分式递推式
通项公式
几种求数列通项公式的方法1叠加法形如()1n n a a f n --=（或()1n n a a f n -=+）的递推公式, 将等式从1n =到n 一一列举下来, 如： ()212a a f -=()323a a f -=()121n n a a f n ---=- ()1n n a a f n --= 等式两边分别相加可得通项公式 ()12nn k a a f k =-=∑ 即()12nnk aa f k ==+∑.例 在数列{}n a 中, 12a =, 且满足11(21)n n n n a a n a a ++=++⋅, 求数列通项公式. 解 由题意得11(21)n n n n a a n a a ++-=+⋅ 两边同时除以1n n a a +⋅ 得11121n n n a a +-=+ 12113a a -=, 23115a a -=, ……, 211123n n n a a ---=-, 11121n nn a a --=- 等式两边累加, 得2111357(23)(21)1nn n n a a -=++++-+-=- 可以解得 2232n a n =-练习 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式na (141,21211-+==+n a a a n n 呢？)2叠乘法形如()1n n a f n a -=(或()1nn a f n a -=)的递推式, 将等式从1n =到n 一一列举下来, 如:()212a f a =()323a f a = … …()1nn a f n a -= 等式两边分别相乘可有:()21n nk a f k a ==∏即()12nn k a a f k ==⋅∏ 练习. 已知数列{}n a 中，1121,n n n a a a n++==，求n a3 形如1()n n a pa f n +=+（p 为常数, 且0p ≠, 1p ≠）⑴ ()f n 为常数即1n n a pa q +=+（q 为常数）分解q 使{}n a 转化为{}n a t +.设+1n a t +=()n p a t ⋅+, 经化简后：1=p +pt-t n n a a +, 那么可知p t t q-=, 即 q 1t p =-, 那么+1q q()11n n a p a p p +=+--, 若构造qb 1n n a p =+-,则数列{}b n 是公比为p 的一个特殊等比数列. 例 数列{}n a 满足12a =, 123n n a a -=+(2)n ≥, 求{}n a 的通项公式. （{}n a 的通项公式:n-1523n a =⋅-）⑵ ()f n 为等比形式.如()=q nf n （q 为常数）（或者q n⋅c ）, 1=p q nn n a a ++,只要等式两边同时除以+1q n ⇒1+1p 1=q q n n n n a a q q ++, 令q n n n a b =⇒11n np b b q q+=+,这样就转化为⑴情况1n n a pa q +=+来求解了.例 已知{}n a 中11a =,13122nn n a a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 求n a解 两边同时除以11()2n +-得 n+11(2)3(2)2n n n a a +-=-⋅-+令 =(-2)nn n b a ⇒ +1=-32n n b b +⇒ +1113()22n n b b -=-- 11a =, 则1b 2=-, 所以12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为52-公比为3-的等比数列.⇒ 115()(3)22n n b --=-⋅-=1(2)2n n a -- ⇒ ()()115312n n n a -+⋅--=-⑶ ()f n An B =+ (A ,B 为常数)例 已知数列{}n a , 12a =, 1231n n a a n -=+-, 求{}n a 的通项公式. 解 令n n b a pn q =++, 则n n a b pn q =--, 11(1)n n a b p n q --=--- 代入递推式中有：12((1))31n n b pn q b p n q n ---=---+-⇒ 12(3)21n n b b p n p q -=+-+--令 30210p p q -=⎧⎨--=⎩ ⇒ 35p q =⎧⎨=⎩那么 35n n b a n =++, 由12a =知110b = 并且12n n b b -=, 即{}n b 是10为首项2为公比的等比数列 则 110235n n n b a n -=⋅=++ 由此可知 110235n n a n -=⋅--4二阶递推已知数列1a , 2a 的值且数列满足21n n n a pa qa ++=+ (0)p q ⋅≠, 则称方程2x p x q=+为数列{}n a 的二阶特征方程, 方程的解1x , 2x 为其特征根, 那么: ()1若12x x =, 则1()n n a A Bn x =+()2若12x x ≠, 则12n n n a Cx Dx =+ , 其中A , B , C , D 为待定常数.练习 已知数列{}n a , 11a =, 22a =, 且满足21352n n n a a a ++=-, 求数列的通项.解 21352n n n a a a ++=-的特征方程为23520x x -+=解得特征根为 11x =, 223x = 那么设通项 2()3nn a A B =+⋅由11a =, 22a =, 代入得11222()132()23a A B a A B ⎧=+⋅=⎪⎪⎨⎪=+⋅=⎪⎩解得 492A B =⎧⎪⎨=-⎪⎩则{}n a 的通项公式为: 1243()3n n a -=-⋅5取倒构造, 对数构造⑴ 形如1n n n ka a pa q+=+, 取倒后11n n n pa q a ka ++=⇒111n n p q a k k a +=+⋅ 很明显就可以按照解1n n a pa q +=+的方法去求解.例 已知数列{}n a , 12a =, 且满足121nn n a a a +=-, 求n a⑵ 形如1mn n a ka +=(0,0)n k a >>, 两边取对数有1lg lg lg n n a m a k +=+ 构造数列{}n b 且lg n n b a = ⇒1lg n n b mb k +=+例 若数列{}n a 中, 1a =2且31n n a a +=, 求n a6 分式递推已知数列1a 的值且数列满足1()n n n a a ba abc d c a d+⋅+=≠⋅⋅≠⋅+为常数, c 0, a d-b c 0,那么称方程a x bx c x d⋅+=⋅+为数列{}n a 的特征方程, 方程的解1x , 2x 为其特征根.那么:()1若121,x x a ≠, 且12x x ≠, 则111122n n n n a x a xk a x a x ++--=⋅-- .()2若121x x a =≠, 且0a d +≠, 则11111n n t a x a x +=+-- .()3若121x x a ==, 则1n a a =, {}n a 为常数数列.练习 已知正数数列{}n a , 112a =, 245a =, 且满足11212n n n a a a --+=+，求通项公式.解 11212n n n a a a --+=+, 其特征方程为212x x x +=+则解得特征根为: 11x =, 21x =- 则有111111n n n n a a k a a ----=++, 而112a =, 245a = 则 13k =, 则数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是首项为13-,公比为13的等比数列. 那么1111()133n n n a a --=-⋅+ ⇒ 3131n n n a -=+当 1n =时, 112a =所以数列{}n a 的通项 3131n n n a -=+.练习 已知数列{}n a 满足12a =, 121n n na a a +-=, 求通项. （11n a n=-）。
数学分析(下)8-3有理函数和可化为有理函数的不定积分
