《多项式乘以多项式》教案
多项式乘多项式教案
多项式乘多项式教案一、教学目标1. 让学生理解多项式乘多项式的概念和意义。
2. 培养学生掌握多项式乘多项式的运算方法和技巧。
3. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。
二、教学内容1. 多项式乘多项式的定义和法则。
2. 多项式乘多项式的运算步骤。
3. 多项式乘多项式的应用问题。
三、教学重点与难点1. 重点：多项式乘多项式的运算方法和技巧。
2. 难点：理解并应用多项式乘多项式的法则。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解多项式乘多项式的概念和法则。
2. 采用示范法，展示多项式乘多项式的运算步骤。
3. 采用练习法，让学生通过实际操作解决相关问题。
五、教学准备1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
【课堂导入】教师通过引入实际问题，激发学生的兴趣，引出多项式乘多项式的概念。
【知识讲解】1. 教师讲解多项式乘多项式的定义和法则。
2. 教师展示多项式乘多项式的运算步骤，并进行示范。
【课堂练习】1. 教师给出一些简单的多项式乘多项式问题，让学生独立解决。
2. 教师选取学生的解答，进行讲解和分析。
【拓展应用】教师给出一些实际问题，让学生运用多项式乘多项式的知识进行解决。
【课堂小结】教师对本节课的内容进行总结，强调多项式乘多项式的运算方法和技巧。
【课后作业】教师布置一些多项式乘多项式的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过复习单项式乘以多项式的概念和法则，引出多项式乘多项式的概念。
2. 新课讲解：讲解多项式乘多项式的定义和法则，展示运算步骤，并进行示范。
3. 课堂练习：学生独立解决简单多项式乘多项式问题，选取解答进行讲解和分析。
4. 拓展应用：给出实际问题，让学生运用多项式乘多项式的知识进行解决。
5. 课堂小结：总结本节课的内容，强调多项式乘多项式的运算方法和技巧。
七、教学反思本节课结束后，教师应反思教学效果，包括学生的掌握情况、教学方法的适用性、学生的参与度等，以便对后续教学进行调整和改进。
第11讲：多项式乘多项式(教案)
（3） a + b (a2 − ab + b2 )
（4） 2x − 1 (−x 2 + 3x − 1)
（5） (3x y)(2x 3y) ；
（6） (a b)(a b) ；
（7） (a b)(a ab b ) ；
2 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（8） (3x 2)(2x 3)(x 2) ；
1
（1）进行多项式乘多项式的运算时，要按照一定的顺序进行，做到不重复不漏。可以 先将第一个多项式的第一项与第二个多项式的各项分别相乘， 再用第一个多项式的第二项与 第二个多项式的各项分别相乘，依次类推，然后把相乘后的积分别相加； （2）有同类项的，必须合并同类项，将结果化成最简； （3）多项式与多项式相乘，合并同类项之前积的项数应该等于两个多项式项数之积； （4）在进行相乘时，每一项都包含前面的符号，所以一定要注意； 例题 1：计算 （1） x + 2 ∙ (x − 5) （2） 3x − y (x + 2y)
x a A
y B
b
C
D
分析：要求大长方形的面积，我们可以采用以下两种方法： （ 1）分别求出四个小长方 形 A、B、C、D 的面积，然后将它们分别相加，就得到了大长方形的面积； （2）分别求出 大长方形的长和宽，然后按照长方形的面积公式直接求出它的面积。 解：按照上面的两种方法，分别求出大长方形的面积 方法一：先求出四个小长方形的面积，然后将它们相加： 长方形 A 的面积为：ax 长方形 B 的面积为：ay 长方形 C 的面积为：bx 长方形 D 的面积为：by 所以，大长方形的面积为：S=ax+ay+bx+by 方法二：先求出大长方形的长和宽，然后按照长方形的面积公式得出它的面积： 根据图形可知大长方形的宽为（a+b） ；长为（x+y） 所以，大长方形的面积为：S= a + b (x + y) 按照上面两个方法所求得的面积都是这个大长方形的面积，所以二者应该相等，即： a + b x + y = ax + bx + ay + by 观察上面的等式可以发现，等号的左边是两个多项式（a+b）和(x+y)乘积的形式，右边 是它的积。不难看出，多项式乘以多项式，它们的积仍然是一个多项式，那么多项式在相乘 时遵循怎样的运算规律呢？ 对于等号左边的式子，如果我们将(a+b)看做一个整体，运用单项式乘多项式的法则， 可化为： a+b x+y = a+b x+ a+b y 继续乘法运算，可得： a + b x + y = a + b x + a + b y = ax + bx + ay + by 这与之前我们写出的等式完全相同，由此可见多项式乘多项式遵循下面的运算法则： 多项式与多项式相乘，先用其中一个多项式的每一项分别乘另一多项式的每一项，再 把所得的积相加。 注意：多项式与多项式相乘，可以按照下面的步骤进行：
八年级数学上册《多项式与多项式相乘》教案、教学设计
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，引导学生总结多项式与多项式相乘的运算法则和注意要点。
提问：通过今天的学习，我们掌握了哪些关于多项式乘法的知识？有哪些需要注意的地方？
2.强调数学在现实生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
3.讲解多项式乘法中的符号处理方法：分析多项式乘法中的符号规律，提醒学生注意符号的处理，避免出现错误。
