2020-2021学年福建省龙岩市高一上期末考试数学试卷及答案解析
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
福建省龙岩市第四中学2020-2021学年高一上学期半期考质量检查数学试卷及解析
福建省龙岩市第四中学2020-2021学年高一上学期半期考质量检查数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}24A x x =-<≤，{}22B x x =-≤<，则A B =（ ）A.{}22x x -<< B.{}24x x -≤≤ C.{}22x x -≤≤ D.{}24x x -<≤2.函数()03y x =-的定义域为（ ） A.()2,+∞B.[)2,+∞C.()()2,33,+∞D.[)()2,33,+∞3.已知()()1mf x m x =-是幂函数，则m =（ ） A.0B.1C.2D.-24.下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A.()1f x =，0()g x x = B.()3f x x =+，29()3x g x x -=-C.()f x x =，()g x =D.()f x =()g x x =5.下列函数中是奇函数的是（ ） A.2()3f x x =+ B.3()f x x = C.3()1f x x =-D.()1f x x =+6.偶函数()y f x =在区间[]4,0-上单调递增，则有（ ） A.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭B.(1)()3f f f ππ⎛⎫>->-⎪⎝⎭C.()(1)3f f f ππ⎛⎫->->⎪⎝⎭D.(1)()3f f f ππ⎛⎫->->⎪⎝⎭7.下列结论正确的是（ ） A.1y x x=+有最小值2 B.当0ab <时，b ay a b=+有最大值-2C.y =有最小值2D.当2x >时，12y x x =+-有最小值2 8.若函数2(21)1y x a x =+-+在区间(,2]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9.若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又(2)0f -=，则不等式()0f x x<的解集为（ ） A.(2,0)(2,)-+∞ B.(,2)(0,2)-∞-⋃ C.(2,0)(0,2)-D.(,2)(2,)-∞-+∞10.定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[]1,1x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的[],0,1m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(13)(1)f x f x -<-的解集是（ ） A.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.12,23⎛⎤⎥⎝⎦C.11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题）二、填空题11.已知幂函数y =f(x)的图象过点(3,√3),则f(9)=______．12.若函数()f x 满足()()f x f x -=-，并且当0x >时，3()21f x x x =-+，则()2f -=________. 13.若函数(3)3,7(),7a x x f x ax x --≤⎧=⎨>⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是___.三、解答题14.设全集U =R ，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()UA B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足C C =B ∪，求实数a 的取值范围.15.已知函数2(1)22f x x x -=+- （Ⅰ）求(0),()f f x 的解析式（Ⅱ）当()34x ∈-,时，求()f x 的值域 16.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，且当0x >时，2()1f x x=- （1）用定义法证明()f x 在()0,∞+ 上是减函数； （2）求函数()f x 的解析式. 17.已知函数2()4ax bf x x -=-是定义在()2,2-上的奇函数，且()113f =. （1）求实数a ，b 的值；（2）若函数()f x 在()2,2-上是增函数，解关于t 的不等式()()1230f t f t -+-<. 18.设函数()()21f x x m x m =-++.（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若对于[]1,2x ∈，()4f x m >-恒成立，求m 的取值范围.19.已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时， ()0f x <，若()12f -=. （1）求()0f , ()3f 的值;（2）求证： ()f x 是R 上的减函数；（3）求不等式)()1260f x f x -++>的解集.四、新添加的题型1a b +=，则（ ）A.11a b+有最小值4 有最小值12D.22a b +有最小值1221.给出下列命题：其中不正确命题的序号是（ ） A.“1a >”是“11a<”的充分必要条件； B.命题P ：“若21x <，则1x <”的否定是非P ：“若21x ≥，则1≥x ”； C.设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件； D.设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.22.已知函数221,0()1,0x xf xx x⎧->=⎨-+≤⎩，则()1f-=________﹔若()3f x=，则实数x的取值为________.参考答案1.A【解析】1.根据交集的概念进行运算可得解.因为{}24A x x =-<≤，{}22B x x =-≤<， 所以A B ={|22}x x -<<，故选：A 2.C【解析】2. 由2030x x ->⎧⎨-≠⎩解得结果可得解.由函数()03y x =-有意义可得2030x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且3x ≠，所以函数()03y x =+-的定义域为()()2,33,+∞.故选：C 3.C【解析】3.根据幂函数的概念可得结果.因为()()1mf x m x =-是幂函数，所以11m -=，即2m =.故选：C 4.D【解析】4.分别比较每组两个函数的定义域和对应关系，根据相等函数的定义可得解.对于A ，()1f x =的定义域为R ，()g x 的定义域为{|0}x x ≠，定义域不同，()f x 与()g x 不表示同一函数，故A 不正确；对于B ，()3f x x =+的定义域为R ，()g x 的定义域为{|3}x x ≠，定义域不同，()f x 与()g x 不表示同一函数，故B 不正确；对于C ，()f x x =，()||g x x ==，对应关系不同，()f x 与()g x 不表示同一函数，故C 不正确；对于D ，()||f x x ==，()g x x =，定义域和对应关系都相同，()f x 与()g x 表示同一函数，故D 正确； 故选：D 5.B【解析】5.利用奇函数的定义逐个判断可得答案.对于A ，22()()33()f x x x f x -=-+=+=，()f x 为偶函数，故A 不正确； 对于B ，()f x -33()()x x f x =-=-=-，()f x 为奇函数，故B 正确；对于C ，33()1()1()f x x x f x -=--=+≠-，()f x 不为奇函数，故C 不正确；对于D ，()1()f x x f x -=-+≠-，()f x 不为奇函数，故D 不正确. 故选：B 6.A【解析】6.根据单调性得到()()(1)3f f f ππ-<-<-，再根据偶函数可得()()33f f ππ=-，从而可得()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭.因为4103ππ-<-<-<-<且函数()y f x =在区间[]4,0-上单调递增， 所以()()(1)3f f f ππ-<-<-，又因为函数()y f x =为偶函数，所以()()33f f ππ=-，所以()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭. 故选：A 7.B【解析】7.对于A ，当0x <时，0y <，故A 不正确；对于B ，根据基本不等式可知B 正确；对于C ，利用基本不等式求最值时，等号取不到，故C 不正确；对于D ，利用基本不等式求出的最小值为4，故D 不正确. 对于A ，只有当0x >时才有12y x x=+≥，当0x <时，0y <，故A 不正确； 对于B ，当0ab <时，0,0b a a b->->，所以b a y a b =+2b a a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当=-a b 时，等号成立，故B 正确；对于C ，y =2≥=1=，即21x =-时等号成立，而21x =-不成立，故等号取不到，所以y =2>，最小值不等于2，故C 不正确；对于D ，当2x >时，12y x x =+-122242x x =-++≥=-，当且仅当3x =时，等号成立，故最小值为4，故D 不正确. 故选：B 8.B【解析】8.根据题意，求出二次函数2(21)1y x a x =+-+的对称轴，结合二次函数的性质分析可得1222a-≥，即可求得a 的取值范围． 根据题意，函数2(21)1y x a x =+-+的对称轴为122ax -=， 若2(21)1y x a x =+-+在区间(,2]-∞上是减函数，则1222a-， 解可得：32a -， 则实数a 的取值范围是(-∞，3]2-； 故选：B ． 9.D【解析】9.根据函数的单调性和奇偶性画出()f x 的草图，由此求得()0f x x<的解集. 由于函数为定义在R 上的奇函数，其在()0,∞+上递减，()20f -=，所以函数在(),0-∞上递减，且()20f =，而()00f =，由此画出()f x 的图像如下图所示.不等()0f x x<等价于()()00x f x x ⋅<≠，也即是x 和对应的函数值异号，由图像可知，原不等式的解集为(,2)(2,)-∞-+∞.故选：D.10.A【解析】10.满足①()f x 为奇函数，满足②()f x 在[]0,1是减函数，根据对称性和函数的连续性，可得()f x 在[]1,1-是减函数，将不等式等价转化为自变量关系，即可求解. 任意的[]1,1x ∈-都有()()f x f x -=-,()f x 为奇函数，任意的[],0,1m n ∈，设m n >，()()()()()()(),0,0f m f n f m f n f m f n m n m n m n m n---=--><--，()(),()f m f n f x ∴<∴在[]0,1是减函数，()f x 为奇函数，所以()f x 在[]1,0-是减函数，()f x 在0x =处连续， ()f x 在[]1,1-是减函数，(13)(1)f x f x -<-等价于，13111131x x x x -≤⎧⎪-≥-⎨⎪->-⎩，解得102x ≤<，所以不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选:A. 11.3【解析】11.利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案． 设幂函数f(x)=x α(α为常数)，∵幂函数y =f(x)的图象过点(3,√3)，∴√3=3α，解得α=12． ∴f(x)=√x ． ∴f(9)=√9=3．故答案为3． 12.15-【解析】12.利用()()f x f x -=-将(2)f -化为(2)f -，再利用0x >时的解析式可求得结果.因为()()f x f x -=-，且当0x >时，3()21f x x x =-+，所以(2)(2)f f -=-(2821)15=-⨯-+=-. 故答案为：15-. 13.9,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】13.根据分段函数的单调性，得到不等式组，解得即可；解：因为(3)3,7(),7a x x f x ax x --≤⎧=⎨>⎩是定义在R 上的增函数，所以()0307337a a a a⎧>⎪->⎨⎪--≤⎩解得937a ≤<，即9,37a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：9,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.（1）(){|2U C A B x x ⋂=<或3}x ≥；（2）(),2-∞.【解析】14.（1）先求得集合B ，再利用集合的交集、补集运算求得答案；（2）由C C =B ∪得：B C ⊆，再根据集合间的包含关系可求得实数a 的取值范围. （1）解不等式242x x -≥-可得：2x ≥，{}2B x x ∴=≥， 又集合{}13A x x =-≤<， 故{}23A B x x ⋂=≤<，又U =R ， 从而(){|2U C A B x x ⋂=<或3}x ≥；（2）因为集合{}{}0C x x a x x a =->=>，又C C =B ∪可得：B C ⊆， 故有2a <，即所求实数a 的取值范围是(),2-∞.15.（Ⅰ）(0)1f =；2()41f x x x =++；（Ⅱ）[]3,33-【解析】15.（Ⅰ）令1x =,代入2(1)22f x x x -=+-可得(0)f 的值，令1x t -=，1x t =+，代入2(1)22f x x x -=+-可得()f x 的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()41f x x x =++，由()34x ∈-,及二次函数的性质可得答案. 解：（Ⅰ）令1x =，可得2(0)12121f =+⨯-=，令1x t -=，1x t =+，故22()(1)2(1)241f t t t t t =+++-=++2()41f x x x =++；（Ⅱ）由2()41f x x x =++，其对称轴为2x =- ，当()34x ∈-,时，可得2min ()(2)(2)4(2)13f x f =-=-+⨯-+=-，()()2max 4444133f x f ==+⨯+=，故()f x 的值域为[]3,33-.16.（1）见解析（2）21,0()21,0x xf x x x⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩【解析】16.