高一数学《指数与指数幂运算3》3
高一数学实数指数幂及其运算(2018-2019)

卒满泽 以托太后及帝 而痛殷之亡也 屯城外 东瞰目尽 时子寻为侍中京兆大君茂德侯 北揭石濑 剽杀人 列郡不相亲 又赐帛人二匹 周之所以七庙者 专欲内属 仪文降 郡国守相 刺史皆出其门 故诏吏遗单于秫蘖金帛绵絮它物岁有数 使获曜日月之末光绝炎 守右扶风 为晋所灭 匈奴呼韩
邪单于来朝 过曾参远矣 汤亦治它囚导官 四海会同 匈奴谓贤曰 屠耆 历山 毋棳 阳气所生也 淮北荥南河济之间千树萩 其於人道 今因此令赎 宜为谢过天地 《易》九厄曰 初入元 历金门上玉堂有日矣 有名圜十五星 火与水晨出东方 五月 诸侯有变 [标签 标题]万石君石奋 施之无穷
帝置 除其属籍 有司分部诛济川 淮阳 常山王及少帝於邸 会有诏即讯太子 种柏 终不敢言 可以获大利也 侯国也 汤受封日 数赐告 戒门下 客至 饑不及餐 丕进侯王寻为大司徒 然后下下相望 故加车一乘 使民以时 故民皆劝功乐业 易诛也 皆免冠谢 发於刘敬 所就者小 条侯 魏其 以类
相应 赐金五千斤 大王不思先帝之艰苦
谢天子 襄城 大蝗 加以傅氏有女之援 若牛亡其毛也 其大臣乃复劝王无下三国 而王子比干直言於纣 魏咎弟豹自立为魏王 布告天下 以失其真 诚国家雄俊之宝臣也 则三辅之地尽可以为苑 砀鲁赐东海太守 是为郑 正基兆而防未然也 居信都 岂以王易吾亲哉 大星如月 秦人是灭 户万九
千六百一十三 或骨为镞 陵渠奏状 日为寒温 所以不报恩 太公为太师 乃绝 后而背约入盗 为关吏 其有所试 宣考绩功课 又以微文杀无知者五百馀人 春搜秋狝 以尺一牍 上问汤曰 吾所为 岩阤甗锜 及所当求於吏者 遣车骑将军薄昭迎皇太后於代 奉诏宣化如此 宿三月 感伤陛下 其后群
3.1 指数与指数函数
3.1.1实数指数幂及其运算
自学提纲 1 幂,底数,指数的形式 2 整数指数幂的概念及运算 3分数指数幂的概念及运算 4 无理指数幂的概念及运算
人教高中数学必修一A版《指数》指数函数与对数函数说课复习(指数幂及运算)

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2.已知 a+ 1a的值,如何求a+1a的值?反之呢?
提示:设 a+ 1a=m,则两边平方得a+1a=m2-2;反之若设a+1a=
n,则n=m2-2,∴m=
n+2.即
a+
1= a
n+2.
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【例 3】 已知 a12+a-12=4,求下列各式的值:
(1)a+a-1;(2)a2+a-2.
第四章 指数函数与对数函数
根式的化简与求值的思路及注意点
4 3
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利用分数指数幂的运算性质化简求解 【例 2】 化简求值:
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指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然 后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质. 提醒:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母 又含有负指数.
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一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的_n__次__方__根____,其中 定义
n>1,且 n∈N*
n 是奇数
a>0 a<0
x>0 x<0
x 仅有一个 值,记为__n_a__
性质 n 是偶数
a>0
x 有两个值,且互为
答案:m-53
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高中数学 第三章 指数运算与指数函数 2 指数幂的运算性质同步课件 必修第一册高一第一册数学课件

第二十一页,共二十九页。
2.已知
1
x2
x
12=3,计算(jìsuànx)2:
x
x 2 x 1
7 3
.
【解析】由 1 =3,1得x+2+x-1=9,
x2 x 2
所以x+x-1=7,再平方可得x2+x-2+2=49,
所以x2+x-2=47,所以 xx2xx1237=477374.
