算法第5章-第2讲-回溯算法2递归形式
回溯法论文-回溯法的分析与应用
沈阳理工大学算法实践与创新论文摘要对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
为了更加的了解算法，本篇论文中，我们先研究一个算法---回溯法。
回溯法是一种常用的重要的基本设计方法。
它的基本做法是在可能的范围之内搜索，适于解一些组合数相当大的问题。
圆排列描述的是在给定n个大小不等的圆 C1,C2,…,Cn,现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。
圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。
图着色问题用数学定义就是给定一个无向图G=（V, E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。
其优化版本是希望获得最小的K值。
符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。
在本篇论文中，我们将运用回溯法来解决着图的着色问题，符号三角形问题，图排列问题，将此三个问题进行深入的探讨。
关键词: 回溯法图的着色问题符号三角形问题图排列问题目录第1章引言 (1)第2章回溯法的背景 (2)第3章图的着色问题 (4)3.1 问题描述 (4)3.2 四色猜想 (4)3.3 算法设计 (5)3.4 源代码 (6)3.5 运行结果图 (10)第4章符号三角形问题 (11)4.1 问题描述 (11)4.2 算法设计 (11)4.3 源代码 (12)4.4 运行结果图 (16)第5章圆的排列问题 (17)5.1 问题描述 (17)5.2 问题分析 (17)5.3 源代码 (18)5.4 运行结果图 (22)结论 (23)参考文献 (24)第1章引言在现实世界中，有相当一类问题试求问题的全部解或求问题的最优解。
最基本的方法是通过枚举法搜索问题的解空间。
但许多问题解空间的大小随问题规模n的增长呈指数规律增长，这就使问题理论上可解而实际不可行。
动态规划算法
2级
n=4时：有3大类归并法。前1堆后3堆、前2堆后2堆、前3堆后1堆。
因3堆有2种归并法，所以一共5小类归并法。前1堆第1种情况：
4级 3级 2级 1级 13 序号 1
44 31 15 7
2
f(1, 4) = 15 + 31 + 44 = 90 = f(2, 4) + g(1, 4) w不变 = f(2, 3) + g(2, 4) + g(1, 4)
若f(2,4)越小，则f(1,4)就越小。 8
3
16
4
n=4 时：前1堆的第2种情况。
4级 44 31 24 7 2 8 3 f(1, 4) = 24 + 31 + 44 = 99 = f(2, 4) + g(1, 4) w不变 = f(3, 4) + g(2, 4) + g(1, 4) 若f(2,4)越小，则f(1,4)就越小。 16 4 f(1, 4) = 20 + 24 + 44 = 88
的一种通用方法，对最优化问题提出最优性原则，从而创建最优化问题
的一种新算法设计技术——动态规划，它是一种重要的应用数学工具。 至少在计算机科学圈子里，人们不仅用它解决特定类型的最优化问题， 而最终把它作为一种通用的算法设计技术，即包括某些非最优化问题。 多阶段决策过程最优化： 现实世界里有许多问题属于这种情况：它有很多解，应用要求最优解。 穷举法通过找出全部解，再从中选出最优解。这种方法对于那些计算
算法分析与设计习题集整理
算法分析与设计习题集整理第一章算法引论一、填空题：一、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。
二、多项式10()mm A n a n a n a =+++的上界为O(n m )。
3、算法的大体特征：输入、输出、肯定性、有限性。
4、如何从两个方面评价一个算法的好坏：时间复杂度、空间复杂度。
五、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 3) 。
for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++) {c[i][j]=0; for(k=1;k<=n;k++) c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; }六、描述算法常常利用的方式：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD 图。
7、算法设计的大体要求：正确性 和 可读性。
八、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 2) 。
for （i ＝1；i<n; i++）{ y=y+1; for （j ＝0；j <=2n ；j++ ） x ＋＋； }九、计算机求解问题的步骤：问题分析、数学模型成立、算法设计与选择、算法表示、算法分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制。
10、算法是指解决问题的 方式或进程 。
二、简答题：1、依照时间复杂度从低到高排列：O( 4n 2)、O( logn)、O( 3n )、O( 20n)、O( 2)、O( n 2/3), O( n!)应该排在哪一名？答：O( 2)，O( logn)，O( n 2/3)，O( 20n)，O( 4n 2)，O( 3n)，O( n!)2、什么是算法？算法的特征有哪些？答：1）算法：指在解决问题时，依照某种机械步骤必然可以取得问题结果的处置进程。
通俗讲，算法：就是解决问题的方式或进程。