（1）在（0，+∞）上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，利用定义法能证明（x ）在（0，+∞）上是减函数．（2）当x ＜0时，()()21f x f x x=-=--，由此能求出函数解析式． （1）当x ＞0时，f （x ）2x=-1， 在（0，+∞）上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2， f （x 1）﹣f （x 2）＝（12x -1）﹣（22x -1）()211212222x x x x x x -=-=， ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，∴f （x ）在（0，+∞）上是减函数．（2）∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ＞0时，f （x ）2x=-1 ∴当x ＜0时，f （x ）21f x x=-=--． 故函数()f x 的解析式为21,0()21,0x xf x x x⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩17.（1）1,0a b ==（2）14(,)23【解析】17.（1）利用(0)0f =和1(1)3f =可解得结果；（2）根据函数()f x 为()2,2-上的奇函数，不等式化为(1)(32)f t f t -<-，根据函数()f x 在()2,2-上是增函数可解得结果.（1）因为函数2()4ax bf x x -=-是定义在()2,2-上的奇函数，所以(0)0f =，得0b =， 又1(1)3f =，所以1413a =-，解得1a =，所以2()4xf x x =-，经验证()f x 为()2,2-上的奇函数，所以1,0a b ==.（2）因为()f x 为()2,2-上的奇函数，所以()()1230f t f t -+-<可化为(1)(32)f t f t -<-，又因为函数()f x 在()2,2-上是增函数，所以21322t t -<-<-<， 解得1423t <<， 所以关于t 的不等式()()1230f t f t -+-<的解集为14(,)23. 18.（1）见解析；（2）(),3-∞.【解析】18.（1）由()0f x <得()()10x m x --<，然后分1m <、1m =、1m 三种情况来解不等式()0f x <；（2）由()4f x m >-恒成立，由参变量分离法得出41m x x<+-，并利用基本不等式求出41x x+-在[]1,2上的最小值，即可得出实数m 的取值范围. （1）()0f x <，()210x m x m ∴-++<，()()10x m x ∴--<.当1m <时，不等式()0f x <的解集为(),1m ；当1m =时，原不等式为()210x -<，该不等式的解集为∅； 当1m 时，不等式()0f x <的解集为()1,m ；（2）由题意，当[]1,2x ∈时，()2140x m x -++>恒成立，即[]1,2x ∈时，41m x x<+-恒成立.由基本不等式得4113x x +-≥=，当且仅当[]21,2x =∈时，等号成立， 所以，3m <，因此，实数m 的取值范围是(),3-∞. 19.（1）f (0)＝0. ()36f =-（2）见解析（3）()2,-+∞.【解析】19.试题分析：（1）利用赋值法，令0x y == 可求()0f ，再令1,1x y ==- 可得()()112f f =--=-，进而可得()3f 的值；（2）任取12x x <，作差判断()1f x 与()2f x 的大小，根据函数单调性的定义即可判断()f x 的单调性；（3）将不等式()()1260f x f x -++>进行等价转化为()()13f x f ->，根据函数的单调性的性质列不等式求解即可.试题解析：（1）∵f (x )的定义域为R ，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝2f (0)， ∴f (0)＝0.∵()()()()011110f f f f =-=+-=∴()()112f f =--=- ∴ ()()3316f f ==- （2）证明：()()()()00f x x f x f x f -=-+== ()()f x f x ∴-=-任取12,,x x R ∈且12x x <，则 ()()()()2121f x f x f x f x -=+- ()21f x x =- ∵12x x < ∴210x x -> ∴()210f x x -<即()()21f x f x < ∴f (x )是R 上的减函数．（3）原不等式等价于()()126f x f x -+>-()()()()()()()12312313f x f x f f x x f f x f ⇔-+>⇔-+>⇔-> ∵f (x ) 是R 上的减函数． 13x ∴-<即2x >- 故不等式的解集为()2,-+∞. 20.ACD【解析】20.根据基本不等式及其变形逐项分析，由此判断出正确的选项. A ．()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，取等号时12a b ==，故正确；B1=22a b +≤，取等号时12a b ==12，故错误；C．212a b =++=+≤≤，取等号时12a b ==，故正确；D ．()22211=2121242a b ab ab a b +-=-≥-⨯+=，取等号时12a b ==，故正确，故选：ACD. 21.ABC【解析】21.对于A ，“1a >”是“11a<”的充分不必要条件； 对于B ，“若21x <，则1x <”的否定是非P ：“若21x <，则1≥x ”； 对于C ，“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件； 对于D ，“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件是正确的. 对于A ，由1a >可以推出11a <，但是由11a <不能推出1a >，如1a =-满足11a<，但不满足1a >，故A 不正确，可以选A ；对于B ，“若21x <，则1x <”的否定是非P ：“若21x <，则1≥x ”，故B 不正确，可以选B ；对于C ，由2x ≥且2y ≥可以推出224x y +≥，但是由224x y +≥不能推出2x ≥且2y ≥，所以“2x ≥且2y ≥”不是“224x y +≥”的必要不充分条件，故C 不正确，可以选C ；对于D ，由0a ≠不能推出0ab ≠，由0ab ≠可以推出0a ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 正确，不能选D . 故选：ABC22.2 {-【解析】22.直接根据解析式可求得(1)2f -=，分类讨论x ，根据x 的范围选择相应解析式代入()3f x =可求得结果.因为221,0()1,0x x f x x x ⎧->=⎨-+≤⎩，所以(1)(1)12f -=--+=，当0x >时，()3f x =化为2213x -=，解得x =当0x ≤时，13x -+=，解得2x =-，所以实数x 的取值为{-.故答案为：2；{-。
2020-2021学年福建省龙岩高级中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年福建省龙岩高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 己知集合A ={−1,1}，B ={x ∈N|x ≤2}，则A ∪B =( )A. {1}B. {−1,1,2}C. {−1,0,1,2}D. {0,1,2}2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. y =1xB. y =√xC. y =2xD. y =−x|x|3. 设函数f(x)={x 2+1,x ≤12x,x >1，则f(f(4))=( )A. 12B. 2C. 32D. 544. 已知集合A ={0,1,a 2}，B ={1,0,2a +3}，若A =B ，则a 等于( )A. −1或3B. 0或−1C. 3D. −15. 已知a >0，b >0，a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是 ( )A. 72B. 4C. 92D. 56. 若a =1.70.6，b =0.61.7，c =0.60.6，则( )A. b >a >cB. a >c >bC. a >b >cD. c >a >b7. 已知不等式ax 2−5x +b >0的解集为{x|−3<x <2}，则不等式bx 2−5x +a <0的解集是( )A. {x|−13<x <12} B. {x|−12<x <13} C. {x|x <−13或x >12}D. {x|x <−12或x >13}8. 定义在R 上的函数f(x)满足对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0，则下列关系式恒成立的是( )A. f(a)>f(2a)B. f(a 2)<f(a)C. f(a 2+1)<f(2a)D. f(a 2+2)<f(2a)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 下列四组函数，不表示同一函数的是( )A. f(x)=x ，g(x)=√x 2B. f(x)=x ，g(x)=(√x)2C. f(x)=x 2，g(x)=√x 63D. f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−110. 函数f(x)=|x 2−6x +8|在下列区间( )上单调递减．A. (−∞,2)B. (−∞,3)C. [3,4]D. (2,3)11. 下列命题是真命题的是( )A. ∀x ∈R ，x 2+x +1>0B. 命题“∃x ∈R ，使得x 2+x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x −1>0” C. “x 2−x =0”是“x =1”的必要不充分条件 D. 如果a <b <0，那么1a 2<1b 212. 关于函数f(x)=√x 2−x 4|x|的性质的描述，正确的是( )A. f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]B. f(x)的值域为(−1,1)C. f(x)的图象关于y 轴对称D. f(x)在定义域上是增函数三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=√4−x 2+11−x 的定义域是 ． 14. 函数f(x)=12x +1在[−1,2]上的值域是 ．15. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2+x ，则f(x)在R 上的解析式为 ．16. 已知函数f(x)={(a −2)x +1,x <2a x−1,x ≥2，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)计算：√(−4)33−(−9.6)0+0.2512×(√2)−4；(2)已知实数a ，b 满足2a =3b =6，求1a +1b 的值．18. 已知集合A ={x|2−a ≤x ≤2+a}，B ={x|1≤x ≤6}．(1)当a =3时，求A ∩B ，(∁R A)∪(∁R B)；(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.设命题p：∀x∈[−2,−1]，x2−a≥0；命题q：∃x0∈R，使x02+2ax0−(a−2)=0．(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p，q一真一假，求实数a的取值范围．20.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断并证明函数f(x)在(−1,1)上的单调性；(3)解不等式f(t−1)+f(2t)<0．21.某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润y2与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)(1)分别求出A，B两种产品的利润与投资之间的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到20万元资金，并将其全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这20万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？22.已知：函数f(x)=x2−2ax+2，x∈[−1,1]．(1)求f(x)的最小值g(a)；(2)求g(a)的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了列举法、描述法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 可求出集合B ，然后进行并集的运算即可． 【解答】解：∵A ={−1,1}，B ={0,1,2}， ∴A ∪B ={−1,0,1,2}． 故选：C ．2.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，掌握基本初等函数的性质是解题的关键． 由函数的单调性与奇偶性逐一判断即可． 【解答】解：对于A ，函数y =1x 为奇函数，且在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，但在定义域内不具有单调性，故A 不符合题意；对于B ，函数y =√x 为非奇非偶函数，故B 不符合题意； 对于C ，函数y =2x 为非奇非偶函数，故C 不符合题意；对于D ，函数y =−x|x|={x 2,x ≤0−x 2,x >0为奇函数，且在定义域R 上为减函数，符合题意．故选：D ．3.【答案】D【解析】 【分析】本题考查分段函数以及函数值的求法，考查计算能力，是基础题． 直接利用分段函数求解函数值即可． 【解答】 解：f(4)=12，f(f(4))=f(12)=(12)2+1=54． 故选D ．4.【答案】C【解析】 【分析】本题考查集合相等的定义，以及集合元素的互异性，属于基础题．根据A =B 即可得出a 2=2a +3，解出a ，检验是否满足集合元素的互异性即可． 【解答】解：∵A =B ，∴a 2=2a +3， 解得a =−1或a =3，a =−1时不满足集合元素的互异性，应舍去， ∴a =3，经检验符合题意． 故选：C ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一正，二定，三相等的原则，属于一般题．利用题设中的等式，把y 的表达式转化成(a+b 2)(1a +4b )展开后，利用基本不等式求得y 的最小值． 【解答】解：∵a +b =2， ∴a+b 2=1，∴y=1a+4b=(a+b2)(1a+4b)=52+b2a+2ab≥52+2=92(当且仅当b=2a时等号成立)．