中考数学命题研究 第一编 教材知识梳理篇 第三章 函数及其图象 第二节 一次函数的图象及性质(精练)试题
中考数学总复习 基础知识梳理 第3单元 函数及其图象 3.3 一次函数的应用课件
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知识(zhī shi)体系图
要点 梳理 (yàodiǎn)
一次函数的应用
利润问题 方案选择问题 其他问题
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利用(lìyòng)一次函数知识解应用题的一般步骤
1.设定实际(shíjì)问题中的变量. 2.建立变量与变量之间的函数关系. 3.确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义. 4.利用函数的性质解决问题. 5.写出答案．
第三单元 函数及其图象。1.设定实际问题中的变量.。2.建立变量与变量之间的函数关系(guān xì).。3.确定自变量的取值范围，保证自变量 具有实际意义.。4.利用函数的性质解决问题.。3.求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．。【答案】A
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因为
2 （小时）乙两小时内运动路程与时间的关系也分段，分为两2 2段0，1第2一 段5 图象为倾斜线段，过原点与
点
，且斜率小于甲的第一段，大于甲的第三段.第二段图象也为平行于x轴的线3段，故可以排除C， 53 所，20以 选
择A选项.
12/10【/20答21 案】A
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内容(nèiróng)总结
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三种 题型 (sān zhǒnɡ)
学法指导
1.选择题——关键(guānjiàn)：读懂函数图象，学会联系实际. 2.综合题——关键：运用数形结合思想. 3.求运动过程中的函数解析式——关键：以静制动．
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经典 考题 (jīngdiǎn)
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中考数学总复习 第一部分 基础篇 第三章 函数及其图象 考点11 一次函数课件
第三章 函数(hánshù)及其图象 11 一次函数
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目标(mùbiāo)方向
进一步理解正比例函数和一次函数的概念，能结合图象讨 论这些函数的基本性质，以及分析和解决(jiějué)简单的实际问题.
加深对一次函数与方程（组）及不等式的关系的理解，从 运动变化的角度更深层次地了解方程（组）及不等式等内 容，构建和发展相互联系的知识体系. 中考中多以选择题、填
空题、解答题以及与方程、不等式相结合的综合应用题形式考查 .
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考点聚焦
考点(kǎo diǎn)一 一次函数和正比例函数的定义
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考点(kǎo diǎn)二 一次函数的图象与性质
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考点(kǎo 三 diǎn) 一元函数解析式的确定
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考点四 一次函数与方程(fāngchéng)（组）及不等式的关系
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真题探源
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内容 总结 (nèiróng)
第一部分 基 础 篇。第三章 函数及其图象。目标方向。进一步理解正比例函数和一次函数的概念， 能结合图象讨论这些函数的基本性质，以及分析和解决简单的实际问题.加深对一次函数与方程（组）
中考数学 第1编 教材知识梳理篇 第3章 函数及其图象 第9讲 一次函数及其应用(精讲)试题
第九讲 一次函数及其应用第1课时 一次函数,考标完全解读)一次函数与不等式的关系,感受宜宾中考)1．(2014宜宾中考)如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的表达式是( D )A ．y ＝2x ＋3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x －3D ．y ＝－x ＋32．(2015宜宾中考)如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则该一次函数的表达式为．,核心知识梳理)一次函数及其图象性质1．一次函数及正比例函数的概念一般地，形如__y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k≠0)__的函数，叫做一次函数．形如__y ＝kx(k 为常数，且k≠0)__的函数叫做正比例函数．【温馨提示】正比例函数是一次函数的特殊形式，正比例函数是一次函数，反之不一定成立，定义中k≠0是非常重要的条件，若k ＝0，则函数就成为y ＝b(b 为常数)，此函数是常数函数，不是一次函数．2．一次函数的图象及性质 一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)大致图象续表【针对练习】函数y ＝－3x ＋2经过__第一、二、四__象限，其中y 随x 的增大而__减小__．一次函数表达式的确定3．利用坐标确定一次函数表达式的常用方法：__待定系数法__． 4．具体步骤(1)设出一次函数表达式__y ＝kx ＋b(k≠0)__；(2)将两对对应的x ，y 值代入表达式y ＝kx ＋b 中，得到含有待定系数k ，b 的方程组； (3)求出待定系数k ，b 的值；(4)将所求待定系数的值代入所设的函数表达式中．【针对练习】若一次函数y ＝kx ＋b 经过(0，1)，(1，2)两点，则一次函数的表达式为__y ＝x ＋1__．一次函数与方程、不等式的关系5．