2010年福建高考理科数学试题Word版
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解福建文
2010年福建文一、选择题（共12小题；共60分）1. 若集合A=x∣ 1≤x≤3，B=x∣x>2，则A∩B等于 A. x∣ 2<x≤3B. x∣x≥1C. x∣ 2≤x<3D. x∣x>22. 计算1−2sin222.5∘的结果等于 A. 12B. 22C. 33D. 323. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于 A. 3B. 2C. 23D. 64. i是虚数单位，1+i1−i 4等于 A. iB. −iC. 1D. −15. 若x,y∈R，且x≥1,x−2y+3≥0,y≥x,则z=x+2y的最小值等于 A. 2B. 3C. 5D. 96. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于 A. 2B. 3C. 4D. 57. 函数f x=x2+2x−3,x≤0,−2+ln x,x>0,的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 38. 若向量a=x,3x∈R，则 " x=4 " 是 " ∣a∣=5 " 的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是A. 91.5和91.5B. 91.5和92C. 91和91.5D. 92和9210. 将函数f x=sinωx+φ的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于 A. 4B. 6C. 8D. 1211. 若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP⋅FP的最大值为 A. 2B. 3C. 6D. 812. 设非空集合S=x∣m≤x≤l满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S=1；②若m=−12，则14≤l≤1；③若l=12，则−22≤m≤0．其中正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（共4小题；共20分）13. 若双曲线x24−y2b2=1b>0的渐近线方程为y=±12x，则b等于．14. 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分步直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．15. 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图所示（阴影区域及其边界），其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）．16. 观察下列等式：①cos2α=2cos2α−1；②cos4α=8cos4α−8cos2α+1；③cos6α=32cos6α−48cos4α+18cos2α−1；④cos8α=128cos8α−256cos6α+160cos4α−32cos2α+1；⑤cos10α=m cos10α−1280cos8α+1120cos6α+n cos4α+p cos2α−1．可以推测，m−n+p=．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知函数f x=13x3−x2+ax+b的图象在点P 0,f0处的切线方程为y=3x−2．（1）求实数a，b的值；（2）设g x=f x+mx−1是2,+∞上的增函数．（i）求实数m的最大值；（ii）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g x围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．18. 数列a--n中，a--1=13，前n项和S n满足S n+1−S n=13n+1（n∈N∗）．（1）求数列a--n的通项公式a-n以及前n项和S n；（2）若S1，t S1+S2，3S2+S3成等差数列，求实数t的值．19. 设平面向量a m=m,1，b n=2,n，其中m,n∈1,2,3,4．（1）请列出有序数组m,n的所有可能结果；（2）记“使得a m⊥ a m−b n成立的m,n”为事件A，求事件A发生的概率．20. 已知抛物线C:y2=2px p>0过点A1,−2．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA 与l的距离等于55?若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH∥A1D1．过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G．（1）证明：AD∥平面EFGH；（2）设AB=2AA1=2a．在长方体ABCD−A1B1C1D1内随机选取一点．记该点取自几何体A1ABFE−D1DCGH内的概率为p，当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值．22. 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30∘且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?（2）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（3）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. A2. B3. D 【解析】由主视图可以看出，正三棱柱底面边长为2，高为1，所以S侧=3×2×1=6．4. C5. B【解析】由z=x+2y，得y=−12x+12z，当直线经过直线x=1和y=x的交点A1,1时，截距z2取得最小值，故z min=1+2=3．6. C 【解析】当i=1时，a=1×2=2，s=0+2=2；当i=2时，a=2×22=8，s=2+8=10；当i=3时，a=3×23=24，s=10+24=34，i=3+1=4，结束循环，故输出的i=4．7. C 【解析】当x≤0时，令x2+2x−3=0，解得x=−3；当x>0时，令−2+ln x=0，解得x=e2．故函数f x有两个零点．8. A 【解析】若a=4,3，则∣a∣=5；而∣a∣=5时， x2+9=5，解得x=±4．9. A 【解析】由茎叶图可知8个数据分别为87，89，90，91，92，93，94，96．所以中位数为1 291+92=91.5；平均数为1887+89+90+91+92+93+94+96=91.5．10. B【解析】f x=sinωx+φ，平移后得到g x=sin ω x+π2+φ =sin ωx+φ+π2ω 与f x重合，故π2ω=2kπ,k∈Z，解得ω=4k,k∈Z．11. C 【解析】设P x,y，则y2=3−34x2，且OP=x,y，FP=x+1,y，则OP⋅FP=x x+1+y2=14x2+x+3=14x+22+2，由椭圆的几何性质，得−2≤x≤2，故当x=2时有最大值为6．12. D 【解析】由题意知，对于①，若m=1，则S=x∣1≤x≤l．当x∈x∣1≤x≤l时，x2∈x∣1≤x≤l，则l≥l2且l≥1，解得l=1，故①正确；对于②，若m=−12，则S= x∣∣−12≤x≤l．当x∈ x∣∣−12≤x≤l时，分类讨论：−12≤l<14时，当x=−12，x2=14∉S；l≥14时，0≤x2≤l2≤l，解得14≤l≤1．故②正确；对于③，若l=12，则S= x∣∣m≤x≤12．当x∈ x∣∣m≤x≤12时，分类讨论：m>0时，m2≤x2≤14，要使x2∈S，则m2≥m，解得m≥1 或m≤0（舍去）．m<−22时，m2>12．m2∉S；−22≤m≤0时，0≤x2≤12，则x2∈S．故③正确．第二部分13. 114. 60【解析】因为27n =2+3+42+3+4+6+4+1=920，所以n=60．15. ②③16. 962【解析】经观察，cosα的最高次的系数分别为21，23，25，27，故m=29=512；cos2α项的系数分别为1×2，−2×4，3×6，−4×8，故p=5×10=50；又每个展开式中的系数和为1（令α=0即得）；故512−1280+1120+n+50−1=1，n=−400．