高考数学(理科)前三道大题冲刺训练及答案(整理)之欧阳文创编
A B
C
D
E
F 高考数学理科前三道大题冲刺训
练
时间：2021.03.12
创作：欧阳文
1．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概
率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列. 2．（本小题满分14分）如图，多面体ABCD EF -中，ABCD
是梯形，CD AB //，ACFE 是矩形，平面⊥ACFE 平面
ABCD ，a AE CB DC AD ====，2π
=
∠ACB ．
（1）若M 是棱EF 上一点，//
AM 平面
BDF ，求EM ；
（2）求二面角D EF B --的平面角的余弦值． 3．（本小题满分12分）己知点(1,0),(0,1),(2sin cos )A B C θθ，.
（1）若(2)1OA OB OC +=，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值；
（2）若AC BC =，且θ在第三象限．求sin()3π
θ+
值.
4．（本小题满分13分）
一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职
日销售量 1 1.5 2 频数 10 25 15 频率
0.2
O
月收入(元)
频率组距
0.0001
0.0002
0.00030.00040.0005
业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500,2000)（元）段应抽出的人数；
（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000,3000)（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000,3000)（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率.
(3)任意抽取该社区6个居民，用ξ表示月收入在（2000,3000）（元）的人数，求ξ的数学期望。
5. （本小题满分12分）在ABC ?中，a b c 、、分别为角
A B C 、、的对边，△ABC
的面积S 满足3
cos S bc A =
.（1）求角A 的值；（2）若3a =，设角B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c
的取值范围．
6.(本小题满分12分)
某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现
采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个
科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.
（1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；
（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；
（3）记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望.
7. （本小题满分14分）
已知数列{}n a 是首项11a =，公差大于０的等差数列，其
D
C
B
A
P 前ｎ项和为n S ，数列{}n b 是首项12b =的等比数列，且2216b S =,3372b S =．
(1) 求n a 和n b ；
(2) 令11c =，221k k c a -=，212k k k c a kb +=+（???=,3,2,1k ），求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T ． 8．（本小题满分14分）
已知如图5，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2,120PAB ∠=,90PBC ∠=. (1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ；
(2)求三棱锥D －PAC 的体积；
(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值．图5
9、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品
相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。
6、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，
*n ∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．
1．(本小题满分12分)解：(1 ) 求得=a 0.5 =b 0.3.
(2)①依题意，随机选取一天，销售量为 1.5吨的概率
5.0=p
设5天中该种商品有X 天的销售量为 1.5吨，则X ～B （5,0.5）
②ξ的可能取值为4,5,6,7,8，则04.02.0)4(2===ξP 2.05.02.02)5(=??==ξP ，37.03.02.025.0)6(2=??+==ξP 3.05.03.02)7(=??==ξP ，09.03.0)8(2===ξP ξ的分布列:
ξ
4 5 6 7 8 p
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
2．（本小题满分14分）
解（1）连接BD ，记O BD AC = ，在梯形ABCD 中，因为
a CB DC AD ===，CD
AB //，所以DAC CAB ACD ∠=∠=∠，
2
3π
π+
∠=∠+∠+∠=∠+∠=DAC ACB ACD DAB BCD ABC ，
6
π
=
∠DAC ，
从而
6
π
=
∠CBO ，又因为
2
π
=
∠ACB ，a CB =，所以
a CO 3
3
=
，连接FO ，由//AM 平面BDF 得FO AM //，因为ACFE 是矩形，所以a CO EM 3
3
==。
（2）以C 为原点，CA 、CB 、CF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建
立空间直角坐标系，则)0 , 0 , 0(C ，)0 , 0 , 3(a A ，
)0 , , 0(a B ，)0 , 2
, 23(
a
a D -，) , 0 , 0(a F ，) , 0 , 3(a a E ， 设平面DEF 的一个法向量为) . . (1t s r n =， 则有
?????=?=?0
11n EF n ，即
?????=?+?+?-
=?022
30
3t a s a
r a r a ， 解得
)1 . 2 . 0(1-=n ，
同理可得平面BEF 的一个法向量为)1 . 1 . 0(2=n
观察知二面角D EF B --的平面角为锐角，所以其余弦
值为10
10|
|||cos 2121==n n θ
。 5.解：（1）在ABC ?
