定积分导学案

1．1定积分的背景——面积和路程问题

[学习目标] 1.了解定积分的实际背景.

2.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法.

3.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．

知识梳理

知识点一曲边梯形的定义

如图所示，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线______所围成的图形称为曲边梯形(如图)．

知识点二求变速直线运动的位移(路程)

如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

题型探究

题型一求曲边梯形的面积

例1估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积．

反思与感悟通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想．

跟踪训练1图中阴影部分是由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形．试

估计这个曲边梯形的面积S，并求出估计误差．

题型二求变速运动的路程

例2汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝v t，如果汽车作变速直

线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？

跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位km/h)．试估计这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内的汽车行驶路程．

当堂检测

1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤

i －1n ，i n 上( )

A ．f (x )的值变化很小

B ．f (x )的值变化很大

C ．f (x )的值不变化

D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小

2．在“近似替代”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)

C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])

D ．以上答案均正确

3．求由曲线y ＝1

2x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则

面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．

4．在区间[0,8]上插入9个等分点，则第5个小区间是________． 课堂小结

变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积；求曲边梯形面积可分为四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近．

1.2 定积分

[学习目标] 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．

[知识链接]定积分和曲边梯形的面积有什么联系？

答 函数f (x )的图像和直线x ＝a ，x ＝b 以及x 轴围成的曲边梯形的面积可以通过分割区间、近似替代、求和、逼近得到，当分割成的小区间长度趋于零时，曲边梯形的面积趋于某一个固定的常数A ，A 就是f (x )在[a ，b ]上的定积分． [预习导引] 1．定积分的定义

一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，

.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个 ，我们就称 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的 ，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a

b

f (x )dx ＝A .其中∫叫作 ，a 叫作积分的 ，b 叫作积分的 ，f (x )叫作 ． 2．定积分的几何意义

由直线x ＝a ，x ＝b (a

(1)在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图(1)所示，即⎠⎛a

b f (x )d x ＝S .

(2)在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图(2)所示，即⎠⎛a

b f (x )d x ＝－S .

(3)若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c

b f (x )d x ，如图(3)

所示，即⎠⎛a

b f (x )d x ＝S A －S B (S A ，S B 表示所在区域的面积)．

3．定积分的性质

(1)⎠⎛a b 1d x ＝b －a ； (2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a

b f (x )d x (k 为常数)；

(3)⎠⎛a

b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )dx ±⎠⎛a b f 2(x )d x ； (4)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a

c f (x )dx ＋⎠⎛c

b

f (x )dx (其中a

课堂讲义

要点一 利用定积分的几何意义求定积分 例1 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛0

1(3x ＋2)d x ；

(2)

322

sin d ;x x ππ⎰

(3) ⎠⎛－3

3 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ；

(4)⎠⎛a

b (x －a )(b －x )d x (b >a )．

跟踪演练1 利用几何意义计算下列定积分： (1)⎠⎛－3

3

9－x 2d x ； (2)⎠⎛－1

3(3x ＋1)d x .

要点二 定积分性质的应用

例2 计算⎠⎛－3

3(9－x 2－x 3)d x 的值．

跟踪演练2 已知⎠

⎛0

1x 3d x ＝14，⎠⎛1

2x 3d x ＝154，⎠⎛1

2x 2d x ＝73，⎠⎛2

4x 2d x ＝56

3，求：

(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛1

2(3x 2－2x 3)d x .

当堂检测

1．已知⎠⎛0t x d x ＝2，则⎠⎛－t

0x d x 等于( )

A ．0

B ．2

C ．－1

D ．－2

2．定积分⎠⎛1

3e x d x 的几何意义是____________________________________________________．

3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： (1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛0

1x 2d x ；

(2)⎠⎛0

24－x 2d x ________⎠⎛0

22d x .

4.⎠⎛0

11－x 2d x ＝________.

课堂小结

1.定积分⎠⎛a

b f (x )d x 是一个确定的常数，和积分变量无关．

2．当f (x )≥0时⎠⎛a

b f (x )d x 表示由曲线y ＝f (x )、直线x ＝a 、x ＝b 与x 轴围成的曲边梯形的面积，

可以利用定积分的这种几何意义求定积分． 3．定积分的性质可以帮助简化定积分运算．

答案精析

知识梳理