2）特征：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)肯定性 ； ４)有穷性3、给出算法的概念？何谓算法的复杂性？ 计算下例在最坏情况下的时间复杂性？for(j=1;j<=n;j++) (1)for(i=1;i<=n;i++) (2) {c[i][j]=0; (3) for(k=1;k<=n;k++) (4) c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } (5)答：1）概念：指在解决问题时，依照某种机械步骤必然可以取得问题结果的处置进程。
数据结构递归与广义表
第5章递归与广义表一、复习要点本章主要讨论递归过程和广义表。
一个递归的定义可以用递归的过程计算，一个递归的数据结构可以用递归的过程实现它的各种操作，一个递归问题也可以用递归的过程求解。
因此，递归算法的设计是必须掌握的基本功。
递归算法的一般形式：void p ( 参数表) {if( 递归结束条件)可直接求解步骤；基本项else p( 较小的参数);归纳项}在设计递归算法时，可以先考虑在什么条件下可以直接求解。
如果可以直接求解，考虑求解的步骤，设计基本项；如果不能直接求解，考虑是否可以把问题规模缩小求解，设计归纳项，从而给出递归求解的算法。
必须通过多个递归过程的事例，理解递归。
但需要说明的是，递归过程在时间方面是低效的。
广义表是一种表，它的特点是允许表中套表。
因此，它不一定是线性结构。
它可以是复杂的非线性结构，甚至允许递归。
可以用多重链表定义广义表。
在讨论广义表时，特别注意递归在广义表操作实现中的应用。
本章复习的要点：1、基本知识点要求理解递归的概念：什么是递归？递归的定义、递归的数据结构、递归问题以及递归问题的递归求解方法。
理解递归过程的机制与利用递归工作栈实现递归的方法。
通过迷宫问题，理解递归解法，从而掌握利用栈如何实现递归问题的非递归解法。
在广义表方面，要求理解广义表的概念，广义表的几个性质，用图表示广义表的方法，广义表操作的使用，广义表存储结构的实现，广义表的访问算法，以及广义表的递归算法。
2、算法设计求解汉诺塔问题，掌握分治法的解题思路。
求解迷宫问题、八皇后问题，掌握回溯法的解题思路。
对比单链表的递归解法和非递归解法，掌握单向递归问题的迭代解法。
计算广义表结点个数，广义表深度，广义表长度的递归算法。
输出广义表各个原子所在深度的非递归算法。
判断两个广义表相等的递归算法。
广义表的按深度方向遍历和按层次（广度）方向遍历的递归算法。
使用栈的广义表的按深度方向遍历的非递归算法。
递归的广义表的删除算法二、难点与重点1、递归：递归的定义、递归的数据结构、递归问题用递归过程求解链表是递归的数据结构，可用递归过程求解有关链表的问题2、递归实现时栈的应用递归的分层(树形)表示：递归树递归深度(递归树的深度)与递归工作栈的关系单向递归与尾递归的迭代实现3、广义表：广义表定义、长度、深度、表头、表尾用图形表示广义表的存储结构广义表的递归算法，包括复制、求深度、求长度、删除等算法三、教材中习题的解析5-1 已知A[n]为整数数组，试写出实现下列运算的递归算法：(1) 求数组A中的最大整数。
《算法设计与分析》(全)
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序， 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； （2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
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第1章 算法引论
信息学奥赛一本通题解目录-信息学奥赛取消
信息学奥赛一本通题解目录:信息学奥赛取消第1章数论1．1整除1．2同余1．3最大公约数1．3．1辗转相除法1．3．2进制算法1．3．3最小公倍数1．3．4扩展欧几里得算法1．3．5求解线性同余方程1．4逆元1．5中国剩余定理1．6斐波那契数1．7卡特兰数1．8素数1．8．1素数的判定1．8．2素数的相关定理1．8．3Miller-Rabin素数测试1．8．4欧拉定理1．8．5PollardRho算法求大数因子1．9Baby-Step-Giant-Step及扩展算法1．10 欧拉函数的线性筛法1．11本章习题第2章群论2．1置换2．1．1群的定义2．1．2群的运算2．1．3置换2．1．4置换群2．2拟阵2．2．1拟阵的概念2．2．2拟阵上的最优化问题2．3Burnside引理2．4Polya定理2．5本章习题第3章组合数学3．1计数原理3．2稳定婚姻问题3．3组合问题分类3．3．1存在性问题3．3．2计数性问题3．3．3构造性问题3．3．4最优化问题3．4排列3．4．1选排列3．4．2错位排列3．4．3圆排列3．5组合3．6母函数3．6．1普通型母函数3．6．2指数型母函数3．7莫比乌斯反演3．8Lucas定理3．9本章习题第4章概率4．1事与概率4．2古典概率4．3数学期望4．4随机算法4．5概率函数的收敛性4．6本章习题第5章计算几何5．1 解析几何初步5．1．1平面直角坐标系5．1．2点5．1．3直线5．1．4线段5．1．5多边形5．1．6圆5．2矢量及其运算5．2．1矢量的加减法5．2．2矢量的数量积5．2．3矢量的矢量积5．3计算几何的基本算法5．4平面凸包5．5旋转卡壳5．5．1计算距离5．5．2外接矩形5．5．3三角剖分5．5．4凸多边形属性5．6半平面交5．7离散化5．8本章习题第6章矩阵6．1 矩阵及其运算6．1．1矩阵的基本运算6．1．2矩阵的乘法运算6．1．3矩阵的行列式6．1．4矩阵的特殊类别6．2数字方阵6．3线性方程组及其解法6．3．1高斯消元法6．3．2LU分解法6．4 Matrix．Tree定理6．5本章习题第7章函数7．1 函数的基本知识7．1．1 函数的特性7．1．2常见的函数类型7．2函数的单调性7．3函数的凹凸性7．4SG函数7．5快速傅立叶变换7．6快速数论变换7．