叶宏概率统计6.3

2 n
n 1 i 1
样本修正方差
E S
2

2
一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 我们可以 ˆ1和ˆ2都是参数 的无偏估计量， 比较 E (ˆ1 )2 和 E (ˆ2 )2 的大小来决定二者 谁更优 . 由于
ˆ ˆ D(1 ) E (1 )2 ˆ ˆ D( 2 ) E ( 2 )2
1. 置信区间定义 设 是 一个待估参数，给定 0,
若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ( X1, X 2 ,, X n ), 2 2 ( X1, X 2 ,, X n ) (ˆ1 ˆ2 ) 满足
ˆ ˆ P(1 2 ) 1 ˆ ˆ 则称区间 [1 , 2 ]是 的置信水平（置信度、
(P140.5) 设总体 X 的密度函数为
x 1 e f ( x ; ) 0
x 0, x0
0 为参数
X 1 , X 2 ,, X n 为 X 的一个样本.
求 的极大似然估计量, 并判断它是否无 偏估计量. n 1 解 由似然函数 L( )

真值
ˆ 设 ( X1,, X n )是未知参数 的估计量，若
ˆ E ( )
ˆ 则称 为 的无偏估计 .
例 设总体 X 的 k 阶矩 k E ( X )存在 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体X 的样本,
k
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n 则 Ak X ik 是 k 的无偏估计量. n i 1 证 由于 E ( X ik ) k i 1,2, , n 因而

n
u 2 ]
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
S S [X t 2 (n 1), X t 2 (n 1)] n n
推导 选取枢轴量
X T ~ t (n 1) S n
P{| T | t 2 (n 1)} 1
X P{| | t 2 (n 1)} 1 S n
1 ˆ 1 ( X 1 X 2 X 3 ) 3 1 1 5 ˆ 2 X 1 X 2 X 3 3 4 12
都是 的无偏估计量
1 2 25 2 ˆ ˆ D( 1 ) D( 2 ) 3 72 ˆ 1 最有效
推广
结论(P141.8) 设 E( X )= , D( X )= 2
2
估计量
例 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 ( X 1 , X 2 , , X n ) ,
1 n (1) S n2 ( X i X ) 2 不是 D( X )的无偏估计; n i 1
n 1 2 2 E (S ) 样本方差 n n 1 2 S ( X i X ) 2是 D( X ) 的无偏估计. (2)
i 1
i 1 n 1
C (2 2 02 ) C (n 1)2 2
n 1 1 当C 时, C ( X i 1 X i ) 2为 2的无偏估计 2(n 1) i 1
i 1
n 1
P141 .7 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自P ( )的样本，证明X , 1 n S 2＝ ( X i X ) 2 和aX (1 a ) S 2 (0 a 1) n 1 i 1 都是 的无偏估计.
寻找未知参数的 一个良好估计. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
对给定的置信水平 1 , 查正态分布表得 u 2 , 使
(ci2 c 2 ) n ci2 j
i 1
n
1 c n i 1
2 i
n
1 2 ˆ D( X ) D( ) n
结论
算术均值比加权均值更有效.
(3) 一致性(相合性)
定义 设 ˆ ˆ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体参数
ˆ 的估计量. 若n 时, 依概率收敛于 ,
前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
§6.2
区间估计
引例 已知 X ~ N ( ,1),
的无偏、有效点估计为 X
常数 随机变量 不同样本算得的 的估计值不同， 因此除了给出 的点估计外, 还希望根 据所给的样本确定一个随机区间, 使其 包含参数真值的概率达到指定的要求.
X ~ P( ) E( X ) D( X )
E( X ) E( X )
E ( S ) D( X )
2
E[aX (1 a) S 2 ] aE( X ) (1 a) E ( S 2 ) [a (1 a)]
§6.2
区间估计
2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T (X1,X2,…Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知.
称S(T, )为枢轴量.
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a ≤S(T, )≤b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: ˆ ˆ
概率统计
主讲教师 叶宏
§6.1 参数的点估计
4.点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题: 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? (1) 无偏性
常用 标准
(2) 有效性 (3) 一致性
(1) 无偏性 估计量是随机变量，对于不同的样本值 会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未 知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未 知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准 . .
D(ˆ) D(ˆ* )
ˆ ( X1,, X n ) 是未知参数 的无偏估计量，
ˆ* 是 的任一无偏估计.
ˆ 则称 为 的最小方差无偏估计.
（也称最佳无偏估计）
例如 X ~ N( , 2 ) ,样本是 X 1 , X 2 , X 3 .
ˆ ˆ E(1 ) E(2 )
X P{| | u 2 } 1 n
为什么 这样取？
1
P{ X
从中解得
n
u
2
u 2 X

n
u
u 2 } 1
2
于是所求 的 置信区间为
[X

n
u 2 , X

n
u 2 ]
也可简记为
X

n
u 2
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下: 1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1 是多少?
i 1 i 1
n
n
(2)
ˆ ) ci2 D( X i ) 2 ci2 D(
n n 1 ci ci2 2 ci c j i 1 1i j n i 1
n
n
i 1 2
i 1
ci2
i 1
n
1i j n
1 1 k k E ( Ak ) E ( X i ) E ( X i ) n i 1 n i 1 1 n k k n
n
n
特别地 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的
无偏估计量
1 2 样本二阶原点矩 A2 X i 是总体 n i 1
n
二阶原点矩 2 E ( X ) 的无偏
P{1 2 } 1
ˆ ˆ 则 [1 , 2 ]就是 的置信度为1 的置信区间.
可见，确定区间估计很关键的是要寻找 一个待估参数 和估计量T 的函数S(T, ), 且S(T, )的分布为已知, 不依赖于任何未知 参数 (这样我们才能确定一个大概率区间). 而这与总体分布有关，所以，总体分布的 形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.
置信概率）为 1 的置信区间.
ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
2.求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn是取自N ( , 2 )的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为1 的置信区间.
明确问题:求什么参数的置信区间? 置信水平是多少？
解
选 的点估计为X X 取 U n
ˆ 故 E ( ) E ( X ) E ( X )
它是 的无偏估计量.
P141 .6 设 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体N ( , 2 )的样本，求 C 的值，使 S 2＝C ( X i 1 X i ) 2 是 2的无偏估计.
i 1 n 1
S P{ X t 2 (n 1) X n S [X t 2 (n 1), X n S t 2 (n 1)} 1 n S t 2 (n 1)] n
即 0,
ˆ lim P( ) 0
n
ˆ 则称 是参数 的一致(或相合)估计量.
一致性估计量仅在样本容量 n足够大时,才显示其优越性.
关于一致性的常用结论
样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量
由大数定律证明
矩法得到的估计量一般为一致估计量 在一定条件下, 极大似然估计具有一致性
解
E[C ( X i 1 X i ) 2 ] C E[( X i 1 X i ) 2 ]