解释：在多项式乘法中，正负号的组合有一定的规律，我们需要注意符号的运算，确保最终结果的正确性。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组讨论一个具有实际背景的多项式乘法问题，如“计算一个长为（x+2）cm，宽为（x-1）cm的长方形的面积”。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的多项式与多项式相乘的知识，培养学生的运算能力和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.基础练习题：完成课本第56页的练习题第1、2、3题，要求学生独立完成，注意检查运算过程和结果。
提示：在做题过程中，注意分配律的运用，确保运算步骤正确。
2.提高题：计算以下长方形的面积，并将结果写成标准多项式的形式。
（2）开展课后小组讨论，让学生在讨论中互相学习，共同提高。
5.拓展环节：
（1）引导学生探索多项式与多项式相乘的其他运算方法，培养学生的创新思维。
（2）设计具有一定难度的数学问题，让学生在挑战中提高自己的数学素养。
6.情感态度与价值观的培养：
（1）鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作精神。
（2）关注学生在学习过程中的情感体验，引导学生正确看待挫折，培养克服困难的勇气和信心。
（2）在多项式乘法运算中，如何运用分配律简化计算过程？
《第2课时 多项式与多项式相乘》教案 (公开课)2022年湘教版数学
第2课时多项式与多项式相乘1．理解多项式乘以多项式的运算法那么，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；(重点)2．掌握多项式与多项式的乘法法那么的应用．(难点)一、情境导入某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．二、合作探究探究点一：多项式乘以多项式【类型一】直接利用多项式乘以多项式法那么进行计算计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解析：利用多项式乘以多项式法那么计算，即可得到结果．解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.方法总结：多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．【类型二】混合运算计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解析：根据整式混合运算的顺序和法那么分别进行计算，再把所得结果合并即可．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.方法总结：在计算时要注意混合运算的顺序和法那么以及运算结果的符号．探究点二：多项式乘以多项式的化简求值及应用【类型一】化简求值先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．解：(a －2b )(a 2＋2ab ＋4b 2)－a (a －5b )(a ＋3b )＝a 3－8b 3－(a 2－5ab )(a ＋3b )＝a 3－8b 3－a 3－3a 2b ＋5a 2b ＋15ab 2＝－8b 3＋2a 2b ＋15ab 2.当a ＝－1，b ＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.方法总结：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．【类型二】 多项式乘以多项式与方程的综合解方程：(x －3)(x －2)＝(x ＋9)(x ＋1)＋4.解析：方程两边利用多项式乘以多项式法那么计算，移项、合并同类项，将x 系数化为1，即可求出解．解：去括号，得x 2－5x ＋6＝x 2＋10x ＋9＋4，移项、合并同类项，得－15x ＝7，解得x ＝－715. 方法总结：解答此题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程解答．【类型三】 多项式乘以多项式的实际应用千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a ＋b )米，宽为(2a ＋b )米的长方形地块，物业部门方案将内坝进行绿化(如图阴影局部)，中间局部将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，那么绿化的面积是多少平方米？并求出当a ＝3，b ＝2时的绿化面积．解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景点的面积，根据面积的和差，可得答案． 解：由题意，得(3a ＋b )(2a ＋b )－(a ＋b )2＝6a 2＋5ab ＋b 2－a 2－2ab －b 2＝5a 2＋3ab ，当a ＝3，b ＝2时，5a 2＋3ab ＝5×32＋3×3×2＝63，故绿化的面积是63m 2.方法总结：用代数式表示图形的长和宽，再利用面积(或体积)公式求面积(或体积)是解决问题的关键．【类型四】 多项式乘以单项式后，不含某一项，求字母系数的值ax 2＋bx ＋1(a ≠0)与3x －2的积不含x 2项，也不含x 项，求系数a 、b 的值．解析：首先利用多项式乘法法那么计算出(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)，再根据积不含x 2的项，也不含x 的项，可得含x 2的项和含x 的项的系数等于零，即可求出a 与b 的值．解：(ax 2＋bx ＋1)(3x －2)＝3ax 3－2ax 2＋3bx 2－2bx ＋3x －2，∵积不含x 2的项，也不含x的项，∴－2a ＋3b ＝0，－2b ＋3＝0，解得b ＝32，a ＝94.∴系数a 、b 的值分别是94，32. 