第三部分17. （1）由fʹx=x2−2x+a及题设得fʹ0=3,f0=−2,解得a=3，b=−2．（2）（i）由g x=13x3−x2+3x−2+mx−1，得gʹx=x2−2x+3−m.因为g x是2,+∞上的增函数，所以gʹx≥0在2,+∞上恒成立，即x2−2x+3−mx−1≥0在2,+∞上恒成立．设x−12=t．因为x∈2,+∞，所以t∈1,+∞，即不等式t+2−mt≥0在1,+∞上恒成立．所以m≤t2+2t在1,+∞上恒成立．令y=t2+2t，t∈1,+∞，可得y min=3，故m≤3，即m的最大值为3．（ii）由（i）得g x=1x3−x2+3x−2+3,将函数g x的图象向左平移1个长度单位，再向下平移13个长度单位，所得图象相应的函数解析式为φx=13x3+2x+3x,x∈−∞,0∪0,+∞.由于φ−x=−φx，所以φx为奇函数，故φx的图象关于坐标原点成中心对称．由此可得，函数g x的图象关于点Q1,13成中心对称．这也表明，存在点Q1,13，使得过点Q的直线若能与函数g x的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．18. （1）由S n+1−S n=1n+1,得a n+1=13n+1n∈N∗,又a1=13，故a n=1nn∈N∗.从而S n=13×1−13n1−13=121−13nn∈N∗.（2）由（1）可得S1=13,S2=49,S3=1327,从而由S1，t S1+S2，3S2+S3成等差数列可得1+3×4+13=2×1+4t,解得t=2．19. （1）有序数组m,n的所有可能结果为1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4,共16个．（2）由a m⋅ a m−b n=0,得m2−2m+1−n=0,整理得n=m−12.由于m,n∈1,2,3,4，则事件A包含的基本条件为2,1和3,4，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P A=2=1.20. （1）将1,−2代入y2=2px，得p=2．故所求的抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=−1．（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=−2x+t，由y=−2x+t,y2=4x,得y2+2y−2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8t≥0，解得t≥−12．另一方面，由直线OA与l的距离d=55，可得5=5，解得t=±1．因为−1∉ −12,+∞ ，1∈ −12,+∞ ，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y−1=0．21. （1）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD∥A1D1．又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH．∵AD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴AD∥平面EFGH．（2）设BC=b，则长方体ABCD−A1B1C1D1的体积V=AB⋅AD⋅AA1=2a2b,几何体EB1F−HC1G的体积V1=12EB1⋅B1F ⋅B1C1=b2⋅EB-1⋅B1F.因为EB12+B1F2=a2,所以EB1⋅B1F≤EB12+B1F22=a22,当且仅当EB-1=B1F=22a时等号成立．从而V1≤a2b 4.故p=1−V1V≥1−a2b42a2b=78.22. （1）方法一：设相遇时小艇的航行距离为S海里，则由余弦定理得，S=200=900t−600t+400=900 t−132+300,故t=13时，S min=103，v=1031=303，即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．方法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，OC=20cos30∘=103，AC=20sin30∘=10．又AC=30t，OC=vt，此时，轮船航行时间t=1030=13，v=1031=303．即小艇以30海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小．（2）设小艇与轮船在B处相遇，由题意可知vt2=202+30t2−2⋅20⋅30t⋅cos90∘−30∘,化简得v2=400t2−600t+900=4001t−342+675.由于0<t≤12，即1t≥2，所以当1t=2时，v取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．（3）由（2）知v2=400t2−600t+900,设1t=u u>0，于是400u2−600u+900−v2=0. ⋯⋯①小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程①应有两个不等正根，即6002−1600900−v2>0,900−v2>0.解得153<v<30.所以v的取值范围是153,30．。
数学_2010年福建省福州市某校高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案)
2010年福建省福州市某校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1. 设a ∈R ，若(a −i)2i （i 为虚数单位）为正实数，则a =( ) A 2 B 1 C 0 D −12. 已知集合M ={x|x 2+3x −4<4}，N ={x|22x−1>1}则M ∩N =( ) A (−4, 1) B (−4,12) C (12，1) D (1, +∞)3. 表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y =0.7x +0.35，那么表中t 的值为（ ）4. “m =12”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m −2)x +(m +2)y −3=0相互垂直”的( )A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件5. 如图是高尔顿板的改造装置，当小球从B 自由下落时，进入槽口A 处的概率为（ ）A 316 B 516 C 332 D 5326. 计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100．下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（ ）A i >4B i ≤4C i >5D i ≤57. 直线Ax +By +C =0与圆x 2+y 2=4相交于两点M 、N ，若满足C 2=A 2+B 2，则OM →⋅ON →（O 为坐标原点）等于（ ）A 1B 0C −1D −28. 如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足l =β∩γ，l // α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ） A α⊥γ且l ⊥m B α//γ且m // β C m // β且l ⊥m D α // β且α⊥γ9. 若函数f(x)=2x 2−lnx 在其定义域内的一个子区间(k −1, k +1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A [1, +∞)B [1, 32) C [1, 2) D [32, 2)10. 已知y =f(x)是偶函数，而y =f(x +1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f′(x)≥0，成立，则a =f(2010)，b =f(54)，c =−f(12)的大小关系是（ ）A a ≤b ≤cB c ≤b ≤aC b ≤c ≤aD a ≤c ≤b二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. (1+2x 2)(1x 2−1)3的展开式中常数项为________．