一次函数与方程(组)的关系(1)一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k≠0)可转化为二元一次方程kx －y ＋b ＝0； (2)一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的__横坐标__是方程kx ＋b ＝0的解；(3)一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝k 1x ＋b 1图象交点的横、纵坐标值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝k 1x ＋b 1的解．6．一次函数与不等式的关系(1)①函数y ＝kx ＋b 中函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＞0的解集，对应的函数图象为位于x 轴上方的部分，即x ＜a ，如图①；②函数y ＝kx ＋b 中函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＜0的解集，对应的函数图象为位于x 轴下方的部分，即x ＞a ，如图①；(2)当两个一次函数有交点时，联立两个函数表达式组成方程组，求出交点坐标，两个一次函数可将平面分成四部分，比较两函数交点左右两边函数的增减性来判断不等式的解集．即k 1x ＋b 1＞k 2x ＋b 2的解集为x ＞a ；k 1x ＋b 1＜k 2x ＋b 2的解集为x ＜a ，如图②.,重点难点解析)一次函数的图象及性质【例1】已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为( )A ．k ＞1，b ＜0B ．k ＞1，b ＞0C ．k ＞0，b ＞0D ．k ＞0，b ＜0【解析】一次函数y ＝kx ＋b －x ＝(k －1)x ＋b ， ∵函数值y 随x 的增大而增大，∴k －1＞0，即k ＞1；∵图象与x 轴的正半轴相交，∴图象与y 轴的负半轴相交，∴b ＜0.∴选项A 是正确的． 【答案】A 【针对训练】1．(2017白银中考)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，观察图象可得( A )A ．k>0，b>0B ．k>0，b<0C ．k<0，b>0D ．k<0，b<0待定系数法求一次函数表达式【例2】已知函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象与y 轴交点的纵坐标为－2，且当x ＝2时y ＝1，那么此函数表达式为________．【解析】由题意知，图象过(0，－2)，(2，1)两点，将(0，－2)与(2，1)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝－2.则函数表达式为y ＝32x －2.【答案】y ＝32x －2.【针对训练】2．已知一次函数y ＝kx ＋3的图象经过点(1，4)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)求关于x的不等式kx＋3≤6的解集．解：(1)将(1，4)代入一次函数y＝kx＋3中，得4＝k＋3，解得k＝1，∴一次函数的表达式为y＝x＋3；(2)将k＝1代入kx＋3≤6中得，x＋3≤6，解得x≤3.一次函数综合应用【例3】如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为____cm2.【解析】如图所示．∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4.∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得 x＝5.即OA′＝5.∴CC′＝5－1＝4.∴S▱BB′C′C＝4×4＝16 (cm2)．即线段BC扫过的面积为16 cm2.【答案】16【针对训练】3．如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( C)A ．x ＞32B ．x ＞3C ．x ＜32D ．x ＜34．已知函数y 1＝2x ＋4与函数y 2＝－2x ＋8. (1)求两函数图象与x 轴围成的三角形的面积；(2)当x 为何值时，y 1＝y 2，y 1＞y 2.解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝－2x ＋8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，即交点坐标(1，6)．∴两函数图象与x 轴围成的三角形的面积为：12×6×6＝18；(2)x ＝1时，y 1＝y 2， x ＞1时，y 1＞y 2.,当堂过关检测)1．(2017宁德中考)如图，直线l 是一次函数y ＝kx ＋b 的图象，若点A(3，m)在直线l 上，则m 的值是( C )A ．－5B .32C .52D ．7,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2017葫芦岛中考)一次函数y ＝(m －2)x ＋3的图象如图所示，则m 的取值范围是( A )A ．m ＜2B ．0＜m ＜2C ．m ＜0D ．m ＞23．(2017陕西中考)若一个正比例函数的图象经过A(3，－6)，B(m ，－4)两点，则m 的值为( A )A ．2B ．8C ．－2D ．－84．(2017成都中考)如图，正比例函数y 1＝k 1x 和一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象相交于点A(2，1)．当x<2时，y 1__＜__y 2.(选填“>”或“<”)5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝34x ＋3的图象与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针方向旋转90°后得到△A′OB′.(1)求直线A′B′的表达式；(2)若直线A′B′与直线AB 相交于点C ，求S △A ′BC ∶S △ABO . 解：(1)由y ＝34x ＋3，得A(－4，0)和B(0，3)，∴A ′(0，4)，B ′(3，0)．设A′B′的表达式为y ＝kx ＋b ，将A′， B ′坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，3k ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝4，∴直线A′B′的表达式为y ＝－43x ＋4；(2)由旋转得：∠A＝∠A′， ∠ABO ＝∠A′BC， ∴∠A ′CB ＝∠AOB＝90°， ∴△A ′CB ∽△AOB. 又∵AB＝42＋32＝5，∴S △A ′ BC ∶S △ABO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－352＝125.