§3 有理函数和可化为一、有理函数的部分分式分解本节给出了求有理函数等有关类型的四、某些无理函数的不定积分三、三角函数有理式的不定积分二、有理真分式的递推公式有理函数的不定积分不定积分的方法与步骤.返回C x B +i A(ii),p t x =+令22,,p pL r q N M =-=-则2,k 时³111æö432x x x x24910 -++-11d x12x +21(22)1 x x--+对三角函数有理式的不定积分, 在某些条件下还可(iii)(,)(,),tan .R u v R u v t x --==若可作变换(i)(,)(,),cos ;R u v R u v t x -=-=若可作变换(ii)(,)(,),sin ;R u v R u v t x -=-=若可作变换?为什么以上变换可使不定积分简化(i),R 若满足条件由代数学知识可知,存在有理函0,R 数使得选用如下三种变换, 使不定积分简化.因此=--ò2(1cos ,cos )d(cos )R x x x 20(,)(,).R u v R u v u =0(ii),,R R 若满足条件则存在有理函数使得20(,)(,).R u v R u v v =类似可得2(1,)d .R t t t =--ò=òò2(sin ,cos )d (sin ,cos )sin d R x x x R x x x x2sin òx.)0(,d òab x32 31129 x t t-+33d òx22d223 x x x--注1对于本题来说,方法2 显然比方法1 简捷.作业P200：1（2)、（3）、（6）；2（1）、（3）、（5）。
高中精品-数学求递推数列通项公式的十种策略例析
3.3递推数列一、基本知识简述1．有关概念：我们在研究数列{a n }时，如果任一项a n 与它的前一项1-n a （或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。
通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。
主要有以下几种方法：（1） 构造法：通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项.（2） 迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项.（3） 代换法：包括代数代换、三角代换等（4） 待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。
3.思想策略：构造新数列的思想。
4.常见类型： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）类型II :分式线性递推数列:)0(1≠++=+A BAa DCa a n n n二、例题：例1：231+=-n n a a ，21=a ，求通项n a分析：构造辅助数列， )1(311+=+-n n a a ，则13-=nn a求通项过程中，多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式n a 。
[一般形式] 已知q pa a n n +=-1，a a =1，其中p,q,a 为常数，求通项n a [同类变式]已知数列}{n a 满足)12(21-+=+n a a n n ，且21=a ，求通项n a分析：（待定系数），构造数列}{b kn a n ++使其为等比数列， 即)(2)1(1b kn a b n k a n n ++=++++，解得1,2==b k求得12251--⋅=-n a n n[归纳]： 类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）1)(=n p 时,)(1n q a a n n +=+利用累加法，将)1(1-+=-n q a a n n ，=-1n a 2-n a +)2(-n q ,=2a 1a +)1(q …,各式相加，得 =n a 1a +∑-=11)(n k k q (n ≥2)(2)0)(=n q 时,n n a n p a )(1=+;利用累乘法,∏-==111)(n k n k p a a（3）q n q p n p ==)(,)(时,)0(1≠+=+p qpa a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列法1：(常数变易法) 设)(1x a p x a n n +=+- 则)1(1-+=-p x pa a n n ，从而1-=p qx 亦即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 是以1-+p q a n为首项，公比为p 的等比数列， 从而可得：11)1(1--+=-+n n p p qa p q a ， 1)1(1---+=-p q p p q a a n n 1])1([1--⋅+-=-p q p q p a n法2：)(211----=-n n n n a a p a a利用{}1--n n a a 成等比数列求出1--n n a a ，再利用迭代或迭另法求出n a 法3：由q pa a n n +=-1，则可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=-------21221221111........p q p a p a p qp a pa p q p a p a n n n n n nn n nn,从而又可得n n n p q p q p q p a p a ++++=...321 即)]...11([121-+++⋅+=n nn pq p p p q p a p a 1])1([1--⋅+-=-p qp q p a n（4）q n q p n p ==)(,)(n时,)0(1≠+=+p qpa a n n n两边同除以np例2：数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.例3：数列}{n a 中，且311=a ，1221+=+n nn a a a ，求数列}{n a 的通项公式.[提示]112111+=+nn a a[归纳]：类型II :分式线性递推数列:)0(1≠++=+A BAa DCa a n n n练习：1.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。
数列通项公式大全
数列{}n a 通项公式专题☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆前言：递推公式就是用等式给出一个数列任意相邻项之间存在的规律，是对数列规律的一种呈现方式。
最简单的是给出任意相邻两项之间的规律，并给出第一项的值；也有给出任意相邻三项之间的规律，并给出第一项和第二项的值。
根据这样的递推公式，我们可以依次求出已知项的后一项，再后一项……，还可以求出数列的通项公式。
递推公式与通项公式的相同之处都是揭示数列存在的规律；不同之处在于前者揭示的是任意相邻项之间的规律，后者揭示的是任一项与项数之间的规律。
（一）整式型 1.累加法 2.累乘法 3.构造法 4.对数法 （二）分式型 1.倒数法 2.函数不动点法 深圳金桥家教网（三）其它类型 1.特征方程法 2.分段数列 3.周期数列 4.数学归纳法 5.迭代法6.含n S 型（公式法）7.逐代法+解方程法☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆（一）整式型1.累加法形如)(1n f a a n n =-+型，若f(n)为n 的函数时，用累加法.1.（2003天津文）已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a2.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.答案：12+-n n3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .4.(2008福建文)已知{}n a 是整数组成的数列，11a =，且点*1)()n a n N +∈在函数21y x =+的图像上：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足111,2n an n b b b +==+，求证：221n n n b b b ++⋅< 5．（2007北京文、理)（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．2.累乘法形如)(1n f a a nn =+型，当f(n)为n 的函数时,用累乘法.1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求数列{}n a 的通项公式。
数列的概念、等差等比数列
数列的概念、等差等比数列【知识梳理】1.数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列可以看作一个定义域为正整数集N *或它的有限子集},,2,1{n ⋅⋅⋅上的函数)(n f ，当自变量（项数）从小到大依次取值时所对应的一列函数值。
