16.4、简单的线性规划问题(教师版)20170924
简单的线性规划问题数学课件PPT
0
将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内
所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y
都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少? 把z=2x+3y变形为y=-3 2x+3 z,这是斜率为-3 2, 在y轴上的截距为z的直线, 3
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
y 0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又 称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
x C
2x+y=0
Zmax=3
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行
线中，利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线
（3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
简单的线性规划问题
8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.
解法二：特值验证法
由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0（0， 15），A1（1，13），A2（2，11），A3（3，9），A4（4， 8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7）， A9（9，6），A10（10，6），…，A27（27，0）.
由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最 大，即z最大.
解方程组 x - 4y 3 0, 3x 5y 25 0
，得A的坐标为(5,2).
∴zmax=2×5+2=12.
当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z
最小.
解方程组
x x
- 4y 1
返回
【解析】设进T 恤x件，运动鞋y双，则有
x 50,y 30,x,y N, x y 40, 36x 48y 2 400,
其目标函数为z=18x+20y. 作出它的可行域如图所示， 由图可知： 当x=50且y=12.5时，z取得最大值1 150. 但x,y∈N*,
（3）由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而 迅速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分 晓.
假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和 资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能 进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要 T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T 恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2 400元资金， 假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元， 问：如何进货可以使你获利最大？
简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题附答案 Did you work harder today, April 6th, 2023简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法;并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by b≠0对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!;在y轴上的截距是错误!;当z变化时;方程表示一组互相平行的直线．当b>0;截距最大时;z取得最大值;截距最小时;z取得最小值；当b<0;截距最大时;z取得最小值;截距最小时;z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下;解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步;即;1画：根据线性约束条件;在平面直角坐标系中;把可行域表示的平面图形准确地画出来;可行域可以是封闭的多边形;也可以是一侧开放的无限大的平面区域．2移：运用数形结合的思想;把目标函数表示的直线平行移动;最先通过或最后通过的顶点或边界便是最优解．3求：解方程组求最优解;进而求出目标函数的最大值或最小值．4答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型1给定一定数量的人力、物力资源;问怎样运用这些资源;使完成的任务量最大;收到的效益最大；2给定一项任务;问怎样统筹安排;使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如;已知两煤矿每年的产量;煤需经两个车站运往外地;两个车站的运输能力是有限的;且已知两煤矿运往两个车站的运输价格;煤矿应怎样编制调动方案;才能使总运费最小②产品安排问题例如;某工厂生产甲、乙两种产品;每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量;此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的;这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产;才能使每月获得的总利润最大③下料问题例如;要把一批长钢管截成两种规格的钢管;应怎样下料能使损耗最小2．解答线性规划实际应用题的步骤1模型建立：正确理解题意;将一般文字语言转化为数学语言;进而建立数学模型;这需要在学习有关例题解答时;仔细体会范例给出的模型建立方法．2模型求解：画出可行域;并结合所建立的目标函数的特点;选定可行域中的特殊点作为最优解．