点O,△ABC); (2)记函数y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围; (3)☉T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(☉T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.
∴对于射线OP上任意一点P',总有OP+OP'>2.
∴点P关于☉O的反称点不存在. 综上所述,点P的横坐标x的取值范围是0<x<2.

最新中考数学热点冲刺1 新定义型问题

最新中考数学热点专题1 新定义型问题综观2019年中考“新定义”问题的解答，效果并不是很理想，普遍出现“题没看清、没看懂”、“理解错了”等状况，究其原因是阅读理解能力太弱.这就要求我们在平时关注理解能力的培养，从而使学生综合分析解决问题的能力得到提升.1.“新定义”问题的概念及特征“新定义”问题其主要特征是以初中生已学过的知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（数学公式）；或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，通过分析近年来中考试卷中出现的这类“新定义”型试题大致分为三种类型：（1）定义“新规则，新运算”型；（2）定义数学新概念型；（3）定义新函数、新知识型.2.“新定义”问题类型和常用解题方法（1）定义“新规则，新运算”型“新规则，新运算”型一般是先通过阅读示例的解题过程，理解方法要点，并体会蕴含其中的数学思想；再由特殊到一般对新方法加以应用，特别是在解决一般情况时要注意题目中看似不经意的限制条件.（2）定义数学新概念型定义数学新概念型在中考试题中一般以中档题出现，能较好的考查学生领悟定义的性质与判定的功能，认真审题、缜密思维的习惯以及对数学知识的综合运用能力、迁移能力和发现探究能力.（3）定义新函数，新知识型定义新函数，新知识型主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新能力.解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质.3. “新定义”问题类型应对策略数学教学也就是数学语言的教学，这是因为数学语言是数学知识和数学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表达出来并获得理解、掌握、交流和应用.因此，在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法.在中考复习中，要关注初、高中内容的衔接，对与初中数学知识密切相关，或简单的高中数学问题要尽量关注,适当进行“一题多变”、“一题多解”、“一法多用”的教学活动.考向1定义新概念1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y=x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（）A ．c ＜－3B ．c ＜－2C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【解析】当y=x 时，x=x 2+2x+c ，即为x 2+x+c=0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c +=-⎧⎨⋅=⎩，∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0，即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0，∴c －(－1)＋1＜0，∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0，即12－4c ＞0，解得：c ＜14∴c 的取值范围为c ＜－2 . 2．（2019•山东临沂）一般地，如果x 4=a （a≥0），则称x 为a 的四次方根，一个正数a 的四次方根有两个．它们互为相反数，记为=10，则m=__________．【答案】±10=10，∴m 4=104，∴m=±10．故答案为：±10． 3．（2019•湖北十堰）对于实数a ，b ，定义运算“◎”如下：a ◎b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2．若（m+2）◎（m ﹣3）=24，则m=__________．【答案】﹣3或4【解析】根据题意得[（m+2）+（m ﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m ﹣3）]2=24，（2m ﹣1）2﹣49=0，（2m ﹣1+7）（2m ﹣1﹣7）=0，2m ﹣1+7=0或2m ﹣1﹣7=0，所以m 1=﹣3，m 2=4．故答案为：﹣3或4．4.（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y=x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y=－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【答案】①④【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中的四边形PMNQ 满足MN ∥PQ ，设P(m ，0)（m ＞0），∵=＋1，PQ=－(－1)=＋1，∴PM=PQ ，故四边形PMNQ 是广义菱形．综上所述正确的是①④．5．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A=80°，则它的特征值k= ．【答案】85或14．【解析】当∠A 是顶角时，底角是50°，则k=808505=o o ；当∠A 是底角时，则底角是20°，k=201804=o o ，故答案为：85或14． 6. （2019·重庆A 卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．【答案】（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”． 14214m 214m 214m（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个；③当这个数为100时，易知100是“纯数”．综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1=13．7.(2019·宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC 中,AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,E,F 分别是BD,AD 上的点.求证:四边形ABEF 是邻余四边形;(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B 在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB 是邻余线,E,F 在格点上;(3)如图3,在(1)的条件下,取EF 中点M,连接DM 并延长交AB 于点Q,延长EF 交AC 于点N.若N 为AC 的中点,DE=2BE,求邻余线AB 的长.