2.数列的分类：(1)按元素个数分：①有穷数列②无穷数列； (2)按元素性质分：①常数列：1a a n =②摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列． 例如在0的左右摆动的数列，如-1,0,1,0,-1,0,1...又如n n n n n a a b a n bn aa )2()21(,((-=-=⎩⎨⎧=或均为常数或，为正偶数）为正奇数）③等差数列：为常数，d d a a n n =-+1 ④等比数列：为非零常数，q q a a nn =+1⑤线性递推数列：均为非零常数、，q p q pa a n n +=+1 ⑥类F 数列：均为非零常数、，q p qa pa a n n n +=++12(3)按元素的有界性分：①有界数列：成立，都有，对任意若存在正数M ||≤∈*n a N n M ②无界数列：成立，都有，对任意不存在正数M ||≤∈*n a N n M3.通项公式：若数列}{n a 的项n a 与项数n 之间的对应关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式：*))((N n n f a n ∈=。
注意：仅已知数列的有限项，其通项并不为唯一，如-=n a n 3,10,7,4,1的通项可以用为任意常数。
，其中表示外，还可以写作：p n n n n p n a n )4)(3)(2)(1(232----+-=4.递推数列：已知初始若干项的值，并用相邻几项关系式给出的数列，称为递推数列。
(1)数列递推公式的定义：如果数列}{n a 的任一项都可以表示成它的前一项或前几项的函数的形式，则这个函数形式称为数列}{n a 的一个递推公式；反之，任给函数y = f(x)，x 、y 分别用1+n n x x 、替换，并给定首项1x ，则得到数列}{n x 的一个递推公式)(1n n x f x =+。
专题 构造法求数列通项的八种技巧
专题 构造法求数列通项的八种技巧【必备知识点】◆构造一:待定系数之1n n a Aa B +=+型构造等比数列求关于1n n a Aa B +=+(其中,A B 均为常数,(1)0AB A -≠)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为()1n n a M A a M ++=+,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.◆构造二:待定系数之1n n a Aa Bn C +=++型构造等比数列求关于1(1,0,0)n n a Aa Bn C A C B +=++≠≠≠类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项pn 再构造等比数列就可以,即令()1(1)n n a p n q A a pn q ++++=++,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,p q ,从而得到{}n a pn q ++是公比为A 的等比数列.◆构造三:待定系数之1n n n a pa q +=+型构造数列求关于1nn n a pa q +=+(其中,p q 均为常数,(1)0pq p -≠)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为()11n n n n a q p a q λλ+++=+,根据对应项系数相等求出λ的值,再利用换元法转化为等比数列求解. 方法二:先在递推公式两边同除以1n q+,得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,引入辅助数列{}n b (其中n b nna q=),得11n n p b b q q+=⋅+,再利用待定系数法解决； 方法二:也可以在原递推公式两边同除以1n p +,得111nn n n n a a q p p p p ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭,引入辅助数列{}n b (其中n n na b p =),得11n n b b p +-=⋅.nq p ⎛⎫⎪⎝⎭,再利用叠加法(逐差相加法)求解. ◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2nnna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列. 模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.◆构造五:取倒数构造等差类型一:数列{}n a 满足:1n n n ba a ka b+=+,则有111n n n n b ka ka ba ab ++==+. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,kb 为公差的等差数列,即111(1)n k n a a b =+-.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 类型二:数列{}n a 满足:1112n n n n na a a a a -+-=-,则有11111211111n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+--=⇔-=-. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.类型三:若数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足10n n n a kS S -+=,则有110n n n n S S kS S ---+=,两边同除以1n n S S -得:111n n k S S --=,故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,k 为公差的等差数列,即111(1)n n k S a =+-,再用1n n n a S S -=-,求{}n a .◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n kb b b ac a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .此方法可以解决大多数的11n n n a Aa Ba +-=+,1A B +=模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造{}1n n a a +-成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.秒杀求法:21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠类通项公式暴力秒杀求法21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠对应的特征方程为:2x px q =+,设其两根为12,x x当12x x ≠时, 2212n n n a Ax Bx --=+，当12x x =时, 21()n n a An B x -=+其中A ,B 的值的求法,用12,a a 的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)针对1n n n ax bx cx d++=+这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数()f x ,若存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x x =是函数()f x 的不动点. 在几何上，曲线()y f x =与曲线y x =的交点的横坐标即为函数()f x 的不动点.一般地,数列{}n x 的递推式可以由公式()1n n x f x +=给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列{}n x ,若其递推式为()1n n x f x +=,且存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x 是数列{}n x 的不动点。
四类递推数列通项公式的推导及应用
与递推式比较可得:
kq 1-
p k
=
a , pq = -
b,
q1-
kp k
=
c
据此可求得 p 、q 、k .