3模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中;设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x;y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最大值为A．12 B．11C．3 D．－1答案B解析首先画出可行域;建立在可行域的基础上;分析最值点;然后通过解方程组得最值点的坐标;代入即可．如图中的阴影部分;即为约束条件对应的可行域;当直线y＝－3x＋z经过点A时;z取得最大值．由错误!错误!此时z＝3x＋y＝11.跟踪训练1 1x;y满足约束条件错误!若z＝y－ax取得最大值的最优解不．唯一．．;则实数a的值为A.错误!或－1 B．2或错误!C．2或1 D．2或－12若变量x;y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最小值为________．答案1D 21解析1如图;由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距;故当a>0时;要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一;则a＝2；当a<0时;要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一;则a＝－1.2由题意;作出约束条件组成的可行域如图所示;当目标函数z＝3x＋y;即y ＝－3x＋z过点0;1时z取最小值1.题型二非线性目标函数的最值问题例2 设实数x;y满足约束条件错误!求1x2＋y2的最小值；2错误!的最大值．解如图;画出不等式组表示的平面区域ABC;1令u＝x2＋y2;其几何意义是可行域ABC内任一点x;y与原点的距离的平方．过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x;则垂足为错误!的解;即错误!;又由错误!得C错误!;所以垂足在线段AC的延长线上;故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝错误!＝错误!;所以;x2＋y2的最小值为错误!.2令v＝错误!;其几何意义是可行域ABC内任一点x;y与原点相连的直线l 的斜率为v;即v＝错误!.由图形可知;当直线l经过可行域内点C时;v最大;由1知C错误!;所以v max＝错误!;所以错误!的最大值为错误!.跟踪训练2已知x;y满足约束条件错误!则x＋32＋y2的最小值为________．答案10解析画出可行域如图所示．x＋32＋y2即点A－3;0与可行域内点x;y之间距离的平方．显然AC长度最小;∴AC2＝0＋32＋1－02＝10;即x＋32＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元;每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中;要求每天消耗A;B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划;从每天生产的甲、乙两种产品中;公司共可获得的最大利润是多少解设每天分别生产甲产品x桶;乙产品y桶;相应的利润为z元;于是有错误!z＝300x＋400y;在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0;平移该直线;当平移到经过该平面区域内的点4;4时;相应直线在y轴上的截距达到最大;此时z＝300x＋400y取得最大值;最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800;即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数直线求出最优解；⑥实际问题需要整数解时;应适当调整;以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子;希望使桌子和椅子的总数尽可能的多;但椅子数不少于桌子数;且不多于桌子数的1.5倍;问桌子、椅子各买多少才行解设桌子、椅子分别买x张、y把;目标函数z＝x＋y;把所给的条件表示成不等式组;即约束条件为由错误!解得错误!所以A点的坐标为错误!.由错误!解得错误!所以B点的坐标为错误!.所以满足条件的可行域是以A错误!;B错误!;O0;0为顶点的三角形区域如图．由图形可知;目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B错误!;但注意到x∈N;y∈N;故取错误!故买桌子25张;椅子37把是最好的选择．1．若直线y＝2x上存在点x;y满足约束条件错误!则实数m的最大值为A．－1 B．1 C.错误! D．22．某公司招收男职员x名;女职员y名;x和y需满足约束条件错误!则z＝10x＋10y的最大值是A．80 B．85C．90 D．953．已知实数x;y满足错误!则z＝x2＋y2的最小值为________．一、选择题1．若点x; y位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域; 则2x－y的最小值为A．－6 B．－2 C．0 D．22．设变量x;y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为A．－4 B．0 C.错误! D．43．实数x;y满足错误!则z＝错误!的取值范围是A．－1;0 B．－∞;0C．－1;＋∞ D．－1;14．若满足条件错误!的整点x;y整点是指横、纵坐标都是整数的点恰有9个;则整数a的值为A．－3 B．－2 C．－1 D．05．已知x;y满足错误!目标函数z＝2x＋y的最大值为7;最小值为1;则b;c 的值分别为A．－1;4 B．－1;－3C．－2;－1 D．－1;－26．已知x;y满足约束条件错误!使z＝x＋aya＞0取得最小值的最优解有无数个;则a的值为A．－3 B．3 C．－1 D．1二、填空题7．若x;y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的取值范围是________．8．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3;则z＝2x－3y的取值范围是________答案用区间表示．9．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组错误!给定．若Mx;y为D上的动点;点A的坐标为错误!;1;则z＝错误!·错误!的最大值为________．10．满足|x|＋|y|≤2的点x;y中整点横纵坐标都是整数有________个．11．设实数x;y满足不等式组错误!