请完成精练本第20页作业教后反思：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________第2课时 一次函数的实际应用,考标完全解读),感受宜宾中考)(2013宜宾中考)某棵果树前x 年的总产量y 与x 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前x 年的年平均产量最高，则x 的值为( C )A ．3B ．5C . 7D ．9,核心知识梳理)一次函数的实际应用1．用一次函数解决实际问题的一般步骤为： (1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)__通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式__； (3)__确定自变量的取值范围__； (4)利用函数性质解决问题；(5)__检验所求解是否符合实际意义__； (6)答． 2．方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过__列不等式__，求解出某一个事物的__取值范围__，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．【方法点拨】求最值的本质为求最优方案，解法有两种： (1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第②种方法更简单快捷．,重点难点解析)一次函数的实际应用【例1】甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A 地出发前往B 地．甲出发1 h 后，乙出发．设甲与A 地相距y 甲(km )，乙与A 地相距y 乙(km )，甲离开A 地的时间为x(h )，y 甲，y 乙与x 之间的函数图象如图所示．(1)甲的速度是________km /h ；(2)当1≤x≤5时，求y 乙关于x 的函数表达式； (3)当乙与A 地相距240 km 时，甲与A 地相距______km .【解析】(1)根据图象确定甲的路程与时间即可求出速度；(2)利用待定系数法确定出y 乙关于x 的函数表达式即可；(3)求出乙距A 地240 km 时的时间，乘以甲的速度即可得结果．【答案】解：(1)60； (2)当1≤x≤5时，设y 乙关于x 的函数表达式为y 乙＝kx ＋b. ∵点(1，0)，(5，360)在其图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b ，360＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝90，b ＝－90. ∴y 乙关于x 的函数表达式为y 乙＝90x －90(1≤x≤5)；(3)220 【针对训练】1．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果量y(kg )，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6 750 kg? (3)当增种果树多少棵，果园的总产量w(kg )最大？最大产量是多少？ 解：(1)设函数的表达式为y ＝kx ＋b.该一次函数过点(12，74)，(28，66)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧74＝12k ＋b ，66＝28k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.5，b ＝80. ∴该函数的表达式为y ＝－0.5x ＋80； (2)根据题意，得(－0.5x ＋80)(80＋x)＝6 750， 解得x 1＝10，x 2＝70. ∵投入成本最低，∴x ＝10.∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6 750 kg ； (3)根据题意，得 w ＝(－0.5x ＋80)(80＋x) ＝－0.5x 2＋40x ＋6 400 ＝－0.5(x －40)2＋7 200，∵a ＝－0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值． ∴当x ＝40时，w 最大值为7 200 kg .∴当增种果树40棵时，果园的最大产量是7 200 kg.利用一次函数进行方案选择【例2】为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A ，B 两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A ，B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A ，B 两村的运费如下表：(1)求这15辆车中大小货车各多少辆；(2)现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A ，B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数表达式；(3)在(2)的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【解析】(1)设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；(2)设前往A 村的大货车为x 辆，则前往B 村的大货车为(8－x)辆，前往A 村的小货车为(10－x)辆，前往B 村的小货车为[7－(10－x)]辆，根据表格所给运费，求出y 与x 的函数关系式；(3)结合已知条件，求x 的取值范围，由(2)的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．【答案】解：(1)设大货车用x 辆，小货车用y 辆．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，12x ＋8y ＝152，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝7.∴大货车用8辆，小货车用7辆；(2)y ＝800x ＋900(8－x)＋400(10－x)＋600[7－(10－x)]＝100x ＋9 400.(3≤x≤8，且x 为整数)； (3)由题意，得12x ＋8(10－x)≥100， 解得x≥5.又∵3≤x≤8，∴5≤x ≤8且为整数．∵y ＝100x ＋9 400，k ＝100＞0，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，y 最小，最小值为y ＝100×5＋9 400＝9 900(元).答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A 村；3辆大货车、2辆小货车前往B 村，最少运费为9 900元．