故选：C．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数值大小比较问题，是基础题．由指数函数y=1.7x的图象知a>1，由指数函数y=0.6x的图象与性质知b<c<1；由此得出a、b、c的大小关系．【解答】解：由指数函数y=1.7x的图象知，1.70.6>1.70=1，所以a=1.70.6>1；由指数函数y=0.6x的图象与性质知，0.61.7<0.60.6<0.60=1，所以b=0.61.7<c=0.60.6<1；综上知，a、b、c的大小关系是a>c>b．故选：B．7.【答案】A【解析】【分析】由题意可知，−3和2是方程ax2−5x+b=0的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解．本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．【解答】解：由题意可知，−3和2是方程ax2−5x+b=0的两根，且a<0，∴−3+2=5a ，(−3)×2=ba，∴a=−5，b=30，∴不等式bx2−5x+a<0为30x2−5x−5<0，即5(3x+1)(2x−1)<0，解得−13<x<12．故选：A．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0得到函数f(x)为单调递减函数是解决本题的关键．由条件(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0可知函数f(x)为单调递减函数，然后根据单调性进行判断．【解答】解：∵函数f(x)满足(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，即函数f(x)为单调递减函数，∵a2+2−2a=(a−1)2+1>0，∴a2+2>2a，∴f(a2+2)<f(2a)，所以选项D正确，选项C错误；因为a，2a，a2大小关系无法确定，所以选项A错误，选项B错误．故选：D．9.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了同一函数的判断和应用问题，解题时要注意定义域和对应法则的灵活运用．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数，结合选项进行判断即可．【解答】解：对于A，f(x)=x的定义域为R，g(x)=√x2=|x|的定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，f(x)=x的定义域为R，g(x)=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；3=x2的定义域为R，对于C，f(x)=x2的定义域为R，g(x)=√x6两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)=√x+1⋅√x−1=√x2−1的定义域为[1,+∞)，g(x)=√x2−1的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)，两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：ABD．10.【答案】AC【解析】【分析】结合函数的图象，求出函数的递减区间即可．本题考查了二次函数的性质，考查数形结合思想，是一般题．【解答】解：画出函数f(x)的图象，如图示：，显然f(x)在(−∞,2)递减，在(2,3)递增，在[3,4]递减，在(4,+∞)递增，故选：AC．11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查不等式的性质，考查存在量词命题的否定及充分、必要条件的判断，是一般题．由配方法求得x 2+x +1的范围判断A ；写出存在量词命题的否定判断B ；由充分、必要条件的判定方法判断C ；由不等式的性质判断D ． 【解答】解：∵x 2+x +1=(x +12)2+34>0，故A 正确；命题“∃x ∈R ，使得x 2+x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0”，故B 错误；由x 2−x =0，得x =0或x =1，反之，由x =1，可得x 2−x =0，则“x 2−x =0”是“x =1”的必要不充分条件，故C 正确；由a <b <0，得a 2>b 2>0，则1a 2<1b 2，故D 正确． 故选：ACD ．12.【答案】AC【解析】 【分析】本题综合考查了函数性质的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用． 先对已知函数解析式进行化简，然后结合函数的性质分别检验各选项即可判断． 【解答】解：当x ≠0时，f(x)=√x 2−x 4|x|=|x|√1−x 2|x|=√1−x 2，故1−x 2≥0，解得−1≤x ≤1且x ≠0，f(x)的定义域为[−1,0)∪(0,1]，A 正确； 因为0≤1−x 2<1，所以0≤f(x)<1，f(x)的值域为[0,1)，B 错误，因为f(−x)=√1−(−x)2=√1−x 2=f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，故f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，C 正确； f(0.5)=√32>f(1)=0，所以f(x)在定义域上不是增函数，D 错误．故选：AC ．13.【答案】[−2,1)∪(1,2]【解析】【分析】本题考查了求函数的定义域问题，考查转化思想，是一道基础题．根据二次根式的性质和分母不为0列不等式，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：{4−x2≥01−x≠0，解得：−2≤x≤2且x≠1，故函数的定义域是[−2,1)∪(1,2]，故答案为：[−2,1)∪(1,2]．14.【答案】[15,2 3 ]【解析】【分析】本题考查函数值域的求法，熟练掌握指数函数、反比例函数的性质是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．先根据指数函数的性质求出2x的取值范围，再结合反比例函数的性质即可得解．【解答】解：∵x∈[−1,2]，∴2x∈[12,4]，2x+1∈[32,5]，∴f(x)=12x+1∈[15,23].故答案为：[15,2 3 ].15.【答案】f(x)={x 2+x,x≥0−x2+x,x<0【解析】【分析】本题考查函数的解析式的计算，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题．根据题意，设x<0，则−x>0，由函数的解析式求出f(−x)的表达式，结合函数的奇偶性分析f(x)的解析式，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)=(−x)2+(−x)=x 2−x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)=−x 2+x ，故f(x)={x 2+x,x ≥0−x 2+x,x <0， 故答案为：f(x)={x 2+x,x ≥0−x 2+x,x <0．16.【答案】(2,3]【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断和运用，注意运用指数函数的单调性和单调性的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题．运用指数函数和一次函数的单调性，求出a 的范围，简化函数的单调性的性质，列出不等式求出a ，求交集，即可得到所求范围．【解答】解：函数f(x)={(a −2)x +1,x <2a x−1,x ≥2，若函数f(x)在定义域R 上单调递增， 由x ≥2，f(x)=a x−1递增，可得a >1；由x <2时，f(x)=(a −2)x +1递增，可得a −2>0，即a >2；由单调性的定义可得2(a −2)+1≤a 2−1，即a ≤3．综上可得a 的范围是2<a ≤3．故答案为：(2,3]．17.【答案】解：(1)原式=−4−1+0.5×4=−3，(2)实数a ，b 满足2a =3b =6，则a =log 26，b =log 36，∴1a +1b =log 62+log 63=log 66=1．【解析】本题考查了指数幂的运算性质和换底公式，属于基础题．(1)根据指数幂的运算性质可得，(2)利用换底公式，即可求出．18.【答案】解：(1)当a =3时，A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|1≤x ≤6}， ∴∁R A ={x|x <−1或x >5}，∁R B ={x|x <1或x >6}，∴A ∩B ={x|1≤x ≤5}，(∁R A)∪(∁R B)={x|x <1或x >5}．(2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，得A ⫋B 且A ≠⌀，∴{2−a ≤2+a 2−a ≥12+a ≤6，等号不能同时成立，得0≤a ≤1．∴综上所述：a 的取值范围是{a|0≤a ≤1}．【解析】本题考查了集合之间的关系与运算问题，考查充分、必要条件的判定及应用．(1)求出a =3时集合A ，根据补集的定义写出∁R A ，∁R B ，结合交集和并集的定义即可求出A ∩B ，(∁R A)∪(∁R B)；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则需满足A ⫋B 且A ≠⌀，求解a 的取值范围即可．19.【答案】解：(1)∵∀x ∈[−2,−1]，x 2−a ≥0，∴a ≤1，故a 的范围(−∞,1]，(2)∵∃x 0∈R ，使x 02+2ax 0−(a −2)=0．即x 2+2ax −(a −2)=0有解，∴△=4a 2+4(a −2)≥0，∴a 2+a −2≥0，解得a ≥1或a ≤−2，∵命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，{a ≤1−2<a <1，解得−2<a <1， 当p 假q 真时，{a >1a ≥1或a ≤−2，解得a >1， 综上，a 的范围{a|a >1或−2<a <1}．【解析】本题主要考查了复合命题的真假关系，还考查了二次方程根的存在条件，体现了转化思想，属中档题．(1)结合不等式的恒成立，先进行分离常数，然后结合二次函数的性质可求；(2)由已知可得x 2+2ax −(a −2)=0有解，结合二次方程的根的存在条件可求a 的范围，然后结合复合命题的真假关系进行求解．20.【答案】解：(1)由奇函数的性质可知，f(0)=0，∴b =0，f(x)=ax 1+x 2，∵f(12)=12a 1+14=25，∴a =1，f(x)=x 1+x 2，经检验符合题意．(2)函数f(x)在(−1,1)上是增函数．证明：任取−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，∵−1<x 1<x 2<1，所以x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，∴f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴函数f(x)在(−1,1)上为增函数．(3)由题意，不等式f(t −1)+f(2t)<0可化为f(t −1)<−f(2t)，∴f(t −1)<f(−2t)，∴{t −1<−2t −1<t −1<1−1<2t <1，解得0<t <13，故不等式的解集为(0,13).【解析】本题主要考查了函数奇偶性和单调性及利用单调性求解不等式，属于中档题．(1)由奇函数的性质可知，f(0)=0，代入可求b ，然后根据f(12)=25，代入可求a ；(2)任取−1<x 1<x 2<1，然后利用作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断；(3)结合奇偶性和单调性即可求解不等式．21.【答案】解：(1)根据题意可设f(x)=k 1x ，g(x)=k 2√x ．由图象①可知f(x)=k 1x 的图象过点(1,0.25)，可得k 1=0.25，则f(x)=0.25x(x ≥0)，由图象②可得g(x)=k 2√x 的图象过点(4,4)，可得4=k 2×√4，即k 2=2， 则g(x)=2√x(x ≥0)．(2)设B 产品投资x 万元，则A 产品投资20−x 万元，企业获利f(x)=0.25(20−x)+2√x =−14(√x −4)2+9,x ∈[0,20]，当x=16时，f(x)max=9万元，所以A产品投资4万元，B产品投资16万元时，该企业获得最大利润，且其最大利润为9万元．【解析】本题考查函数模型的综合应用，利用二次函数的性质求最值，难度不大，属于中档题．(1)根据题意可设f(x)=k1x，g(x)=k2√x，根据图象可求得k1,k2，即可得函数解析式；(2)设B产品投资x万元，则A产品投资20−x万元，企业获利f(x)=0.25(20−x)+2√x=−14(√x−4)2+9,x∈[0,20]，利用二次函数的性质即可求出．22.【答案】解：(1)函数f(x)=x2−2ax+2，对称轴为x=a，开口向上，当a≥1时，f(x)在区间[−1,1]上是减函数，最小值g(a)=f(1)=3−2a；当−1<a<1时，f(x)在区间[−1,a]上递减，在[a,1]上递增，最小值g(a)=f(a)=2−a2；当a≤−1时，f(x)在区间[−1,1]上是增函数，最小值g(a)=f(−1)=3+2a；综上，g(a)={3+2a,a⩽−12−a2,−1<a<1 3−2a,a⩾1．(2)由(1)可知，当a≥1时，g(a)=3−2a在[1,+∞)上是减函数，g(a)最大值为g(1)=1；当−1<a<1时，g(a)=2−a2在(−1,0)上递增，在(0,1)上递减，g(a)最大值为g(0)=2；当a≤−1时，g(a)=3+2a在(−∞,−1]上是增函数，g(a)最大值为g(−1)=1；综上，g(a)最大值为2．【解析】本题考查二次函数的性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，属于中档题．(1)通过对称轴x=a是否在区间内，利用二次函数的性质求解最小值即可；(2)求出g(a)的表达式，然后分段求解最大值，取最大值即可．。