（用数字作答） 12. ∫(202x −e x )dx =________．13. 等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 3+a 7−a 10=8，a 11−a 4=4，则S 13等于________． 14. 若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm ），则它的侧视图的面积为________cm 2．15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2， (9)入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…，n 2填入n ×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方，记n 阶幻方的对角线上数的和为N ，如图的幻方记为N 3=15，那么N 12的值为________．三、解答题（本大题有6小题，共74分）16. 已知m →=(sinωx +cosωx,√3cosωx)，n →=(cosωx −sinωx,2sinωx)，其中ω>0，若函数f(x)=m →⋅n →，且函数f(x)的图象与直线y =2相邻两公共点间的距离为π． （1）求ω的值；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 、的对边，且a =√3，b +c =3，f(A)=1，求△ABC 的面积．17. 为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行一定数量的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）．现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中27名境外游客，其余是境内游客．在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡．．（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率；（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．18. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD =CD =DE =2，AB =1，F 为CE 的中点． （1）求证：AF ⊥CD ；（2）求直线AC 与平面CBE 所成角大小的正弦值．19. 已知抛物线y 2=4ax(a >0)的焦点为F ，以点A(a +4, 0)为圆心，|AF|为半径的圆在x 轴的上方与抛物线交于M 、N 两点．（I ）求证：点A 在以M 、N 为焦点，且过点F 的椭圆上；（II ）设点P 为MN 的中点，是否存在这样的a ，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由． 20. 设函数f(x)=a 2x 2(a >0)，g(x)=blnx ．（1）若函数y =f(x)图象上的点到直线x −y −3=0距离的最小值为√2，求a 的值； （2）关于x 的不等式(x −1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； （3）对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x ，若存在常数k ，m ，使得f(x)≥kx +m 和g(x)≤kx +m 都成立，则称直线y =kx +m 为函数f(x)与g(x)的“分界线”．设a =√22，b =e ，试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 21. 如果曲线x 2+4xy +3y 2=1在矩阵[1a b 1]的作用下变换得到曲线x 2−y 2=1，求a +b 的值．（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l 的参数方程是{x =−35t +2，y =45t ，（t 为参数）．(1)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值．（本小题满分0分）选修4-5：不等式选讲23. （选修4−5：不等式选讲）求函数y=√1−x+√4+2x最大值．2010年福建省福州市某校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）答案1. B2. C3. A4. B5. A6. B7. D8. A9. B10. C11. 512. 5−e213. 15614. 3415. 87016. 解：（1）f(x)=m→⋅n→=(sinωx+cosωx,√3cosωx)(cosωx−sinωx, 2sinωx)=cos2ωx−sin2ωx+2√3sinωxcosωx=cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(2ωx+π6 )∵ ω>0∴ 函数f(x)的周期T=2π2ω=πω∵ 函数f(x)的图象与直线y=2相邻两公共点间的距离为π．∴ πω=π∴ ω=1（2）由（1）可知ω=1，f(x)=2sin(2x+π6)∵ f(A)=1∴ 2sin(2A+π6)=1∴ sin(2A+π6)=12∵ 0<A <π∴ π6<2A +π6<13π6∴ 2A +π6=5π6⇒A =π3由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc∴ b 2+c 2−bc =3又b +c =3联立解得{b =2c =1或{b =1c =2∴ S △ABC =12bcsinA =√3217. 解：（1）由题意得，境外游客中有9人持金卡；境内游客共有9人，其中6人持银卡；旅游团中共有21人不持卡．…设“所采访的3人中，恰有1人持金卡，至多1人持银卡”为事件A ， “所采访的3人中，恰有1人持金卡，0人持银卡”为事件B 1， “所采访的3人中，恰有1人持金卡，1人持银卡”为事件B 2． 则P(A)=P(B 1)+P(B 2)=C 91C 212C 363+C 91C 61C 211C 363=3685，…∴ 在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率是3685．… （2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3 P(ξ=0)=C 33C 93=184，P(ξ=1)=C 61C 32C 93=314．P(ξ=2)=C 62C 31C 93=1528，P(ξ=3)=C 63C 93=521，（每个1分） … ∴ ξ的分布列为：∴ Eξ=0×184+1×314+2×1528+3×521=2．…18. （1）证明：取CD 的中点G ，连接AG 、GF ，则GF // DE ，∵ AC =AD ，∴ AG ⊥GD ，∵ DE ⊥平面ACD ，∴ DE ⊥CD ， ∴ GF ⊥CD ，∴ CD ⊥平面AGF ．∵ AF ⊂平面AGF ，∴ AF ⊥CD ；（2）解：法一、如图建立空间直角坐标系G −xyz ， 则B(0, 1, √3)，C(−1, 0, 0)，E(1, 2, 0)，CB →=(1,1,√3)，CE →=(2,2,0)CA →=(1,0,√3)， 设平面CBE 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅CE →=2x +2y =0˙，取x =1，则n →=(1,−1,0)，∴ cos <CA →，n →>=|CA →|⋅|n →|˙=√24． ∴ 直线AC 与平面CBE 所成角的大小的正弦值为√24．解法二、∵ AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴ AB // DE ．延长DA 、EB 交于点P ，连结PC ，∵ AB =1，DE =2，∴ A 为PD 的中点， 又G 为CD 的中点，∴ PC // AG ．∴ PC ⊥CD ，PC ⊥DE ，∴ PC ⊥平面CDE ．∵ 点A 到平面PCE 的距离即为点D 到平面PCE 的距离的一半，即ℎ=√22． 设直线AC 与平面CBE 所成角为θ， 则sinθ=ℎAC =√24． 19. 