递归算法
递归算法原理
递归算法原理
递归是一种算法设计技巧，它的原理是通过将一个问题分解成一个或多个规模较小但类似于原问题的子问题来解决。
递归算法通过反复调用自身来解决这些子问题，直到子问题的规模足够小并可以直接解决为止。
递归算法的主要思想是将问题转化为更小的同类问题的子问题，并在每一次递归调用中将问题的规模减小。
递归算法需要定义一个基准情况，即问题的最小规模情况，当问题达到基准情况时，递归的调用将停止，得到最终的解。
当使用递归算法时，需要注意以下几点：
1. 递归的结束条件：为了避免无限递归，递归函数必须定义结束条件，即基准情况。
2. 递归调用：在函数内部调用自身来解决规模较小的子问题。
3. 子问题规模的减小：每次递归调用时，子问题的规模应该比原问题要小。
4. 递归栈：在每次递归调用时，系统会将当前的函数调用信息存储在递归栈中，当递归调用结束后，系统将会按照递归栈的顺序逐个弹出函数调用信息，直到返回最终的解。
递归算法在解决某些问题时非常有效，例如树和图的遍历、排列组合、分治算法等。
然而，递归算法也存在一些缺点，例如
递归调用会消耗较多的内存空间和时间复杂度较高等问题，因此在实际应用中需要根据具体情况来选择是否使用递归算法。
递归算法详解完整版
递归算法详解完整版递归算法是一种重要的算法思想，在问题解决中起到了很大的作用。
它通过将一个大问题划分为相同或类似的小问题，并将小问题的解合并起来从而得到大问题的解。
下面我们将详细介绍递归算法的定义、基本原理以及其应用。
首先，我们来定义递归算法。
递归算法是一种通过调用自身解决问题的算法。
它通常包括两个部分：基础案例和递归步骤。
基础案例是指问题可以被直接解决的边界情况，而递归步骤是指将大问题划分为较小问题并通过递归调用自身解决。
递归算法的基本原理是"自顶向下"的思维方式。
即从大问题出发，不断将问题划分为较小的子问题，并解决子问题，直到达到基础案例。
然后将子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的最大特点是简洁而优雅。
通过将复杂问题分解为简单问题的解决方式，可以大大减少代码的复杂程度，提高程序的效率和可读性。
但是递归算法也有一些缺点，包括递归深度的限制和复杂度的不确定性。
过深的递归调用可能导致栈溢出，而不合理的递归步骤可能导致复杂度过高。
递归算法有许多应用场景，我们来介绍其中一些典型的应用。
1.阶乘问题：计算一个数的阶乘。
递归算法可以通过将问题划分为更小的子问题来解决。
例如，n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘。
当n 等于1时，我们可以直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int factorial(int n)if (n == 1)return 1;}return n * factorial(n - 1);```2.斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n个数的值。
斐波那契数列的定义是前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
递归算法可以通过将问题划分为两个子问题来解决。
当n等于1或2时，直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int fibonacci(int n)if (n == 1 ， n == 2)return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);```3.二叉树问题：对于给定的二叉树，递归算法可以通过递归调用左子树和右子树的解来解决。
6种基本算法 递归
6种基本算法递归递归是一种重要的算法思想，它在计算机科学中得到广泛应用。
本文将介绍六种基本的递归算法，并对其原理和应用进行讲解。
一、递归的基本概念递归是指一个函数在其定义中调用自身的过程。
递归算法通过将一个大问题划分为一个或多个相同或相似的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。
递归算法具有简洁、优雅以及可读性强的特点，但同时也需要注意递归的停止条件，以避免无限递归的发生。
二、阶乘算法阶乘算法是递归算法中最经典的例子之一。
它的定义如下：```n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1```其中，n为一个非负整数。
阶乘算法可以通过递归的方式实现，即：```fact(n) = n * fact(n-1)```其中，停止条件为`n=0`时，返回1。
三、斐波那契数列算法斐波那契数列是一个无限序列，其定义如下：```F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>1)```斐波那契数列算法可以通过递归的方式实现，即：```fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)```其中，停止条件为`n=0`或`n=1`时，返回相应的值。
四、二分查找算法二分查找算法是一种高效的查找算法，它的基本原理是将已排序的数组分成两部分，然后判断目标值在哪一部分，并继续在该部分中进行查找，直到找到目标值或者查找范围为空。
二分查找算法可以通过递归的方式实现，即：```binarySearch(arr, target, start, end) = binarySearch(arr, target, start, mid-1) (target < arr[mid])= binarySearch(arr, target, mid+1, end) (target > arr[mid])= mid (target = arr[mid])```其中，`arr`为已排序的数组，`target`为目标值，`start`和`end`为查找范围的起始和结束位置。
递归算法步骤
递归算法步骤
递归算法是一种通过自身调用来解决问题的算法。
其步骤可以简述为以下几点：
1. 定义递归函数：首先需要定义一个递归函数，该函数负责解决具体的问题。
函数的参数通常包括输入数据和递归所需的其他参数。
