广西大学复变函数与积分变换习题4
(完整版),复变函数与积分变换期末考试题及答案,推荐文档
1． z0 为函数 f z 的 m 阶零点；
2． z0 为函数 f z 的 m 阶极点；
求
Res
z
f f
z z
,
z0
。
ez2
六．（15 分）写出函数
的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。
cos z
七．（10 分）求函数 f t 1 tu t 3 t sin 2t 傅氏变换。
四、填空题（15 分，每空 3 分）
1． ln 2 i 。2． i 。3． 2 z 3 3 。4． 半平面 Re w 1 R。5．0。
4
2
三．(10 分)解:容易验证 u 是全平面的调和函数。利用 C-R 条件，先求出 v 的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
江西科技师范学院卷（B）
2007--2008 学年第二学期
时间 110 分钟
复变函数与积分变换 课程 40 学时 2.5 学分 考试形式：闭卷
专业年级：电子科学与技术 总分 100 分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
三、单项选择题（15 分，每小题 3 分）
1．A。2． B 。3． A。4． C。5．C。
z
z
z0
z
z0
n z0
n!
z
z0
n
(1)z0为f的阶z 零m点等价于在的一个z0邻域内
f z z z0 m z
其中在点z 解析, z0
于z是在0,的去心领z0 域
z
f f
z z
m z
z z0
z
z z
m z0
z z0
m
n1
m zz
复变函数与积分变换复习题
复变函数与积分变换复习题复习题第一套一、选择题1、满足不等式Im z >1且z <2的所有点z 构成的集合是（）A 有界单连通域B 无界单连通域C 有界复连通域D 无界复连通域2、函数23)(z z f =在点0=z 处是( )A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导3、下列命题中，正确的是( )A 设,x y 为实数，则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点，则()f z 在点0z 不可导C 若,u v 在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则()f z u iv =+在D 内解析D 若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析4、设01q <<，则幂级数20n n n q z ∞=∑的收敛半径R =( ) A q B 1qC 0D +∞ 5、函数1()1F s s =-的拉氏逆变换为（） A 1t - B t e -C jt eD te 6、z =∞是函数3232z z z ++的( ) A 可去奇点 B 一级极点C 二级极点D 本性奇点7、映射3w z =在0z i =处的旋转角为( )A 0 B2π C π .D 2π- 8、级数1!nn i n ∞=∑ ( )A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 无法判断9、将单位圆内部变成单位圆内部的分式线性映射为（）A 00i z z w e z z φ--=- B 001i z z w e z z φ--=+ C 001i z z w e z z φ--=- D 001i z z w e z z φ-+=-10、将点1,,1z i =-分别映射为点,1,0w =∞-的分式线性变换为（）A 11z w z +=- B 11z w z+=-C 211i z w e zπ+=- D 211i z w e z π+=-二、填空题1、13i --的幅角的主值为。
2、(1)Ln i -= 。
复变函数与积分变换课后习题答案详解
…复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）/——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππ2222e cos isin i i 442222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 3331313;;;.22n i i z i ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解： ∵()()()()(){}332321i 31i 3113133133288-+⎛⎫-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⋅-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴1i 3Re 12⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭, 1i 3Im 02⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭． ④解：∵()()()()()2332313133133i 1i 328⎡⎤--⋅-⋅-+⋅-⋅-⎛⎫⎢⎥-+⎣⎦= ⎪ ⎪⎝⎭()180i 18=+=∴1i 3Re 12⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭, 1i 3Im 02⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=．2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=⋅=．()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 2222++== ()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈，则z x x ==．∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3352π2π;;1;8π(13);.cos sin 7199i i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i 17e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π13i 16ππ3θ-==-.∴()2πi 38π13i 16πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 33i的平方根.⑴i 的三次根． 解：()133ππ2π2πππ22i cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ31cosisin i 662=+=+z ．25531cos πisin πi 662=+=z39931cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()1332π+π2ππ1cos πisin πcosisin 0,1,233k k k +-+=+=∴1ππ13cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin π332=+=-z33i 的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i44ππ2π2π4433i 6e 6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换习题解答