解：(I)因为该抛物线的焦点F 的坐标为(a, 0)，故|FA|=4所以，该圆的方程为(x −a −4)2+y 2=16，它与y 2=4ax 在x 轴的上方交于M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)(y 1>0, y 2>0, x 1>0, x 2>0) 把y 2=4ax 代入到(x −a −4)2+y 2=16中并化简得： x 2+(2a −8)x +a 2+8a =0，由题意：{△=(2a −8)2−4(a 2+8a)>0，①x 1+x 2=8−2a >0，②x 1x 2=a 2+8a >0，③由①②③得0<a <1又由抛物线定义可得：|FM|=x 1+a ，|FN|=x 2+a 所以|FM|+|FN|=x 1+x 2+2a =8 而|MN|<|FM|+|FN|=8又点F ，M ，N 均在圆上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4 所以，|AM|+||AN =8，因为，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|<8 所以，点A 在以M 、N 为焦点，且过点F 的椭圆上，… （II ）若存在满足条件的实数a ，则有2|FP|=|FM|+|FN|=8⇒|FP|=4 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则有x 0=x 1+x 22=4−a，，y 0=y 1+y 22=√a(√x 1+√x 2)由|PF|=4得(4−a −a)2+a(√x 1+√x 2)2=16⇒4a 2−16a +a(x 1+x 2+2√x 2x 2)=0由（2）（3）得8a −2a 2=2a√a 2+8a ⇒a =0或a =1 这与0<a <1矛盾故不存在这样的a ，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项 … 20. 解：（1）因为f(x)=a 2x 2，所以f′(x)=2a 2x ，令f′(x)=2a 2x =1 得：x =12a 2，此时y =14a 2，则点(12a 2，14a 2)到直线x −y −3=0的距离为√2， 即√2=|12a 2−14a 2−3|√2，解之得a =12或√510；（2）不等式(x −1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个，等价于(1−a 2)x 2−2x +1>0恰有三个整数解，故1−a 2<0，令ℎ(x)=(1−a 2)x 2−2x +1，由ℎ(0)=1>0且ℎ(1)=−a 2<0(a >0)， 所以函数ℎ(x)=(1−a 2)x 2−2x +1的一个零点在区间(0, 1)，则另一个零点一定在区间(−3, −2)，这是因为此时不等式解集中有−2，−1，0恰好三个整数解故{ℎ(−2)>0ℎ(−3)≤0解之得43≤a <32． （3）设F(x)=f(x)−g(x)=12x 2−elnx ， 则F ′(x)=x −ex =x 2−e x=(x−√e)(x+√e)x．所以当0<x <√e 时，F′(x)<0；当x >√e 时，F′(x)>0． 因此x =√e 时，F(x)取得最小值0，则f(x)与g(x)的图象在x =√e 处有公共点(√e ，e2)． 设f(x)与g(x)存在“分界线”，方程为y −e2=k(x −√e)，即y =kx +e2−k √e ，由f(x)≥kx +e 2−k √e 在x ∈R 恒成立，则x 2−2kx −e +2k √e ≥0在x ∈R 恒成立．所以△=4k 2−4(2k √e −e)=4k 2−8k √e +4e =4(k −√e)2≤0成立， 因此k =√e ．下面证明g(x)≤√ex −e2(x >0)恒成立． 设G(x)=elnx −x √e +e2，则G′(x)=ex −√e =√e(√e−x)x．所以当0<x <√e 时，G′(x)>0；当x >√e 时，G′(x)<0． 因此x =√e 时G(x)取得最大值0，则g(x)≤√ex −e2(x >0)成立．故所求“分界线”方程为：y =√ex −e2． 21. 解：∵ x 2+4xy +3y 2=1 ∴ (x +2y)2−y 2=1在矩阵[1ab1]的作用下变换得到曲线x 2−y 2=1， 则(x +2y, y)在矩阵[1ab 1]的作用变为(x, y)即[1a b 1][x +2yy ]=[x +(2+a)y bx +(1+2b)y ]=[x y ]∴ 2+a =0，b =0解得a =−2，b =0∴ a +b =−222. 解：(1)曲C 的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ， 又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ．所以，曲C 的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0．(2)将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：y =−43(x −2)．令y =0得x =2即M 点的坐标为(2, 0) 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0, 1)半径r =1，则|MC|=√5，∴ |MN|≤|MC|+r =√5+1． 所以|MN|max =√5+1.23. 解：因为y 2=(√1−x +√2⋅√2+x)2≤[12+(√2)2][1−x +2+x]=3×3 … ∴ y ≤3 …， 当且仅当√1−x=√2√2+x时取“=”号，即当x =0 时，y max =3 …。
2010年高考理科数学试题及答案-全国卷1
2010年高考理科数学试题及答案-全国卷1注意事项：1. 在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔填写姓名、准考证号，并贴好条形码。
请核对条形码上的准考证号、姓名和科目。
选择题：1. 求复数3+2i与2-3i的商。
(A) i (B) -i (C) 12-13i (D) 12+13i2. 已知cos(-80°)=k，求tan100°。
(A) -k/(1-k^2) (B) k/(1-k^2) (C) k (D) -k3. 若变量x,y满足约束条件x+y≥0，x-y-2≤0，y≤1，则z=x-2y的最大值为(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 14. 已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=？(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 425. 将(1+2x)^3(1-3x)^5展开式中x的系数求出。
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 46. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B) 35种 (C) 42种 (D) 48种第Ⅱ卷1. 已知函数f(x)=sin2x+cos2x，求f(x+π/4)的值。
2. 已知函数f(x)=x^2-2x-3，g(x)=2x+1，则f(g(x))=？3. 已知函数f(x)=e^x，g(x)=lnx，则f(g(x))=？4. 求曲线y=x^3-3x^2+2的单调递减区间和单调递增区间。
5. 已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x+1)，求g(x)的零点。
6. 已知函数f(x)=e^x，g(x)=x^2+1，则f(g(x))的最小值为多少？7. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c，经过点(1,3)，且在x=2处的导数为4，则a+b+c=？8. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，其中a,b,c均为常数，且f(-1)=2，f(0)=1，f(1)=4，则f(-2)=？9. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，其中a,b,c均为常数，且f(1)=0，f'(1)=-2，f''(1)=2，则f(-1)=？10. 已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x+1)，求g(x)的反函数。