【答案】：(1)∵AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,∴AD ⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°, ∴∠FAB 与∠EBA 互余.∴四边形ABEF 是邻余四边形;(2)如图所示,四边形ABEF 即为所求.(答案不唯一)(3)∵AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线,∴BD=CD,∵DE=2BE,∴BD=CD=3BE,∴CE=CD+DE=5BE.∵∠EDF=90°,M 为EF 的中点,∴DM=ME.∴∠MDE=∠MED.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△DBQ ∽△ECN,∴35QB BD NC CE ==,∵QB=3,∴NC=5,∵AN=CN,∴AC=2CN=10,∴AB=AC=10.8.（2019·达州）箭头四角形模型规律，如图1，延长CO 交AB 于点D ，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B. 因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠C+∠B”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”模型应用：.（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________②如图3，∠ABE 、∠ACE 的2等分线（即角平分线）BF 、CF 交于点F ，已知∠BEC=120°∠BAC=50°，则∠BFC=__________.③如图4，BO 1、CO 2分别为∠ABO 、∠ACO 的2019等分线（i=1，2，3，…，2017，2018），它们的交点从上到下依次为O 1，O 2，O 3，…，O 2018. 已知∠BOC=m°，∠BAC=n°，则∠BO 1000C=______度（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=2∠BAD. O 是四边形ABCD 内的一点，且OA=OB=OD. 求证：四边形OBCD 是菱形.【答案】（1）①∵∠A+∠B+∠C=α∠，∠D+∠E+∠F=α∠∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α∠ ②∵∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+21∠ABC+21∠ACB ，∠BEC=120°∠BAC=50° ∴21∠BEC=21∠A+21∠ABC+21∠ACB ∴60°=25°+21∠ABC+21∠ACB ∴21∠ABC+21∠ACB=35°∴∠BFC=∠A+21∠ABC+21∠ACB=50°＋35°=85°∴∠BFC=85° ③οοn m 2019101920191000+ （2）证明：（1）如图，延长AO 到E ，∵OA =OB ，∴∠ABO =∠BAO .又∵∠BOE =∠ABO +∠BAO ，∴∠BOE =2∠BAO ，同理∠DOE =2∠DAO ，∴∠BOE +∠DOE =2∠BAO +2∠DAO =2（∠BAO +∠DAO ），即∠BOD =2∠BA D.又∵∠BCD =2∠BAD ，∴∠BOD =∠BC D.（2）如图，连接OC ，∵OB =OD ，CB =CD ，OC =OC ，∴△OBC ≌△ODC ，∴∠OBC =∠OD C.又∵∠BOD =∠BCD ，∴四边形OBCD 是平行四边形.又∵OB =OD ，∴四边形OBCD 是菱形.9.（2019 ·扬州）如图，平面内的两条直线1l 、2l ，点A ，B 在直线1l 上，点C 、D 在直线2l 上，过A 、B 两点分别作直线2l 的垂线，垂足分別为1A ，1B ，我们把线段11A B 叫做线段AB 在直线2l 上的正投影，其长度可记作(,)AB AD T 或2(,)AB l T ，特别地线段AC 在直线2l 上的正投影就是线段1A C ．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角ABC ∆中，5AB =，(,)3AC AB T =，则(,)BC AB T = ；（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，(,)4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，求ABC ∆的面积；（3）如图3，在钝角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在AB 边上，90ACD ∠=︒，(,)2AD AC T =，(,)6BC AB T =，求(,)BC CD T ，【答案】（1）如图1中，作CH AB ⊥．(,)3AC AB T =Q ，3AH ∴=，5AB =Q ，532BH ∴=-=，(,)2BC AB T BH ∴==，故答案为2．（2）如图2中，作CH AB ⊥于H ．(,)4AC AB T =Q ，(,)9BC AB T ==，4AH ∴=，9BH =，90ACB CHA CHB ∠=∠=∠=︒Q ，90A ACH ∴∠+∠=︒，90ACH BCH ∠+∠=︒，A BCH ∴∠=∠，ACH CBH ∴∆∆∽，∴CH AH BH CH=，∴49CH CH =， 6CH ∴=，111363922ABC S AB CH ∆∴==⨯⨯=g g ．（3）如图3中，作CH AD ⊥于H ，BK CD ⊥于K ．90ACD ∠=︒Q ，(,)2AD AC T =，2AC ∴=，60A ∠=︒Q ，30ADC BDK ∴∠=∠=︒，CD ∴==，24AD AC ==，112AH AC ==，3DH AD AH =-=， (,)6BC AB T =Q ，CH AB ⊥，6BH ∴=，3DB BH DH ∴=-=，在Rt BDK ∆中，90K ∠=︒Q ，3BD =，30BDK ∠=︒，cos30DK BD ∴=︒g ，CK CD DK ∴=+==，(,)BC CD T CK ∴==考向2 定义新运算1.（2019·济宁）=−1，－1的差倒数么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是（）A ．－7.5B ．7.5C ．5.5D ．－5.5【答案】A2. （2019·深圳）定义一种新运算：a b n ò=n n a b -，例如：132ò=2213-=1－9=－8，若51m m -ò=－2，则m=（）A ．－2B ．52-C ．2D ．52【答案】B【解析】由题意得1m -－()15m -=1m －15m=－2，则m=52-，故选B ． 3. （2019·襄阳）定义：a*b=a b ，则方程2*(x ＋3)=1*(2x)的解为________．【答案】x=1【解析】本题考查了可化为一元一次的分式方程的解法.按新定义可知：32)3(2+=+*x x ，x x 21)2(1=*，可得方程xx 2132=+，解得x=1，经检验此解为方程的根． 4.(2019·枣庄)对于实数a 、b ，定义关于的一种运算：a ⊗b=2a+b.例如3⊗4=2×3+4=10. (1)求4⊗(－3)的值；(2)若x ⊗(－y)=2，(2y)⊗x=－1，求x+y 的值.【答案】(1)根据题意得：4⊗(－3)=2×4+(－3)=5.