中，由cos S A =
1
sin 2
bc A =
得tan A =
∵0A π<<∴3
A π
=
---------------------------------
----------5分 （2）由3,3
a A π
==
及正弦定理得32sin sin 3a c A
C
===，------------7分
∴22sin 2sin()2sin()3
c C A B x ππ==--=---------------------------9分 ∵3
A π
=
∴
203
x π<<
∴
22033
x ππ<
-<--------------------10
分
∴20sin(
)13x π<-≤，202sin()23
x π
<-≤ 即(0,2]c ∈ --
------12分
6.解：（1）从甲组应抽取的人数为3
10215
?=，从乙组中应抽取的人数为
3
5115
?=；--------2分
（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率
26210213
C P C =-=（或1124642
102
3C C C P C +==） （3）ξ的可能取值为0，1，2，3
21
42211054
(0)75
C C P C C ξ==?=，
1111246324212110510522
(1)75C C C C C P C C C C ξ==?+?=
， 2163211051
(3)5
C C P C C ξ==?=，
34
(2)1(0)(1)(3)75
P P P P ξξξξ==-=-=-==
（或 2111166432212110510534
(2)75
C C C C C P C C C C ξ==?+?=)-------10
分
∴ξ的分布列如右
4223419012375757555
E ξ=?
+?+?+?=-------------------------
--------12分
7.解：(1)设数列{}n a 的公差为d （0d >）数列{}n b 的公比为q ， 则1(1),n a n d =+-12n n b q -=
P
A B
C
D
E 依题意得222(2)16b S q d =+=，233
2(33)72b S q d =+= 由此得2
(2)8
(1)12
q d q d +=??
+=?∵0d >,解得2
2
d q =??
=?.-∴21n a n =-，2n
n b =.
(2) ∵()21112
1342()2n T c a a b a a b +=++++++?+???212()n n n a a nb -+++
＝2121(2)n n S b b nb +++
+???+
令122n A b b nb =+++ 则22222n A n =+?++?
212222n n A n +-=+++-?，∴11222n n A n ++=?-+
又2222(1)
42
n n n a S n +=
=， ∴2112114222n n n T n n +++=++?-+2134(1)2n n n +=++-.
8. (1)证明：∵ABCD 为矩形 ∴AD AB ⊥且//AD BC ∵BC PB ⊥∴DA PB ⊥且AB PB B =
∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ?平面PAD ∴平面PAD ⊥平面
PAB
(2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===-
由（1）知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB ∴111
sin 332
C PAB
PAB V S BC PA AB PAB BC -?=?=???∠?11216=??=---10分
（3）解法1：以点A 为坐标原点，AB 立空间直角坐标系如
右图示，则依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C ,1
,0)2
P -
可得35
(,,1)22
CP =--,
平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =，设直线PC 与平面
ABCD 所成角为θ，
则cos()28||||1m CP m CP πθ?-===?? ∴sin 8θ=，即直线PC 与平面ABCD
解法2：由（1）知DA ⊥平面PAB ，∵AD ?面ABCD
∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB 内，过点P 作PE ⊥
AB ，垂足为E ，
则PE ⊥平面ABCD ，连结EC ，则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角
在Rt△PEA 中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴2
PE =,
又
2222cos1207PB PA AB PA AB =+-?=∴PC ==
在Rt△PEC
中sin
8
PE PC θ=
==.即直线PC 与平面ABCD 所
成角的正弦值
2、【解】：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种
商品中的一种，
记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙
两种商品中的一种， （Ⅰ）C A B A B =?+?
（Ⅱ）D A B =?()()P D P A B =?()()P A P B =?0.50.4=?0.2= （Ⅲ）()3,0.8B ξ，故ξ的分布列 所以30.8 2.4E ξ=?= 6、解：
（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，
由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ·············· 4分 因此，所求通项公式为
13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① (6)
分
（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，
1n n n a S S -=-
1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---?1223(3)2n n a --=?+-， 1
2
143
(3)2
n n n n a a a --+-=?+-22
32
1232n n a --????=+-?? ???????
， 当2n ≥时，
2
1312302n n n a a a -+??
?+- ?
??
≥≥9a ?-≥．
又2113a a a =+>．
综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ········
12分