方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘法法那么计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．三、板书设计多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘的法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法那么，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法那么的内容，为以后的学习奠定根底4．5一次函数的应用第1课时利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】 利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】 建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
《多项式乘以多项式》教案1
a bc d课 题14.1.4多项式乘多项式教学目标 知识与技能1.探索多项式与多项式相乘的乘法法则。
2.能灵活地进行整式的乘法运算。
过程与方法1.经历探索多项式与多项式相乘的乘法法则的过程，体会“整体”和“转化”的数学思想；2.通过对乘法法则的探索，归纳与描述，发展有条理思考的能力和语言表能力； 情感、态度与价值观体验学习和把握数学问题的方法，树立学好数学的信心，培养学习数学的兴趣。
教学重点 多项式的乘法法则及其应用 教学难点 多项式的乘法法则教 学 过 程教学内容教师活动学生活动 我们在上一节课里学习了单项式与多项式的乘法，请口算下列练习中的(1)、(2)： (1)(-5a ²b ³)·(-4b ²c )=______． (2)-2y(x-x²y+1)=______． (3)(a+b)(p+q)=______． 共同研究多项式乘法的法则 看图回答： Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ(1)长方形的长是______(2)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个小长方形面积分别是_____从学生原有的认知结构提出问题 比较(3)与(1)、(2)在形式上有何不同？ 如何进行多项式乘以多项式的计算呢？这就是我们本节课所要研究的问题．(a+b )(p+q)＝ap+aq+bp+bq ．引导学生观察式特征，讨论并回答： (1)如何用文字语言叙述多项式的乘法法则？(2)多项式与多项式相乘的步骤应该是什么？前两个是单项式乘以多项式，第三个是多项式乘以多项式通过具体情景让学生探索和发现，在不断提出问题和解决问题的氛围中发展空间观念。
使学生了解多项式乘多项式的概念和由来，培养学生的观察力和归纳能力(3)由(1)，(2)可得出等式______．这样得出了和上面一致的结论，即(a+b)(p+q)＝ap+aq+bp+bq．三．上述运算过程可以表示为引导学生观察式特征，讨论并回答：(1)如何用文字语言叙述多项式的乘法法则？(2)多项式与多项式相乘的步骤应该是什么？一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项；再把所得的结果相加例题1：计算：(3x+1)(x－2)例1辨一辨（对错）(1)(x+1)(x+2)= x² +2x+x= x² +3X(2)(x+3)(x-3)=x²-3X +3X +9=x²+9(3)(2y-1)(y-5)=2y²-10y-y+5五、课堂练习1. 计算（1）(m+2n)(3n-m)(2)（a+3b）(a-3b)1．计算：（1）(x-y)(x²+xy+y²)（2）（x²+2x+3）（2x-5）2.小明计算时得出：（2a-1）²=（2a）²-1=4a²-1，他算的对吗A组题：1.课本103计算(1)(3x+1)(x+2)=( )；(2)(x-8y)（x-y）＝( )；(3)(x+y)（x²+xy+y²）＝( )；一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项；再把所得的结果相加结合例题讲解，提醒学生在解题时要注意：(1)解题书写和格式的规范性；(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；(3)注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏．展开积极的思考和激烈的讨论，通过开放题的研究，意识到自己在学习中的自主性学生积极思考口头回答问题通过练习进一步巩固今天所学的知识。
《多项式乘多项式》教案
《多项式乘多项式》教案 教学目标 知识与技能 1．经历探索多项式乘法的法则的过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法
的运算． 2．进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力．
过程与方法 在解决问题的过程中，注重与他人合作，培养学生的语言表达能力． 情感、态度与价值观 培养学生语言表达能力，以及与他人沟通、交往的能力． 重点难点
重点 掌握多项式的乘法法则并加以运用． 难点 探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项” 和“符号”的问题． 教学设计
一、创设情境，操作感知 【动手操作】 首先，在硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图所示的四部分，标上字母． 拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．