则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．三、解答题12．已知x;y满足约束条件错误!目标函数z＝2x－y;求z的最大值和最小值．13．设不等式组错误!表示的平面区域为D.若指数函数y＝a x的图象上存在区域D上的点;求a的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3;五合板600 m2;准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3;五合板2 m2;生产每个书橱需要方木料0.2 m3;五合板1 m2;出售一张方桌可获利润80元;出售一个书橱可获利润120元．1如果只安排生产书桌;可获利润多少2如果只安排生产书橱;可获利润多少3怎样安排生产可使所得利润最大当堂检测答案1．答案B解析如图;当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时;m取到最大值;此时;即m;2m在直线x＋y－3＝0上;则m＝1.2．答案C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x;y∈N;计算区域内与错误!最近的点为5;4;故当x＝5;y＝4时;z取得最大值为90. 3．答案错误!解析实数x;y满足的可行域如图中阴影部分所示;则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方;故z min＝错误!2＝错误!.课时精练答案一、选择题1．答案A解析画出可行域;如图所示;解得A－2;2;设z＝2x－y;把z＝2x－y变形为y＝2x－z;则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×－2－2＝－6;故选A.2．答案D解析作出可行域;如图所示．联立错误!解得错误!当目标函数z＝3x－y移到2;2时;z＝3x－y有最大值4.3．答案D解析作出可行域;如图所示;错误!的几何意义是点x;y与点0;1连线l的斜率;当直线l过B1;0时k l最小;最小为－1.又直线l不能与直线x－y＝0平行;∴k l＜1.综上;k∈－1;1．4．答案C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示;当a＝0时;只有4个整点1;1;0;0;1;0;2;0．当a＝－1时;正好增加－1;－1;0;－1;1;－1;2;－1;3;－15个整点．故选C.5．答案D解析由题意知;直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点;且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点;即经过点3;1和点1;－1;∴错误!解得错误!6．答案D解析如图;作出可行域;作直线l：x＋ay＝0;要使目标函数z＝x＋aya＞0取得最小值的最优解有无数个;则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合;故a＝1;选D.二、填空题7．答案2;6解析如图;作出可行域;作直线l：x＋2y＝0;将l向右上方平移;过点A2;0时;有最小值2;过点B2;2时;有最大值6;故z的取值范围为2;6．8．答案3;8解析作出不等式组错误!表示的可行域;如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x－3y＝0;当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A3;1时;目标函数有最小值z min＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B1;－2时;目标函数有最大值z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈3;8．9．答案4解析由线性约束条件错误!画出可行域如图中阴影部分所示;目标函数z＝错误!·错误!＝错误!x＋y;将其化为y＝－错误!x＋z;结合图形可知;目标函数的图象过点错误!;2时;z最大;将点错误!;2代入z＝错误!x＋y;得z的最大值为4.10．答案13解析|x|＋|y|≤2可化为作出可行域为如图正方形内部包括边界;容易得到整点个数为13个．11．答案21解析作出可行域如图;即△ABC所围区域包括边界;其顶点为A1;3;B7;9;C3;1方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方;∴x＋2y－4＞0;则目标函数等价于z＝x＋2y－4;易得当直线z＝x＋2y－4在点B7;9处;目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝错误!·错误!;令Px;y为可行域内一动点;定直线x＋2y－4＝0;则z＝错误!d;其中d为Px;y到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知;区域内的点B与直线的距离最大;故d的最大值为错误!＝错误!.故目标函数z max＝错误!·错误!＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z;z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数;故当z取得最大值和最小值时;应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l;经上下平移;可得：当l移动到l1;即经过点A5;2时;z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2;即过点C1;4.4时;z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域;如图所示;y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A2;9;∴9＝a2;∴a＝3.∵a＞1;∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：1则错误!错误!0≤x≤300.所以当x＝300时;z max＝80×300＝24 000元;即如果只安排生产书桌;最多可生产300张书桌;获得利润24 000元．2设只生产书橱y个;可获得利润z元;则错误!错误!0≤y≤450.所以当y＝450时;z max＝120×450＝54 000元;即如果只安排生产书橱;最多可生产450个书橱;获得利润54 000元．3设生产书桌x张;书橱y个;利润总额为z元;则错误!错误!z＝80x＋120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域;即可行域如图．作直线l：80x＋120y＝0;即直线l：2x＋3y＝0.把直线l向右上方平移至l1的位置时;直线经过可行域上的点M;此时z＝80x＋120y取得最大值．由错误!解得;点M的坐标为100;400．所以当x＝100;y＝400时;z max＝80×100＋120×400＝56 000元．因此;生产书桌100张、书橱400个;可使所得利润最大．。