2. 设定递归终止条件：在递归函数中，需要设定一个终止条件，当满足这个条件时，递归将停止并返回结果。
这是确保递归不会无限循环的重要部分。
3. 处理基本情况：在递归函数中，需要考虑到一些基本情况，这些情况通常可以直接求解，而不需要继续进行递归。
在这些情况下，可以直接返回结果，从而减少递归的次数。
4. 缩小问题规模：在递归函数中，需要将原始问题划分成更小的子问题。
通过缩小问题规模，可以将原始问题转化为更简单的形式，并且递归地解决这些子问题。
5. 调用递归函数：在递归函数中，需要调用自身来解决子问题。
通过递归调用，可以反复地将问题分解为更小的子问题，直到达到终止条件为止。
6. 整合子问题的解：在递归函数中，需要将子问题的解整合起来，得到原始问题的解。
这通常涉及到对子问题的解进行合并、计算或其他操作。
7. 返回结果：最后，递归函数需要返回结果。
这个结果可
以是最终的解，也可以是在每次递归调用中得到的中间结果。
需要注意的是，在使用递归算法时，要确保递归能够正确地终止，并且要注意避免出现无限递归的情况。
另外，递归算法的效率通常较低，因此在设计算法时要考虑到时间和空间复杂度的问题。
递归算法时间复杂度计算
递归算法时间复杂度计算
递归算法是一种通过函数调用自身来解决问题的算法。
在计算递归算法的时间复杂度时，通常要考虑递归调用的次数及每次递归调用所需的时间复杂度。
具体来说，递归算法的时间复杂度可以用如下公式表示：
T(n) = aT(n/b) + O(f(n))
其中，a是递归调用的次数，n/b表示每次递归所处理的数据规模，f(n)表示除了递归调用外，剩余操作的时间复杂度。
根据主定理，如果a=1，b=2，则时间复杂度为O(log n)；如果a>1，b=1，则时间复杂度为O(n^logb a)；如果a<1，则时间复杂度为O(1)。
需要注意的是，递归调用次数可能会对时间复杂度产生重大影响，因此需要尽可能的减少递归调用次数。
总之，计算递归算法的时间复杂度需要确定递归调用次数、每次调用的数据规模以及剩余操作的时间复杂度。
递归算法
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4564531 4565926
正中间 的元素
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4120243
4276013
4328968 4397700
4462718
请问： 4565926是否在 此列表当中？ 4565925？
4466240 4475579
4478964
4480332 4494763
4499043
相应的参数来完成，这就是函数或子程序，使用时只需对其名字进行
简单调用就能来完成特定功能。
例如我们把上面的讲故事的过程包装成一个函数，就会得到：
void Story() { puts("从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故 事，它讲的故事是："); getchar();//按任意键听下一个故事的内容 Story(); //老和尚讲的故事，实际上就是上面那个故事 }
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4462718
请问： 4565926是否在 此列表当中？
4466240 4475579
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4480332 4494763
4499043
4508710 4549243
(1)对原问题f(s)进行分析,假设出合理的“较小 问题” f(s')( 与数学归纳法中假设 n=k-1时等式 成立相似)； (2)假设f(s')是可解的,在此基础上确定f(s)的解, 即给出 f(s) 与 f(s') 之间的关系 ( 与数学归纳法中 求证n=k时等式成立的过程相似)； (3)确定一个特定情况(如f(1)或f(0))的解,由此 作为递归边界(与数学归纳法中求证n=1时等式 成立相似)。
递归算法
前言说白了递归就象我们讲的那个故事：山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的故事是：山上有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的故事是：……也就是直接或间接地调用了其自身。
就象上面的故事那样，故事中包含了故事本身。
因为对自身进行调用，所以需对程序段进行包装，也就出现了函数。
函数的利用是对数学上函数定义的推广，函数的正确运用有利于简化程序，也能使某些问题得到迅速实现。
对于代码中功能性较强的、重复执行的或经常要用到的部分，将其功能加以集成，通过一个名称和相应的参数来完成，这就是函数或子程序，使用时只需对其名字进行简单调用就能来完成特定功能。
例如我们把上面的讲故事的过程包装成一个函数，就会得到：void Story(){puts("从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚在讲故事，它讲的故事是：");getchar();//按任意键听下一个故事的内容Story(); //老和尚讲的故事，实际上就是上面那个故事}函数的功能是输出这个故事的内容，等用户按任意键后，重复的输出这段内容。
我们发现由于每个故事都是相同的，所以出现导致死循环的迂回逻辑，故事将不停的讲下去。
出现死循环的程序是一个不健全的程序，我们希望程序在满足某种条件以后能够停下来，正如我们听了几遍相同的故事后会大叫：“够了！”。
于是我们可以得到下面的程序：#include<stdio.h>const int MAX = 3;void Story(int n);//讲故事int main(void){Story(0);getchar();return 0;}void Story(int n){if (n < MAX){puts("从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说了一个故事：");getchar();Story(n+1);}else{printf("都讲%d遍了！你烦不烦哪？\n", n);return ;}}上面的Story函数设计了一个参数n，用来表示函数被重复的次数，当重复次数达到人们忍受的极限（MAX次）时，便停下来。