7 本章习题第一部分 C++语言第一章 C++语言入门T1001 Hello,World!T1002 输出第二个整数T1003 对齐输出T1004 字符三角形T1005 地球人口承载力估计第二章顺序结构程序设计第一节运算符和表达式T1006 A+B问题T1007 计算(a+b)*c的值T1008 计算(a+b)/c的值T1009 带余除法T0 计算分数的浮点数值第二节常量和变量T1 甲流疫情死亡率T2 计算多项式的值T3 温度表达转化T4 与圆相关的计算T5 计算并联电阻的阻值第三节标准数据类型T6 整型数据类型存储空间大小T7 浮点型数据类型存储空间大小T8 其他数据类型存储空间大小T9 浮点数向零舍入T1020 打印ASCII码T1021 打印字符T1022 整型与布尔型的转换T1023 Hello,World!的大小第四节数据输入输出T1024 保留3位小数的浮点数T1025 保留12位小数的浮点数T1026 空格分隔输出T1027 输出浮点数T1028 字符菱形第五节顺序结构实例T1029 计算浮点数相除的余T1030 计算球的体积T1031 反向输出一个三位数T1032 大象喝水T1033 计算线段长度T1034 计算三角形面积T1035 等差数列末项计算T1036 A*B问题T1037 计算2的幂T1038 苹果和虫子第三章程序的控制结构第一节 if选择结构T1039 判断数正负T1040 输出绝对值T1041 奇偶数判断T1042 奇偶ASCII值判断T1043 整数大小比较T1044 判断是否为两位数T1045 收集瓶盖赢大奖T1046 判断一个数能否同时被3和5整除T1047 判断能否被3，5，7整除T1048 有一门课不及格的学生第二节 switch语句T1049 晶晶赴约会T1050 骑车与走路T1051 分段函数T1052 计算邮资T1053 最大数输出T1054 三角形判断T1055 判断闰年T1056 点和正方形的关系T1057 简单计算器T1058 求一元二次方程第四章循环结构的程序设计第一节 for语句T1059 求平均年龄T1060 均值T1061 求整数的和与均值T1062 最高的分数T1063 最大跨度值T1064 奥运奖牌计数T1065 奇数求和T1066 满足条的数累加T1067 整数的个数T1068 与指定数字相同的数的个数T1069 乘方计算T1070 人口增长T1071 菲波那契数T1072 鸡尾酒疗法T1073 救援T1074 津津的储蓄计划T1075 药房管理T1076 正常血压T1077 统计满足条的4位数T1078 求分数序列和T1079 计算分数加减表达式的值T1080 余数相同问题T1081 分苹果T1082 求小数的某一位T1083 计算星期几T1084 幂的末尾第二节 while与do-while语句T1085 球弹跳高度的计算T1086 角谷猜想T1087 级数求和T1088 分离整数的各个数T1089 数字反转T1090 含k个3的数第三节循环嵌套T1091 求阶乘的和T1092 求出e的值T1093 计算多项式的值T1094 与7无关的数T1095 数1的个数T1096 数字统计T1097 画矩形T1098 质因数分解T1099 第n小的质数T1100 金币T1 不定方程求解第五章数组第一节一维数组T1102 与指定数字相同的数的个数T1103 陶陶摘苹果T1104 计算书费T1105 数组逆序重存放T1106 年龄与疾病T1107 校门外的树T1108 向量点积计算T1109 开关灯T1110 查找特定的值T1111 不高兴的津津T1112 最大值和最小值的差T1113 不与最大数相同的数字之和T1114 白细胞计数T1115 直方图T1116 最长平台T1117 整数去重T1118 铺地毯第二节二维数组T1119 矩阵交换行T1120 同行列对角线的格T1121 计算矩阵边缘元素之和T1122 计算鞍点T1123 图像相似度T1124 矩阵加法T1125 矩阵乘法T1126 矩阵转置T1127 图像旋转T1128 图像模糊处理第三节字符类型和字符数组T1129 统计数字字符个数T1130 找第一个只出现一次的字符T1131 基因相关性T1132 石头剪子布T1133 输出亲朋字符串T1134 合法C标识符T1135 配对碱基链T1136 密码翻译T1137 加密的病历单T1138 将字符串中的小写字母转换成大写字母T1139 整理药名T1140 验证子串T1141 删除单词后缀T1142 单词的长度T1143 最长最短单词T1144 单词翻转T1145 字符串p型编码T1146 判断字符串是否为回文T1147 最高分数的学生姓名T1148 连续出现的字符T1149 最长单词第六章函数第一节函数T1150 求正整数2和n之间的完全数T1151 素数个数T1152 最大数max(x,y,z)T1153 绝对素数T1154 亲和数T1155 回文三位数T1156 求π的值T1157 哥德巴赫猜想T1397 简单算术表达式求值T1398 短信计费T1399 甲流病人初筛T1400 统计单词数T1401 机器翻译T1402 Vigenère密码T1403 素数对T1404 我家的门牌号T1405 质数的和与积T1406 单词替换T1407 笨小猴T1408 素数回文数的个数T1409 判决素数个数T1410 最大质因子序列T1411 区间内的真素数T1412 二进制分类T1413 确定进制第二节递归算法T1158 求1+2+3.