【针对训练】2．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为 4 000元/m 2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120 m 2.若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a 元装修基金； 方案二：降价10%，没有其他赠送．(1)请写出售价y(元/m 2)与楼层x(1≤x≤23，x 取整数)之间的函数关系式；(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算． 解：(1)当1≤x≤8时，y ＝4 000－(8－x)×30＝30x ＋3 760， 当9≤x≤23时，y ＝4 000＋(x －8)×50＝50x ＋3 600，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋3 760（1≤x≤8），50x ＋3 600（9≤x≤23）；(2)第十六层楼房每平方米的价格为：50×16＋3 600＝4 400(元/m 2)， 按照方案一所交房款为：W 1＝4 400×120×(1－8%)－a ＝485 760－a(元)， 按照方案二所交房款为：W 2＝4 400×120×(1－10%)＝475 200(元)， 当W 1＞W 2时，即485 760－a ＞475 200， 解得0＜a ＜10 560，当W 1＜W 2时，即485 760－a ＜475 200， 解得a ＞10 560，∴当0＜a ＜10 560时，方案二合算； 当a ＝10 560时，两种方案一样； 当a ＞10 560时，方案一合算．利用一次函数解决分段函数型问题【例3】某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足下列关系式：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧54x （0≤x≤5），30x ＋120（5<x≤15）. (1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)(3)设(2)小题中第m 天利润达到最大值，若要使第(m ＋1)天的利润比第m 天的利润至少多48元，则第(m ＋1)天每只粽子至少应提价几元？【解析】(1)把y ＝420代入y ＝30x ＋120，解方程即可求得；(2)根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；(3)根据(2)得出m ＋1＝13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a 与利润w 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．【答案】解：(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只，由题意可知30n ＋120＝420，解得n ＝10.答：第10天生产的粽子数量为420只；(2)由图象得，当0≤x≤9时，p ＝4.1；当9≤x≤15时，设p ＝kx ＋b ，把点(9，4.1)，(15，4.7)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝4.1，15k ＋b ＝4.7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1，b ＝3.2， ∴p ＝0.1x ＋3.2，①0≤x ≤5时，w ＝(6－4.1)×54x＝102.6x ，当x ＝5时，w 最大＝513元；②5＜x≤9时，w ＝(6－4.1)×(30x＋120)＝57x ＋228，当x ＝9时，w 最大＝741元；③9＜x≤15时，w ＝(6－0.1x －3.2)×(30x＋120)＝－3x 2＋72x ＋336，∵a ＝－3＜0，∴当x ＝－b 2a＝12时，w 最大＝768(元)． ∵513<741<768，∴第12天的利润最大，最大利润是768元；(3)由(2)可知m ＝12，m ＋1＝13，设第13天提价a 元．由题意，得w 13＝(6＋a －p)(30x ＋120)＝510(a ＋1.5)，∴510(a ＋1.5)－768≥48，解得a ＝0.1.答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．【针对训练】3．甲、乙两人匀速从同一地点到1 500 m 处的图书馆看书，甲出发5 min 后，乙以50 m /min 的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s(m )，甲行走的时间为t(min )，s 关于t 的函数图象的一部分如图所示．(1)求甲行走的速度；(2)在坐标系中，补画s 关于t 的函数图象的其余部分； (3)问甲、乙两人何时相距360 m?解：(1)甲行走的速度：150÷5＝30(m /min )；(2)当t ＝35时，甲行走的路程为：30×35＝1 050(m )，乙行走的路程为：(35－5)×50＝1 500(m )，∴当t ＝35时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有1 500－1 050＝450 m ，∴甲到达图书馆还需时间：450÷30＝15(min )，∴35＋15＝50(min )，∴当s ＝0时，横轴上对应的时间为50.补画的图象如图所示(横轴上对应的时间为50)；(3)设乙出发经过x min 和甲第一次相遇．根据题意，得150＋30x ＝50x ，解得x ＝7.5，7．5＋5＝12.5(min )，由函数图象可知，当t ＝12.5时，s ＝0，∴点B 的坐标为(12.5，0)，当12.5≤t≤35时，设BC 的表达式为s ＝kt ＋b ，把C(35，450)，B(12.5，0)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧12.5k ＋b ＝0，35k ＋b ＝450， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝20，b ＝－250， ∴s ＝20t －250，当s ＝360时，20t －250＝360，解得t ＝30.5.当35＜t≤50时，设CD 的表达式为s ＝k 1t ＋b 1，把D(50，0)，C(35，450)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧50k 1＋b 1＝0，35k 1＋b 1＝450， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－30，b 1＝1 500，∴s ＝－30t ＋1 500，∵当s ＝360时，－30t ＋1 500＝360，解得t ＝38.