根据图中的数据，求一下这个矩形的面积． 计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）． 将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如下图．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．
求出第一块的面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．
继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，然后再求这四块长方形的面积．
求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，它们的和为S=mn+nb+am+ab． 依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？ （m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab． 多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加． 【探究时空】 一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？ 二、法则应用 下面我们利用法则来做计算． 例：计算（1）（3x+1）（x+2） （2）（x-8y）（x-y） （3）（x+y）（x2-xy+y2）
2024北师大版数学七年级下册1.4.3《整式的乘法 多项式乘以多项式》教案
2024北师大版数学七年级下册1.4.3《整式的乘法多项式乘以多项式》教案一. 教材分析《整式的乘法多项式乘以多项式》是北师大版数学七年级下册的一个重要内容。
本节课主要让学生掌握多项式乘以多项式的运算法则，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的形式，使学生逐步掌握多项式乘以多项式的计算方法，并在实际问题中加以应用。
二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了整式的加减法、乘法运算，对整式有一定的了解。
但多项式乘以多项式的运算较为复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和运算能力。
在导入环节，教师可以通过回顾上节课的内容，激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
三. 教学目标1.理解多项式乘以多项式的运算法则。
2.能够运用多项式乘以多项式的计算方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.教学重点：多项式乘以多项式的运算法则。
2.教学难点：如何将多项式乘以多项式的运算应用于实际问题。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，通过引导学生发现问题、分析问题、解决问题，从而激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教材、PPT、黑板。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）回顾上节课的内容，提问学生整式的加减法、乘法运算规则。
通过复习，让学生回忆起已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示多项式乘以多项式的运算法则，让学生观察、分析、总结规律。
教师引导学生发现多项式乘以多项式的运算方法，并给出具体例题进行讲解。
3.操练（10分钟）学生根据教师给出的例题，尝试进行多项式乘以多项式的计算。
教师挑选几位学生的作业进行讲解，并指出其中的错误。
4.巩固（10分钟）教师布置一些练习题，让学生独立完成。
在学生解答过程中，教师巡回指导，帮助学生解决遇到的问题。
5.拓展（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用多项式乘以多项式的运算方法进行解决。
1.4整式的乘法-多项式乘以多项式(教案)
（2）将多项式乘以多项式应用于解决实际问题，如计算长方形面积等。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过多项式乘以多项式的运算，使学生理解并掌握整式乘法的基本原理，提高他们的逻辑推理能力和数学思维水平。
2.培养学生的数学运算能力：使学生能够熟练运用多项式乘以多项式的运算法则，解决实际问题，增强数学运算的准确性和速度。
学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，鼓励学生们提出自己的观点和想法。这一环节让我发现，学生们其实有着很强的创新意识和解决问题的能力。但在讨论过程中，我也注意到，有些同学在表达自己的观点时不够自信，这可能与他们在课堂上的参与度有关。因此，我需要不断改进教学方法，提高学生在课堂上的积极性。
1.加强对学生的个别辅导，关注他们在学习中的薄弱环节，提高他们的运算能力。
（3）实际问题的转换：学生需要学会如何将实际问题抽象为数学表达式，以便应用多项式乘以多项式的运算法则。
举例：在求解长方形面积时，若长方形的长为（x+y）米，宽为（x-y）米，学生需要将长方形面积表示为（x+y）（x-y），然后进行计算。
（4）混合运算的顺序：在遇到包含多项式乘法和其他运算（如加法、减法）的复合题目时，学生需要明确运算顺序，先进行乘法运算，再进行其他运算。
3.培养学生的空间想象力和实际问题解决能力：通过将多项式乘法应用于解决几何问题，如长方形面积计算等，激发学生的空间想象力，提高他们解决实际问题的能力。