2020-2021学年福建省龙岩市六校高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年福建省龙岩市六校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．（5分）“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既充分又必要条件D．既不充分又不必要条件2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|3x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣5x+4≤0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|2＜x≤4}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≥1}3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（﹣3）＝（）A．0B．1C．2D．104．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤﹣x+1＜3}}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣ax，且f（﹣1）＝2，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）设a＝3﹣5，b＝log30.2，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b7．（5分）随着全国高考改革的推进，上海、浙江、北京、天津、山东、海南等省（市）相继开始实行新高考政策．新高考改革下设计的“3+3”新高考选科模式，赋予了学生充分的自由选择权，可以让学生自主决定科目组合．官方透露的数据显示，某省2017级全省学生中选择地理科目的人数占比为68%，选择生物科目的占比为58%，既选择了地理科目又选择了生物科目的占比为38%，则选择了地理科目或选择了生物科目的占比为（）A．96%B．92%C．90%D．88%8．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+（a﹣5）x+a2﹣6（a≠0）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0）两点，且﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）下列说法正确的是（）A．0∈∅B．∅⊆{0}C．若a∈N，则﹣a∉N D．π∉Q10．（5分）已知a＞b＞0，则下列结论正确的是（）A．B．a﹣c＞b﹣c C．ac2＞bc2D．a b＞111．（5分）在同一直角坐标系中，函数y＝x2+ax+a﹣3与y＝a x的图象可能是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，f（x+2）是R上的偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）＝x2+2x，则（）A．f（﹣5）＝3B．f（﹣3）＝3C．f（2020）＝0D．f（2021）＝﹣3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）命题“∃x＞1，x2﹣3x＜0”的否定是．14．（5分）已知集合A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝．15．（5分）正实数a，b满足3a+2b＝9，则+的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝3，对任意两个不等的实数a，b都有，则不等式f（2x﹣1）＜2x+1的解集为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①f（2x﹣3）＝4x2﹣6x，②f（x）+2f（﹣x）＝3x2﹣3x，③对任意实数x，y，均有f（x+y）＝2f（y）+x2+2xy﹣y2+3x﹣3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．已知函数f（x）满足_____，求f（x）的解析式．18．（12分）（1）已知幂函数y＝（m2﹣5m+5）x m﹣3的图象关于y轴对称，求该幂函数的解析式；（2）已知函数f（x）的定义域为[﹣3，6]，求函数的定义域．19．（12分）（1）化简；（2）计算：．20．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f（x）万元，f（x）＝．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润g（x）（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．21．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x|x2﹣（3m+4）x+2m2+8m＜0}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若B⊆A，求m的取值范围．22．（12分）已知是定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）已知a＞0，且a≠1，若对于任意x∈[1，+∞），存在m∈[﹣2，1]，使得成立，求a的取值范围．2020-2021学年福建省龙岩市六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．（5分）“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既充分又必要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由x2＞4得x＞2或x＜﹣2，则“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|3x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣5x+4≤0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|2＜x≤4}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≥1}【分析】先求出A，B，再根据集合的运算求解结论．【解答】解：因为A＝{x|3x﹣6＞0}＝{x|x＞2}，B＝{x|x2﹣5x+4≤0}＝{x|1≤x≤4}，所以∁U A＝{x|x≤2}，∴（∁U A）∩B＝{x|1≤x≤2}．故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（﹣3）＝（）A．0B．1C．2D．10【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣3）＝f（0）＝f（3），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，则f（﹣3）＝f（0）＝f（3）＝lg10＝1，故选：B．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．4．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤﹣x+1＜3}}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（）A．B．C．D．【分析】由已知可求A＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，利用集合的包含关系判断即可得解．【解答】解：因为A＝{x|﹣2≤﹣x+1＜3}＝{x|﹣2＜x≤3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，所以B⊆A．故选：C．【点评】本题主要考查了集合的包含关系及应用，属于基础题．5．（5分）已知函数y＝f（x）是R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣ax，且f（﹣1）＝2，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣1）的值，结合函数的解析式计算可得答案．【解答】解：根据题意，y＝f（x）是R上的偶函数，且f（﹣1）＝2，则f（1）＝f（﹣1）＝2，又由当x＞0时，f（x）＝x2﹣ax，则f（﹣1）＝f（1）＝1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故选：A．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．6．（5分）设a＝3﹣5，b＝log30.2，c＝log23，则（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b【分析】根据对数函数的单调性即可得出log30.2＜0，log23＞1，并得出0＜3﹣5＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0＜3﹣5＜1，log30.2＜log31＝0，log23＞log22＝1，∴c＞a＞b．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）随着全国高考改革的推进，上海、浙江、北京、天津、山东、海南等省（市）相继开始实行新高考政策．新高考改革下设计的“3+3”新高考选科模式，赋予了学生充分的自由选择权，可以让学生自主决定科目组合．官方透露的数据显示，某省2017级全省学生中选择地理科目的人数占比为68%，选择生物科目的占比为58%，既选择了地理科目又选择了生物科目的占比为38%，则选择了地理科目或选择了生物科目的占比为（）A．96%B．92%C．90%D．88%【分析】设选择地理科目的人组成集合A，选择生物科目的人组成集合B，画出韦恩图，利用韦恩图即可求出结果．【解答】解：设选择地理科目的人组成集合A，选择生物科目的人组成集合B，画出韦恩图如图所示：，所以选择了地理科目或选择了生物科目的人为A∪B，因为集合A中元素占比为68%，集合B中元素占比为58%，集合A∩B中元素占比为38%，所以集合A∪B中元素占比为68%+58%﹣38%＝88%．故选：D．【点评】本题主要考查了韦恩图的应用，是基础题．8．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2+（a﹣5）x+a2﹣6（a≠0）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0）两点，且﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由已知结合二次函数的实根分布中特殊点函数值的符号建立关于a的不等式，可求．【解答】解：若a＞0，则，解得；若a＜0，则，不等式组无解．故a的取值范围是．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的实根分布问题的应用，体现了分类讨论思想的应用．二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）下列说法正确的是（）A．0∈∅B．∅⊆{0}C．若a∈N，则﹣a∉N D．π∉Q【分析】直接根据元素与集合的关系以及空集的性质即可判断．【解答】解：空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若a＝0，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查元素与集合的关系以及空集的特殊性，属于基础题．10．（5分）已知a＞b＞0，则下列结论正确的是（）A．B．a﹣c＞b﹣c C．ac2＞bc2D．a b＞1【分析】根据不等式的基本性质判断A，B，取特殊值判断C，D．【解答】解：因为a＞b＞0，所以，A正确；B显然正确；若c＝0，则ac2＝bc2，C错误；若，，则，D错误；故选：AB．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．11．（5分）在同一直角坐标系中，函数y＝x2+ax+a﹣3与y＝a x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分a＞1和0＜a＜1分别判断求解即可．【解答】解：若a＞1，则函数y＝a x是R上的增函数，函数y＝x2+ax+a﹣3的图象的对称轴方程为，故A符合，B不符合；若0＜a＜1，则函数y＝a x是R上的减函数，a﹣3＜0，函数y＝x2+ax+a﹣3的图象与y轴的负半轴相交，故选：AC．【点评】本题考查函数的解析式与函数的图象的判断以及对应关系，考查分类讨论思想的应用．12．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，f（x+2）是R上的偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）＝x2+2x，则（）A．f（﹣5）＝3B．f（﹣3）＝3C．f（2020）＝0D．f（2021）＝﹣3【分析】根据f（x+2）是R上的偶函数，f（x）是R上的奇函数即可得出f（x+4）＝﹣f （x），f（x+8）＝f（x），从而可知f（x）的周期为8，再根据x在[0，2]上的解析式即可求出f（﹣5），f（﹣3），f（2020）和f（2021）的值．【解答】解：∵f（x+2）是偶函数，f（x）是奇函数，∴f（x+2）＝f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝f（x），∴f（x）的周期为8，又当x∈[0，2]时，f（x）＝x2+2x，∴f（﹣5）＝f（3）＝f（1）＝3，f（﹣3）＝f（5）＝﹣f（1）＝﹣3，f（2020）＝f（4+252×8）＝f（4）＝﹣f（0）＝0，f（2021）＝f（5+252×8）＝f（5）＝﹣f（1）＝﹣3．故选：ACD．【点评】本题考查了奇函数和偶函数的定义，已知函数求值的方法，周期函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）命题“∃x＞1，x2﹣3x＜0”的否定是∀x＞1，x2﹣3x≥0．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞1，x2﹣3x≥0，故答案为：∀x＞1，x2﹣3x≥0．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14．（5分）已知集合A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝﹣2或0．【分析】由题意利用集合的包含关系可得x2＝4，或x2＝2x，解得x的值，进而利用集合的互异性，即可得解．【解答】解：因为B⊆A，所以x2＝4，或x2＝2x，解得x＝±2或x＝0．又由集合的互异性，排除x＝2，所以x＝﹣2或0．故答案为：﹣2或0．【点评】本题主要考查了集合的包含关系以及集合的互异性，属于基础题．15．（5分）正实数a，b满足3a+2b＝9，则+的最小值为3．【分析】由+＝（+）（3a+2b）＝（15++），利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为3a+2b＝9，所以，当且仅当a＝1，b＝3时取等号，故答案为：3．