∴当甲行走30.5 min 或38 min 时，甲、乙两人相距360 m ．,当堂过关检测)1.(2017鄂州中考)小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min 到家，再过5 min 小东到达学校．小东始终以100 m /min 的速度步行，小东和妈妈的距离y(单位：m )与小东打完电话后的步行时间t(单位：min )之间的函数关系如图所示，下列四种说法：①打电话时，小东和妈妈距离是 1 400 m ；②小东与妈妈相遇后，妈妈回家速度是50 m /min ；③小东打完电话后，经过27 min 到达学校；④小东家离学校的距离为2 900 m ．其中正确的个数是( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．小丁每天从某都市报社以每份0.3元买出报纸200份，然后以每份0.5元卖给读者，若报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁．如果小丁平均每天卖出报纸x 份，纯收入为y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式(要求写出自变量x 的取值范围)；(2)如每月以30天计，小丁每天至少要卖多少份报纸才能保证每月收入不低于1 000元？解：(1)y ＝(0.5－0.3)x －(0.3－0.2)(200－x)，即y ＝0.3x －20(0≤x≤200，且x 为整数)，(2)依题意，得(0.3x －20)×30≥1 000，解得x≥17779， ∵x 为整数，∴x 取178.答：小丁每天至少应卖出报纸178份，才能保证月收入不低于1 000元．3．某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图，线段L 1，L 2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y(km )随时间x(min )变化的函数图象．根据图象，解答下列问题：(1)分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y 与时间x 的函数表达式；(2)求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？解：(1)长跑：y ＝16x ， 骑车：y ＝12x －10， (2)联立以上两个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝16x ，y ＝12x －10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝5. 答：长跑的同学出发了30 min 后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学．。
中考数学总复习 基础知识梳理 第3单元 函数及其图象 3.2 一次函数课件
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有关正比例函数的两个(liǎnɡ ɡè)区别
学法 指导 (xué fǎ)
1.正比例函数和一次函数的区别
正比例函数是一次函数的特殊情况，一次函数包括正比例函数．也就是 说：如果一个函数是正比例函数，那么(nàme)一定是一次函数，但是，一个 函数是一次函数，不一定是正比例函数．
就行了.
0,
b
,
b k,Leabharlann 012/9/2021
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要点 梳理 (yàodiǎn)
2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象所经过(jīngguò)的象限及增减性．
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3.2.4 待定系数(xìshù)法求一次函数的解析式
要点 梳理 (yàodiǎn)
No 求待定系数的值代入所设的函数解析式中．。经典考题
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y y
k1x k2x
b1 b2
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要点 梳理 (yàodiǎn)
2.一次函数与不等式的关系
(1)函数y＝kx＋b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是(jiùshì)不等式kx＋b ＞0的解集，即函数图象位于x轴的上方； (2)函数y＝kx＋b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx＋b ＜0的解集，即函数图象位于x轴的下方．
3.2.5 用函数(hánshù)观点看方程（组）与不等式
要点 梳理 (yàodiǎn)
1.一次函数与方程(fāngchéng)(组)的关系
(1)一次函数的解析式y＝kx＋b就是一个二元一次方程；
广东地区中考复习课件第三章函数第2节一次函数
增大而增大.
(2)当m，n满足
即
时，
函数图象经过原点. (3)若图象经过第一、二、三象限，则
即
考点2 用待定系数法求一次函数的解析式
考点精讲
【例2】(2014深圳)已知函数y=ax+b经过(1，3)，(0，-2)，
则a-b等于
()
A. -1
B. -3
C. 3
D. 7
思路点拨：分别把(1，3)，(0，-2)代入函数y=ax+b求
y=kx(k≠0)中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数 定义式y=kx＋b(k≠0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是
待定系数法. 2. 一次函数与一元一次方程的关系
任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数， a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次
函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于
减小，图象从左至右下降. 5. 一次函数的性质
一般地，一次函数y=kx+b有下列性质： (1)当k>0时，y随x的增大而增大; (2)当k<0时，y随x的增大而减小; (3)当b>0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上; (4)当b<0时，直线与y轴交点在y轴负半轴上.