福建省各地市2010年高考数学最新联考试题分类大汇编二项式定理
A． n 2
二、填空题：
n
B． n
( n 1)n3
C．
2
D． ( n 1)nn 1 2
1．（福建省泉州市 2010 年 3 月高三质量检查理科试题） 已知圆 x2 y 2 6 y An2 y 0 的半径是 3 2 ，
则n
。3
2 ．（福建省龙岩市 2010 年高中毕业班第一次质量检查理）
为
。 15
x2 (1 － x) 6 展开式中含 x 4 项的系数
福建省各地市 2010年高考数学最新联考试题分类大汇编第 12 部分 : 二项式定理
一、选择题： 1 ． （ 福 建 宁 德 四 县 市 一 中 2010 年 4 月 高 三 第 一 次 联 考 理 ） 若 多 项 式
x 3 x 10 a0 a1 ( x 1)
a 9 ( x 1) 9 a10 ( x 1)10 ，则 a9 （
2 4cos xdx,则二项式 ( x 1)n 的展开
0
x
式的常数项是（
）
A． 12
B． 6
C． 4
D． 2
3 ．（ 福 建 省 泉 州 市 2010 年 3 月 高 三 质 量 检 查 理 科 试 题 ） 已 知 n N * ， 若 对 任 意 实 数 x, 都 有
xn a0 a 1( x n ) a 2 (x n )2 ... an x( n n )则 an 1的值为
）
A． 9 【答案】Ｄ
B． 10
C． -9
D
． -10
【解析】 x3 x10 x 3 [( x 1) 1] 10 ，
题中 a9 (x 1) 9只是 ( x 1) 1 10 展开式中 ( x 1) 9的系数，
2010年福建高考数学试题(文史类)参考答案概要
2010年福建高考数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算． 每小题4分，满分16分． 13．1 14．60 15．②③ 16．962三、解答题：本大题共6小题；共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．满分12分．解：(Ⅰ)由S n+1 －S n =（13）n + 1得111()3n n a ++= (n ∈N *)； 又113a =，故1()3n n a =(n ∈N *) 从而11[1()]1133[1()]12313n n n s ⨯-==--(n ∈N *)． (Ⅱ)由(Ⅰ)可得113S =，249S =，31327S =． 从而由S 1，t （S 1+ S 2），3（S 2+ S 3）成等差数列可得：1413143()2()392739t +⨯+=⨯+，解得t=2． 18．本小题主要考查概率、平面向量等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、必然与或然思想．满分12分．解：(Ⅰ)有序数组（m,n ）的吧所有可能结果为：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．(Ⅱ)由()m m n a a b ⊥-得221m m n o -+-=，即2(1)n m =-．由于,m n ∈｛1,2,3,4｝，故事件A 包含的基本条件为（2,1）和（3,4），共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率21()168P A ==． 19．本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。
2010年福建省高考模拟理科数学试卷
2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分，考试时间120分钟．命题人：厦门外国语学校 吴育文注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚． 4．做选考题时、考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为样本平均数; 柱体体积公式 Sh V =其中S 为底面面积,h 为高锥体体积公式Sh V 31=其中S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式24R S π= ，334R V π=其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.每小题都有四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设a ∈R ，若2i i a -()（i 为虚数单位）为正实数，则a =A ．2B ．1C ．0D ．1-2．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面区域的面积为A ．20(sin cos )x x dx π-⎰B ．402(sin cos )x x dx π-⎰C ．20(cos sin )x x dx π-⎰D ．402(cos sin )x x dx π-⎰4．下列向量中与向量)3,2(-=a 平行的是 A ．（-4，6） B ．（4，6） C ．（-3，2） D ．（3，2） 5．函数)1lg()(2x x x f +=是A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 6．设函数)(x f y =在区间),0(+∞内是减函数，则)6(sin πf a =，)4(sinπf b =，)3(sinπf c =的大小关系是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 7．设n S 为等差数列｛n a ｝的前n 项和，且1073=+a a ，则=9SA ．45B ．50C ．55D ．90 8．统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是A ．20%B ．25%C ．6%D ．80% 9．将函数x y sin =的图像按向量)1,1(=a 平移得到的图像对应的一个函数解析式是A ．)1sin(1++-=x yB ．)1sin(1++=x yC ．)1sin(1-+-=x yD ．)1sin(1-+=x y10．设1a ，2a ，…，n a 是1，2，…，n 的一个排列，把排在i a 的左边．．且比i a 小．的数的个数称为i a 的顺序数（12i n =，，，）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，_频率 分数0.0050.010 0.020 0.015 0.025 0.030 0.035 40 50 60 70 80 90 100组距7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为 A ．48 B ．96 C ．144 D ．192第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11．命题“x R ∀∈，sin 1x ≥-”的否定是 .12．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组),(y x 依次记为),(11y x ，),(22y x ，，(,)n n x y ,，则程序运行结束时输出的最后一个数组为 .13．曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ．14．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥-,083,03,02y x y x y x 则3x －y 的最小值是________.15．定义：我们把阶乘的定义引申，定义 )4)(2(!!--=n n n n ，若n 为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!! = 0。
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ii)含超详细答案[1]