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是进行1的代换，属于基础试题．16．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝3，对任意两个不等的实数a，b都有，则不等式f（2x﹣1）＜2x+1的解集为（﹣∞，1）．【分析】构造函数h（x）＝f（x）﹣x，由已知结合单调性定义可得h（x）是R上的增函数，结合单调性可求不等式的解集．【解答】解：不妨令a＞b，则等价于f（a）﹣a＞f（b）﹣b，构造函数h（x）＝f（x）﹣x，则h（x）是R上的增函数，因为f（1）＝3，所以f（2x﹣1）＜2x+1等价于f（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＜f（1）﹣1，即2x﹣1＜1，解得x＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题主要考查了利用函数的单调性的定义求解不等式，解题的关键是函数的构造．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①f（2x﹣3）＝4x2﹣6x，②f（x）+2f（﹣x）＝3x2﹣3x，③对任意实数x，y，均有f（x+y）＝2f（y）+x2+2xy﹣y2+3x﹣3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．已知函数f（x）满足_____，求f（x）的解析式．【分析】选①，利用换元法即可求出函数的解析式；选②，利用方程法即可求出函数的解析式；选③，利用赋值法，即可求出函数的解析式．【解答】解：选①，令t＝2x﹣3，则，因为f（2x﹣3）＝4x2﹣6x，所以＝t2+6t+9﹣3t﹣9＝t2+3t，即f（x）＝x2+3x．选②，因为f（x）+2f（﹣x）＝3x2﹣3x，（1）所以f（﹣x）+2f（x）＝3（﹣x）2﹣3（﹣x）＝3x2+3x，（2）（2）×2﹣（1）得3f（x）＝3x2+9x，即f（x）＝x2+3x．选③，令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），即f（0）＝0，令y＝0，则f（x）＝2f（0）+x2+3x＝x2+3x．【点评】本题考查了函数解析式的求法，掌握换元法，待定系数法，方程组法是关键，属于基础题．18．（12分）（1）已知幂函数y＝（m2﹣5m+5）x m﹣3的图象关于y轴对称，求该幂函数的解析式；（2）已知函数f（x）的定义域为[﹣3，6]，求函数的定义域．【分析】】（1）根据幂函数的定义，结合函数的对称性即可求出；（2）利用复合函数的定义域求法，求g（x）的定义域即可．【解答】解：（1）因为y＝（m2﹣5m+5）x m﹣3是幂函数，所以m2﹣5m+5＝1，解得m＝1或m＝4．又因为y＝（m2﹣5m+5）x m﹣3的图象关于y轴对称，所以m＝1，故该幂函数的解析式为y＝x﹣2．（2）因为f（x）的定义域为[﹣3，6]，所以﹣3≤x+5≤6，解得﹣8≤x≤1，即f（x+5）的定义域为[﹣8，1]，∵x+4≥0，解得x≥﹣4，故g（x）的定义域为[﹣4，1]．【点评】本题考查幂函数的定义和复合函数的定义域，考查了运算能力，属于基础题．19．（12分）（1）化简；（2）计算：．【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质分别计算即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝1．（2）原式＝＝＝3．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．20．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f（x）万元，f（x）＝．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润g（x）（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据利润＝销售收入﹣固定成本﹣投入成本，即可得到利润g（x）（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g（x）＝﹣5x2+250x﹣1500，利用二次函数的性质，求出g（x）的最大值，当x≥40，100x∈N时，g（x）＝2000﹣（x+），利用基本不等式求出g（x）的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为g（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意知，当0＜x＜40，100x∈N时，g（x）＝300x﹣5x2﹣50x﹣500﹣1000＝﹣5x2+250x﹣1500，当x≥40，100x∈N时，，综上，．（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g（x）＝﹣5x2+250x﹣1500＝﹣5（x﹣25）2+1625，所以当x＝25时，g（x）取得最大值1625，当x≥40，100x∈N时，，当且仅当x＝50时，g（x）取得最大值1900，综上，当x＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．21．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，B＝{x|x2﹣（3m+4）x+2m2+8m＜0}．（1）若m＝2，求A∪B；（2）若B⊆A，求m的取值范围．【分析】（1）m＝2时，求出集合B，并求出A＝{x|﹣1＜x＜5}，然后进行并集的运算即可；（2）可得出B＝{x|（x﹣2m）（x﹣m﹣4）＜0}，从而可讨论2m和m+4的关系，得出集合B，然后根据B⊆A即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）m＝2时，B＝{x|x2﹣10x+24＜0}＝{x|4＜x＜6}，且A＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜6}；（2）B＝{x|（x﹣2m）（x﹣m﹣4）＜0}，且B⊆A，∴①若2m＜m+4，即m＜4时，B＝{x|2m＜x＜m+4}，则，解得；②若2m＝m+4，即m＝4时，B＝∅，符合题意；③若2m＞m+4，即m＞4时，B＝{x|m+4＜x＜2m}，则，不等式无解；∴m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．22．（12分）已知是定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）已知a＞0，且a≠1，若对于任意x∈[1，+∞），存在m∈[﹣2，1]，使得成立，求a的取值范围．【分析】（1）由f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1），解方程可得b，t，进而得到f（x）的解析式；（2）令，h（m）＝a m+1（﹣2≤m≤1），对于任意x∈[1，+∞），存在m∈[﹣2，1]，使得成立等价于g（x）max≤h（m）max成立，由g（x）的单调性可得g（x）的最大值，讨论a＞1，0＜a＜1，由指数函数的单调性可得h（m）的最大值，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）因为是定义在R上的奇函数，所以即，解得，则．（2）令，由（1）可知＝．易证函数与均是[1，+∞）上的减函数，则g（x）是[1，+∞）上的减函数，且g（x）max＝g（1）＝2．令h（m）＝a m+1（﹣2≤m≤1），对于任意x∈[1，+∞），存在m∈[﹣2，1]，使得成立等价于g（x）max≤h（m）max成立，即2≤h（m）max．若0＜a＜1，则h（m）在[﹣2，1]上单调递减，，故，解得；若a＞1，则h（m）在[﹣2，1]上单调递增，，故a2≥2，解得．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和化简运算求解能力，以及逻辑推理能力，属于中档题．。
2023届福建省龙岩市一级达标学校数学高一上期末统考模拟试题含解析
1．若 ，求 （）
A. B.
C. D.
2．若 ，且 则 与 的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
3．对于函数 定义域中任意的 ， ，当 时，总有① ；② 都成立，则满足条件的函数 可以是（）
A. B.
解得 .
故选:A
【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题.
6、D
【解析】 值域为 的偶函数；
值域为R的非奇非偶函数；
值域为R的奇函数；
值域为 的偶函数.
故选D
7、D
【解析】根据对数的运算法则，化简可得 ，分析即可得答案.
【详解】由题意得 ，
15、 ##
【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.
【详解】扇形面积 .
故答案为： .
16、
【解析】
由指数函数图象所过定点求出 ，利用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式得出最小值．
【详解】令 ， ，则 ，∴定点为 ， ，
，当且仅当 时等号成立，即 时取得最小值 .
故答案为： ．
【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，考查用基本不等式求最值．“1”的代换是解题关键．
故选：B
4、A
【解析】根据充分必要条件的定义判断
【详解】若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，
若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件.
故选：A.
5、A
【解析】根据零点存在定理及函数单调性可知 , ,解不等式组即可求得 的取值范围.
【详解】因为 在 上单调递增,
2020-2021学年福建省福州市高一上学期期末数学试题 (解析版)
2020-2021学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣1，+∞）2．sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝（）A．B．C．D．3．若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为（）f（1）＝﹣2f（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1，375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052A．1.5B．1.25C．1.375D．1.43754．设a＝log20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c5．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.57．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．已知关于x的方程a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0）在x∈（﹣2π，2π）有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）二、多选题（共4小题）.9．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（﹣2）＞f（3）C．f（2x）＝2f（x）g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝110．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．11．设，则下列结论正确的有（）A．a+b＜0B．C．ab＜0D．12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（）A．ω的取值范围是B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增三、填空题（共4小题）.13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（5.5）＝．15．已知角θ的终边经过点P（﹣4，3），则＝．16．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是．三、解答题（共6小题）.17．（1）求值：；（2）已知，，求的值．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．19．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2．现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与y＝log a（x+1）+q（a＞1）可供选择．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，求正数m的最小值；21．函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数F（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个零点若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数，g（x）＝﹣lnx．（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣1，+∞）解：∵集合A＝{x|y＝lg（x+1）}＝{x\x＞﹣1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{x|x＞0}＝（0，+∞）．故选：A．2．sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝（）A．B．C．D．解：sin78°sin18°﹣cos78°cos162°＝sin78°sin18°+cos78°cos18°＝cos（78°﹣18°）＝cos60°＝．故选：C．3．若函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为（）f（1）＝﹣2f（1.5）＝0.625f（1.25）＝﹣0.984f（1，375）＝﹣0.260f（1.4375）＝0.165f（1.40625）＝﹣0.052A．1.5B．1.25C．1.375D．