高中数学《简单的线性规划问题 》课件
11
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解 z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域 的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找 到最大值点或最小值点．
12
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
27
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
x≥0，
【跟踪训练 3】 记不等式组x＋3y≥4， 3x＋y≤4
所表示的平
面区域为 D，若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，则 a 的 取值范围是___12_，__4_ _．
28
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随堂达标自测
课后课时精练
24
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数学 ·必修5
探究3 已知目标函数的最值求参数 例 3 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最 大值，则 a 的取值范围为__a_>_1____．
解析 由约束条件画出可行域(如图)． 点 C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移 y＝－ax 时，使 直线在 y 轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(3)(教材改编 P89 例 6)某公司招收男职员 x 名，女职员 y
5x－11y≥－22， 名，x 和 y 需满足约束条件22xx≤＋131y≥，9，
简单的线性规划问题
线性规划的有关概念：
线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组对变量 的约束条件，这组约束条件都是关于 的一次不等式，所以又称线性约束条件．
线性目标函数：把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量 的一次解析式，所以又称线性目标函数．
线性规划：一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
3．3．2简单的线性规划问题
第1课时（总3课时）
授课班级：高二1班
课型：新授课
分组安排
课前准备
课件、多媒体运用
学习目标
了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解． 体会数学知识形成过程所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．
（2）已知 满足 且 的最小值为－6，求常数 的值．
通过作业，发现和弥补教学中的不足，注重个体差异，因材施教.
教学反思
学情分析
学习者特征：学生对于数学新内容的学习有较大的兴趣和较强的积极性，但是探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡．
初始能力：学生已经掌握了二元一次不等式（组）的基本知识，通过前面的学习初步具备了数形结合的思想和分类讨论的思想，但是缺乏深刻性，不够严谨．
重点
难点
重点：线性目标函数的最值问题．
难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系．
当堂训练
变式（1）
求目标函数 的最小值；
变式（2）
若目标函数 的最大值是1，求 的值．
学以致用，让学生体会解决线性规划问题的一般过程；
简单的线性规划问题PPT教学课件
§2 气体的状态参量 平衡态
一、体积V 气体分子所能达到的空间范围. [单位: m3]
二、压强P 气体作用于容器壁单位面积的垂直作用力. [单位:Pa] 1Pa=1N/ m2
1.1mmHg=133.3Pa 2.标准大气压(atm)
1atm 760mmHg 1.013105 Pa
作一组与 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得： 当 l 移动到 l2 时，即过点 A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12； 当 l 移动到 l1 时，即过点 B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
正确作出可行域后，将目标函数变为直线方 程的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z 取值的关系．再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关 系，以便准确找到最优解．
Po 1.01325 105 Pa
To 273.15 K
Vmol 22.4 103 m3
PV PoVo M PoVmol
T
To M mol To
其中： M 为气体的总质量。
M mol为气体的摩尔质量。
令： R PoVmol 8.31 (J mol 1 K 1) To
R 称为“普适气体常数 ”
x＋2y－2＝0 与直线 y＝1 的交点．
解方程组
x＋2y－2＝0 y＝1
，得 x＝0，y＝1.此时 z＝0＋1＝1.
故 z 的最小值为 1.
1 － 2.(2010 年 天 津 ) 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件
xx＋ －yy≤ ≥3－1， 则目标函数 z＝4x＋2y 的最大值为( B ) y≥1
B．[2， 10] D．[ 10，9]
思维突破：本题考查线性规划与指数函数．如图 4 中的阴 影部分为平面区域 M, 显然，只需研究过(1,9)，(3,8)两种情形． a1≤9 且 a3≥8 即 2≤a≤9.