(2)∵x ⊗(－y)=2，(2y)⊗x=－1, ∴2x+(－y)=2,2×2y+x=－1,解这个二元一次方程组,得,x=79,y=49-,∴x+y=135.（2019·毕节）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a ，b ，c ，用{M a ，b ，}c 表示这三个数的平均数，用{min a ，b ，}c 表示这三个数中最小的数．例如：{1M ，2，1299}43++==，{1min ，2，3}3-=-，{3min ，1，1}1=．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①2{(2)M -，22，22}-= ； ②{sin30min ︒，cos60︒，tan 45}︒= ；（2）若{2M x -，2x ，3}2=，求x 的值；（3）若{32min x -，13x +，5}5-=-，求x 的取值范围．【答案】（1）①43；②12；（2）1x =-或3；（3）-2≤x≤4 【解析】解：（1）①2{(2)M -，22，2222(2)2242}33-+--==； ②{sin30min ︒，cos60︒，1tan 45}2︒=；（2）){2M x -Q ，2x ，3}2=，∴22323x x -++=，解得1x =-或3；（3）{32min x -Q ，13x +，5}5-=-，解得： -2≤x≤4.6.（2019·随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn =10m+n ，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．（1）解方程填空：①若2x＋3x=45，则x=；②若7y－8y=26，则y=；③若93t＋58t=131t，则t= ；（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn＋nm一定能被整除，mn －nm一定能被整除，mn·nm－mn一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚，数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532－235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” ．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．【答案】（1）t=7；（2）mn＋一定被11整除；mn－nm一定被9整除；mn·nm－mn一定能被10整除；（3）①反复运算可得495；②证明过程见解析.【解析】解：（1）∵mn=10m+n，∴2x＋3x=45=20+x+10x+3=11 x+23=45，得x=2，同理可得y=4，t=7；（2）mn＋nm=10m+n+10n+m=11（m+n）故一定被11整除；同理mn－nm一定被9整除；mn·nm－mn一定能被10整除；（3）①反复运算可得495；②∵a＞b＞c，∴第一次运算得到100a+10b+c－（100c+10b+a）=99（a－c），可以看出结果必为99的倍数，∵a＞b＞c，∴a≥b＋1，b≥c＋1，即a≥b＋1≥c＋2，∴a－c≥2，9≥a ＞c，∴a－c≤9，则a－c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算得到99（a－c）可以是198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字依据“卡普雷卡尔黑洞数”的推算规则进行运算，分别可以得到：981－198=792，972－279=693，963－369=594，954－459=495，954－459=495，以后均重复运算，故可以得到该黑洞数为495．考向3 定义新函数1.（2019 ·荆州）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y=kx+t（k≠0）的图象上，则称y=ax2+bx+c （a≠0）为y=kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y=x2+1是y=x+1的伴随函数．（1）若y=x2﹣4是y=﹣x+p的伴随函数，求直线y=﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积.（2）若函数y=mx﹣3（m≠0）的伴随函数y=x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【答案】（1）∵y=x 2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y=x 2﹣4是y=﹣x+p 的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y=﹣x+p 的图象上，∴﹣4=0+p ．∴p=﹣4，∴一次函数为：y=﹣x ﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y=﹣x+p 与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|=4，∴直线y=﹣x+p 与两坐标轴围成的三角形的面积为：12×4×4=8．（2）设函数y=x 2+2x+n 与x 轴两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=n ，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4n ，∵函数y=x 2+2x+n 与x 轴两个交点间的距离为4，∴√4−4n =4，解得，n=﹣3，∴函数y=x 2+2x+n 为：y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y=x 2+2x+n 是y=mx ﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4=﹣m ﹣3，∴m=1.2.（2019·济宁）阅读下面材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2，（1）若x 1＜x 2，都有f(x 1) ＜f(x 2)，则称f(x)是增函数；（2）若x 1＜x 2，都有f(x 1) ＞f(x 2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)=6x(x ＞0)是减函数．证明：设0＜x 1＜x 2，f(x 1) －f(x 2)=1266x x -=()21211212666.x x x x x x x x --= ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0． ∴()21126x x x x -＞0，即f(x 1) — f(x 2)＞0．∴f(x 1) ＞f(x 2)，∴函数f(x)=6x(x ＞0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数()21f x x x=+（x ＜0），()()()()()()22117110,22412f f -=+-=-=+-=--- （1）计算：f(－3)=________，f(－4)=________；（2）猜想：函数()21f x x x =+（x ＜0）是________函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【答案】（1）()()()()()()2212616333,4491634f f -=+-=--=+-=--- （2）增；（3）证明：设x 1＜x 2＜0，f(x 1) －f(x 2)=22211212122222221212121111x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2121212121222212121x x x x x x x x x x x xx x+--+-=--=．