苏教版九年级下册数学[比例线段及黄金分割(提高) 知识点整理及重点题型梳理]

苏教版九年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

相似形和比例线段（提高） 知识讲解

学习目标】

1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；

2、会运用比例线段解决简单的实际问题；

3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.

【要点梳理】

要点一、比例线段

【 394495 图形的相似 预备知识】

1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例的性质：

（1）基本性质：如果

a c

b d

=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d

，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释：

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．

要点二、黄金分割

1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC

=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.

要点诠释：

12AC AB =≈0.618AB(12

叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：

图4－7

如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：

（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =2

1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .

（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：

一条线段的黄金分割点有两个.

【典型例题】

类型一、比例线段

1. （2016春•上海校级月考）已知

，

（1）求

的值； （2）如果，求x 的值． 【思路点拨】（1）令===k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，再代入代数式进行计算即可；

（2）把x=2k ，y=3k ，z=4k 代入=y ﹣z ，求出k 的值即可．

【答案与解析】解：（1）∵==，

∴令===k ，则x=2k ，y=3k ，z=4k ，

∴

===﹣1；

（2）∵x=2k ，y=3k ，z=4k ，=y ﹣z ，

∴x +3=（y ﹣z ）2，即2k +3=（3k ﹣4k ）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，

∴x=﹣2．

【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k ，y=3k ，z=4k 是解答此题的关键． 举一反三：

【394495 图形的相似 预备知识 练习2】

【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（ ）.

A. B. C. D. 无法确定【答案】C.

2. 已知：

a b c

k

b c a c a b

===

+++

．求k值．

【思路点拨】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解. 【答案与解析】①当a+b+c=0时，

b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，

∴k为其中任何一个比值，即k=a

a-

=-1;

②a+b+c≠0时，

k=

1

2()2

a b c a b c

b c c a a b a b c

++++

==

+++++++

．

∴k=-1或1

2

.

【总结升华】考查比例性质的应用；分两种情况探讨此题是解决本题的易错点．类型二、黄金分割

3. 宽与长之比为5-1

:1

2

的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么

留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.

【答案与解析】∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF,

又∵

51

2

AB

AD

=,∴

51

2

AF

AD

=，

即点F是AD的黄金分割点，

∴

51

2

AF AD

=,即

35

2

DF AD

=

∴

51

2

DF

AF

=，即

51

2

DF

DC

=，

∴矩形CDEF是黄金矩形.

【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.

4.（2014春•南京校级月考）（1）已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长；

（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．

【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；

（2）根据线段比例中项的概念，可得a：c=c：b，可得c2=ab=36，故c的值可求．注意线段不能为负．．【答案与解析】

解：（1）∵线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，

∴AC=10×=15﹣5（cm）；

（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，

∴c2=ab=36，

解得c=±6，

又∵线段是正数，

∴c=6cm．

【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．也考查了比例中项的概念．．

举一反三：

【变式】（2014秋•章丘市校级期末）已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B. C. 或 D.以上都不对

【答案】C.

提示：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，

当AC＞BC，

∴AC=AB=；

当AC＜BC，

∴BC=AB=，

∴AC=AB﹣BC=1﹣=．