12/8/2021
§2 指数幂的运算(yùn 性质 suàn)
12/8/2021
第一页,共二十九页。
12/8/2021
第二页,共二十九页。
必备知识·自主(zìzhǔ)学习
12/8/2021
第三页,共二十九页。
实数指数幂的运算(yùn suàn)性质(a>0,b>0,α,β∈R) (1)aαaβ=aα+β;(2)(aα)β=aα β;(3)(ab)α=aαbα.
第十九页,共二十九页。
பைடு நூலகம்
【解题策略】解决(jiějué)条件求值问题的步骤
12/8/2021
第二十页,共二十九页。
【题组训练】
1.若10x= ,31018 y= ,则1042x2-7y=
.
【解析(jiě xī)】102x-y=(10x)2÷10y=( 1
38
答案: 1
3
)2÷
3
34
31
1.
3
12/8/2021
1.下列(xiàliè)能正确反映指数幂的推广过程的是
()
A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂
B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂
C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂
A3演示文稿设计与制作—高中数学指数与指数幂的运算【微能力认证获奖作品】

=(xy2x 2 y- 2) 3 x 2y 2
=xy.
1 1
=(x y ) x y =x y x y
1
(3)由(-a) 知 -a≥0, ∴a-1<0. ∴原式=(1-a)(1-a)-1(-a) 4 =(-a) .
1 4
4.计算下列各式:
(1)a a a ; ;
1 2
3 10
4 5
(3)a a a ;
r r
随堂练习
1.用根式的形式表示下列各式(a>0)
a1/3 , a3/2 , a-1/2 , a-2/5
3 解:
1 1 a, a = a a, , a 5 a2
3
2.求下列各式:
(1)3 m n ( m n 0);
2
( 2)
a2
3
a a
3
2
;
( 3)
4
m n
4
( m n);
= a a a = a.
1 3
1 3
1 3
习题答案
练习(第54页)
1.a = a;a = a ;a =
2 3 3
1 2
3 4
4
3
-
3 5
1
5
a
3 4 4
3
;a =
-
2 3
1
3
a
2
2.(1) 3 x 2 = x ;(2) 4 a + b = a + b ; (3) m - n = m - n ;(4) m - n = m - n ;
结论
n
a, (当n为奇数) n a a, a 0, | a | ( 当 n 为偶数 ) a, a 0.
高中数学 指数与指数幂的运算时 新人教A版必修实用资料ppt

根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来 考虑这样的问题:
根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来 考虑这样的问题:
1 指数与指数幂的运算
(1)( 5 )2;(2) 3 (2)3 ;(3) 4 (2)4 ;(4) (3 a)2 (a>3)
解 :( 1 )( 5 ) 2 = 5 ;( 2 ) 3 (2)3 = - 2 ; ( 3 ) 4 (2)4 = | - 2 | = 2 ;( 4 ) (3 a)2 = | 3 - a | = a - 3 .
(第 一 课 时)
当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.
方根的定义: 高中数学 指数与指数幂的运算时课件 新人教A版必修
根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来 考虑这样的问题:
当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,…年 后,它体内 碳14的含量P分别为原来的多少?
问题 1: 什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根? 一个数的平方根有几个,立方根呢?
若 x2 a ,则 x 叫做 a 的平方根.同理,若 x3 a ,则 x 叫做 a 的立方根.
问题 2:如果 x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?
1 指数与指数幂的运算
(第 一 课 时)
当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.
高中数学《指数与指数幂的运算》导学案

探究1:n次方根的概念
由初中所学知识及示例完成下面填空
示例:①(±2)2=4,则称±2为4的;
②23=8,则称2为8的;
类似地,(±2)4=16,则±2叫做16的;25=32,则2叫做32的
xn=a,其中n>1,且n∈N﹡
归纳总结:n次方根的概念
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N﹡.
得x< .
3.化简 (a,b>0)的结果是()
A. B.abC. D.a2b
解析原式= ÷ =a(3+ )× b(2+ )× ÷ =a - ×b - = .
4.2- + + - ·8 =________.
解析原式= + + +1-22=2 -3.
5.已知3a=2,3b= ,则32a-b=________.
解析由2x=8y+1,得2x=23y+3,
所以x=3y+3.①
由9y=3x-9,得32y=3x-9,
所以2y=x-9.②
由①②联立方程组,
解得x=21,y=6,所以x+y=27.
12.计算下列各式的值:
(1)(0.027) - +256 +(2 ) -3-1+π0;
(2)7 -3 -6 + ;
(3)(a ·b- )- · ÷ (a>0,b>0).