+...T1159 斐波那契数列T1160 倒序数T1161 转进制T1162 字符串逆序T1163 阿克曼(Ackmann)函数T1164 digit函数T1165 Hermite多项式T1166 求f(x,n)T1167 再求f(x,n)第二部分基础算法第一章高精度计算T1307 高精度乘法T1308 高精除T1309 回文数T1168 大整数加法T1169 大整数减法T1170 计算2的N次方T1171 大整数的因子T1172 求10000以内n的阶乘T1173 阶乘和T1174 大整数乘法T1175 除以13第二章数据排序T1310 车厢重组T1311 求逆序对T1176 谁考了第k名T1177 奇数单增序列T1178 成绩排序T1179 奖学金T1180 分数线划定T1181 整数奇偶排序T1182 合影效果T1183 病人排队T1184 明明的随机数T1185 单词排序T1186 出现次数超过一半的数T1187 统计字符数第三章递推算法T1312 昆虫繁殖T1313 位数问题T1314 过河卒T1188 菲波那契数列T1189 Pell数列T1190 上台阶T1191 流感传染T1192 放苹果T1193 吃糖果T1194 移动路线T1195 判断整除T1196 踩方格T1197 山区建小学第四章递归算法T1315 集合的划分T1316 数的计数T1198 逆波兰表达式T1199 全排列T1200 分解因数T1201 菲波那契数列T1202 Pell数列T1203 扩号匹配问题T1204 爬楼梯T1205 汉诺塔问题T1206 放苹果T1207 求最大公约数问题T1208 2的幂次方表示T1209 分数求和T1210 因子分解T1211 判断元素是否存在第五章搜索与回溯算法（DFS）T1317 组合的输出T1318 自然数的拆分T1212 LETTERST1213 八皇后问题T1214 八皇后T1215 迷宫T1216 红与黑T1217 棋盘问题T1218 取石子游戏T1219 马走日T1220 单词接龙T1221 分成互质组T1222 放苹果第六章贪心算法T1319 排队接水T1320 均分纸牌T1321 删数问题T1322 拦截导弹问题T1323 活动选择T1324 整数区间T1223 An Easy Problem T1224 最大子矩阵T1225 金银岛T1226 装箱问题T1227 Ride to OfficeT1228 书架T1229 电池的寿命T1230 寻找平面上的极大点T1231 最小新整数T1232 Crossing RiverT1233 接水问题第七章分治算法T1325 循环比赛日程表T1326 取余运算T1327 黑白棋子的移动T1328 光荣的梦想T1234 2020T1235 输出前k大的数T1236 区间合并T1237 求排列的逆序数T1238 一元三次方程求解T1239 统计数字T1240 查找最接近的元素T1241 二分法求函数的零点T1242 网线主管T1243 月度开销T1244 和为给定数T1245 不重复地输出数T1246 膨胀的木棍T1247 河中跳房子第八章广度优先搜索（BFS）T1329 细胞T1330 最少步数T1248 Dungeon MasterT1249 Lake CountingT1250 The CastleT1251 仙岛求药T1252 走迷宫T1253 抓住那头牛T1254 走出迷宫T1255 迷宫问题T1256 献给阿尔吉侬的花束T1257 Knight Moves第九章动态规划第一节动态规划的基本模型T1258 数字金字塔T1259 求最长不下降序列T1260 拦截导弹T1261 城市交通路网T1262 挖地雷T1263 友好城市T1264 合唱队形T1265 最长公共子序列T1266 机器分配T1281 最长上升子序列T1282 最大子矩阵T1283 登山T1284 摘花生T1285 最大上升子序列和T1286 怪盗基德的滑翔翼T1287 最低通行费T1288 三角形最佳路径问题T1289 拦截导弹第二节背包问题T1267 01背包问题T1268 完全背包问题T1269 庆功会T1270 混合背包T1271 潜水员T1272 分组背包T1273 货币系统T1290 采药T1291 数字组合T1292 宠物小精灵之收服T1293 买书T1294 Charm BraceletT1295 装箱问题T1296 开餐馆第三节动态规划经典问题T1274 合并石子T1275 乘积最大T1276 编辑距离T1277 方格取数T1278 复制书稿T1279 橱窗布置T1280 滑雪T1297 公共子序列T1298 计算字符串距离T1299 糖果T1300 鸡蛋的硬度T1301 大盗阿福T1302 股票买卖T1303 鸣人的影分身T1304 数的划分T1305 Maximum sumT1306 最长公共子上升序列第三部分数据结构第一章栈T1331 后缀表达式的值T1353 表达式括号匹配T1354 括弧匹配检验T1355 字符串匹配问题T1356 计算T1357 车厢调度T1358 中缀表达式值第二章队列T1332 周末舞会T1333 Blah数集T1334 围圈报数T1335 连通块T1359 围成面积T1360 奇怪的电梯T1361 产生数T1362 家庭问题第三章树与堆第一节树与二叉树T1336 找树根和孩子T1337 单词查找树T1338 医院设置T1339 求后序遍历T1340 扩展二叉树T1363 小球T1364 二叉树遍历T1365 FBI树T1366 二叉树输出T1367 查找二叉树T1368 对称二叉树第二节堆及其应用T1369 合并果子T1370 最小函数值T1371 看病T1372 小明的账单T1373 鱼塘钓鱼第四章图论算法第一节图的遍历T1341 一笔画问题T1374 铲雪车T1375 骑马修栅栏第二节最短路径算法T1342 最短路径问题T1343 牛的旅行T1344 最小花费T1345 香甜的黄油T1376 信使T1377 最优乘车T1378 最短路径T1379 热浪T1380 分糖果T1381 城市路T1382 最短路第三节图的连通性问题T1383 刻录光盘T1384 珍珠第四节并查集T1346 亲戚T1347 格子游戏T1385 团伙T1386 打击犯罪T1387 搭配购买T1388 家谱T1389 亲戚T1390 食物链第五节最小生成树T1348 城市公交网建设问题T1349 最优布线问题T1350 最短网络T1351 家谱树T1391 局域网T1392 繁忙的都市T1393 