幂函数学案

学习目标与要求：

1、掌握幂函数的概念和基本特征；

2、会画幂函数3

x y ,x y ,x y ===，1

x y -=，2

1x y =的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

教学重点和难点

重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。

难点是引导学生概括出幂函数性质

一、创设情景，引入新课

【问题1】如果张红购买了每千克1元的水果w 千克，那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系【问题2】如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积；【问题3】如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积, ；【问题4】如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长；【问题5】如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度，

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(从自变量和常数的角度考虑)

二、新课讲解（一）幂函数的概念

如果设变量为x ,函数值为y ，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？

这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此归纳出幂函数的定义吗？

幂函数的定义：

【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？

试一试：判断下列函数那些是幂函数？

(1) y=x 4 (2) y=2x 2 (3) y= -x 2

(6) y=x 3+2

（二）几个常见幂函数的图象和性质

根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数2

x y ,x y ==的图象吗？

【探究二】观察函数12

x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的图象，将你发现的结

2(5)y x -=(4)2x

y =

【探究三】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：

x y ,x y ,x y ,x y ==== 的共同性质。

归纳：当0>α时，

请同学们模仿我们探究幂函数α=x y 图象的基本特征0>α的情况探讨

0<α时幂函数α=x y 图象的基本特征。

归纳：当0<α时，

。

（三）例题剖析

【例1】求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性

（1） 3

2x y =（2）2

y -

= （3）2x y

【例2】证明幂函数

()f x =在[0，+∞]上是增函数。

三、课堂小结

1、幂函数的概念及其指数函数表达式的区别

2、常见幂函数的性质。

检测与反馈

1、下列函数中，是幂函数的是（）

A 、x 2y =

B 、3

x 2y = C 、x

1y = D 、x 2y = 2、下列结论正确的是（） A 、幂函数的图象一定过原点

B 、当0<α时，幂函数α

=x y 是减函数 C 、当0>α时，幂函数α=x y 是增函数 D 、函数2

x y =既是二次函数，也是幂函数 3、下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（）

A 、3

x y = B 、2

x y = C 、x

y = D 、23

x y =

4、函数5

3x y =的图象大致是（）

5、已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_______________________

6、写出下列函数的定义域，并指出它们的单调性：（1）4

x y =（2）41

y =（3）

3x y -=