方法规律
1. 正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
思路点拨：(1)根据函数图象，当x≤1时，直线y=kx+b 没有在直线y=mx-n的下方，即满足kx+b≥mx-n；
(2)观察函数图象，写出直线y=kx+b在x轴下方所对应
的自变量的范围即为所求； (3)利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成的方
中考数学总复习 第一部分 基础篇 第三章 函数及其图象 考点11 一次函数数学课件
第三章 函数及其图象
11 一次函数
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目标方向
进一步理解正比例函数和一次函数的概念，能结 合图象讨论这些函数的基本性质，以及分析和解决简 单的实际问题.加深对一次函数与方程（组）及不等式 的关系的理解，从运动变化的角度更深层次地了解、填空题、解答题以及与方 程、不等式相结合的综合应用题形式考查.
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考点聚焦
考点一 一次函数和正比例函数的定义
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考点二 一次函数的图象与性质
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考点三 一元函数解析式的确定
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考点四 一次函数与方程（组）及不等式的关系
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真题探源
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第三单元 第11课时 一次函数及其应用
【解析】不等式x+b>kx+4的解集在图象上就表示：一 次函数y1=x+b的图象在一次函数y2=kx+4的图象上方 部分所对应的横坐标的取值范围，结合图象可知即x ＞1.
一题多解：把P（1，3）分别代入y1=x+b和y2=kx+4中， ∴3=1+b,即b=2,∴y1=x+2；3=k+4,即k=-1，∴y2= x+4,∴x+2>-x+4,解得x>1.
考点2 一次函数表达式的确定 1. 利用坐标确定一次函数表达式常用待定 系数法.(2011版新课标新增内容)
2. 确定一次函数表达式的一般步骤：
（1）设出一次函数表达式y＝kx＋b； （2）将x,y的对应值代入表达式y＝kx＋b， 得到含有待定系数的方程或方程组； （3）求待定系数k,b的值； （4）将所求待定系数的值代入所设的函数 表达式中即可得函数表达式.
（1）不等式kx+b＞0的解集为一次函数y=kx+b图 象位于x轴上方部分对应x的取值范围；
（2）不等式kx+b＜0的解集为一次函数y=kx+b图 象位于x轴下方部分对应x的取值范围；
（3）设点C的坐标为（m,n），那么不等式
kx+b≤k1x+b1的解集是 15__x__m __.
考点4 一次函数的实际应用 1. 利用一次函数的性质解决实际问题的步骤：
拓展 已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增 大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是 （ B）
【解析】∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x增 大而减小，∴k<0，∴一次函数y=x+k的图象经过 第一、三、四象限.故选B.
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第三单元 第11课时 一次函数及其应用课件
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
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考点3
一次函数与方程、不等式的关系
1. 一次函数与方程的关系 （1）一次函数的表达式就是一个二元一次方程; （2）点14 B __________ 的横坐标 是方程kx+b=0的解; （3）点C的坐标（x,y）中的x,y的
ì y = kx + b ï 值是方程组 í 的解. ï î y = k1 x + b1
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【解析】∵函数的图象 y=kx+b与y轴交点的纵坐标为
-5，且当x=1时，y=2，∴函数的图象过点 （0，
ì ì ïb =-5 k =7 ï \ , -5），（1，2）， í k + b = 2 解得 í ，故此函 ï î ï î b =-5
数的表达式为：y=7x-5.
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8
考点4
一次函数的实际应用
1. 利用一次函数的性质解决实际问题的步骤：
（1）设定实际问题中的变量; （2）建立一次函数关系式; （3）确定自变量的取值范围; （4）利用函数的性质解决问题.