∵x 1＜x 2＜0，∴x 2—x 1＞0，x 12x 22＞0，x 2＋x 1－1＜0， ∴()()212122121x x x x x x -+-＜0，即f(x 1)－f(x 2)＜0．∴f(x 1) ＜f(x 2)，∴函数()21f x x x =+是增函数． 3.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，把正方形OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P 为抛物线y=－（x －2）2＋m ＋2的顶点．（1）当m=0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数．（2）当m=3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m 的取值范围．【答案】（1）当m=0时，二次函数的表达式为y=－x 2＋2，画出函数图象（图1）， ∵当x=0时，y=2；当x=1时，y=1； ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）．∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共5个．（2）当m=3时，二次函数的表达式为y=－（x －3）2＋5，画出函数图象（图2）. ∵当x=1时，y=1；当x=4时，y=4.∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）.（3）∵抛物线顶点P 的坐标为（m ，m ＋2），∴点P 在直线y=x ＋2上．由于点P 在正方形内，则0＜m＜2．如图3，点E （2，1），F （2，2）．∴当顶点P 在正方形OABC 内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外）．当抛物线经过点E （2，1）时，－（ 2－m ）2＋m ＋2=1，解得m 1m 2．当抛物线经过点F （2，2）时，－（ 2－m ）2＋m ＋2=2，解得m 1=1，m 2=4（舍去）．m ＜1时，点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点． 4. 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点A （x1，y1）和B （x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d （A ，B ）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）①已知点A （﹣2，1），则d （O ，A ）= ．②函数y=﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B 是图象上一点，d （O ，B ）=3，则点B 的坐标是．（2）函数y =4x （x ＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）=3．（3）函数y=x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D 是图象上一点，求d （O ，D ）的最小值及对应的点D 的坐标．（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M 为起点，先沿MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【答案】解：（1）①由题意得：d （O ，A ）=|0+2|+|0﹣1|=2+1=3； ②设B （x ，y ），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|=3， ∵0≤x≤2，∴x+y=3，∴{x +y =3y =−2x +4，解得：{x =1y =2，∴B （1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数y =4x (x ＞0)的图象上存在点C （x ，y ）使d （O ，C ）=3，根据题意，得|x −0|+|4x −0|=3， ∵x ＞0，∴4x ＞0，|x −0|+|4x −0|=x +4x ， ∴x +4x =3，∴x 2+4=3x ，∴x 2﹣3x+4=0， ∴△=b 2﹣4ac=﹣7＜0，∴方程x 2﹣3x+4=0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）=3．（3）设D （x ，y ），根据题意得，d （O ，D ）=|x ﹣0|+|x 2﹣5x+7﹣0|=|x|+|x 2﹣5x+7|， ∵x 2−5x +7=(x −52)2+34＞0，又x≥0，∴d （O ，D ）=|x|+|x 2﹣5x+7|=x+x 2﹣5x+7=x 2﹣4x+7=（x ﹣2）2+3， ∴当x=2时，d （O ，D ）有最小值3，此时点D 的坐标是（2，1）．（4）如图，以M 为原点，MN 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，将函数y=﹣x 的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E ，过点E 作EH ⊥MN ，垂足为H ，修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处．理由：设过点E 的直线l 1与x 轴相交于点F ．在景观湖边界所在曲线上任取一点P ，过点P 作直线l 2∥l 1，l2与x 轴相交于点G ．∵∠EFH=45°，∴EH=HF ，d （O ，E ）=OH+EH=OF ，同理d （O ，P ）=OG ， ∵OG≥OF ，∴d （O ，P ）≥d （O ，E ），∴上述方案修建的道路最短．5.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x=3a c+，y=3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点.例如：A （-1，8），B （4，一2），当点T （x.y ）满是x=143-+=1，y=8(2)3+-=2时.则点T （1，2）是点A ，B 的融合点. （1）已知点A （-1，5），B （7，7）.C （2，4）.请说明其中一个点是另外两个点的融合点.（2）如图，点D （3，0）.点E （t ，2t+3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点.①试确定y 与x 的关系式.②若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标. 【答案】（1）∵173-+=2，573+=4，∴点C （2，4）是点A.B 的融合点。