联络员T1394 连接格点第六节拓扑排序与关键路径T1352 奖金T1395 烦人的幻灯片T1396 病毒第一部分基础算法第 1 章贪心算法#10000 「一本通 1.1 例 1」活动安排#10001 「一本通 1.1 例 2」种树#10002 「一本通 1.1 例 3」喷水装置#10003 「一本通 1.1 例 4」加工生产调度#10004 「一本通 1.1 例 5」智力大冲浪#10005 「一本通 1.1 练习 1」数列极差#10006 「一本通 1.1 练习 2」数列分段#10007 「一本通 1.1 练习 3」线段#10008 「一本通 1.1 练习 4」家庭作业#10009 「一本通 1.1 练习 5」钓鱼#10010 「一本通 1.1 练习 6」糖果传递第 2 章二分与三分#10011 「一本通 1.2 例 1」愤怒的牛#10012 「一本通 1.2 例 2」Best Cow Fences #10013 「一本通 1.2 例 3」曲线#10014 「一本通 1.2 练习 1」数列分段 II#10015 「一本通 1.2 练习 2」扩散#10016 「一本通 1.2 练习 3」灯泡#10017 「一本通 1.2 练习 4」传送带第 3 章深搜的剪枝技巧#10018 「一本通 1.3 例 1」数的划分#10019 「一本通 1.3 例 2」生日蛋糕#10020 「一本通 1.3 例 3」小木棍#10021 「一本通 1.3 例 4」Addition Chains #10249 「一本通 1.3 例 5」weight ←留意题号#10022 「一本通 1.3 练习 1」埃及分数#10023 「一本通 1.3 练习 2」平板涂色#10024 「一本通 1.3 练习 3」质数方阵#10025 「一本通 1.3 练习 4」靶形数独第 4 章广搜的优化技巧#10026 「一本通 1.4 例 1」电路维修#10027 「一本通 1.4 例 2」魔板#10028 「一本通 1.4 例 3」Knight Moves#10029 「一本通 1.4 练习 1」棋盘游戏#10030 「一本通 1.4 练习 2」Keyboarding#10031 「一本通 1.4 练习 3」移动玩具#10032 「一本通 1.4 练习 4」山峰和山谷第二部分字符串算法第 1 章哈希和哈希表#10033 「一本通 2.1 例 1」Oulipo#10034 「一本通 2.1 例 2」图书管理#10035 「一本通 2.1 练习 1」Power Strings#10036 「一本通 2.1 练习 2」Seekthe Name, Seek the Fame#10037 「一本通 2.1 练习 3」Friends#10038 「一本通 2.1 练习 4」A Horrible Poem#10039 「一本通 2.1 练习 5」Beads#10040 「一本通 2.1 练习 6」Antisymmetry#10041 「一本通 2.1 练习 7」门票#10042 「一本通 2.1 练习 8」收集雪花第 2 章 KMP 算法#10043 「一本通 2.2 例 1」剪花布条#10044 「一本通 2.2 例 2」Power Strings#10045 「一本通 2.2 练习 1」Radio Transmission#10046 「一本通 2.2 练习 2」OKR-Periods of Words #10047 「一本通 2.2 练习 3」似乎在梦中见过的样子#10048 「一本通 2.2 练习 4」Censoring第 3 章 Trie 字典树#10049 「一本通 2.3 例 1」Phone List#10050 「一本通 2.3 例 2」The XOR Largest Pair#10051 「一本通 2.3 例 3」Nikitosh 和异或#10052 「一本通 2.3 练习 1」Immediate Decodability #10053 「一本通 2.3 练习 2」L 语言#10054 「一本通 2.3 练习 3」Secret Message 秘密信息#10055 「一本通 2.3 练习 4」背单词#10056 「一本通 2.3 练习 5」The Xor-longest Path 第 4 章 AC 自动机#10057 「一本通 2.4 例 1」Keywords Search#10058 「一本通 2.4 练习 1」玄武密码#10059 「一本通 2.4 练习 2」Censoring#10060 「一本通 2.4 练习 3」单词#10061 「一本通 2.4 练习 4」最短母串#10062 「一本通 2.4 练习 5」病毒#10063 「一本通 2.4 练习 6」文本生成器第三部分图论第 1 章最小生成树#10064 「一本通 3.1 例 1」黑暗城堡#10065 「一本通 3.1 例 2」北极通讯网络#10066 「一本通 3.1 练习 1」新的开始#10067 「一本通 3.1 练习 2」构造完全图#10068 「一本通 3.1 练习 3」秘密的牛奶运输#10069 「一本通 3.1 练习 4」Tree#10070 「一本通 3.1 练习 5」最小生成树计数#10071 「一本通 3.1 练习 6」次小生成树第 2 章最短路#10072 「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip #10073 「一本通 3.2 例 2」拯救大兵瑞恩#10074 「一本通 3.2 例 3」架设电话线#10075 「一本通 3.2 练习 1」农场派对#10076 「一本通 3.2 练习 2」Roadblocks#10077 「一本通 3.2 练习 3」最短路计数#10078 「一本通 3.2 练习 4」新年好#10079 「一本通 3.2 练习 5」最优贸易#10080 「一本通 3.2 练习 6」汽车加油行驶#10081 「一本通 3.2 练习 7」道路和航线第 3 章 SPFA 算法的优化#10082 