一阶电路的阶跃响应

6.5 一阶电路的冲激响应
1. 单位冲激函数
定义
δ (t ) = 0 (t ≠ 0)
∫
δ (t )dt = 1 −∞
−∞
∞
δ(t) (1) 0 t
1 ∆ ∆ p(t ) = [ε (t + ) − ε (t − )] 2 2 ∆
∆ →0
∆→0
1 →∞ ∆
1/ ∆
p(t) 单位脉冲函 数的极限
lim p(t ) = δ (t )
∆
t
1 s(t ) ∆
1 − s(t − ∆) ∆
1 d h(t ) = lim [s(t ) − s(t − ∆)] = s(t ) ∆→0 ∆ dt
注 s(t)定义在（-∞ ，∞）整个时间轴 定义在（ ∞
例1 is
求： is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t) 为单位冲激时电路响应 和
− t RC
ic = e
−
t RC
ε (t )
− t RC
再求单位冲激响应, 再求单位冲激响应,令： iS (t ) = δ (t )
d uC = R(1 − e dt t
−
t RC
1 − RC = e ε (t ) C
0
1 )δ (t ) + e ε (t ) C f ( t )δ ( t ) = f (0)δ ( t )
−2t
−2t
−2t
−2( t −0.5)
ε(t − 0.5)
= e−2t [ε(t ) − ε(t − 0.5)] + e−2t ε(t − 0.5) − e−2(t −0.5)ε(t − 0.5)
= e−2t [ε(t ) − ε(t − 0.5)] + e−1e−2(t −0.5)ε(t − 0.5) − e−2(t −0.5)ε(t − 0.5)
f(t) t
例
(sin t + t )δ (t − )dt −∞ 6 π π 1 π = sin + = + = 1.02 6 6 2 6
∫
π
* f(t)在 t0 处连续 在
2. 一阶电路的冲激响应
激励为单位冲激函数时， 激励为单位冲激函数时，电路中产生的 冲激响应 零状态响应。 零状态响应。 iC + δ（t） 分二个时间段来考虑冲 uC 例1. R 激响应。 激响应。 C (1). t 在 0－ → 0+间 电容充电，方程为： 电容充电，方程为： uC(0－)=0
= e−2t [ε(t ) − ε(t − 0.5)] − 0.632e−2(t −0.5)ε(t − 0.5)
波形 分段表示为 1 i(mA)
e−2t mA (0 < t < 0.5s) i(t ) = - 0.632e-2(t -0.5) mA (t > 0.5 s)
0.368 0 -0.632 0.5 t(s)
由齐次性和叠加性得实际响应为： 由齐次性和叠加性得实际响应为：
1 −2t 1 −2(t −0.5) iC = 5[ e ε (t ) − e ε (t − 0.5)] 5 5
A = e−2tε (t ) − e−2(t −0.5)ε (t − 0.5) m
iC = e ε(t ) − e ε(t − 0.5) + e ε(t − 0.5) − e
t0 t
0
用单位阶跃函数表示复杂的信号
例1
f(t) 1 0 t0 t
f(t) 1 0 t0
ε(t)
t -ε (t-t0)
f (t ) = ε (t ) − ε (t − t0 )
例2 2 1 0 f(t)
f (t ) = 2ε (t − 1) − ε (t − 3) − ε (t − 4)
3 4 t
∞
∞
E e R
-
t RC
dt = CE
R →0
τ →0
ic → CEδ (t )
0 t
例4
E
已知 ：E=1V , R=1Ω , C1=0.25F , C2=0.5F , t = 0 Ω k R 时合k。 时合 。求： uC1 ， uC2 。 i iC1 (t=0) iC2 解 （1）确定初值 ） + + uc1 uc2 合k前 u (0− ) = E = 1V 前 C1 - C C2 1
− (t − 1)ε(t − 1)
t
例5
1
u(t)
已知电压u(t)的波形如图，试画 的波形如图， 已知电压 的波形如图 出下列电压的波形。 出下列电压的波形。
－2
0
2 t
1
u(t)
1
u(t)
(1) u (t )ε (t )
(2) u (t − 1)ε (t )
0 u(t) 2 t