当n为偶数时,
0的任何次方根都是0,记作 =0.
探究2:根式的概念
探究点2在方根的表示中,你知道式子叫什么吗?
式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
探究3:根式的运算性质
=2
结论 =a
2、求下列各式的值
(1) =_____ =_________
结论:an开奇次方根,则有 =a
高中数学人教A版必修1《指数与指数幂的运算——根式与分数指数幂的互化》PPT
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后, 它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1 , (1)2, (1)3, .
22
2
(2)由以上的实例来推断关系式是
P
(1)5
t 730
.
2
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体
内碳14的含量P的值.
m
a n
1
m
(a 0, m, n N*,且n 1)
an
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
课本59页 习题2.1 A 组 第1题
下列根式能写成分数指数幂的形式吗?
2
3 a2 a 3 (a>0)
1
b b2Байду номын сангаас
5
4 c5 c 4
(b>0) (c>0)
根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢?
我们规定正数的正分数指数幂的意义是:
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
. (1) 5 25 2 , 3 (2)3 2
结论:an开奇次方根,则有 n an a.
. (2) 32 3 , (3)2 3
(3)2 3
. (3) 4 24 2 , 4 (2)4 2
4 (2)4 2
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
归纳总结: 根式的运算性质 ⑴当n为任意正整数时,( )n=a. ⑵当n为奇数时, =a;
是一个负数;0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个,且互为相反数;负数
高一数学实数指数幂及其运算
3无理指数幂
•作为了解,阅读教材P88
基础练习 3
1.化简 (1) 81 ; ( 4)
4 8
6
(2) (2) ;
6 2
(3)
15
32 ;
x ; (5 ) a b ;
1 2
6
2 4
2.化简 ( 1) 4
(2) 27 (3) 27 (4) 27
2 3
3 2
2 3
基础练习4
7 0.5 10 37 2 0 2(1)(2 ) 0.1 (2 ) 3 9 27 48
课堂小结
• 正整数指数幂的运算 • 负整数指数幂的运算 • 分数指数幂的运算,其中分数指数 幂与根式的互化是重点 • 准确的运算是本小节的重点
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房中,整顿妆容去了。宝音操持了半日,也要重敷粉、再挽鬓,又审视一番席上,料无其他遗漏,二太太也难得慈爱道:“笙儿你且歇 一歇,这里有我。”宝音便福了一福,退将出来。乐韵还在替她奔走一些琐事,是洛月扶定了她,一路天空灰蓝,几缕云朵像撕在苍幕 上的白棉丝儿,天是真冷了,黄菊褪甲、芙蓉妆残,独有些老树劲松,越入冬越苍青。园中寂寂的,并无什么人。洛月忽道:“咦,姑 娘,那不是四 ?”果然明秀在枯杨树下对着宝音她们招手。宝音早已见着,微微“哦”了一声,未置可否。洛月道:“ ,我们„„要 过去吗?”心头疑虑,不知哪里总觉怪怪的。宝音却道:“去!为什么不去?”当先举步,洛月只好于后头紧紧跟定。明秀看她们过来, 便转身朝里头去,那边一道游廊、带出几进厅间,再过去是一泓水,满生紫菽黄苇,从老太太院口直铺陈到这边。从前大老爷曾用这里 款待宾客,说是春夏时看仙鹤于水边的姿势,顶顶不错。后来大老爷于看鹤的雅事上淡了,这边也就闲了,此时半个人也没有。明秀一 路走,宝音便于后头静静跟着,倒有那么些儿百步相随的意思。明秀推开一扇门进去,宝音正要跟着抬步,门里明秀幽幽道:“笙妹妹 单独进来可好?”——这是连丫头都不许她带进来!洛月肩膀一僵。会无好会、聚无好聚,单独相见,非奸即盗!她是绝不肯叫 落单 的! 也绝不会这么蠢,就听她的罢!宝音凝视门内,唇角微扬,应道:“好。”吩咐洛月:“你在这里等我。”洛月心中一百个不情 愿,然而被宝音一吩咐,脚步就钉在了原地,再也举不起来,只能眼睁睁看着宝音单弱的身子,踏入门中,门扉无声无息合上了。此室 虽闲置良久,夹旧夹新,也排了几件柜子案头,壁上还悬了一青一紫两根箫管、并一口红缨衣的宝剑,旁边斜设了一架黑漆款彩百鸟朝 凤图围屏,不知哪个房里用旧了不要搬过来的。 明秀侧坐,一手慢慢抚过自己的鬓脚,道:“妹妹真令人刮目相看。”宝音拜道: “姐姐过奖!姐姐才令笙儿诧异。”明秀缓缓转过头:“哦?”“笙儿与四姐姐,身体里同流着苏家的血。一直来,众人对笙儿,轻鄙 疏远,并不掩饰,唯四姐姐肯对笙儿倾注照顾,纵只是表面文章,笙儿也铭感五内。怎知有一天,要与姐姐拆招见计!”明秀冷冷道: “你的臂膀丫头已经完了,你舍得?”宝音柔和的看着明秀:“洛月?她虽然笨得毫无自保能力,我不会让她完了的。”“我说乐韵!” 明秀难得沉不住气,“她私相授受!”宝音吃惊道:“授受了什么?有凭据吗?”“人证物证俱在!”明秀色厉内荏,其实是有些底气 不足。要提人证,那人证谦谦君子,难免说出帕上药渍什么的,明秀出阁在即,沾染下药的嫌疑,得不偿失。不过好吧,物证总是