= 幕级数区—n!C+!..l.._zn
+
I
的收敛半径为R
=1/lim II 玉oo
a
___.斗 !!
a,,
=l114im00
c,, /(n + 1) c11十I /(n+2)
=1/lpl;
幕级数I:nc11z11一）的收敛半径为R
= 1/lim
a
一
all /l�CI)
lim nc" =1/I p I ;
(1+ —1 )”
=lim 00 II千
n n+ 1
= 0;
扣厂 (3) R=1//l1-i-m)00
II
lim1/ 11 11---'>00
+
i
I
=
1/忒
；
恩妇 (4) R=ll�
=l;
:I 匠)I 三叶三 曰勹 CS) R=l/
酝 =II
ch
=II
=I;
皿聂l (6) R=ll�
=l11�im00I ln in I= oo ;
。 I
I�
(n + l)c11+L
故以上三个幕级数有相同的收敛半径。
2 忙 9 设级数f n=O c"收敛，而 11=0 I发散，证明f 11=0 c11z11的收敛半径力l。
3
证明
由级数Len收敛，知幕级数LC11 Z11 在z= l处收敛，由Abel定理知I:c11z11
11=0
11 =0
11=0
习题四解答
1. 下列数列{a }是否收敛？如果收敛， 求出它们的极限：
"
芒， 气）， 二， I) a,,=
复变函数与积分变换习题解(包革军)
(4 3i ) 7 p 25.1.(3)解 : 原式 (2 5i ) 13i 2 2
7 7 5 26 Re( z ) ; Im( z ) 13; z 13i; z 29 ; arg z arctg ( ) . 2 2 2 7
p25.6.(1)解 : z 3 8(cos i sin )
zk 2(cos
2k
3 3 z0 1 3i, z1 2, z2 1 3i.
i sin
2k
) (k 0,1,2)
(2)特征方程为3 8 0,由上式可知特征根为 1 2, 2,3 1 3i
因此一般解为y c1e2t et c2 cos 3t c3 sin 3t , 其中c1, c2 , c3 为任意常数 。
题设f ( z )在D内解析, 则满足C R方程 : u v u v , x y y x v u u x v x 0 u v 即 仅将 , 看成线性方程组中的 x1 , x2 , u, v看成系数 u v x y v u 0 x x
复数的模不变, 辐角减小 . 2
Байду номын сангаас
p 26.14(1)解 : 3 i 2 cos( ) i sin( ) 6 6
5 5 3 i 2 cos( ) i sin( ) 6 6
复变函数4-习题课
第四、五章 级数与留数
一、收敛半径与敛散性.