－1
0
1
t
(3) u (t − 1)ε (t − 1) 1
+ uc
－
uC
C
t 0 iC (1) t
1 − RC
例2
分二个时间段来考虑冲激响应。 分二个时间段来考虑冲激响应。 R + uL iL L (1). t 在 0－ 0+间方程为： 间方程为：
δ (t )
+
0
iL (0− ) = 0
0+ 0+
diL RiL + L = δ (t ) dt
iL不可能是冲激函数
K
E
u(t)
Eε(t ) ε
u(t)
i (t )
K
t = 0合闸 i(t) = Is ε (t ) 合闸
Is
I Sε (t )
u(t)
（2）延迟一个函数 ）
f(t)
sin tε (t )
t 0
f(t) sin( t − t0 )ε (t − t0 )
0
（3）起始一个函数 ）
t0
t
f(t)
sin(tt))ε((t− t0 ) sin( ε t )
t
t < 0− t >0
+
= ε (t )
dε (t ) = δ (t ) dt
2. 冲激函数的筛分性
∫
∞
−∞
f (t )δ (t )dt = f (0)∫ δ (t )dt = f (0)
−∞
∞
f(0)δ(t)
同理有： 同理有：
δ(t)
(1) f(0) 0
∫
∞
∞
−∞
f (t )δ (t − t0 )dt = f (t0 )
0+ diL ∫0− RiLdt + ∫0− L dt dt = ∫0− δ (t )dt = 1
L iL (0 ) − iL (0 ) = 1
[
+
−
]
1 − iL (0 ) = ≠ iL (0 ) L
+
电感上的冲激电压使电感电流发生跃变
(2). t >
0+
RL放电 放电
R + uL
－
iL
L τ= R
uc (0 ) = 0
k(t=0) iC
−
合闸后由KVL uc(0+)=E 合闸后由 uc uc = E (t ) E
ε
ic = cEδ (t )
E ic = e R
t RC
E
R
C
0 ic (CE) 0 ic
t
t
ic不是冲激函数, uc不会跳变 不是冲激函数,
q = ∫ − icdt =∫ −
0 0
-∆ / 2 ∆ ∆/2 t
单位冲激函数的延迟
δ (t-t0)
（1） ） 0 t0 t
δ (t − t0 ) = 0 (t ≠ t0 ) ∞ ∫−∞ δ (t − t0 )dt = 1
单位冲激函数的性质
（1）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。 ）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。
0 ∫−∞δ (t )dt = 1
6.5 一阶电路的阶跃响应
1. 单位阶跃函数
定义
0 (t < 0) ε (t ) = 1 (t > 0)
ε (t)
1 0 t
单位阶跃函数的延迟
ε (t-t0)
1 0 t0 t
0 (t < t0 ) ε (t − t0 ) = 1 (t > t0 )
单位阶跃函数的作用 （1）在电路中模拟开关的动作 ） t = 0合闸 u(t) = E ε (t ) 合闸
注意
0
0
− t RC
i =e
−
t RC
ε (t ) 和 i = e
t ≥ 0 的区别
+
R
iC
C
-
ε (t -t0)
uC
–
+
时加入， 激励在 t = t0 时加入， 则响应从t=t 开始。 则响应从 0开始。
1 R
iC
1 iC = e R
注意
−
t- t0
RC
ε ( t - t0 )
0
t0
t
不要写为
1 RC e ε ( t - t0 ) R
(4) u (t − 2)ε (t − 1)
1 u(t)
0
1
t
0
1
2
t
2. 一阶电路的阶跃响应
阶跃响应 R 激励为单位阶跃函数时， 激励为单位阶跃函数时，电路中产生的 零状态响应。 零状态响应。 u
i
C
− t RC
1
c
ε (t )
+
uC
–
t
1 R
i t 1 i t
uC (0－)=0
uC (t ) = (1 − e )ε (t ) t 1 − RC i(t ) = e ε (t ) R
iC R C
+ uC 先求单位阶跃响应, 先求单位阶跃响应,令： -
uc (0− ) = 0 已知： 已知：
iS (t ) = ε (t )
uC(0+)=0
uC(∞)=R ∞