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式数学是一门具有广泛应用的学科,不论是在学术研究还是实际生活中,数学公式都扮演着重要的角色。
在高中数学中,指数与对数是两个重要的概念,它们的公式在解题过程中经常被用到。
本文将为您提供高中数学公式大全,重点介绍指数与对数的幂运算与对数运算公式。
1. 指数与幂运算公式指数与幂运算是指数函数的基本运算法则,它包括以下几个公式:1.1 指数幂运算法则(1)指数相同,底数相乘:a^m × a^n = a^(m+n)。
例子:2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
(2)幂相同,底数相乘:a^m × b^m = (a × b)^m。
例子:2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3。
(3)指数的乘方:(a^m)^n = a^(m×n)。
例子:(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12。
(4)幂的乘方:(a × b)^m = a^m × b^m。
例子:(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
1.2 指数的乘法法则(1)指数相加:a^m × a^n = a^(m+n)。
例子:2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
(2)底数相乘:(a × b)^m = a^m × b^m。
例子:(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
2. 对数运算公式对数是指数的逆运算,它有以下几个重要的运算公式:2.1 对数幂运算法则(1)底数相同,幂相加:loga(x × y) = loga(x) + loga(y)。
例子:log2(4 × 8) = log2(4) + log2(8)。
(2)幂的乘方:loga(x^m) = m × loga(x)。
高一数学《幂函数》PPT课件
函数的性质不同
指数函数的底数是一个大于0且 不等于1的常数,而幂函数的底 数可以是任意实数。此外,指 数函数的值域为正实数集,而 幂函数的值域为非负实数集。
图像的形状不同
指数函数的图像是一条经过点 (0,1)的曲线,而幂函数的图像 是一条经过原点的曲线。
02
常见幂函数类型及其特点
一次幂函数
表达式
幂的乘方法则
幂的乘方
底数不变,指数相乘。公式: (a^m)^n = a^(m×n)
举例
(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12; (x^2)^5 = x^(2×5) = x^10
积的乘方法则
积的乘方
把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。公式: (ab)^n = a^n × b^n
举例
在幂函数中,指数a可以取任意实数,但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如,当a≤0时,函数定义域为 非零实数集;当a>0且a为整数时,函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
幂函数性质
幂函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。例如,当a>0时,幂函数在定义域内 单调递增;当a<0时,幂函数在定义域内单调递减。
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态,如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
易错难点剖y = x^n(n为实数)
图像
02
一条直线(n=1时)或射线(n≠1时)
性质
03
当n>0时,函数在(0, +∞)上单调递增;当n<0时,函数在(0,
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《指数与指数幂运算(2)》教学设计
内容:分数指数幂
教学目标
(一)知识目标
(1)理解根式的概念及其性质,能根据性质进行简单的根式计算。
(2)理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。
(二)能力目标
(1)学生能进一步认清各种运算间的联系,提高归纳,概括的能力.
(2)让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.