「一本通 3.3 例 1」Word Rings#10083 「一本通 3.3 例 2」双调路径#10084 「一本通 3.3 练习 1」最小圈#10085 「一本通 3.3 练习 2」虫洞#10086 「一本通 3.3 练习 3」Easy SSSP 第 4 章差分约束系统#10087 「一本通 3.4 例 1」Intervals#10088 「一本通 3.4 例 2」出纳员问题#10089 「一本通 3.4 练习 1」糖果#10090 「一本通 3.4 练习 2」排队布局第 5 章强连通分量#10091 「一本通 3.5 例 1」受欢迎的牛#10092 「一本通 3.5 例 2」最大半连通子图#10093 「一本通 3.5 练习 1」网络协议#10094 「一本通 3.5 练习 2」消息的传递#10095 「一本通 3.5 练习 3」间谍网络#10096 「一本通 3.5 练习 4」抢掠计划#10097 「一本通 3.5 练习 5」和平委员会第 6 章割点和桥#10098 「一本通 3.6 例 1」分离的路径#10099 「一本通 3.6 例 2」矿场搭建#00 「一本通 3.6 练习 1」网络#01 「一本通 3.6 练习 2」嗅探器#02 「一本通 3.6 练习 3」旅游航道#03 「一本通 3.6 练习 4」电力#04 「一本通 3.6 练习 5」Blockade第 7 章欧拉回路#05 「一本通 3.7 例 1」欧拉回路#06 「一本通 3.7 例 2」单词游戏#07 「一本通 3.7 练习 1」欧拉回路#08 「一本通 3.7 练习 2」Ant Trip#09 「一本通 3.7 练习 3」John's Trip #10 「一本通 3.7 练习 4」太鼓达人#11 「一本通 3.7 练习 5」相框#12 「一本通 3.7 练习 6」原始生物第四部分数据结构第 1 章树状数组#13 「一本通 4.1 例 1」数列操作#14 「一本通 4.1 例 2」数星星 Stars#15 「一本通 4.1 例 3」校门外的树#16 「一本通 4.1 练习 1」清点人数#17 「一本通 4.1 练习 2」简单题#18 「一本通 4.1 练习 3」打鼹鼠第 2 章 RMQ 问题#19 「一本通 4.2 例 1」数列区间最大值#20 「一本通 4.2 例 2」最敏捷的机器人#21 「一本通 4.2 例 3」与众不同#22 「一本通 4.2 练习 1」天才的记忆#23 「一本通 4.2 练习 2」奶牛排队 Balanced Lineup#24 「一本通 4.2 练习 3」选择客栈第 3 章线段树#25 「一本通 4.3 例 1」区间和#26 「一本通 4.3 例 2」A Simple Problem with Integers #27 「一本通 4.3 练习 1」最大数#28 「一本通 4.3 练习 2」花神游历各国#29 「一本通 4.3 练习 3」维护序列第 4 章倍增求 LCA#30 「一本通 4.4 例 1」点的距离#31 「一本通 4.4 例 2」暗的连锁#32 「一本通 4.4 例 3」异象石#33 「一本通 4.4 例 4」次小生成树#34 「一本通 4.4 练习 1」Dis#35 「一本通 4.4 练习 2」祖孙询问#36 「一本通 4.4 练习 3」聚会#37 「一本通 4.4 练习 4」跳跳棋第 5 章树链剖分#39 「一本通 4.5 练习 1」树上操作#40 「一本通 4.5 练习 2」软包管理器#41 「一本通 4.5 练习 3」染色#42 「一本通 4.5 练习 4」旅行第 6 章平衡树 Treap#43 「一本通 4.6 例 1」营业额统计#44 「一本通 4.6 练习 1」宠物收养所#45 「一本通 4.6 练习 2」郁闷的出纳员#46 「一本通 4.6 练习 3」普通平衡树第五部分动态规划第 1 章区间类动态规划#47 「一本通 5.1 例 1」石子合并#48 「一本通 5.1 例 2」能量项链#49 「一本通 5.1 例 3」凸多边形的划分#50 「一本通 5.1 练习 1」括号配对#51 「一本通 5.1 练习 2」分离与合体#52 「一本通 5.1 练习 3」矩阵取数游戏第 2 章树型动态规划#53 「一本通 5.2 例 1」二叉苹果树#54 「一本通 5.2 例 2」选课#55 「一本通 5.2 例 3」数字转换#57 「一本通 5.2 例 5」皇宫看守#58 「一本通 5.2 练习 1」加分二叉树#59 「一本通 5.2 练习 2」旅游规划#60 「一本通 5.2 练习 3」周年纪念晚会#61 「一本通 5.2 练习 4」叶子的颜色#62 「一本通 5.2 练习 5」骑士第 3 章数位动态规划#63 「一本通 5.3 例 1」Amount of Degrees #64 「一本通 5.3 例 2」数字游戏#65 「一本通 5.3 例 3」Windy 数#66 「一本通 5.3 练习 1」数字游戏#67 「一本通 5.3 练习 2」不要 62#68 「一本通 5.3 练习 3」恨 7 不成妻#69 「一本通 5.3 练习 4」数字计数第 4 章状态压缩类动态规划#70 「一本通 5.4 例 1」骑士#71 「一本通 5.4 例 2」牧场的安排#72 「一本通 5.4 练习 1」涂抹果酱#73 「一本通 5.4 练习 2」炮兵阵地#74 「一本通 5.4 练习 3」动物园第 5 章单调队列优化动态规划#76 「一本通 5.5 例 2」最大连续和#77 「一本通 5.5 例 3」修剪草坪#78 「一本通 5.5 例 4」旅行问题#79 「一本通 5.5 例 5」Banknotes#80 「一本通 5.5 练习 1」烽火传递#81 「一本通 5.5 练习 2」绿色通道#82 「一本通 5.5 练习 3」理想的正方形#83 「一本通 5.5 练习 4」股票交易第 6 章斜率优化动态规划#84 「一本通 5.6 例 1」任务安排 1#85 「一本通 5.6 例 2」任务安排 2#86 「一本通 5.6 