又: 由设式知
an + an +
p q
=
kn-
1
∀
a1 + a1 +
p q
an =
kn- 1 q 1- kn-
pq
a1 +
q - kn- 1p 1- kn- 1
=
kn- 1q ( a1 + p ) - p ( a1 + q) ( a1 + q ) - kn- 1( a1 + p )
p= 1 解得: q = - 2
k =- 2
p =- 2
或 q= 1
k=-
1 2
代入 (得:
an =
1- (- 2) n+ 1 (- 2) n - 1
例 2. 已 知: a1 = 1 ,
b1 =
2 , 且:
an+ 1 = bn+ 1 =
3an 5an -
2bn 4bn
,
求:
an 与 bn
解: 容易求得: a2 = - 1 , b2 = - 3 按照 )有: an+ 2 = - an+ 1 + 2an 特征方程: x 2+ x - 2 = 0 的特征根是: x1 =
递推式可变形为: an+ 2 - x 1an+ 1 = x 2( an+ 1 - x 1 an )
收稿日期: 2000- 04- 28 作者简介: 谭振雷( 1963- ) , 男, 江西都昌人, 讲师。
数列递推式变形的六种策略 (1)
数列递推式变形的六种策略陕西省汉中市405学校 刘正章以递推形式给出的数列，我们解决的基本策略是对递推式进行转化变形，这一步实施起来起技巧性强，往往成为解题的难点。
为克服这类难点，笔者总结几种数列递推式的变形策略，供参考。
策略一待定系数法例1已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈N *)（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足n n b n b b b a )1(44411121+=--- (n ∈N *),证明:{b n }是等差数列。
（Ⅲ）略.解析：（Ⅰ）令)(21λλ+=++n n a a ，则λ+=+n n a a 21，与已知a n +1=2 a n +1（n ∈N ）比较，得1=λ， ∴已知递推式可化为a n +1+1=2(a n +1),∴{}1+n a 是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列。
∴a n +1=2n ，即 a n =2n －1(n ∈N *).（II ）见后.例2 已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式； 解析：令)(112n n n n a a a a λμλ+=++++，则n n n a a a μλλμ+-=++12)(与已知比较得⎩⎨⎧-==-23μλλμ，解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==2112λμλμ或任取其中一组解（不妨取第一组），则条件化为)(2112n n n n a a a a -=-+++ {}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。
于是*12(),n n n a a n N +-=∈∴)(1111in i i n a aa a -+=∑-=+12-=n . 归纳：①满足d ca a n n +=+1（c 、d 为常数且c ≠0）的递推式均可通过待定系数法转化成)(21λλ+=++n n a a 的形式，而许多数列的递推关系都可以转化为d ca a n n +=+1的形式。
求数列通项公式的七种模型
一、高考数列求通项公式模型【简便记忆】二．高考数列求通项公式【详细解读】1．【归纳法】 适用于：列举法给出的数列模型即1234,a a a a ,,···； 【模型特征】：给出数列的前几项，通过归纳、猜想、找规律。
【求解方法】根据1(2)34⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（）相邻项的特征分式中分子、分母的特征（）拆项后的特征（）各项的序号与项之间的变与不变特征例1.根据数列前几项，写出下列各数列的一个通项公式。
（1）—1，7，—13，19，···； （2）0.8, 0.88，0.888，···； （3）115132961,,,,,248163264--，···； ●点评：该法属于不完全归纳法，仅用来解选择、填空题，对于大题，用此法还要用数学归纳法进行证明，另外求得的通项公式一定要代值检验，以防出错。