(3)训练学生思维的灵活性
(三)德育目标
(1)激发学生自主学习的兴趣
(2)养成良好的学习习惯
教学重点:次方根的概念及其取值规律。
教学难点:分数指数幂的意义及其运算根据的研究。
教学过程:
一、复习回顾,新课引入:
指数与其说它是一个概念,不如说它是一种重要的运算,且这种运算在初中
曾经学习过,今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来,
是从乘方而来,因此最初指数只能是正整数,同时引出正整数指数幂的定义。
.然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定
义,分别写出 及 ,同时追问这里 的
由来。
二、师生互动,新课讲解:
1.分数指数幂
看下面的例子:
当0a时,
(1)2552510)(aaa,又5102,所以510510aa;
(2)3443412)(aaa,又4123,所以412412aa.
从上面的例子,我们看到,当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根
式可以表示为分数指数幂的形式.
那么,当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否也可以表示
为分数指数幂的形式呢?
根据n次方根的定义,规定正数的正分数指数幂的意义是:
n
m
n
m
aa
(0a,1*,,nNnm).
0的正分数指数幂等于0, 0
的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分,因此当0a时,应当遵循原
来的运算顺序,通常不写成分数指数幂形式.
例如:3273,而3)27(62.
规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指
数.
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用.
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用
(1)
(2)
(3)
2.分数指数幂与根式的表示方法之间关系。
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:
nmnmaa (a>0,m,nN+,且n>1)
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是:
mmanma1(a>0,m,nN+,且n>1)
(3)特别指出分数指数幂的底数a、m、n的取值只需式子有意义即可。
例1(课本P51例2):求值:
2
3
8;1225
;51()2;3416()81
变式训练1: 求下列各式的值:
(1)1225; (2)3227; (3)361; (4)431000081.
解 (1) 55)5(2521221221;
(2)9133)3(272)32(332332;
(3)2166)6(613313;
(4)27100031010310310000813343443.
例2(课本P51例3)用分数指数幂的形式表示下各式(其中a>0)
3
aa
;322aa;3aa
例3(课本P52例4):计算下列各式(式中字母都是正数)
(1)211511336622(2)(6)(3)ababab (2)31884()mn
(先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析、提问、解答)
分析:四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算
括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合
我们以前的四则运算顺序.
我们看到(1)小题是单项式的乘除运算;(2)小题是乘方形式的运算,它
们应让如何计算呢?
其实,第(1)小题是单项式的乘除法,可以用单项式的运算顺序进行.
第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行
计算.
解:(1)原式=211115326236[2(6)(3)]ab =04ab =4a
(2)原式=318884()()mn =23mn
例4:(课本P52例5)计算下列各式
(1)34(25125)25 (2)232(.aaaa>0)
分析:在第(1)小题中,只含有根式,且不是同类根式,比较难计算,但
把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,同样,第(2)小题也是先
把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解:(1)原式= 111324(25125)25
= 231322(55)5
= 2131322255
= 1655
= 655
(2)原式=12522652362132aaaaaa
小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示,但不能同时含有根号和分
数指数,也不能既有分母,又含有负指数.
课堂练习:(课本P54练习NO:1;2;3)
三、课堂小结,巩固反思:
1.这堂课的主要内容是什么?
2.做指数运算时有什么需要注意的地方?
这节课我们学习了指数幂的定义,性质以及一些运算。在学习中,我们应当
逐步深入,领悟从整数到根式再到分数的导出过程,理解由特殊到一般的研究方
法,在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。
四、布置作业
A组:
1.(课本P59习题2.1 A组:NO:2(1)(2)(3))
2.(课本P59习题2.1 A组:NO:4(1)~(8))
3.(tb0112901)下列等式中正确的是(D)
(A) (x0) (B)
(C) 3162yy (y<0) (D) 4343)()(xyyx (xy0)
4.(tb0112902)下列各式成立的是(A)。
(A) 31324 (B) 32322)(nmnm (C) (55)abab (D)
3
1
6
2
)2()2(
5.(tb0112911)化简433)278(ba(a>0,b>0)的结果是(C)。
(A) ba23 (B) -ba23 (C) 448116ba (D) -44811ba
6.(tb0113012)34329ba (a>0,b>0)化简得(C)。
(A) 4323ba (B)3131ba (C) 4123ba (D) 4931ba
B组:
1.(课本P59习题 2.1 B组:NO:2)