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ii)含超详细答案[1]2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．23．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣24．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q46．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4007．（5分）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x ＜﹣2或x＞2}9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣210．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．19．（12分）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：P（k2＞k）0.00.0100.001k 3.841 6.63510.82820．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•宁夏）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A ∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．2．（5分）（2010•宁夏）已知复数，是z的共轭复数，则=（）A．B．C．1 D．2【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选A．3．（5分）（2010•宁夏）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以k=y′|x=﹣1所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选A．4．（5分）（2010•新课标）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．5．（5分）（2010•宁夏）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选C．6．（5分）（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．7．（5分）（2010•新课标）如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选D．8．（5分）（2010•新课标）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f （x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x ＜﹣2或x＞2}【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．9．（5分）（2010•宁夏）若，α是第三象限的角，则=（）A．B．C．2 D．﹣2【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．10．（5分）（2010•宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B． C．D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．11．（5分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．12．（5分）（2010•宁夏）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B． C． D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f （x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2， (x)N和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi ，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．14．（5分）（2010•宁夏）正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（写出三种）【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．15．（5分）（2010•宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2 ．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．16．（5分）（2010•宁夏）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC= 60°．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）（2010•宁夏）设数列满足a1=2，an+1﹣an=3•22n﹣1（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =nan，求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（Ⅰ）由题意得an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{an }的通项公式为an=22n﹣1．（Ⅱ）由bn =nan=n•22n﹣1知Sn=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{an }的通项公式为an=22n﹣1．（Ⅱ）由bn =nan=n•22n﹣1知Sn=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22Sn=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．18．（12分）（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB ∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH 所成角的正弦值为．19．（12分）（2010•新课标）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别男女是否需要志愿需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由．附：0.00.0100.001P（k2＞k）k 3.841 6.63510.828【分析】（1）由列联表可知调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异，调查时，可以先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【解答】解：（1）∵调查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供帮助，∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为．（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，．∵9.967＞6.635，∴有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20．（12分）（2010•宁夏）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y），根据（1）则可分别表示出x和y，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．21．（12分）（2010•宁夏）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．22．（10分）（2010•新课标）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）23．（10分）（2010•新课标）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．24．（10分）（2010•新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．参与本试卷答题和审题的老师有：minqi5；qiss；yhx01248；caoqz；xiaolizi；豫汝王世崇；lily2011；wsj1012；xiexie；zhwsd；zlzhan；涨停（排名不分先后）菁优网2017年2月3日。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题 (文科)(解析版)