1.4375解：由表格可知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的近似根在（1，1.5），（1.25，1.5），（1.375，1.5），（1.375，1.4375），（1.40625，1.4375），故程x3+x2﹣2x﹣2＝0的一个近似根（精确度0.04）为：1.4375，故选：D．4．设a＝log20.8，b＝0.82，c＝20.8，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解：log20.8＜log21＝0，0＜0.82＜1，20.8＞20＝1；∴a＜b＜c．故选：A．5．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为R，f（x）≥0恒成立，排除C，D，f（﹣x）＝＝＝f（x），即函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，故选：A．6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍．A．lg4.5B．4.510C．450D．104.5解：设8.0级地震释放出的能量为E1，5.0级地震释放出的能量为E2，则lgE1﹣lgE2＝4.5，∴，∴．故选：D．7．已知sin（﹣x）＝，则cos（x+）等于（）A．B．C．﹣D．﹣解：设﹣x＝θ，则x＝﹣θ，则sinθ＝，则cos（x+）＝cos（﹣θ+）＝cos（﹣θ）＝﹣cos（﹣θ）＝﹣sinθ＝﹣，故选：C．8．已知关于x的方程a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0）在x∈（﹣2π，2π）有四个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（4，+∞）C．（0，2）D．（0，4）解：当x∈（﹣2π，2π），f（x）＝a cos2|x|+2sin|x|﹣a+2＝0（a≠0），则有f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，偶函数的对称性，只需研究x∈（0，2π）时，f（x）＝a cos2x+2sin x﹣a+2＝0有两个零点，设t＝sin x，则h（t）＝at2﹣2t﹣2有一个根t∈（﹣1，1），①当a＜0时，h（t）＝at2﹣2t﹣2开口向下，对称轴为的二次函数，因为h（0）＝﹣2＜0，则h（﹣1）＝a＞0，这与a＜0矛盾，不符合题意；②当a＞0时，h（t）＝at2﹣2t﹣2开口向上，对称轴为的二次函数，因为h（0）＝﹣2＜0，则h（﹣1）＝a＞0，则存在t∈（﹣1，0），只需h（1）＝a﹣2+2＜0，解得a＜4，所以0＜a＜4，综上所述，实数a的取值范围为（0，4）．故选：D．二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．f（﹣x）＝﹣f（x）B．f（﹣2）＞f（3）C．f（2x）＝2f（x）g（x）D．[f（x）]2﹣[g（x）]2＝1解：，∴A正确；f（x）在R上是增函数，∴f（﹣2）＜f（3），∴B错误；，＝，∴f（2x）＝2f（x）g（x），∴C正确；[f（x）]2﹣[g（x）]2＝，∴D错误．故选：AC．10．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝﹣4，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．解：将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象，故g（x）的周期为，且g（x）的最大值为2，最小值为﹣2，若g（x1）•g（x2）＝﹣4，所以g（x1）和g（x2）是函数g（x）的最大值和最小值，所以|x1﹣x2|＝+，k∈Z，当k＝0时，|x1﹣x2|＝；当k＝1时，|x1﹣x2|＝．故选：BD．11．设，则下列结论正确的有（）A．a+b＜0B．C．ab＜0D．解：设，则a+b＝log26+log3＝log26﹣log36＞0，故A错误；﹣＝log62+log63＝log66＝1，故B正确；∵a＝log26＞0，b＝log3＜0，∴ab＜0，故正确；+＝（log62）2+（﹣log63）2＝（log62）2+（log63）2＝（log62+log63）2﹣2log62log63＞1﹣2×（）2＝1﹣＝，故D正确．故选：BCD．12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是（）A．ω的取值范围是B．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝1有且仅有3个解C．当x∈[0，2π]时，方程f（x）＝﹣1有且仅有2个解D．∃ω＞0，使得f（x）在单调递增解：对于A，由于ω＞0，f（0）＝sin＞sin0，设t＝ωx+，则t∈[，2ωπ+]，因为f（x）在[0，2π]上有且仅有5个零点，所以5π≤2ωπ+＜6π，解得≤ω＜，故A正确，对于B，f（x）＝1即此时f（x）取最大值，则满足ωx+＝，，的x是f（x）＝1的解，共3个，故B正确，对于C，f（x）＝﹣1，即此时f（x）取最小值，则满足ωx+＝，的x是f（x）＝﹣1的解，但当ω接近时，ωx+＝＜6π，也是f（x）＝﹣1的解，这时f（x）＝﹣1有3个解，故C错，对于D，当x∈（0，）时，由ω×+＝（ω+2）×＜＜，所以f（x）是递增的，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．13．已知某扇形的周长为9，圆心角为1rad，则该扇形的面积是．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r＝9，∵圆心角为1rad的弧长l＝r，∴3r＝9，则r＝3，l＝3，则对应的扇形的面积S＝lr＝×3×3＝．故答案是：．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+4）＝f（x），当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（5.5）＝ 2.5．解：根据题意，f（x）为偶函数且满足f（x+4）＝f（x），则f（5.5）＝f（﹣2.5）＝f（2.5），又由当2≤x≤3，f（x）＝x，则f（2.5）＝2.5，则有f（5.5）＝f（2.5）＝2.5，故答案为：2.5．15．已知角θ的终边经过点P（﹣4，3），则＝7．解：因为角θ的终边经过点P（﹣4，3），所以，所以＝．故答案为：7．16．已知函数f（x）＝，则f[f（﹣3）]＝1；若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则abcd的取值范围是[0，1）．解：∵f（x）＝，∴f（﹣3）＝sin（）+1＝2，则f[f（﹣3）]＝f（2）＝|log22|＝1；作出函数f（x）的图象如图，若存在四个不同的实数a，b，c，d，使得f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），不妨设a＜b＜c＜d，由图可知，|log2c|＝|log2d|，得log2（cd）＝0，即cd＝1．a+b＝﹣2，且﹣1＜b≤0，则abcd＝（﹣b﹣2）b＝﹣（b+1）2+1∈[0，1），故答案为：2；[0，1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17．（1）求值：；（2）已知，，求的值．解：（1）＝（2﹣2lg2）+3+（﹣）+lg2＝4．（2）因为，，两边平方可得1﹣2sinαcosα＝，可得2sinαcosα＝，可得sinα+cosα＝＝＝，可得＝＝＝﹣．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，所以，故＝；（2）因为，由（1）可知，＝，所以，因为，所以，又，所以，故＝＝＝19．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国．现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2．现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝ka x（k＞0，a＞1）与y＝log a（x+1）+q（a＞1）可供选择．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；（2）约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？解：（1）因为函数y＝ka x（k＞0，a＞1）中，y随x的增大而增大的速度越来越快，而函数y＝log a（x+1）+q（a＞1）中，y随x的增大而增大的速度越来越慢，依题意应选择函数y＝ka x（k＞0，a＞1），则有，解得k＝8，a＝，所以函数的解析式为y＝8•（）x（x∈N）；（2）由（1）可知，当x＝0时，y＝8，设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，则有8，所以x＝log≈11.36，所以约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍．20．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，求正数m的最小值；解：（1）函数＝＝＝所以函数f（x）的最小正周期为π，令，解得，所以函数f（x）的单调递减区间为；（2）因为函数f（x）的图象关于点（m，n）对称，所以有，解得，又因为m＞0，所以m的最小值为．21．函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若，2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，求实数m的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数F（x）＝f（x）﹣a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个零点若存在，求出a和对应的n的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由函数图象知，A＝1，T＝﹣，∴T＝π，所以ω＝＝2，∵x＝时，f（）＝cos（2×+φ）＝1，∴2×+φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴f（x）的解析式为f（x）＝cos（2x﹣）；（2），2x﹣∈[﹣，]，∴f（x）∈[，1]，要使2[f（x）]2﹣mf（x）﹣1≥0，恒成立，令t＝f（x），则t∈[，1]，即2t2﹣mt﹣1≥0，因为g（t）＝2t2﹣mt﹣1图象开口向上，且g（0）＝﹣1，∴要使t∈[，1]时，2t2﹣mt﹣1≥0，则有，解得m≤﹣1，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）由题意可得y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，在[0，π]上，2x﹣∈[﹣，]，①当a＞1或a＜﹣1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上无交点；②当a＝1或a＝﹣1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上仅有一个交点，若此时y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，则n＝2021；③当﹣1＜a＜或＜a＜1时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上恰有2个交点，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上有偶数个交点，不可能有2021个交点；④当a＝时，y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，π]上恰有3个交点，若此时y＝f（x）的图象与直线y＝a在[0，nπ]（n∈N*）上恰有2021个交点，则n＝1010．综上可得，当a＝1或﹣1时，n＝2021；当a＝时，n＝1010．22．已知函数，g（x）＝﹣lnx．（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（3）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．解：（1）若函数g[f（x）]的定义域为R，则任意x∈R，使得f（x）＝x2+ax+＞0，所以△＝a2﹣4×1×＜0，解得﹣1＜a＜1，所以实数a的取值范围为（﹣1，1）．（2）若函数g[f（x）]在（1，+∞）上单调递减，又因为g（x）在（0，+∞）上为减函数，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数且任意x∈（1，+∞），f（x）＞0，所以﹣≤1，且f（1）＞0，即﹣≤1，且1+a+＞0，解得a＞﹣，所以a的取值范围为（﹣，+∞）．（3）因为当x＞1时，g（x）＝﹣lnx＜0，所以h（x）＝min{f（x），g（x）}≤g（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上无零点，①当a≥0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣≤0，作出h（x）的图象，可得h（x）只有一个零点x＝1，②当a＜0时，f（x）过（0，）点，且对称轴﹣＞0，当△＝a2﹣4×1×＜0，即﹣1＜a＜0时，h（x）只有一个零点x＝1，当△＝a2﹣4×1×＝0，即a＝﹣1时，f（x）的零点为x＝﹣＝，h（x）由两个零点x＝，x＝1，当△＝a2﹣4×1×＞0，即a＜﹣1时，令f（x）＝0，解得x1＝，x2＝，且0＜x1＜1，0＜x2，若x2＝＜1，即﹣＜a＜﹣1时，函数h（x）有3个零点x＝x1，x＝x2，x＝1，若x2＝＞1，即a＜﹣时，函数h（x）有1个零点x＝x1，若若x2＝＝1，即a＝﹣时，函数h（x）有2个零点x＝x1，x＝1，综上所述，当a∈（﹣∞，﹣）∪（﹣1，0）时，h（x）只有一个零点，当a＝﹣1或﹣时，h（x）有两个零点，当a∈（﹣，﹣1）时，h（x）有三个零点．。