4.培养学生的团队协作能力：在小组讨论和互动中，培养学生互相交流、合作解决问题的能力，增强团队协作意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）多项式乘以多项式的运算法则：熟练掌握将一个多项式与另一个多项式中的每一项分别相乘，然后将结果相加的方法。
《多项式与多项式相乘》教案、导学案、同步练习
《第2课时多项式与多项式相乘》教学设计（一）教学目标知识与技能目标：理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算.过程与方法目标：经历探索多项式乘法的法则的过程.情感态度与价值观：通过探索多项式乘法法则，让学生感受数学与生活的联系，同时感受整体思想、转化思想，并培养学生的抽象思维能力.教学重点：多项式与多项式相乘法则及应用.教学难点：多项式乘法法则的推导.多项式乘法法则的灵活运用.（二）教学程序教学过程一、问题情境导入新课为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长为m米,宽为a米的长方形绿地,增长了n米,加宽了b米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?二、新知讲解扩大后绿地的面积可以表示为(m+n)(a+b)或(ma+mb+na+nb),它们表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+n b多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.也可以这样考虑: 当X=m+n时, (a+b)X=?由单项式乘以多项式知 (a+b)X=aX+bX于是，当X=m+n时，(a+b)X=(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)即 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn=am+an+bm+bn例题讲解：例题1：计算：(1)(x+2y)(5a+3b)； (2)(2x-3)(x+4)；(3)(x+y)2； (4)(x+y)(x2-xy+y2)解：(1)(x+2y)(5a+3b)＝x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b＝5ax+3bx+10ay+6by；(2)(2x-3)(x+4)=2x2+8x-3x-12=2x2+5x-12(3)(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2；(4)(x+y)(x2-xy+y2)=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3例题2:计算以下各题：（1）(a+3)·(b+5)；（2）(3x-y) (2x+3y)； （3）(a-b)(a+b)； （4）(a-b)(a 2+ab+b 2) 解：(1) (a+3)·(b+5) =ab+5a+3b+15； (2) (3x-y) (2x+3y)=6x 2+9xy -2xy-3y 2(多项式与多项式相乘的法则) =6x 2+7xy-3y 2(合并同类项) (3)(a-b)(a+b) =a 2+ab-ab-b 2 = a 2-b 2(4)(a-b)(a 2+ab+b 2) =a 3+a 2b+ab 2-a 2b-ab 2-b 3 = a 3 -b 3 例题3:先化简，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a （a-4）其中a ＝2/17 解：（2a-3）（3a+1）-6a （a-4） ＝6a 2+2a-9a-3-6a 2+24a ＝17a-3当a ＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-1 例题4:观察下列解法，判断是否正确，若错请说出理由。
1.4.3多项式与多项式相乘(教案)
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极，能够主动参与讨论并展示自己的成果。这让我感到欣慰，也证明了这个环节的设计是成功的。但同时我也注意到，部分学生在讨论过程中过于依赖同伴，自己的思考不够深入。因此，我需要在今后的教学中，引导学生独立思考，培养他们的问题解决能力。
此外，关于教学难点和重点的把握，我觉得自己在课堂上对这两个方面的强调还不够。在今后的教学中，我需要更加明确地指出教学难点和重点，并通过不同形式的练习和讲解，帮助学生突破难点，掌握核心知识。
最后，从整体来看，今天的教学过程还算顺利，但仍有改进的空间。在今后的教学中，我会继续关注学生的反馈，不断调整教学策略，努力提高课堂教学效果。同时，我也会注重培养学生的数学思维和问题解决能力，使他们能够在面对复杂问题时，运用所学知识迅速找到解决方案。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解多项式相乘的基本概念。多项式相乘是将一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，然后将结果相加。它在解决复杂问题时非常重要，能够帮助我们简化问题并快速得出答案。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示多项式相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了多项式相乘的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对多项式相乘的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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教案
【教学目标】：
知识与技能：理解并掌握多项式乘以多项式的法则.