2010年高考福建数学试题（文史类解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ⋂等于（ ）A ．{}x|2<x 3≤B ．{}x|x 1≥C ．{}x|2x<3≤D ．{}x|x>2【答案】A【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,故选A ． 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题．2．计算12sin 22.5-的结果等于( )A ．12B．2 C．3 D．2 【答案】B【解析】原式=2cos 45=,故选B ． 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值．3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( )A B ．2 C ．D ．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为244⨯=3216⨯⨯=，选D ． 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】C【解析】41i ()1-i+=244(1i)[]=i =12+,故选C ． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力．5。
若x ，y ∈R ，且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥,,032,1x y y x x ，则z=x+2y 的最小值等于 ( )A.2 B .3 C.5 D.96 . 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A.2B.3 C .4 D.57．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
2010年高考福建数学试题(文史类解析)介绍
2010年高考福建数学试题（文史类解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ⋂等于（ ） A ．{}x|2<x 3≤ B ．{}x|x 1≥ C ．{}x|2x<3≤D ．{}x|x>2【答案】A【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,故选A ． 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题． 2．计算12sin 22.5-的结果等于( )A ．12B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】原式=2cos 45=2,故选B ． 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值． 3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( )A B ．2C ．D ．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为244⨯=3216⨯⨯=，选D ． 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．iB ．-iC ．1D ．-1【答案】C【解析】41i ()1-i +=244(1i)[]=i =12+,故选C ． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力．7．函数2x +2x -3,x 0x)=-2+l n x ,x >0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
2010年高考数学模拟卷(理科)含答案
2010年高考数学模拟卷(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分, 考试时间120分钟。
选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 棱台的体积公式S = 4πR 2 )2211(31S S S S h V ++=球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, V =34πR 3h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
(1) 设非空集合A , B 满足A ⊆B , 则(A) ∃x 0∈A , 使得x 0∉B (B)∀x ∈A , 有x ∈B (C) ∃x 0∈B , 使得x 0∉A (D)∀x ∈B , 有x ∈A (2) 在二项式(x －21x)6的展开式中, 常数项是 (A) －10 (B) －15 (C) 10 (D) 15 (3) 已知a , b 是实数, 则“a = b ”是“a 3 = b 3 ”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (4) 若复数z 与其共轭复数z 满足: |z |=2, z +z =2, 则(A) z 2－2z ＋2＝0 (B) z 2－2z －2＝0 (C) 2z 2－2z ＋1＝0 (D) 2z 2－2z －1＝0 (5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k 的值是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7(6) 设向量a , b 满足:1||=a , 2||=b , 0)(=+⋅b a a ,则a 与b 的夹角是(A) ο30 (B) ο60(C) ο90 (D) ο120(7) 在Rt △ABC 中, ∠A ＝ο90, ∠B ＝ο60, AB =1. 若圆O 的圆心在直角边AC 上, 且与AB和BC 所在的直线都相切, 则圆O 的半径是 (A)32 (B) 21(C)33 (D) 23 (8) 若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则此多面体的体积是(A) 21cm 3(B) 32cm 3 (C) 65cm 3 (D)87cm 3 (9) 过双曲线12222=-by a x (a >0, b >0)的右焦点F 作圆222a y x =+的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P . 若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是 (A)2(B)3(C) 2 (D)5(10) 在直角坐标系中, 如果两点A (a , b ), B (－a , －b )在函数)(x f y =的图象上, 那么称[A , B ]为函数f (x )的一组关于原点的中心对称点 ([A , B ]与[B , A ]看作一组). 函数侧视图俯视图(第8题)⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0),1(log ,0,2cos )(4x x x x x g π关于原点的中心对称点的组数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4非选择题部分 (共100分)二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数 学（理工农医类）