2020-2021学年福建省龙岩市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年福建省龙岩市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知i为虚数单位，(1−i)z=2，则复平面上z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 是平面内两个不共线的向量，则向量a⃗,b⃗ 可作为基底的是()A. a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ,b⃗ =−e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗B. a⃗=2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ,b⃗ =12e1⃗⃗⃗ +14e2⃗⃗⃗C. a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ,b⃗ =e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗D. a⃗=e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ,b⃗ =−2e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗3.新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中错误的是()A. 乡村人口数均高于城镇人口数B. 城镇人口数达到最高峰是第7次C. 和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次D. 和前一次相比，城镇人口比重增量最小的是第3次4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=105°，C=30°，b=√2，则c=()A. 12B. 1C. √2D. 25.已知圆柱OO1的侧面积为4π，体积为2π，则该圆柱的轴截面的面积为()A. 2B. 4C. 6D. 86.若α，β是两个不重合的平面，a，b，c是三条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A. 若a//α，α∩β=b，则a//bB. 若a⊂α，b⊂β，b//c，a//β，则α//βC. 若a ⊂α，b ⊂α，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥αD. 若a ⊥α，α∩β=c ，b//c ，则a ⊥b7. 已知菱形ABCD ，AC =2，BD =4，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则∠DEC 的余弦值为( )A. 6√3131B. 6√3731C. 6√3137D. 6√37378. 现有5个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机抽取两次，每次抽取一个球，记：事件A 表示“第一次取出的球数字是2”，事件B 表示“第二次取出的球数字是3”，事件C 表示“两次取出的球的数字之和为8”，事件D 表示“两次取出的球的数字之和为6”，则下列选项正确的是( )A. 事件A 和事件C 相互独立B. 事件B 和事件C 相互独立C. 事件B 和事件D 相互独立D. 事件C 和事件D 相互独立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 设z 1，z 2，z 3为复数，则( )A. 若z 1>z 2，则z 1−z 2>0B. 若z 1z 2=z 2z 3，则z 1=z 3C. 若z 2−=z 1，则|z 1z 3|=|z 2z 3|D. 若z 1满足|z 1|=1，则|z 1−2|的最小值为110. 已知正四面体PABC 的棱长为2，M 、N 分别为PA 、PB 的中点．下列说法正确的有( )A. MN ⊥PCB. 异面直线BM 与PC 所成角的余弦值为√36C. 该正四面体的体积为√23D. 该正四面体的内切球体积为√627π11. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =2√3,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−6,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1]，则下列选项正确的是( )A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是−3B. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是−2C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是10D. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是2512. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，设向量m⃗⃗⃗ =(c,a +b),n ⃗ =(a,c)，且m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则下列选项正确的是( ) A. A =2B B. C =2AC. 1<ca <2D. 若△ABC 的面积为c 24，则C =π2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,3),b ⃗ =(3,4)，若(λa ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，则λ=______．14. 记一组数据x i (i =1,2，…，n)的平均数为x −，且x −=1.6,1n ∑(n i=1x i −x −)2=1.44，则1n∑x i 2n i=1=______．15. 已知圆C 的弦AB 的长度为2√3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 已知三棱锥P −ABC ，PB =PC =AB =BC =AC =2√3，侧面PBC ⊥底面ABC ，则PA =______，三棱锥P −ABC 外接球的表面积为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知复数z =a +(a −1)i(a ∈R)．(1)若z ⋅z −=5，求a ； (2)求|z|的最小值．18. 如图，S 是圆锥的顶点，AB 是底面圆O 的直径，C 为底面圆周上异于A ，B 的点，D 为BC 的中点．(1)求证：平面SOD ⊥平面SBC ；(2)若圆锥的侧面积为3√5π，且BC =4，AC =2，求该圆锥的体积．19.为了解某班级学生期末考试数学成绩情况，抽取该班40名学生的数学成绩，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1．(1)根据频率分布直方图，计算抽取的数学成绩的平均数和第65百分位数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)若从分数在[80,90)和[130,140]的同学中随机抽取两位同学，求抽取的两位同学中至少有一位同学的数学成绩在[130,140]的概率．=bsinA这两个条件中任选一个，补20.在①√3(a−bcosC)=csinB；②√3acos A+C2充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD=2，AC=3，求△ABC的面积．21.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为p，乙每轮猜对的概率为q.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互，恰有一人猜不影响，各轮结果也互不影响．已知每轮甲、乙同时猜错的概率为112．错的概率为512(1)求p和q；(2)若p>q，求“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率．22.已知等边三角形ABC，D，E分别是边AB，AC上的三等分点，且AD=CE(如图甲)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置(如图乙)，M是A1D的中点．(1)求证：EM//平面A1BC；(2)若二面角A1−DE−B的大小为2π，求直线DE与平面A1CE所成角的正弦值．3答案和解析1.【答案】A【解析】解：首先由(1−i)z=2求得z=21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，对应点为(1,1)，在第一象限．故选：A．首先由(1−i)z=2求得z，然后可确定复平面上z对应的点所在象限．本题考查复数除法运算，考查复数几何意义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A，a⃗=−b⃗ ，∴a⃗,b⃗ 共线，不能作基底，∴不选A；对于B，a⃗=4b⃗ ，∴a⃗,b⃗ 共线，不能作基底，∴不选B；对于C，不存在λ，使得a⃗=λb⃗ ，能作基底，∴选C；对于D，a⃗=−12b⃗ ，∴a⃗,b⃗ 共线，不能作基底，∴不选D．故选：C．依据向量共线定理可解决此题．本题考查平面向量基本定理，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．3.【答案】A【解析】解：因为2020年城镇人口高于乡村人口，故选项A错误；因为城镇人口数达到最高峰是2020年，即第7次，故选项B正确；第2次和第1次相比，城镇人口比重增量为18.3%−13.26%=5.04%，第3次和第2次相比，城镇人口比重增量为20.91%−18.3%=2.61%，第4次和第3次相比，城镇人口比重增量为26.44%−20.91%=5.53%，第5次和第4次相比，城镇人口比重增量为36.22%−26.44%=9.78%，第6次和第5次相比，城镇人口比重增量为49.68%−36.22%=13.46%，第7次和第6次相比，城镇人口比重增量为63.89%−49.68%=14.21%，所以和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次，故选项C正确；前一次相比，城镇人口比重增量最小的是第3次，故选项D正确．故选：A．利用题中柱形图和折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=105°，C=30°，所以B=45°，b=√2，则c=bsinCsinB =√2×12√22=1．故选：B．利用三角形的内角和求解B，然后利用正弦定理求解c即可．本题考查正弦定理的应用，是基础题．5.【答案】B【解析】解：设底面圆的半径为r，圆柱的高为h，则有{V=πr2ℎ=2πS侧=2πrℎ=4π，解得r=1，ℎ=2，所以该圆柱的轴截面的面积为S=2rℎ=2×2=4．故选：B．设底面圆的半径为r，圆柱的高为h，由体积和侧面积公式求出r和h，由轴截面的面积公式求解即可．本题考查了圆柱几何性质的应用，圆柱体积公式的应用，轴截面的理解与应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：若a//α，α∩β=b，则a//b或a与b异面，故A错误；若a⊂α，b⊂β，b//c，a//β，则α//β或α与β相交，故B错误；若a⊂α，b⊂α，且c⊥a，c⊥b，则c⊂α或c//α或c与α相交，相交也不一定垂直，只有添加条件a与b相交，才有c⊥α，故C错误；若a ⊥α，α∩β=c ，则a ⊥c ，又b//c ，所以有a ⊥b ，故D 正确． 故选：D ．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断A 与B ；由直线与平面垂直的判定判断C ；由异面直线所成角的求法判定D ．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，菱形ABCD ，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A 、B 、E 三点共线，且B 是AE 的中点， 如图：AC =2，BD =4，则AB =√(AC2)2+(BD 2)2=√5，则AE =2AB =2√5， 在△ABD 中，cos∠BAD =AB 2+AD 2−2AB⋅AD2AB⋅AD =−35，在△ADE 中，DE 2=AE 2+AD 2−2AE ⋅AD ⋅cos∠BAD =37，则DE =√37， 又由EC =BD =4，DC =AB =√5， 则cos∠DEC =DE 2+EC 2−DC 22DE⋅EC=6√3737，故选：D ．根据题意，分析A 、B 、E 三点的关系可得B 是AE 的中点，求出AB 的值，在△ABD 中，由余弦定理求出cos∠BAD ，进而求出DE ，分析求出EC 和DC 的值，进而利用余弦定理计算可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理的应用，注意分析A 、B 、E 三点的关系，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由题意，P(A)=15,P(B)=15,P(C)=325,P(D)=15， 对于A ，P(AB)=0≠P(A)P(B)，故选项A 错误；≠P(B)P(C)，故选项B错误；对于B，P(BC)=125=P(B)P(D)，故选项C正确；对于C，P(BD)=125≠P(C)P(D)，故选项D错误．对于D，P(CD)=125故选：C．利用相互独立事件的概率乘法公式，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了相互独立事件的判断，解题的关键是掌握相互独立事件的概率公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】ACD【解析】解：∵z1>z2，∴z1−z2>z2−z2=0，故A选项正确，若z1z2=z2z3，则z2(z1−z3)=0，当z2=0，z1≠z3时，等式也成立，故B选项错误，∵z2−=z1，∴z2=z1−，设z1=a+bi，则z2=a−bi，∴|z1|=|z2|=√a2+b2，∴|z1||z3|=|z2||z3|，即|z1z3|=|z2z3|，故C选项正确，设z1=a+bi，(a,b∈R)，∵|z1|=1，∴a2+b2=1，−1≤a≤1，∴z1−2=a−2+bi，∴|z1−2|=√(a−2)2+b2=√(a−2)2+1−a2=√5−4a，∵−1≤a≤1，∴|z1−2|min=√5−4=1，故D选项正确．故选：ACD．根据已知条件，结合共轭复数的概念和复数模的求法，以及复数模的几何意义，即可求解．本题主要考查了共轭复数的概念和复数模的求法，考查了复数模的几何意义，需要学生有较强的综合能力，属于中档题．10.【答案】ABD【解析】解：正四面体PABC 的棱长为2，M 、N 分别为PA 、PB 的中点． 如图所示：对于A ：取AB 的中点D ，连接PD ，DC ， 由于AP =BP ，AC =CB ，所以PD ⊥AB ，CD ⊥AB ，故AB ⊥平面PCD ，所以AB ⊥PC ，由于NM//AB ，所以MN ⊥PC ，故A 正确；对于B ：取AC 的中点E ，连接ME ，BE ，所以异面直线BM 与PC 所成角为∠BME ， 由于ME =12PC =1，BM =√4−1=√3，BE =√3， 故cos∠BME =√3)22√3)22×√3×1=√36，故B 正确；对于C ：BE 和DC 交点O 为底面△ABC 的中心， 故OC =(2√33)=2√63，所以V P−ABC =13×12×2×2×√32×2√63=2√23，故C 错误；对于D ：利用等体积转换法：设内切球的半径为r ， 所以V P−ABC =4×13×12×2×2×√32⋅r =2√23，解得r =√66，故V 球=43⋅π⋅(√66)3=√6π27，故D 正确． 