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9
2. 一次函数的应用有如下常用题型： （1）根据实际问题中给出的数据列出相应的 函数表达式，解决实际问题;
第一部分
教材知识梳理
第三单元 函数
第11课时 一次函数及其应用
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1
中考考点清单
考点1 一次函数及其图象性质(高频考点) 考点2 考点3 一次函数表达式的确定 一次函数与方程、不等式的关系
考点4
一次函数的实际应用
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【中考数学考点复习】第二节一次函数的图象与性质课件
拓展训练
8．已知正比例函数 y＝kx(k≠0)的图象过点(2，3)，把正比例函数 y＝ k x (k ≠0) 的 图 象 平 移 ， 使 它 过 点(1 ， － 1) ， 则 平 移 后 的 函 数 图 象 大 致 是 ( D)
一 平移前表
次
达式
函
平移方向(m>0)
平移后表达式
数
向左平移m个单位长度 y＝k(x m )＋b
图
直线
向右平移m个单位长度 y＝k(x m )＋b
象
的 y=kx+b 向上平移m个单位长度 y＝kx＋b m
平
(k≠0)
移
向下平移m个单位长度 y＝kx＋b m
口诀
横坐标左加 右减
等号右边整 体上加下减
4．一次函数 y＝(2m－1)x＋2 的值随 x 值的增大而增大，则常数 m 的取 1
值范围为 m>2 ． 5．已知一次函数 y＝(k－3)x＋1 的图象经过第一、二、四象限，则 k 的 取值范围是 k<3 ．
6．在平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝2x＋1 的图象经过 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)两点，若 x1<x2，则 y1 ＜ y2.
．
第 12 题图
一次函数表达式的确定
13．(2021 甘肃省卷)将直线 y＝5x 向下平移 2 个单位长度，所得直线的表
达式为( A )
A．y＝5x－2
B．y＝5x＋2
C．y＝5(x＋2)
D．y＝5(x－2)
14．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0，2)，N(1，3)两点，则k，b
第10课时 一次函数的图象及其性质 课件 2025年中考数学一轮总复习
么过原点O且将△AOB的面积平分的直
线l2的解析式为（ D ）
D
A. y＝ x
B. y＝x
C. y＝ x
D. y＝2x
（2）如图2，已知一条直线经过点A
（0，2），点B（1，0），将这条直线
向左平移与x轴、y轴分别交于点C，D.
若DB＝DC，则直线CD的函数解析式
y＝ x－
考点三 一次函数与方程（组）、不
等式
例3 （1）（2024·广东）已知不等式
kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y
＝kx＋b的图象大致是（ B ）
B
A B C D
一、
二、三
一、
三
一、
三、四Βιβλιοθήκη 一、 二、四
二、
四
二、
三、
四
增大
减小
（1）k的符号决定直线的增减性；
的大小决定直线的倾斜程度，即 越
大，直线与x轴相交的锐角的度数越大
（直线越 ）； 越小，直线与x
轴相交的锐角的度数越小（直线越 ）.（2）b（称为截距）表示直线y＝kx＋
图象
关系
一次函数y＝kx＋b的图象可由正
比例函数y＝kx的图象平移得到.
当b＞0时，向上平移b个单位长
度；当b＜0时，向下平移 个单
位长度
（0，b）
（－ ，0）
知识点2 一次函数y＝kx＋b（k≠0）的
图象与性质
函
数
y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）
k＞0
k＜0
b＞0
b＝0
b＜
0
b＞0
b＝0
为 ；
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第二节 一次函数的图象及性质
1．(2016南宁中考)已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)，则m的值为( B )
A.31 B．3 C．－31 D
．－3
2．(2016郴州中考)当b<0时，一次函数y＝x＋b的图象大致是( B )
,A) ,B)
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,C) ,D)
3．(2016呼和浩特中考)已知一次函数y＝kx＋b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的
增大而增大，则k，b的取值情况为( A )
A．k>1，b<0 B
．k>1，b>0
C．k>0，b>0 D
．k>0，b<0
4．(2016广州中考)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是( C )
A．ab>0 B
．a－b>0
C．a2＋b>0 D
．a＋b>0
5．(2016陕西中考)已知一次函数y＝kx＋5和y＝k′x＋7，假设k>0且k′<0，则这两个一次函数图象的交
点在( A )
A．第一象限 B
．第二象限
C．第三象限 D
．第四象限
6．(2016雅安中考)若式子＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(1－k)x＋k－1的图象可能是( C )
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,A) ,B)
,C) ,D)
7．(2016枣庄中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝
kx＋b的图象可能是( B )
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,A) ,B)
,C) ,D)
8．(2016天津中考)若一次函数y＝－2x＋b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是__－
1__．(写出一个即可)
9．(2016永州中考)已知一次函数y＝kx＋2k＋3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x
的增大而减小，则k所能取到的整数值为__－1__．
10．(2016娄底中考)将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度所得直线的表达式是__y＝2x－2__．
11．(2016巴中中考)已知二元一次方程组x＋2y＝－2x－y＝－5，的解为y＝1，x＝－4，则在同一平面直角坐标系中，直线
l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－21x－1的交点坐标为__(－4，1)__．
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12．(2016绍兴中考)根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8∶00打开
排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11∶30全部排
完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
解：(1)暂停排水时间为30 min(半小时)，排水孔的排水速度为300 m3/h；(2)设当2≤t≤3.5时，Q关于t
的函数表达式为Q＝kt＋b，把(2，450)，(3.5，0)代入得0＝3.5k＋b.450＝2k＋b，解得k＝－300，b＝1 050，∴函数表达式为Q＝－
300t＋1 050.