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.计算sin043cos013-cos043sin013的结果等于
A.12 B. 33 C.22 D.32
2.以抛物线24y的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
A.2220y B.220y
C.220y D.2220y
3.设等差数列na的前n项和为ns。若111a，466aa，则当
n
s
取最小值时，n等于
A.6 B.7 C.8 D.9
4.函数223,021,0(){nf，的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于
A.2 B.3 C.4 D.5
6.如图，若是长方体ABCD-1111ABCD被平面EFCH截去几何体
EFCH11BC后得到的几何体，其中E为线段11AB上异于1B的点，F为线
段1BB上异于1B的点，且EH//11AD，则下列结论中不正确．．．的是
A.EH//FG B.四边开EFGH是矩形
C.是棱柱 D.是棱台
7.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线22210yaa的中心和左焦
点，点P为双曲线
右支上的任产电一点，则OPFP的取值范围为
A.323, B.323,
C.7,4 D.7,4
8.设不等式组1,230，所表示的平面区域是1，平面区域2与1关于直线
3490
对称，对于1中的任意A与2中的任意点B，||AB的最小值等于
A. 285 B.4 C. 125 D.2
9.对于复数．．a,b,c,d,若集合{,,,}Sabcd具有性质“对任意，S，必有S”，则
当221,1abcb时，bcd等于
A.1 B.-1 C.0 D.i
10.对于具有相同定义域D的函数()f和()g，若存在函数()hkb（,kb为常
数），对任给的正数m，存在相应的0D，使得当D且0时，总有
0()()0()()fhmhgm
则称直线l:y=k+b为曲线()yf与()yg的“分渐近线”。
给出定义域均为{|1}D的四组函数如下：
①2(),()fg； ②23()102,();fg
③211(),();InfgIn ④22(),()2(1).1fge
其中，曲线()f与()g存在“分渐近线”的是
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
把答案填在答题卡的相应位置。
11.在等比数列{ na}中，若公比q=4，且前3项之和等
于21，则该数列的通项公式na= 。
12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，
则其表面积．．．等于 。
13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．回答出两个问题，
即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回
答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。
14.已知函数f（x）=3sinx-06和g（x）=2cos(2x)+1的图象的对称轴完全
相同。若x [0，2]，则f（x）的取值范围是 。
15. 已知定义域为（0，+ ）的函数f（x）满足：（1）对任意x （0，+ ），恒有f（2x）
=2f（x）成立；（2）当x （1，2]时，f（x）=2-x 。给出如下结论：
①对任意m Z，有f(m2)= 0; ②函数f（x）的值域为[0, + ]; ③ 存在n Z，
使得f（n21）=9；④“函数f（x）在区间（a、b）上单调递减”的充要条件是“存在k
Z，使得（a、b）kk122，，”。
其中所有正确结论的序号是 。
三、解答题 ：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分13分 ）
设S是不等式260xx的解集，m，nS。
（I）记“使得m + n = 0 成立的有序数组（m , n）”为事件A，试列举A包含的基本事件；
（II）设＝2m，求的分布列及其数学期望E。
17. （本小题满分13分 ）
已知在坐标原点O的椭圆C经过点A（2 , 3），且点F（2 ，0）为其右焦点。
（I）求椭圆C的方程；
（II）是否存在平行于OA的直线L，使得直线L与椭圆C有公共点，且直线OA与L
的距离等于4？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说明理由。
18.（本小题满分13分 ）
如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，
且AB是圆O的直径。
（I）证明：平面A1ACC1平面B1BCC1；
（II）设AB＝AA1,在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自三
棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。
（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；
（ii）圭亚那平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为
（00090）。当p取最大值时，求cos的值。
19．(本小题满分13分)
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于
港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东
方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮
船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和
航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
20.（本小题满分14分）
（1）已知函数f(x)=x3=x，其图像记为曲线C.
（i）求函数f(x)的单调区间；
(ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P
2
（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C
所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则12ss为定值：
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，
并予以证明。
21．本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果
多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题
号涂黑，并将所选题号填入括号中。
(1)(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵1Mb 1a，0cN 2d，且22MN 00。
(Ⅰ)求实数,,,abcd的值； (Ⅱ)求直线3yx在矩阵M所对应的线性变换作用下的像
的方程。
(2)(本小题满分7分)选修4－4分：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为23,2252xtyt(t为参数)。在极坐标系(与
直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆
c
的方程为25sinp。
(Ⅰ)求圆c的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆c与直线l交于点,AB．若点P的坐标为(3，5)，求PAPB．
(3)(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)=xa．
(Ⅰ)若不等式f(x)≤3的解集为｛x-1≤x≤5｝，求实数a的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若f(x)+f(5x)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值
范围。