中考数学复习新定义、新运算型问题精讲(共24张PPT)

【思路导引】通过计算所给四组向量的坐标,只要符合 x1· x2+y1· y2=0的向量,即为互相垂直.
3
1
解析:选项A中,3×(-2)+2×3=0,∴两向量互相垂直;
选项 B 中,( 2-1)· ( 2+1)+1×1=2,∴两向量不垂直; 1 选项 C 中,3×(-3)+20180×(-1)=-2,∴两向量不垂直; 选项 D 中, 8×( 2) +(- )×4=2,∴两向量不垂直.
所以说法错误的是 C.
4.(2018· 聊城)若x为实数,则[x]表示不大于x的最大整数,例如 [1.6]=1,[π]=3,[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数,对任意的实数x都满足不等式[x]≤x<[x]+1 ①.利用这个不等式①,求出满足
[x]=2x-1的所有解,其所有解为 1 或2
解析:根据题意,得第一次:当n=13时,F①=3×13+1=40,
第二次:当 n=40 时,F②=23 =5,
2
40
第三次:当 n=5 时,F①=3×5+1=16, 16 第四次:当 n=16 时,F②= 4 =1, 第五次:当 n=1 时,F①=3×1+1=4, 4 第六次:当 n=4 时,F②=22 =1,
��
b1a2
b2 = 2
13 -2
b2 = 1 c2 = 2
-14 -7 21 -7
112
-2 =1×(-2)-1×12=-14,
13 12 =2×12-1×3=21,
�� = �� =
= =

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一、选择题 1. （2019湖南省岳阳市，8，3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）

A．c＜－3 B．c＜－2 C．14c D．c＜1 【答案】B 【思路分析】根据不动点定义，得出x1，x2满足的一元二次方程，利用根与系数的关系及根的判别式列出不等式求解即可. 【解题过程】当y=x时，x=x2+2x+c，即为x2+x+c=0，由题意可知：x1、x2是该方程的两个实数根，所以：

1212

1xxxxc



∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0 即x1x2－(x1＋x2) ＋1＜0 ∴c－(－1) ＋1＜0 ∴c＜－2 又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0 即12－4c＞0，

解得：c＜14 ∴c的取值范围为c＜－2 【知识点】二次函数与一元二次方程，根与系数的关系

2. （2019山东省济宁市，10，3分）已知有理数a≠1，我们把11a称为a的差倒数，如：2的差倒数是112

＝−1，－1的差倒数是111(1)2．如果a1＝－2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a1＋ a2＋…＋ a100的值是（） A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5 【答案】A