例 3」任务安排 3#87 「一本通 5.6 例 4」Cats Transport #88 「一本通 5.6 练习 1」玩具装箱#89 「一本通 5.6 练习 2」仓库建设#90 「一本通 5.6 练习 3」特别行动队#91 「一本通 5.6 练习 4」打印文章#92 「一本通 5.6 练习 5」锯木厂选址第六部分数学基础第 1 章快速幂#93 「一本通 6.1 例 1」序列的第 k 个数#94 「一本通 6.1 练习 1」A 的 B 次方#95 「一本通 6.1 练习 2」转圈游戏#96 「一本通 6.1 练习 3」越狱第 2 章质数#97 「一本通 6.2 例 1」Prime Distance#98 「一本通 6.2 练习 1」质因数分解#99 「一本通 6.2 练习 2」轻拍牛头#10200 「一本通 6.2 练习 3」Goldbach's Conjecture #10201 「一本通 6.2 练习 4」Sherlock and His Girlfriend#10202 「一本通 6.2 练习 5」樱花第 3 章约数#10203 「一本通 6.3 例 1」反素数 Antiprime#10204 「一本通 6.3 例 2」Hankson 的趣味题#10205 「一本通 6.3 例 3」最大公约数#10206 「一本通 6.3 练习 1」X-factor Chain#10207 「一本通 6.3 练习 2」聪明的燕姿#10208 「一本通 6.3 练习 3」Super GCD第 4 章同余问题#10209 「一本通 6.4 例 1」青蛙的约会#10210 「一本通 6.4 例 2」同余方程#10211 「一本通 6.4 例 3」Sumdiv#10212 「一本通 6.4 例 4」曹冲养猪#10213 「一本通 6.4 例 5」Strange Way to Express Integers#10214 「一本通 6.4 例 6」计算器#10215 「一本通 6.4 练习 1」荒岛野人#10216 「一本通 6.4 练习 2」五指山#10217 「一本通 6.4 练习 3」Biorhythms#10218 「一本通 6.4 练习 4」C Looooops第 5 章矩阵乘法#10219 「一本通 6.5 例 1」矩阵A×B#10220 「一本通 6.5 例 2」Fibonacci 第 n 项#10221 「一本通 6.5 例 3」Fibonacci 前 n 项和#10222 「一本通 6.5 例 4」佳佳的 Fibonacci#10223 「一本通 6.5 练习 1」Fibonacci#10224 「一本通 6.5 练习 2」GT 考试#10225 「一本通 6.5 练习 3」迷路第 6 章组合数学#10226 「一本通 6.6 例 1」计算系数#10227 「一本通 6.6 例 2」2^k 进制数#10228 「一本通 6.6 例 3」组合#10229 「一本通 6.6 例 4」古代猪文#10230 「一本通 6.6 练习 1」牡牛和牝#10231 「一本通 6.6 练习 2」方程的解#10232 「一本通 6.6 练习 3」车的放置#10233 「一本通 6.6 练习 4」数三角形#10234 「一本通 6.6 练习 5」bination#10235 「一本通 6.6 练习 6」序列统计#10236 「一本通 6.6 练习 7」超能粒子炮· 改#10237 「一本通 6.6 练习 8」礼物#10238 「一本通 6.6 练习 9」网格#10239 「一本通 6.6 练习 10」有趣的数列#10240 「一本通 6.6 练习 11」树屋阶梯第 7 章博弈论#10241 「一本通 6.7 例 1」取石子游戏 1#10242 「一本通 6.7 例 2」取石子游戏 2#10243 「一本通 6.7 例 3」移棋子游戏#10244 「一本通 6.7 练习 1」取石子游戏#10245 「一本通 6.7 练习 2」巧克力棒#10246 「一本通 6.7 练习 3」取石子#10247 「一本通 6.7 练习 4」S-Nim#10248 「一本通 6.7 练习 5」取石子游戏。
排列组合配对问题算法
排列组合配对问题算法排列组合配对问题，其实就是在已知有一组数据，需要对其进行组合，找到所有可能的组合情况，进而进行配对。
这个问题涉及到了算法和数学的知识，需要进行一定的计算和分析。
在这篇文章中，我将介绍几种常用的排列组合配对算法，并阐述它们的原理及其实现过程。
1. 回溯算法回溯算法是一种递归算法，用于解决包括排列、组合和背包问题等在内的一系列问题。
其核心思想是在搜索进程中遇到了问题，就返回上一级，尝试另一种可能性，直至找到问题的解法。
在排列组合配对问题中，回溯算法可以通过生成子集和排列来求解所有的组合。
生成子集的算法流程：（1）初始化一个数组 arr，表示给定的集合；（2）定义一个函数 dfs(start, subset)，其中 start 表示起始位置，subset 表示当前子集；（3）遍历数组 arr，对于每个数，都有两种可能性：将其加入子集中或不加入子集中。
如果加入，则将该数加入 subset，并递归调用 dfs(start+1, subset)，更新 start 和 subset；如果不加入，则仅递归调用 dfs(start+1, subset)。
生成排列的算法流程：（1）初始化一个数组 arr，表示给定的集合；（2）定义一个函数 dfs(pos)，其中 pos 表示已选择的数的个数；（3）遍历数组 arr，对于每个数，判断其是否已经被选择过。
如果没有，则将该数加入已选择的数中，并递归调用dfs(pos+1)，更新选择的数和 pos；如果已经被选择过，则不进行任何操作。
2. 位运算算法位运算算法与回溯算法类似，也可以用于求解排列和组合问题。
它的优势在于，通过位运算可以直接表示一个集合的子集或排列，而不需要额外的内存空间。
因此，位运算算法可以大大提高运算效率。