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13．(2016吉林中考)甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲出发1 h后，
乙出发．设甲与A地相距y甲(km)，乙与A地相距y乙(km)，甲离开A地的时间为x(h)．y甲，y乙与x之间的函
数图象如图所示．
(1)甲的速度是__60__km/h；
(2)当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数表达式；
(3)当乙与A地相距240 km时，甲与A地相距__220__km.
解：(2)解法一：当1≤x≤5时，设y乙关于x的函数表达式为y乙＝kx＋b.∵点(1，0)，(5，360)在其图象
上，∴360＝5k＋b，0＝k＋b，解得b＝－90.k＝90，∴y乙关于x的函数表达式为y乙＝90x－90(1≤x≤5)；解法二：由图象得y乙＝
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90，∴y乙＝90(x－1)＝90x－90(1≤x≤5)．
14．(2016北京中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于
点B(m，4)．
(1)求直线l1的表达式；
(2)过动点P(n，0)且垂于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，写出n的取值
范围．
解：(1)由题可知，点B(m，4)在直线l2：y＝2x上，∴4＝2m，m＝2，∴B(2，4)．∵l1过点A(－6，0)，
B(2，4)，2k＋b＝4，－6k＋b＝0，解得b＝3，，∴y＝21x＋3；(2)由题可知：C(n，21n＋3)，D(n，2n)，∵点C在点D上方，∴
2
1
n＋3>2n，解得n<2，∴当n<2时，点C在点D上方．
15．(2016宜昌中考)如图，直线y＝x＋与两坐标分别交于A，B两点．
(1)求∠ABO的度数；
(2)过点A的直线l交x轴正半轴于点C，AB＝AC，求直线l的函数表达式．
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解：(1)对于y＝x＋，令x＝0，则y＝，∴A的坐标为(0，)，∴OA＝，令y＝0，则x＝－1，∴OB＝1.在
Rt△AOB中，tan
∠ABO＝OBOA＝，∴∠ABO＝60°；(2)在△ABC中，AB＝AC，又AO⊥BC，∴BO＝CO，∴C点的
坐标为(1，0)，设直线l的函数表达式为y＝kx＋b(k，b为常数)，依题意有0＝k＋b.3＝b，解得，3，∴直线l的函数表达
式为y＝－x＋.
16．(2016丽水中考)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西
门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(km)与跑步时间
t(min)之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km/min，用时35 min，根据图象提
供的信息，解答下列问题：
(1)求图中a的值；
(2)组委会在距离起点2.1 km处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过点C到第二次经过点C所用的时
间为68 min.
①求AB所在直线的函数表达式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
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解：(1)∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km/min，用时35 min，∴a＝0.3×35＝10.5；(2)①∵直线OA
经过点O(0，0)，A(35，10.5)，∴直线OA的函数表达式是s＝0.3t(0≤t≤35)，∴当s＝2.1时，0.3t＝2.1，解得
t＝7.∵该运动员从起点到第二次过点C所用的时间为68 min，∴该运动员从第一次过点C到第二次过点C用的
时间是7＋68＝75(min)，∴AB所在直线经过(35，10.5)，(75，2.1)两点．设AB所在直线的函数表达式为s＝kt
＋b，则75k＋b＝2.1，35k＋b＝10.5，解得b＝17.85.k＝－0.21，∴AB所在直线的函数表达式是s＝－0.21t＋17.85；②∵该运动员跑完
赛程所用的时间即为直线AB与横轴交点的横坐标的值，∴当s＝0时，－0.21t＋17.85＝0，解得t＝85，∴该运
动员跑完赛程用时85 min.