二、解析函数的泰勒展开
三、洛朗展式
四、判别奇点类型
五、求各奇点处留数
六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分
复数项级数复数项级数函数项级数
函数项级数充
要条件
充要条件必
要条件
必要条件幂级数
幂级数收敛半径R 收敛半径R 复 变 函 数
复 变 函 数绝
对收敛
绝对收敛运算与性质
运算与性质解析
在0)(z z f n n n ∑∞
=1
n n z 收敛条件收敛条件条
件收敛
条件收敛复数复数列列复数复数列列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数
泰勒级数洛朗级数
洛朗级数
留数
留数计算方法
计算方法可去奇点
可去奇点孤立奇点
孤立奇点极点极点本性奇点
本性奇点函数的零点与
极点的关系
函数的零点与极点的关系留数定理
留数定理围线积分
围线积分
（D）4
z
< (∞
)。
复变函数与积分变换试题解答
复变函数与积分变换试题解答2004.1.4系别___________班级__________学号__________姓名___________一、填空（每题3分，共24分）1．10)3131(i i-+的实部是21-，虚部是23，辐角主值是32π.2．满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域 否 .3．)(z f 在0z 处可展成Taylor 级数与)(z f 在0z 处解析是否等价？ 是 .4．ii -+1)1(的值为,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224±=-+-+k i e k ππππ；主值为)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e .5．积分⎰=1||z zdz z e 的值为i π2，⎰==-2||2)2(sin z dz z zπ 0 . 6．函数311)(--=z ei z z f 在0=z 处Taylor 展开式的收敛半径是 1 .7．设)()]([),()]([2211ωωF t f F t f ==F F ,则=*)]()([21t f t f F )]([)]([21tf t f F F ⋅其中)()(21t f t f *定义为⎰∞+∞--τττd t f f )()(21.z zz f sin )(=的有限弧立奇点=0z 0 ，0z 是何种类型的奇点？ 可去 .二、（6分）设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.解：22332),(,),(y x y x v y x y x u =-= yx y v xy x v y y u x x u 22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂（2分）均连续，要满足R C -条件，必须要222234,43y xy y x x ==成立即仅当0==y x 和43==y x 时才成立，所以函数)(z f 处处不解析； （2分）,0)))0(0,0(0,0(=∂∂+∂∂='x vi x u f)1(1627)4343()43,43()43,43(i x v i x u i f +=∂∂+∂∂=+' （2分）三、（8分）设,sin y e v px=求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(.解：因y e v y e v y e p v y pe v pxyy px y px xx px x sin ,cos ,sin ,sin 2-====，要使),(y x v 为调和函数，则有0=+=∆yy xx v v v即 0s i n s i n2=-y e y e p px px（4分） 所以 1±=p 时，v 为调和函数，要使)(z f 解析，则有 y x v u =， x y v u -=⎰⎰+===)(c o s 1c o s ),(y y e p y d x e dx u y x u pxpx x ψy pe y y e p u px pxy sin )(sin 1-='+-=ψ （2分）所以 cy e p p y y e p p y px px +--=-='cos )1()(,sin )1()(ψψ即c y pe y x u px+=cos ),(，故 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+--=+=++=--1,)sin (cos 1,)sin (cos )(p c e c y i y e p c e c y i y e z f zxzx （2分）四、（10分）将函数13232)(2+--=z z zz f 在有限孤立奇点处展开为Laurent 级数.解：)(z f 的有限孤立奇点为210=z 及11=z z z z z z z f -+-=+--=1121113232)(2 （2分）1）当21210<-<z 时 )21(21221121)(--+--=z z z f∑∞=-+--=0)21(22)21(21n n n z z（2分）2）当+∞<-<2121z))21(211)(21(1)21(21)(------=z z z z f∑∞=-------=0)21(2211)21(21n n nz z z（2分）3）当2110<-<z)1(2111111211)(-+--=---=z z z z z f∑∞=----=0)1(2)1(11n n n n z z （2分）4）当+∞<-<121z))1(211)(1(111)(-+----=z z z z z f∑∞=--------=0)1(2)1()1(2111n nn nz z z（2分）五、计算下列各题（每小题6分，共24分）1．⎰=-++=32173)(ξξξξξd z z f ，求).1(i f +'解：因173)(2++=ξξξϕ在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在3<z 内，⎰=++==-=32)173(2)(2)()(ξπϕπξξξϕz z i z i d zz f（3分） 所以 )76(2)(+='z i z f π （2分）而点 i +1在3<z 内，故)136(2]7)1(6[2)1(i i i i f +-=++=+'ππ （1分）2．