【思路分析】根据所给方法进行计算，a2＝11(2)＝13；a3＝1113＝32，……找出循环规律即可．

【解题过程】由题意知：a2＝11(2)＝13；a3＝1113＝32，a4＝1312＝－2；a5＝11(2)＝13……可

知经过3次开始循环，所以a1＋ a2＋…＋ a100＝－2＋13＋32－2＋13＋32＋…－2＝13326＝－7.5．【知识点】探索规律二、填空题 1. （2019山东德州，16，4分）已知：[]x表示不超过x的最大整数．例：[4.8]4，[0.8]1．现定义：{}[]xxx，例：{1.5}1.5[1.5]0.5，则{3.9}{1.8}{1} ．【答案】0.7 【解析】解；{3.9}{1.8}{1}3.931.82110.7，故答案为0.7．【知识点】新定义三、解答题 1. （2019重庆A卷，22，10）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．【思路分析】（1）按“纯数”的定义，看2019＋2020＋2021及2020＋2021＋2022在计算时，是否各数位都不产生进位，即可做出判断；（2）寻找“纯数”的构成规律：连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．然后按一位、两位数及三位数（100）分三种情况讨论，即可锁定答案．【解题过程】（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下： ∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下： ①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个； ②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”．综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．【知识点】阅读理解题；新定义问题；分类思想；纯数．

2. （2019重庆市B卷，22，10）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.

定义：对于自然数n，在通过列竖式进行21nnn的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”. 例如：32是“纯数”，因为343332在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 23不是“纯数”，因为252423在列竖式计算时个位产生了进位.

⑴ 请直接写出1949到2019之间的“纯数”； ⑵ 求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由。【思路分析】解决此题首先要准确理解新的定义，然后根据新定义中“不产生进位”合理分析出各个数位上的值，列举即可．此题主要考察新定义的理解与分析，新定义中的“不产生进位”是分析的关键，即和不能大于10，在列举时要注意“不重不漏”．【解题过程】解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100 若n为一位数，则有n+（n+1）+（n+2）＜10，解得：n＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个【知识点】规律型：数字的变化类．不等式、分类讨论.

3. （2019浙江省衢州市，23，10分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满是x=3ac，y=3bd，那么称点T是点A，B的融合点。

例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x=143=1，y=8(2)3=2时.则点T（1，2）是点A，B的融合点。（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点。（2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点。

①试确定y与x的关系式。xyl11OD ②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标。【思路分析】（1）根据融合点的概念通过计算进行判断；（2）①根据融合点的概念建立方程求解； ②分∠THD=90°，∠TDH=90°，∠HTD=90°三种情况，结合图形讨论确定点E的坐标。

【解题过程】（1）∵173=2，573=4， ∴点C（2，4）是点A.B的融合点。..…3分（2）①由融合点定义知x=33t，得t=3x-3....4分

又∵y=0(23)3t，得t=332y...….5分 ∴3x-3=332y，化简得y=2x-1.……6分 ②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.

由点T是点D，E的融合点，xylHTE11OD 可得m=33m或2m-1=(23)03m

解得m=32，∴点E1（32，6）.…7分

（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）. xyETHlOD 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分（注：此类情况不写不扣分）

综上所述，符合题意的点为E1（32，6），E2（6，15）. ……10分【知识点】新定义一次函数分类讨论 4. (2019浙江宁波,25,12分)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线. (1)如图1,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形; (2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上; (3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE＝2BE,求邻余线AB的长.

第25题图【思路分析】(1)由等腰三角形三线合一可得AD⊥BD,∴∠FAB与∠EBA互余,进而得到邻余四边形;(2)采用类似(1)问的方法,将∠A和∠B放在同一个直角三角形中,即可得到图形;(3)直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得ME＝MD,∠MDE＝∠MED,证得△DBQ∽△ECN,进而由图形中线段的等量关系,结合相似比例式,可得邻余线AB的长度. 【解题过程】(1)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,∴∠DAB+∠DBA＝90°,∴∠FAB与∠EBA互余.∴四边形ABEF是邻余四边形; (2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)

第25题答图 (3)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD＝CD,∵DE＝2BE,∴BD＝CD＝3BE,∴CE＝CD+DE＝5BE.∵∠EDF＝90°,M为EF的中点,∴DM＝ME.∴∠MDE＝∠MED.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∴△DBQ∽△

ECN,∴35QBBDNCCE,∵QB＝3,∴NC＝5,∵AN＝CN,∴AC＝2CN＝10,∴AB＝AC＝10. 【知识点】等腰三角形三线合一,直角三角形两锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等边对等角,相似三角形

5. （2019浙江省金华市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝－（x－2）2＋m＋2的顶点．