2．【累加法】 适用于：1()n n a a f n +=+模型（先累后求和） 【模型特征】：1()n n a a f n +、系数相同，作差，是关于n 的函数。
【求解方法】221()(()()-=()()()1()()(1)n n f n pn q f n pn qn r a a f n f n pq r f n n n +=+⇒⎧⎪=++⇒⎪⎪=+⇒⎨⎪⎪=⇒+⎪⎩一次型）等差求和二次型分组求和指数型等比求和分式型裂项求和化为例2． 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
（一次型） 答案：等差求和2n a n =例3. 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
（指数型） 答案：等比求和31n n a n =+-练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且写*12()n n a a n n N +=+∈出数列{}n a 的通项公式. （一次型）答案：等差求和21n a n n =-+练习2.已知数列}{n a 满足13a =，11(2)(1)n n a a n n n -=+≥-，求此数列的通项公式.答案：裂项求和12n a n=-3．【累乘法】 适用于： 1()n n a f n a += 模型（先累后求商）【模型特征】1()n n a a f n +、系数相同，作商，是关于n 分式型的函数。
由数列的递推公式求通项公式
由数列的递推公式求通项公式邓启龙(广东省中山纪念中学ꎬ广东中山５２８４５４)摘㊀要:数列的递推公式类型多样ꎬ有累加型递推㊁累乘型递推㊁线性递推㊁分式递推㊁二阶线性递推等.由数列的递推公式求通项公式是数列学习中的重点和难点ꎬ本文利用累加法㊁累乘法和待定系数法等ꎬ构造等差或等比数列ꎬ解决了这些数列由递推公式求通项公式的问题.关键词:数列ꎻ递推公式ꎻ通项公式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－０００２－０５收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:邓启龙(１９８７.３－)ꎬ男ꎬ江西省遂川人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀如果已知数列ａｎ{}的第１项(或前几项)ꎬ且任一项ａｎ与它的前一项ａｎ－１(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示ꎬ那么这个公式叫做数列的递推公式.数列的递推公式类型多样ꎬ有累加型递推㊁累乘型递推㊁线性递推㊁分式递推㊁二阶线性递推等.由数列的递推公式求通项公式是数列学习中的重点和难点ꎬ本文利用累加法㊁累乘法和待定系数法等构造等差或等比数列ꎬ解决了这些数列由递推公式求通项公式的问题.类型１㊀ａｎ＋１＝ａｎ＋ｆ(ｎ).方法１㊀累加法.由ａｎ＋１＝ａｎ＋ｆ(ｎ)ꎬ得ａｎ＋１－ａｎ＝ｆ(ｎ).当ｎȡ２时ꎬａｎ＝ａ１＋(ａ２－ａ１)＋(ａ３－ａ２)＋＋(ａｎ－ａｎ－１)＝ａ１＋ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(ｎ－１).方法２㊀构造常数列ａｎ－ｂｎ{}.若ｆ(ｎ)＝ｂｎ＋１－ｂｎꎬ则ａｎ＋１＝ａｎ＋ｂｎ＋１－ｂｎ.于是ａｎ＋１－ｂｎ＋１＝ａｎ－ｂｎ.所以ａｎ－ｂｎ{}是常数列.于是ａｎ－ｂｎ＝ａ１－ｂ１ꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝ｂｎ＋ａ１－ｂ１ꎬｎɪＮ∗.例１㊀在数列ａｎ{}中ꎬａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａｎ＋１ｎ(ｎ＋１)ꎬ求ａｎ{}的通项公式.解法１㊀由ａｎ＋１＝ａｎ＋１ｎ(ｎ＋１)ꎬ得ａｎ＋１－ａｎ＝１ｎ(ｎ＋１).当ｎȡ２时ꎬａｎ＝ａ１＋(ａ２－ａ１)＋(ａ３－ａ２)＋ ＋(ａｎ－ａｎ－１)＝１＋１１ˑ２＋１２ˑ３＋ ＋１(ｎ－１)ｎ＝１＋１－１２＋１２－１３＋ ＋１ｎ－１－１ｎ＝２－１ｎꎬ又ａ１＝１ꎬ所以ａｎ＝２－１ｎꎬｎɪＮ∗.解法２㊀由ａｎ＋１＝ａｎ＋１ｎ(ｎ＋１)＝ａｎ＋１ｎ－１ｎ＋１ꎬ得ａｎ＋１＋１ｎ＋１＝ａｎ＋１ｎ.所以ａｎ＋１ｎ{}是常数列.于是ａｎ＋１ｎ＝ａ１＋１＝２ꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝２－１ｎꎬｎɪＮ∗.类型２㊀ａｎ＋１＝ｆ(ｎ)ａｎ.方法１㊀累乘法.由ａｎ＋１＝ｆ(ｎ)ａｎꎬ得ａｎ＋１ａｎ＝ｆ(ｎ).