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简单的线性规划问题
一、平面区域问题：
（1）不等式ykxb表示直线ykxb的 上方 区域（包括边界直线ykxb）
（2）不等式ykxb表示直线ykxb的 下方 区域（包括边界直线ykxb）
注意：区分不等式ykxb与不等式ykxb所表示的区域的不同
（3）判断点00(,)Pxy是否在不等式0AxByC或0AxByC所表示的区域内
例1. 记不等式组0,34,34xxyxy所表示的平面区域为D,
（1）求区域D的面积
（2）若直线(1)yax与D有公共点，求实数a的取值范围
【解析】如图，阴影部分为可行域，交点坐标分别为
4
(1,1),(0,4),(0,)3ABC
,
（1）区域D的面积为1144|||4|12233ASBCx
（2）∵直线(1)yax恒过定点(1,0)P，∴PAPBkak，∴142a．
∴实数a的取值范围1[,4]2
变式：设D为不等式组
02030xxyxy
表示的平面区域
（1）求区域D的面积
（2）求区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为______.
【解析】如图，阴影部分为可行域，交点坐标分别为
(0,0),(0,3),(1,2)ABC
（1）区域D的面积113|||03|1222CSBAx
（2）如图：最小值为22555．
x
y
C
A
P
O
B
–1–2–312345
–1
1
2
3
4
5
1234123yxO
M
2
xy=
0
x+y3=
0
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二、线性规划问题：
在线性约束条件下，求线性目标函数（即zAxBxC形式）的最值问题
例2. 设yx,满足约束条件10103xyxyx, 求23zxy的最小值与最大值
【略解】不等式组表示的平面区域的角点坐标分别为(0,1),(3,2),(3,4)ABC,
3,12,6ABCzzz
，故23zxy的最小值为－6与最大值为12
变式：设yx,满足约束条件
210xyxy
,求2zxy的最小值与最大值
【答案】2zxy的最小值为2、最大值为4
三、线性规划的实际应用问题
例3．某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料
2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，
每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料
都不超过12千克。该公司应如何通过合理安排生产计划，才能使公司获得最大的利润，
最大利润是多少元？
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变式：4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的
价格之和不大于24元，则买3件A商品与9件B商品至少需要（ ）
A．15元 B．22元 C．36元 D．72元
【解析】设每件A、B商品的价格分别为x元、y元，则
x
，y满足约束条件 4520,6324,0,0,xyxyxy
39zxy
，最优解为104(,)33,故min22z. 【答案】B
四、非线性规划问题
（1）目标函数为00yyzxx （2）目标函数为2200()()zxxyy
例4．若,xy满足约束条件120xyxy ，求22xy的最小值与最大值
【解析】如图，阴影部分为可行域，(1,1)A，
令222xyr ，则22xy表示以(0,0)为圆心的半径的平方
当这个圆过点 A 时，半径最小，
2
22
min
()2xyOA
当这个圆过点 C 时，半径最大，
2
222
max
()(22)8xyOC
∴2222xyOA．22222xyOC
所以22xy的最小值为2，最大值为8
变式：在例4的条件下，求
1yx
的最大值与最小值
【答案】最大值为1 ，最小值为12
y=2
xy=0
x=1
O
C
B
A
y
x
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简单的线性规划问题作业题
1．若约束条件30111xyxy所表不的区域为D ，求区域D的面积
【答案】4
2．设变量x、y满足约束条件0121xyxyxy，求目标函数yxz5的最大值
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】5
3．若,xy满足约束条件30111xyxy ，求2yx最大值与最小值
【答案】2yx最大值为2，最小值为13
4．若,xy满足约束条件30111xyxy ，求22(2)xy的最大值
【答案】最大值为2，最小值为25
5．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量
分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过
21辆，且B型车不多于A型车7辆．求旅行社用于租车的最少租金？
【答案】最少租金为36800元