生成子集的算法流程：（1）初始化一个集合 set，表示给定的集合；（2）计算出集合 set 的元素个数 n，然后构建一个二进制串，表示从左到右每个元素是否在子集中，其中 0 表示不在，1 表示在。
算法设计与分析-回溯法
6.2.3n-皇后问题
在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。 按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上
的棋子。n皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何两个皇后不 放在同一行或同一列或同一斜线上。 编程要求：找出一个n×n格的棋盘上放置n个皇后并使其不能互相攻击的所 有方案。
输入
第一个数据是背包的容量为c（1≤c≤1500），第二个数据是物品的数量为 n（1≤n≤50）。接下来n行是物品i的重量是wi，其价值为vi。所有的数据全 部为整数，且保证输入数据中物品的总重量大于背包的容量。
当c＝0时，表示输入数据结束。 输出
对每组测试数据，输出装入背包中物品的最大价值。
输入样例
使用C++标准模板库的排序函数sort()排序：
sort(Q, Q+n, cmp);
0/1背包问题之回溯算法的实现
//形参i是回溯的深度，从0开始 void backtrack(int i) { //到达叶子结点时，更新最优值 if (i+1>n) {
bestv = cv; return; } //进入左子树搜索 if (cw+Q[i].w<=c){ cw += Q[i].w; cv += Q[i].v; backtrack(i+1); cw -= Q[i].w; cv -= Q[i].v; } //进入右子树搜索 if (Bound(i+1)>bestv) backtrack(i+1); }
6.1.3回溯法的适用条件–多米诺 （Domino）性质
算法概论
1.3 描述算法
2.Java数据类型 2.Java数据类型 Java
基本数据类型：详见下页表1-1
数据类型
非基本数据类型：如 Byte, Integer, Boolean, String等。
Java对两种数据类型的不同处理方式：
对基本数据类型：在声明一个具有基本数据类型的变量时，自 动建立该数据类型的对象（或称实例）。如:int k; 对非基本数据类型：语句 String s; 并不建立具有数据类型 String的对象，而是建立一个类型String的引用对象， 数据类型为String的对象可用下面的new语句建立。 s = new String String(“Welcome”); String(“Welcome”); String s = new String
20
1.4 算法复杂性分析
• 目的：
– 分析算法就是估计算法所需资源（时间，空间， 通信带宽等） ，以便选取有效的算法。
• 计算模型：
– 单 处 理 机 ， 随 机 存 取 机 （ Random-Access Machine，RAM）计算模型，其中指令是顺序执 行的，无并发操作
• 涉及的知识基础：
算法设计与分析
云南大学旅游文化学院信科系
主讲：周华君
1
主要内容介绍
• • • • • • 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 算法引论 递归与分治策略 动态规划 贪心算法 回溯法 分支限界法
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主要内容介绍（续）
• • • • 第7章 第8章 第9章 第10章 概率算法 NP完全性理论 近似算法 算法优化策略
– 离散组合数学、概率论、代数等（分析）、程 序设计、数据结构（算法设计）
1.4 算法复杂性分析
经典回溯算法：集合划分问题
经典回溯算法：集合划分问题读完本⽂，你不仅学会了算法套路，还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题⽬：-----------之前说过回溯算法是笔试中最好⽤的算法，只要你没什么思路，就⽤回溯算法暴⼒求解，即便不能通过所有测试⽤例，多少能过⼀点。
回溯算法的技巧也不难，前⽂说过，回溯算法就是穷举⼀棵决策树的过程，只要在递归之前「做选择」，在递归之后「撤销选择」就⾏了。
但是，就算暴⼒穷举，不同的思路也有优劣之分。
本⽂就来看⼀道⾮常经典的回溯算法问题，⼒扣第 698 题「划分为k个相等的⼦集」。
这道题可以帮你更深刻理解回溯算法的思维，得⼼应⼿地写出回溯函数。
题⽬⾮常简单：给你输⼊⼀个数组nums和⼀个正整数k，请你判断nums是否能够被平分为元素和相同的k个⼦集。
函数签名如下：boolean canPartitionKSubsets(int[] nums, int k);我们之前写过⼀次⼦集划分问题，不过那道题只需要我们把集合划分成两个相等的集合，可以转化成背包问题⽤动态规划技巧解决。
但是如果划分成多个相等的集合，解法⼀般只能通过暴⼒穷举，时间复杂度爆表，是练习回溯算法和递归思维的好机会。
⼀、思路分析⾸先，我们回顾⼀下以前学过的排列组合知识：1、P(n, k)（也有很多书写成A(n, k)）表⽰从n个不同元素中拿出k个元素的排列（Permutation/Arrangement）；C(n, k)表⽰从n个不同元素中拿出k个元素的组合（Combination）总数。
2、「排列」和「组合」的主要区别在于是否考虑顺序的差异。
3、排列、组合总数的计算公式：好，现在我问⼀个问题，这个排列公式P(n, k)是如何推导出来的？为了搞清楚这个问题，我需要讲⼀点组合数学的知识。
排列组合问题的各种变体都可以抽象成「球盒模型」，P(n, k)就可以抽象成下⾯这个场景：即，将n个标记了不同序号的球（标号为了体现顺序的差异），放⼊k个标记了不同序号的盒⼦中（其中n >= k，每个盒⼦最终都装有恰好⼀个球），共有P(n, k)种不同的⽅法。