当ｎȡ２时ꎬａｎ＝ａ１ａ２ａ１ ａ３ａ２ ａｎａｎ－１＝ａ１ｆ(１) ｆ(２) ｆ(ｎ－１).方法２㊀构造常数列ａｎｂｎ{}.若ｆ(ｎ)＝ｂｎ＋１ｂｎꎬ则ａｎ＋１＝ｂｎ＋１ｂｎａｎ.于是ａｎ＋１ｂｎ＋１＝ａｎｂｎ.所以ａｎｂｎ{}是常数列.于是ａｎｂｎ＝ａ１ｂ１ꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝ａ１ｂｎｂ１ꎬｎɪＮ∗.例２㊀在数列ａｎ{}中ꎬａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ｎ＋２ｎａｎꎬ求ａｎ{}的通项公式.解法１㊀由ａｎ＋１＝ｎ＋２ｎａｎꎬ得ａｎ＋１ａｎ＝ｎ＋２ｎ.当ｎȡ３时ꎬａｎ＝ａ１ａ２ａ１ ａ３ａ２ ａｎａｎ－１＝１ˑ３１ˑ４２ˑ ˑｎ＋１ｎ－１＝ｎ(ｎ＋１)２.又ａ１＝１ꎬａ２＝３ａ１＝３ꎬ所以ａｎ＝ｎ(ｎ＋１)２ꎬｎɪＮ∗.解法２㊀由ａｎ＋１＝ｎ＋２ｎａｎꎬ得ａｎ＋１(ｎ＋１)(ｎ＋２)＝ａｎｎ(ｎ＋１).所以ａｎｎ(ｎ＋１){}是常数列.于是ａｎｎ(ｎ＋１)＝ａ１２＝１２ꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝ｎ(ｎ＋１)２ꎬｎɪＮ∗.类型３㊀ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂ(ａʂ０ꎬ１).方法㊀构造等比数列ａｎ＋ｘ{}ꎬ其中ｘ由待定系数法确定.由ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂꎬ得ａｎ＋１＋ｘ＝ａａｎ＋ｂ＋ｘ＝ａ(ａｎ＋ｂ＋ｘａ).令ｘ＝ｂ＋ｘａꎬ解得ｘ＝ｂａ－１.于是ａｎ＋１＋ｘ＝ａ(ａｎ＋ｘ).所以ａｎ＋ｘ{}是等比数列ꎬ其中ｘ＝ｂａ－１.例３㊀在数列ａｎ{}中ꎬａ１＝１ꎬａｎ＋１＝３ａｎ＋１ꎬ求ａｎ{}的通项公式.解析㊀由ａｎ＋１＝３ａｎ＋１ꎬ得ａｎ＋１＋ｘ＝３ａｎ＋１＋ｘ＝３(ａｎ＋１＋ｘ３).令ｘ＝１＋ｘ３ꎬ解得ｘ＝１２.于是ａｎ＋１＋１２＝３(ａｎ＋１２).所以ａｎ＋１２{}是首项为ａ１＋１２ꎬ公比为３的等比数列.于是ａｎ＋１２＝(ａ１＋１２) ３ｎ－１＝３ｎ２ꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝３ｎ－１２ꎬｎɪＮ∗.类型４㊀ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂｎ＋ｃ(ａʂ０ꎬ１).方法㊀构造等比数列ａｎ＋ｘｎ＋ｙ{}ꎬ其中ｘꎬｙ由待定系数法确定.由ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂｎ＋ｃꎬ得ａｎ＋１＋ｘ(ｎ＋１)＋ｙ＝ａａｎ＋ｂｎ＋ｃ＋ｘ(ｎ＋１)＋ｙ＝ａａｎ＋(ｂ＋ｘ)ｎ＋ｃ＋ｘ＋ｙ＝ａ(ａｎ＋ｂ＋ｘａｎ＋ｃ＋ｘ＋ｙａ).令ｘ＝ｂ＋ｘａꎬｙ＝ｃ＋ｘ＋ｙａꎬìîíïïïï解得ｘ＝ｂａ－１ꎬｙ＝ｂ(ａ－１)２＋ｃａ－１.于是ａｎ＋１＋ｘ(ｎ＋１)＋ｙ＝ａ(ａｎ＋ｘｎ＋ｙ).所以ａｎ＋ｘｎ＋ｙ{}是等比数列ꎬ其中ｘ＝ｂａ－１ꎬｙ＝ｂ(ａ－１)２＋ｃａ－１.例４㊀在数列ａｎ{}中ꎬａ１＝１ꎬａｎ＋１＝２ａｎ＋ｎ－１ꎬ求ａｎ{}的通项公式.解析㊀由ａｎ＋１＝２ａｎ＋ｎ－１ꎬ得ａｎ＋１＋ｘ(ｎ＋１)＋ｙ＝２ａｎ＋ｎ－１＋ｘ(ｎ＋１)＋ｙ＝２ａｎ＋(１＋ｘ)ｎ＋ｘ＋ｙ－１＝２(ａｎ＋１＋ｘ２ｎ＋ｘ＋ｙ－１２).令ｘ＝１＋ｘ２ꎬｙ＝ｘ＋ｙ－１２ꎬìîíïïïï解得ｘ＝１ꎬｙ＝０.于是ａｎ＋１＋ｎ＋１＝２(ａｎ＋ｎ).所以ａｎ＋ｎ{}是首项为ａ１＋１ꎬ公比为２的等比数列.于是ａｎ＋ｎ＝(ａ１＋１) ２ｎ－１＝２ｎꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝２ｎ－ｎꎬｎɪＮ∗.类型５㊀ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂｃｎ(ａʂ０).方法㊀若ａ＝ｃꎬ则构造等差数列ａｎａｎ{}.由ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂａｎꎬ得ａｎ＋１ａｎ＋１＝ａｎａｎ＋ｂａ.所以ａｎａｎ{}是等差数列.若ａʂｃꎬ则构造等比数列ａｎ＋ｘｃｎ{}ꎬ其中ｘ由待定系数法确定.由ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂｃｎꎬ得ａｎ＋１＋ｘｃｎ＋１＝ａａｎ＋ｂｃｎ＋ｘｃｎ＋１＝ａａｎ＋(ｂ＋ｃｘ)ｃｎ＝ａ(ａｎ＋ｂ＋ｃｘａｃｎ).令ｘ＝ｂ＋ｃｘａꎬ解得ｘ＝ｂａ－ｃ.