递归算法的剖析
递归算法：
1.自身函数中调用自己的函数。执导
2.递归结束的条件应放在递归函数之前。否则就会形成无穷循环调用。
3.每一次递归定义的变量都会保留在本次调用过程中，等到返回时，就可以得到变量的值。每一次调用过程中所定义的变量的值是不同的。
4.每一次调用时都会有类似中断的保护现场，等本次调用结束后返回该调用电继续执行语句。
printf("输入需要转换进制的数值：\n");
scanf("%d",&old); //输入需要转换的数字
printf("输入需要转换为的进制：\n");
scanf("%d",&base);
convto(s,old,base); //调用转换函数，s为转换后的数值
printf("%s\n",s);
printf("调用过后！！！！\n");
len = strlen(s);
s[len] = bit[n%b];
s[len+1] = '\0';
}
int main()
{
char s[80]; //定义了一个字符数组
int base,old; //old需要转换为其他进制的数，base为进制数可以为2、8、10、16
{
char bit[] = {"0123456789ABCDEF"}; //不同进制数数值
int len;
if(n == 0)
{
strcpy(s," ");
printf("这
printf("开始调用\n");
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出它的解,从而得到原来问题的解。
3.采用递归算法需具备的条件 (1)每一步骤解决问题的方法要一致。
(2)要有结束的边界条件。
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【典例1】小明利用下面的方法求2i(2的i次方)的值:如果i=0,则 2i=1,否则
将2i转换为2*2i-1 ,而2i-1 又可以转换为2*i-2, 如此继续,从而求出了2i的值。
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第四单元
递归算法
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考点与典例
考点 递归算法 1.递归的概念 函数或过程调用其本身,称为递归。 2.递归算法的基本思想 递归算法的基本思想是把规模较大的、较难解决的问题变成规模较小的、容 易解决的同一问题 , 规模较小的问题又变成规模更小的问题 , 直到可以直接得
If n=0 Then f=1 Else f=f(n-1)+5 End If End Function Private Sub Command1_Click() Dim y As Long
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y=f(5)
Label1.Caption=Str(y)
End Sub 程序运行时,单击命令按钮Command1后,在标签Label1中显示的内容是 ( A.1 ) B.5
C.21 D.26
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解析:本题考查的是递归算法的程序实现。这段程序有两部分组成:事件处理
过 程 (Private Sub Command1_Click()) 和 自 定 义 函 数 (Function f(n As
Integer) As Long) 。 在 自 定 义 函 数 f 中 又 出 现 了 调 用 函 数 f 本 身 的 语 句 f=f(n-1)+5,因此f函数采用的是递归算法。 在事件处理过程Private Sub Command1_Click()中,语句y=f(5)表示调用函 数f,将参数5传递给f函数中的变量n,最终将函数的返回值赋给变量y。 y=f(5)= 5+5+5+5+5+1=26,因此在标签Label1中显示的内容为26。 答案:D
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解析:本题主要考查递归算法的程序实现。根据算法可知 ,若当前两个数不
相等,则取较小数n和这两个数差的绝对值(Abs(m-n))再进行比较,因此答案
为 D。 答案:D
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小明采用的算法是( A.解析算法 C.递归算法 ) B.枚举算法 D.查找算法
解 析 :本题考查的是递归算法的基本思想。本题中求2i的值,采用“大事化小, 小事化了”的方法,符合递归算法的基本思想。 答案:C
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【典例2】下列VB程序中,f是一个递归函数。
Function f(n As Integer) As Long
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Dim m As Integer, n As Integer, t As Integer m =Val(Text1.Text)
n =Val(Text2.Text)
If m < n Then t = m:m = n:n = t Label1.Caption =Str(gcd(m, n)) End Sub 为实现上述功能,程序划线处应填入的语句为( A.m,n C.m, Abs(m - n) B.n,m-n D.n, Abs(m - n) )
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【典例3】下列程序的功能是求两个整数m,n的最大公约数。其算法思想为: 输入两个数,如果两个数相等,则最大公约数是其本身(m或n);如果不相等,取 两个数中的较小数和这两个数差的绝对值进行比较,若相等则为最大公约数, 不等则继续使用上述方法求解,直到相等为止。 Function gcd(m, n) As Integer If m = n Then gcd = m Else gcd = gcd() End If End Function Private Sub Command1_Click()