求出zz ez f 1)(+=在所有孤立奇点处的留数解：函数 zz ez f 1)(+=有孤立奇点0与∞，而且在+∞<<z 0内有如下Laurent 展开式：)1!311!2111)(!31!211(323211 ++++++++=⋅=+z z z z z z e e ezz zz++++++=z 1)!41!31!31!21!211( （3分）故 ∑∞=+-+==011)1(!1]0,[Re k zz k k e s c（2分）∑∞=++-=∞01)1(!1],[Re k zz k k es（1分）3．)0()(2222>+⎰∞+∞-a dx a x x解：2222)()(a z z z f +=，它共有两个二阶极点，且)(22a z +在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点ai ，所以 （2分）]),([Re 2)(2222ai z f s i dx a x x π=+⎰∞+∞（1分） a ai z zai i ai z z i ai z aiz 2)(2lim 2])[(lim 232πππ=+='+=→→（3分）4．dx x ⎰+202sin 11π解：由三角函数公式⎰⎰-=-+===========ππ020c o s 32)2c o s 1(211t dt xt x dxI（1分） ⎰⎰-=-=-πππ20cos 321cos 321t dt t dt（2分）令ite z =，则z z t iz dz dt 21cos ,2+==，于是 ⎰⎰==+-=+-=1212161213121z Z dz z z i iz dz z z I（1分）被积函数161)(2+-=z z z f 在1=z 内只有一阶极点830-=z ，由公式241]16[1l i m ]),([Re 200-='+-=→z z z z f s z z 故由留数定理222412ππ=-=i i I （2分）六、（6分）求上半单位圆域}0Im ,1||:{><z z z 在映射2z w =下的象.解：令θi re z =，则πθ<<<0,1rϕθρi i e e r z ==222，πθϕρ220,12<=<<=r （3分）故2z w =将上半单位圆域映射为1||<w 且沿0到1的半径有割痕.（3分）七、（8分）求一映射，将半带形域0,22><<-y x ππ映射为单位圆域.2z w =x 111zez=x3134+=zzizizw+-=5542iieieiieieizzizzwiziziziz+-+--+=+-+--+=22233233)11()11()11()11(故（2分）（1分）（2分）（2分）（1分）八、（6分）设)(z f 在1||<z 内解析，在闭圆1||≤z 上连续，且1)0(=f ，证明：⎰='±=+±1||2))0(2()()]1(2[z i f z dzz f z z π证：由于⎰=+±1||)()]1(2[z z dzz f z z ⎰=+±=1||22])()1()(2[z dz z z f z z z f⎰⎰==+±=1||1||22)()1()(2z z dz z z f z dz z z f（2分） ))0(2(2}])()1[()0(2{202f i z f z f i z '±='+±==ππ （4分）九、（8分）用Laplace 变换求解常微分方程：⎩⎨⎧=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(133y y y y y y y解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得))0()0()((3)0()0()0()(223y Sy S Y S y y S y S S Y S '---''-'-- S S Y y S SY 1)())0()((3-=--+ （4分） )3()33(211)()133(223-++-+-=-+-S S S S S Y S S S )1452(123-+-=S S S S2)1)(12(1--=S S S即 111)1(12)(-+=--=S S S S S S Y （2分）故 1)]([)(1+==-te S Y t y L（2分）。
复变函数与积分变换第五版习题解答
复变函数与积分变换第五版答案目录练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24)练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i iii 524321----； 解：i i i i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31-解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++-2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
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第四章 解析函数的级数表示
1．下列序列是否有极限？如果有极限，求出其极限.
(1) 1nnzin; (2) nnzzz.
2．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
(1) 11()2nnin; (2)1;!nnin
3.证明级数1(2)nnz当1||2z时绝对收敛.
4．试确定下列幂级数的收敛半径.
(1)211(1)nnnzn; (2) 1(1)!nnnzn.
5．将下列各函数展开为z的幂级数，并指出其收敛区域.
(1) 311z; (2) 1(0,0)()()abzazb;
6．求下列函数在指定点0z处的泰勒展式.
(1) 021,1;zz (2)01,1;43ziz
7．将下列各函数在指定圆环内展开为洛朗级数.
(1)21,0||1,1||;(1)zzzzz
(2) 21/,0||;zzez
8．将21()32fzzz在1z处展开洛朗级数.
9．将221()(1)fzz在zi的去心领域内展开成洛朗级数.