于是ａｎ＋１＋ｘｃｎ＋１＝ａ(ａｎ＋ｘｃｎ).所以ａｎ＋ｘｃｎ{}是等比数列ꎬ其中ｘ＝ｂａ－ｃ.例５㊀在数列ａｎ{}中ꎬａ１＝３ꎬａｎ＋１＝２ａｎ＋３ˑ５ｎꎬ求ａｎ{}的通项公式.解析㊀由ａｎ＋１＝２ａｎ＋３ˑ５ｎꎬ得ａｎ＋１＋ｘ ５ｎ＋１＝２ａｎ＋３ˑ５ｎ＋ｘ ５ｎ＋１＝２ａｎ＋(３＋５ｘ)５ｎ＝２(ａｎ＋３＋５ｘ２５ｎ).令ｘ＝３＋５ｘ２ꎬ解得ｘ＝－１.于是ａｎ＋１－５ｎ＋１＝２(ａｎ－５ｎ).所以ａｎ－５ｎ{}是首项为ａ１－５ꎬ公比为２的等比数列.于是ａｎ－５ｎ＝(ａ１－５) ２ｎ－１＝－２ｎꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝５ｎ－２ｎꎬｎɪＮ∗.类型６㊀ａｎ＋１＝ａａｎｃａｎ＋ｄ(ａｄʂ０).方法㊀构造数列１ａｎ{}.由ａｎ＋１＝ａａｎｃａｎ＋ｄꎬ得１ａｎ＋１＝ｃａｎ＋ｄａａｎ＝ｄａ １ａｎ＋ｃａ.若ａ＝ｄꎬ则１ａｎ{}是等差数列ꎻ若ａʂｄꎬ则１ａｎ{}属于类型３.例６㊀在数列ａｎ{}中ꎬａ１＝２３ꎬａｎ＋１＝２ａｎａｎ＋１ꎬ求ａｎ{}的通项公式.解析㊀由ａｎ＋１＝２ａｎａｎ＋１ꎬ得１ａｎ＋１＝ａｎ＋１２ａｎ＝１２ １ａｎ＋１２.于是１ａｎ＋１－１＝１２ １ａｎ－１２＝１２(１ａｎ－１).所以１ａｎ－１{}是首项为１ａ１－１ꎬ公比为１２的等比数列.于是１ａｎ－１＝(１ａ１－１) (１２)ｎ－１＝１２ｎꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝２ｎ２ｎ＋１ꎬｎɪＮ∗.类型７㊀ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂｃａｎ＋ｄ(ｃʂ０).方法㊀不动点法.递推公式是ａｎ＋１＝ｆ(ａｎ)ꎬ其中ｆ(ｘ)＝ａｘ＋ｂｃｘ＋ｄ.由ａｎ＋１＝ａａｎ＋ｂｃａｎ＋ｄꎬ得ａｎ＋１－ｘ＝ａａｎ＋ｂｃａｎ＋ｄ－ｘ＝(ａ－ｃｘ)ａｎ＋ｂ－ｄｘｃａｎ＋ｄ＝(ａ－ｃｘ)(ａｎ＋ｂ－ｄｘａ－ｃｘ)ｃａｎ＋ｄ.令－ｘ＝ｂ－ｄｘａ－ｃｘꎬ得ａｘ＋ｂｃｘ＋ｄ＝ｘ.即ｆ(ｘ)＝ｘ.方程ｆ(ｘ)＝ｘ的根是ｆ(ｘ)的不动点.若ｆ(ｘ)有两个不动点ｘ１ꎬｘ２ꎬ则ａｎ＋１－ｘ１＝(ａ－ｃｘ１)(ａｎ－ｘ１)ｃａｎ＋ｄꎬａｎ＋１－ｘ２＝(ａ－ｃｘ２)(ａｎ－ｘ２)ｃａｎ＋ｄꎬ两式相除ꎬ得ａｎ＋１－ｘ１ａｎ＋１－ｘ２＝ａ－ｃｘ１ａ－ｃｘ２ ａｎ－ｘ１ａｎ－ｘ２.所以ａｎ－ｘ１ａｎ－ｘ２{}是等比数列.若ｆ(ｘ)只有一个不动点ｘ０ꎬ即方程ｃｘ２＋(ｄ－ａ)ｘ－ｂ＝０有两个相等的根ｘ０ꎬ则２ｘ０＝ａ－ｄｃꎬ得ｄ＝ａ－２ｃｘ０.于是ａｎ＋１－ｘ０＝(ａ－ｃｘ０)(ａｎ－ｘ０)ｃａｎ＋ｄ＝(ａ－ｃｘ０)(ａｎ－ｘ０)ｃａｎ＋ａ－２ｃｘ０＝(ａ－ｃｘ０)(ａｎ－ｘ０)ｃ(ａｎ－ｘ０)＋ａ－ｃｘ０.得１ａｎ＋１－ｘ０＝１ａｎ－ｘ０＋ｃａ－ｃｘ０.所以１ａｎ－ｘ０{}是等差数列.例７㊀在数列ａｎ{}中ꎬａ１＝０ꎬａｎ＋１＝１１ａｎ－８２ａｎ＋３ꎬ求ａｎ{}的通项公式.解析㊀设ｆ(ｘ)＝１１ｘ－８２ｘ＋３ꎬ由ｆ(ｘ)＝ｘꎬ得ｘ２－４ｘ＋４＝０ꎬ解得ｘ＝２.由ａｎ＋１－２＝１１ａｎ－８２ａｎ＋３－２＝７(ａｎ－２)２ａｎ＋３ꎬ得１ａｎ＋１－２＝２ａｎ＋３７(ａｎ－２)＝１ａｎ－２＋２７.所以１ａｎ－２{}是首项为１ａ１－２ꎬ公差为２７的等差数列.于是１ａｎ－２＝１ａ１－２＋２７(ｎ－１)＝４ｎ－１１１４ꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝８(ｎ－１)４ｎ－１１ꎬｎɪＮ∗.类型８㊀ａｎ＋１＝ａａ２ｎ＋ｂ２ａａｎ＋ｃ(ａʂ０).方法㊀不动点法.递推公式是ａｎ＋１＝ｆ(ａｎ)ꎬ其中ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋ｂ２ａｘ＋ｃ.由ａｎ＋１＝ａａ２ｎ＋ｂ２ａａｎ＋ｃｍꎬ得ａｎ＋１－ｘ＝ａａ２ｎ＋ｂ２ａａｎ＋ｃ－ｘ＝ａａ２ｎ－２ａｘａｎ＋ｂ－ｃｘ２ａａｎ＋ｃ＝ａ(ａｎ－ｘ)２＋ｂ－ｃｘ－ａｘ２２ａａｎ＋ｃ.令ｂ－ｃｘ－ａｘ２＝０ꎬ得ａｘ２＋ｂ２ａｘ＋ｃ＝ｘ.即ｆ(ｘ)＝ｘ.方程ｆ(ｘ)＝ｘ的根是ｆ(ｘ)的不动点.若ｆ(ｘ)有两个不动点ｘ１ꎬｘ２ꎬ则ａｎ＋１－ｘ１＝ａ(ａｎ－ｘ１)２２ａａｎ＋ｃꎬａｎ＋１－ｘ２＝ａ(ａｎ－ｘ２)２２ａａｎ＋ｃ.两式相除ꎬ得ａｎ＋１－ｘ１ａｎ＋１－ｘ２＝ａｎ－ｘ１ａｎ－ｘ２æèçöø÷２.所以ａｎ－ｘ１ａｎ－ｘ２＝ａ１－ｘ１ａ１－ｘ２æèçöø÷２ｎ－１.若ｆ(ｘ)只有一个不动点ｘ０ꎬ即方程ａｘ２＋ｃｘ－ｂ＝０有两个相等的根ｘ０ꎬ则２ｘ０＝－ｃａꎬ得ｃ＝－２ａｘ０.