t − RC
τ = RC
iC(0+)=1 iC(∞)=0 ∞
uC (t ) = R(1 − e
)ε (t )
)ε (t ) = R(1 − e
uL
+ -
+ uL -
iL
Aδ (t )
t
1 t iL (0 ) = iL (0 ) + ∫ − uLdt L 0 A − = iL (0 ) + L iL iL(0+)
+ −
iL(0-) 0
A L
t
或纯电容和电压源）构成的回路。 (2). 换路后电路有纯电容 (或纯电容和电压源）构成的回路。
例3
-
5ε (t − 0.5)
100µF µ
+
5k
ic 100µF µ
τ = RC = 100 ×10−6 × 5 ×10−3 = 0.5s
阶跃响应为： 阶跃响应为：
-
0.5US
uC (t ) = (1 − e− 2t )ε (t )
duC 1 −2t iC = C = e ε (t ) m A dt 5
在冲激激励下， (1) 在冲激激励下，电容电压或电感电流初值的跃变 例1
Aδ (t )
ic
uC+ -
iC C
1 t uc (0 ) = uc (0 ) + ∫ − iCdt C 0 A − = uC (0 ) + C
+ −
Aδ (t )
0 t
uC(0+) uC(0-) 0
uc
A C
t
例2
Aδ (t )
e(t )
零状态
R(t)
单位阶跃
单位阶跃响应
ε (t)
单位冲激
s(t)wenku.baidu.com
单位冲激响应
dε ( t ) δ (t ) = dt
d h( t ) = s( t ) dt
δ (t)
h(t)
证明： 证明：
ε (t )
零状态
s(t)
δ (t )
零状态
h(t)
f(t)
1 ∆
1 − ∆
1 1 f (t ) = ε (t ) − ε (t − ∆) ∆ ∆
1 iL (0 ) = L
+
R − τt uL = −iL R = − e L
− t
1 −τ iL = e L
t
t ≥0
+
1 L
iL
t ≥0
+
0 uL
δ (t )
t
1 τ iL = e ε (t ) L t R −τ uL = δ (t ) − e ε (t ) L
t
R − L
单位阶跃响应和单位冲激响应关系
1
例3
2 1 0
f(t)
f (t ) = ε (t ) + ε (t − 1) − ε (t − 3) − ε (t − 4)
3 4 t
1
例4 f(t) 1 0 1
f (t ) = t[ε (t ) − ε (t − 1)] + ε (t − 1) tε(t ) ε = t ε(t ) − (t − 1) ε(t − 1)
－t
例 求图示电路中电流 C(t）。 求图示电路中电流i ）。
10k + us 10k ic 100µF µ + 等效
+
5k
ic 100µF µ
-
0.5US
uC(0－)=0 叠加 5k ic
uC(0－)=0 us(V) 10 0 0.5 t(s)
+
5ε (t )
5k ic
100µF µ
uS = 10ε (t ) − 10ε (t − 0.5)
+
电容中的冲激电流使电容电压发生跃变
(2).t > 0+ 为零输入响应（RC放电） 为零输入响应（ 放电） 放电
ic R C
1 1 uc (0+ ) = + uc = e t ≥0 C C t − uc 1 + RC ic = − = − e t ≥0 1 R RC
− t RC
t 1 − RC uc = e ε (t ) C t − 1 ic = δ (t ) − e RC ε (t ) RC
duc uc C + = δ (t ) dt R
0
+
uc不是冲激函数 , 否则 否则KCL不成立 不成立
0
0 u 0+ duc c ∫0− C dt dt + ∫0− Rdt = ∫0− δ (t )dt = 1
+
C[uc (0 ) − uc (0 )] = 1
+
−
1 uc (0 ) = ≠ uC (0− ) C
d ic = [e dt
−
t RC
ε (t )] = e
t
−
t RC
1 − RC δ (t ) − e ε (t ) RC
t
1 − RC e ε (t ) = δ (t ) − RC
uC R 阶跃响应 t 0 0 uC iC (1) t 0 t t 1 iC
冲激响应
1 C
1 − RC
3. 电容电压或电感电流初值的跃变