过程与方法：经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图，理解多项与多项
式的结果，能够按多项式乘法步骤进行简单的多项式乘法的运算，达到熟练进行
多项式的乘法运算的目的.
情感与态度：培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态
度.
【教学重点】：多项式乘以多项式法则的形成过程以及理解和应用
【教学难点】：多项式乘以多项式法则正确使用
【教学关键】：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步
再转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索.
【教具】：多媒体课件
【教学过程】：
一、情境导入
（一）回顾旧知识。
1.教师引导学生复习单项式乘以多项式运算法则.并通过练习加以巩固：（1）(-
2a)(2a 2 - 3a + 1) （2） ab ( ab2 - 2ab)
（二）问题探索
式子p(a＋b)=pa＋pb中的p，可以是单项式，也可以是多项式。如果p=m＋n，
那么p(a＋b)就成了(m＋n)(a＋b)，这就是今天我们所要讲的多项式与多项式相
乘的问题。(由此引出课题。)
二、探索法则与应用。
问题：某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了n
米，加宽了b米。请你表示这块林区现在的面积。
问题：(1)如何表示扩大后的林区的面积?
(2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢?
(学生分组讨论，相互交流得出答案。)
学生得到了两种不同的表示方法,一个是(m＋n)(a＋n)平方米；另一个是
(ma＋mb＋na＋nb)米平方，以上的两个结果都是正确的。问：你从计算中发现了
什么？
由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一个量，
故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb
问：你会计算这个式子吗?你是怎样计算的?
学生讨论得：由繁化简，把m＋n看作一个整体，使之转化为单项式乘以
多项式，即：[(m＋n)(a＋b)=(m＋n)a＋(m＋n)b=ma＋mb＋na＋nb。]
设计意图：这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，体会分配律可以将
多项式与多项式相乘转化为单项多与多项式相乘。渗透整体思想和转化思想。
引导：观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由原来
的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的？(教师示
范。)
你能用语言叙述这个式子吗?
多项式乘以多项式的法则：
多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加。
即：(m＋n)(a＋b)=ma＋mb＋na＋nb。
设计意图：引导学生发现多项式乘多项式的法则，培养学生分析问题、归纳问题
的能力。通过对同一面积的不同表示方式，使学生对多项式乘多项式的有一个直
观的认识，给出了多项式相乘的一个几何解释。
三、例题讲解巩固练习
例1:计算:
（1）（x+2）(x+3) (1)(2x-5y)(3x-y)
设计意图：例1有两个特点：1、两因式项数相同；2、每个因式的项的最高次数
都是1，应用多项式的乘法法则时应注意x·x=x1+1=x2,还应注意符号。
归纳：（1）不要漏乘
（2）注意符号
（3） 结果能合并，要合并
教师活动：讲解范例，提出问题
学生活动：参与例题的解答、探索、理解.
课堂练习：
(1) (2a–3b)(a+5b) ;(2) (x+1)(x2+x+1)
（3）(a+b)2 (4)(-2x+5y)(-3x-y)
设计意图：设计各种不同类型的题目，让学生熟悉各种题型
例2：求值：(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2) 其中x=-1
设计意图：本题是学生易错题，出本题起到敲警钟的作用.学生往往在算出后面
两项后忘了加括号.解完题后引导学生归纳易错点.通过例题讲解，使学生明确每
一步运算的道理，发展他们有条理的思考能力和表达能力，通过讲练结合，及时
巩固法则。）
课堂练习：1.先化简，再求值：3a (a-1) - 2 (a-2)(a+3)
例3：（2) 解方程（x-3)(x-2）+18=（x+9)(x+1)
四、课堂总结
1.通过这节课的学习你有哪些收获？
2.你认为在多项式与多项式相乘的运算中，还有什么需要注意的问题要提醒大
家？
注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏；能合并同类项的要合并同类项.
3.数学思想:转化思想
五、作业布置