于是ａｎ＋１－ｘ０＝ａ(ａｎ－ｘ０)２２ａａｎ＋ｃ＝ａ(ａｎ－ｘ０)２２ａａｎ－２ａｘ０＝ａｎ－ｘ０２ꎬ所以ａｎ－ｘ０{}是等比数列.例８㊀在数列ａｎ{}中ꎬａ１＝０ꎬａｎ＋１＝ａ２ｎ－２２ａｎ－３ꎬ求ａｎ{}的通项公式.解析㊀设ｆ(ｘ)＝ｘ２－２２ｘ－３ꎬ由ｆ(ｘ)＝ｘꎬ得ｘ２－３ｘ＋２＝０ꎬ解得ｘ＝１ꎬｘ＝２.由ａｎ＋１－１ａｎ＋１－２＝ａ２ｎ－２２ａｎ－３－１ａ２ｎ－２２ａｎ－３－２＝ａ２ｎ－２ａｎ＋１ａ２ｎ－４ａｎ＋４＝ａｎ－１ａｎ－２æèçöø÷２ꎬ得ａｎ－１ａｎ－２＝ａ１－１ａ１－２æèçöø÷２ｎ－１＝１２２ｎ－１ꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝２２ｎ－１－２２２ｎ－１－１ꎬｎɪＮ∗.类型９㊀ａｎ＋２＝ａａｎ＋１＋ｂａｎ(ｂʂ０).方法㊀特征根法.由ａｎ＋２＝ａａｎ＋１＋ｂａｎꎬ得ａｎ＋２－ｘａｎ＋１＝(ａ－ｘ)ａｎ＋１＋ｂａｎ＝(ａ－ｘ)(ａｎ＋１＋ｂａ－ｘａｎ).令－ｘ＝ｂａ－ｘꎬ得ｘ２＝ａｘ＋ｂ.方程ｘ２＝ａｘ＋ｂ为特征方程ꎬ方程ｘ２＝ａｘ＋ｂ的根为特征根.若特征方程ｘ２＝ａｘ＋ｂ有两个特征根ｘ１ꎬｘ２ꎬ则ａ＝ｘ１＋ｘ２ꎬｂ＝－ｘ１ｘ２.由ａｎ＋２－ｘ１ａｎ＋１＝(ａ－ｘ１)(ａｎ＋１－ｘ１ａｎ)＝ｘ２(ａｎ＋１－ｘ１ａｎ)ꎬ得ａｎ＋１－ｘ１ａｎ{}是首项为ａ２－ｘ１ａ１ꎬ公比为ｘ２的等比数列.于是ａｎ＋１－ｘ１ａｎ＝(ａ２－ｘ１ａ１)ｘｎ－１２.由ａｎ＋２－ｘ２ａｎ＋１＝(ａ－ｘ２)(ａｎ＋１－ｘ２ａｎ)＝ｘ１(ａｎ＋１－ｘ２ａｎ)ꎬ得ａｎ＋１－ｘ２ａｎ{}是首项为ａ２－ｘ２ａ１ꎬ公比为ｘ１的等比数列.于是ａｎ＋１－ｘ２ａｎ＝(ａ２－ｘ２ａ１)ｘｎ－１１.联立以上两式消去ａｎ＋１ꎬ得ａｎ＝ｃ１ｘｎ１＋ｃ２ｘｎ２ꎬ其中ｃ１ꎬｃ２由ａ１ꎬａ２确定.若特征方程ｘ２＝ａｘ＋ｂ只有一个特征根ｘ０ꎬ则ａ＝２ｘ０ꎬｂ＝－ｘ２０.于是ａｎ＋２＝２ｘ０ａｎ＋１－ｘ２０ａｎ.由ａｎ＋２ｘｎ＋２０＝２ａｎ＋１ｘｎ＋１０－ａｎｘｎ０ꎬ得ａｎｘｎ０＋ａｎ＋２ｘｎ＋２０＝２ ａｎ＋１ｘｎ＋１０.所以ａｎｘｎ０{}是等差数列.于是ａｎｘｎ０＝ｃ１ｎ＋ｃ２.所以ａｎ＝(ｃ１ｎ＋ｃ２)ｘｎ０ꎬ其中ｃ１ꎬｃ２由ａ１ꎬａ２确定.例９㊀已知ａ１＝０ꎬａ２＝１且ａｎ＋２＝６ａｎ＋１－９ａｎꎬ求ａｎ{}的通项公式.解析㊀特征方程为ｘ２＝６ｘ－９ꎬ只有一个特征根３.由ａｎ＋２＝６ａｎ＋１－９ａｎꎬ得ａｎ＋２３ｎ＋２＝２ａｎ＋１３ｎ＋１－ａｎ３ｎ.于是ａｎ３ｎ＋ａｎ＋２３ｎ＋２＝２ ａｎ＋１３ｎ＋１.故ａｎ３ｎ{}是首项为ａ１３ꎬ公差为ａ２３２－ａ１３的等差数列.故ａｎ３ｎ＝ａ１３＋(ｎ－１)(ａ２３２－ａ１３)＝ｎ－１９ꎬｎɪＮ∗.所以ａｎ＝(ｎ－１)３ｎ－２ꎬｎɪＮ∗.参考文献:[１]张卫华.求数列通项公式的策略探究[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２１(２２):１１－１２.[责任编辑:李㊀璟]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学竞赛辅导学案 高一年级 17班 教师 代鹏 学生
分式递推式
学习内容 分式递推式通项公式的求法；
能力培养 代数运算，代数变形能力；
数学方法 不动点法
一．复习回顾
特征方程法求二阶线性递归数列的流程：
二．新课学习
研究分数形式的递推式1nnnpaqaras，由于其形式比较复杂，我们先看些特殊的例子，然后给出一
般结论。
例1 数列na满足
1
1a
， 11nnnaaa，求其通项公式。
例2 数列na用下式确定：
1
2a
， 1254nnnaaa
（1） 若设51nnnaba，试写出数列
n
b
的初值和递推式
（2）
求通项公式na
受例1启发，我们研究
1nnnpaqaras
的一般解法。
例3 1aa，1nnnpaqaras，（r≠0，ps-qr≠0），求na。
练习1 14a，1132(2,3,)4nnnaana，，求na。
练习2
1
1a
，114(2,3,)3nnnaana，，求na
例4
1
25a
，115(1,2,3,)2nnnaana，，求na 三．解决此类问题也是通过构造熟悉的数列，在构造中牵涉到一些系数的选取，我们使用不动点法来求解。 四：课后作业 1.11a，1(1,2,3,)3nnnaana，，求na 2.12a，112(2,3,)21nnnaana，，求na 3.112a，12(1,2,3,)3nnana，，求na
4.12a，2121nnnaaa，，求na
5.12a，212331nnnnaaaa，，求na