故选：ABD ．直接利用线面垂直的判定和性质的应用，异面直线的夹角的求法，余弦定理的应用，勾股定理的应用，等体积转换法，球的体积公式的应用判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，异面直线的夹角的求法，余弦定理的应用，勾股定理的应用，等体积转换法，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：由图可得MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ²−λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |²+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ²−λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6λ+4−6+12λ+6λ−12λ =12λ−2， 因为λ∈[0,1]，所以MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12λ−2∈[−2,10]， 故选：BC ．作图，利用向量三角形法则、平面向量数量积性质等用含λ的式子表示出MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12λ−2，然后根据λ取值范围即可得到答案．本题考查平面向量数量积法则的应用，考查数形结合思想、转化思想，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，设向量m ⃗⃗⃗ =(c,a +b),n ⃗ =(a,c)，且m⃗⃗⃗ //n ⃗ ， 所以可得：c 2=a(a +b)=a 2+ab ， 而c 2=a 2+b 2−2abcosC ， 所以可得：ab =b 2−2abcosC ， 可得a =b −2a ⋅cosC ，由正弦定理可得：sinA =sinB −2sinAcosC =sin(A +C)−2sinAcosC =sinAcosC +cosAsinC −2sinAcosC =sin(C −A)， 所以可得A =C −A 或A +C −A =π，可得C =2A 或C =π(舍)所以B 正确，A 不正确． C =2A <π，所以A <π2所以B=π−A−C=π−3A，可得π−3A>0，所以A<π3，可得0<A<π3由正弦定理可得ca =sinCsinA=sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cosA∈(1,2)，所以C正确；S△ABC=12absinC=c24，由正弦定理可得12sinAsinBsinC=14sin2C，所以sinAsinB=12sinC，即sinAsin3A=12sin2A，整理可得：sin3A=cosA，所以3A=π2±A，可得A=π4或π8，进而可得C=π2或π4，所以D不正确；故选：BC．由向量的关系可得a，c的关系，再由余弦定理可得A，C的关系，进而求出B与A的关系，再由三角形的内角和可得A的范围，由正弦定理可得ca=2cosA，由A的范围求出ca的范围，由面积公式及面积的值可得A角，进而求出C的值，可判断命题的真假．本题考查三角形的正余弦定理的应用，向量的运算，属于中档题．13.【答案】53【解析】解：∵向量a⃗=(1,3),b⃗ =(3,4)，(λa⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，∴(λa⃗−b⃗ )⋅b⃗ =λa⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=λ(3+12)−25=15λ−25=0，则λ=53，故答案为：53．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得λ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：因为数据x i(i=1,2，…，n)的平均数为x−=1.6，方差为1n ∑(ni=1x i−x−)2=1n∑(ni=1x i2−nx−2)=1n∑x i2ni=1−x−2=1.44，所以1n ∑x i 2n i=1=1.44+1.62=4．故答案为：4．根据平均数和方差的计算公式，计算即可．本题考查了平均数和方差的计算公式应用问题，是基础题．15.【答案】6【解析】解：取AB 的中点O ；连接CO ； 则CO ⊥AB ；∵在圆C 中弦AB 的长度为2√3，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ==(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×2√3×2√3=6； 故答案为：6．取AB 的中点O ；连接CO ；则CO ⊥AB ；利用向量的三角形法则即可求出结论． 本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，是基础题．16.【答案】3√2 20π【解析】解：三棱锥P −ABC ，PB =PC =AB =BC =AC =2√3， 如图所示：侧面PBC ⊥底面ABC ，则PF =√(2√3)2−(√3)2=3，同理AF =√(2√3)2−(√3)2=3， 所以PA =√32+32=3√2， 根据勾股定理的应用： DF =EF =13×3=1，所以DC =2，所以OC =√22+12=√5， 所以S 球=4⋅π⋅(√5)2=20π． 故答案为：3√2；20π．首先利用勾股定理的应用求出PA 的长，进一步利用勾股定理的应用求出外接球的半径和球的表面积．本题考查的知识要点：三棱锥体和球体的关系，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵z =a +(a −1)i(a ∈R)，∴z −=a −(a −1)i(a ∈R)， ∴z ⋅z −=(a −1)2+a 2=5，∴a 2−a −2=0，解得a =2或a =−1．(2)∵|z|=√(a −1)2+a 2=√2a 2−2a +1=√2(a −12)2+12 ∴a =12时，|z|的最小值为√22．【解析】(1)根据共轭复数的概念，可得z −=a −(a −1)i(a ∈R)，再结合复数代数形式的乘法运算，即可求解．(2)根据已知条件，结合复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：由圆锥的性质可知，SO ⊥底面圆O∵BC 在底面圆O 上，∴BC ⊥SO ， ∵C 在圆O 上，AB 为直径，∴AC ⊥BC ， 又点O ，D 分别为AB ，BC 的中点，∴OD//AC ，∴OD ⊥BC ，又OD ∩SO =O ，且OD ，SO ⊂平面SOD ，∴BC ⊥平面SOD ，又BC ⊂平面SBC ，∴平面SOD ⊥平面SBC ．(2)∵BC=4，AC=2，∴AB=√AC2+BC2=√42+22=2√5，∴底面周长为2√5π，∴S侧=12×SA×2√5π=3√5π，∴SA=3，∴SO=√SA2−AO2=2，∴V圆锥=13×5π×SO=10π3．【解析】(1)推导出SO⊥底面圆O，BC⊥SO，AC⊥BC，OD//AC，OD⊥BC，从而BC⊥平面SOD，由此能证明平面SOD⊥平面SBC．(2)求出底面周长为2√5π，S侧=3√5π，从而SA=3，SO=√SA2−AO2=2，由此能求出该圆锥的体积．本题考查面面垂直的证明，考查该圆锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．19.【答案】解：(1)因为频率分布直方图中，高的比就是频率的比，所以各区间上的频率可依次设为2x，3x，5x，6x，3x，x，则2x+3x+5x+6x+3x+x=1，解得x=120，所以各区间上的频率从左往右依次为：0.1，0.15，0.25，0.3，0.15，0.05，所以平均数为：85×0.1+95×0.15+105×0.25+115×0.3+125×0.15+135×0.05=109，假设第65百分位数为y，则0.1+0.15+0.25+(y−110)×0.03=0.65，解得y=115；所以所求平均数为109，第65百分位数为115．(2)由(1)可知数学成绩在[80,90)共有40×0.1=4人，分别记为a，b，c，d，数学成绩在[130,140]共有40×0.05=2人，分别记为A，B，从这6人中随机抽出两位同学的样本空间Ω={AB,Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd}，n(Ω)=15，记事件M表示“至少有一位同学的数学成绩在[130,140]”，n(M)=9，所以至少有一位同学的数学成绩[130,140]的概率为P(M)=915=35．【解析】(1)因为频率分布直方图中高的比就是频率的比，从而求各区间的频率，再求平均数与第65百分位数，(2)可知数学成绩在[80,90)共有4人，在[130,140]共有2人，利用列举法及古典概率模型公式求概率．本题考查了频率分布直方图的应用及古典概率模型的应用，属于基础题．20.【答案】解：若选①，由正弦定理，得√3(sinA−sinBcosC)=sinCsinB．由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得√3cosBsinC=sinCsinB，由0<C<π，得sinC≠0，所以√3cosB=sinB，所以tanB=√3．又0<B<π，得B=π3．若选②，因为√3acos A+C2=bsinA，由正弦定理得√3sinAcos A+C2=sinBsinA，因为0<A<π，sinA≠0，所以√3cos A+C2=sinB，又因为A+B+C=π，所以A+C2=π2−B2，所以cos A+C2=cos(π2−B2)=sin B2，所以√3sin B2=2sin B2cos B2，又因为B2∈(0,π2)，sin B2≠0，所以cos B2=√32，所以B=π3，因为S△ABD+S△CBD=S△ABC，所以12×2×c×sinπ6+12×2×a×sinπ6=12×a×c×sinπ3，化简得a+c=√32ac①，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，所以9=a2+c2−ac，所以(a+c)2=3ac+9②，联立①②化简得a2c2−4ac−12=0，所以(ac−6)(ac+2)=0，解得ac=6或ac=−2(舍去)，又因为S△ABC=12acsinB，所以S△ABC=12×6×√32=32√3．【解析】若选①，由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式可求tan B 的值，结合0<B <π，可得B 的值；若选②，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos B2=√32，即可求解B 的值，由于S △ABD +S △CBD =S △ABC ，利用三角形的面积公式可得a +c =√32ac ，由余弦定理得(a +c)2=3ac +9②，联立得a 2c 2−4ac −12=0，解得ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)根据题意，设M 表示事件“每轮甲、乙同时猜错”；N 表示事件“恰有一人猜错”，则P(N)=(1−p)q +p(1−q)=512， P(M)=(1−p)(1−q)=112，解可得：p =23，q =34或p =34，q =23； (2)根据题意，若p >q ，则p =34，q =23，设A i 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，B i 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”，(i =0、1、2)，E 表示“星队”在两轮活动中猜对2个成语， 由于两轮猜的结果相互独立，所以P(E)=P(A 0B 2)+P(A 1B 1)+P(A 2B 0)=14×14×23×23+2×14×34×2×13×23+34×34×13×13=4144+24144+9144=37144； 故“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为37144．【解析】(1)设M 表示事件“每轮甲、乙同时猜错”；N 表示事件“恰有一人猜错”，分析可得关于p 、q 的方程组，解可得p 、q 的值，即可得答案；(2)根据题意，设A i 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，B i 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”，(i =0、1、2)，E 表示“星队”在两轮活动中猜对2个成语，分析可得P(E)=P(A 0B 2)+P(A 1B 1)+P(A 2B 0)，由相互独立事件的概率公式计算的可得答案． 本题考查相互独立事件的概率计算，涉及互斥事件概率的加法公式，属于基础题．22.【答案】解：(1)证法一：过点E作EF//BD交BC于点F，取A1B的中点G，∵△ABC是等边三角形，AD=CE，∴EF//BD，EF=12BD，又∵M、G分别为A1D和A1B的中点，∴MG为△A1BD的中位线，∴MG//BD，MG=12BD，∴EF//MG，EF=12MG，∴四边形EFGM为平行四边形，∴EM//FG，又∵FG⊂面A1BC，EM⊄面A1BC，∴EM//平面A1BC，证法二：取点F为BD中点，连EF，则EC=BF，因此EF//BC，又∵BC⊂平面A1BC，EF⊄平面A1BC，∴EF//平面A1BC，连MF，∵点M为A1D中点，∴MF//A1B，又∵A1B⊂平面A1BC，MF⊄平面A1BC，∴MF//平面A1BC，又MF∩EF=F，∴平面MFE//平面A1BC，∵EM⊂平面MPE，∴EM//平面A1BC(2)设AB=3，则AD=1，AE=2，∵∠A=60°，∴在△ADE中，由余弦定理，得DE=√AD2+AE2−2AD⋅AE⋅cosA=√3，∵22=12+(√3)2，∴AE2=AD2+DE2，∴∠ADE=90°，∴DE⊥AD，DE⊥BD，∴DE⊥BD，DE⊥A1D，又∵A1D⊂面A1DE，BD⊂面BDE，∴∠A1DB为二面角A1−DE−B的平面角，∴∠A1DB=2π3设A1在面BDEC内的投影为P，则P在BD的延长线上，∴A1P⊥BD，∵∠A1DB=2π3，∴∠A1DP=π3，在△A1DP中，A1D=AD=1，由正弦定理，得DP=12，A1P=√32，连接CP，且BP=52，在△BCP中，由余弦定理，得CP=√BP2+BC2−BP⋅BC⋅ cosB=√312，在Rt △A 1PC 中，A 1C =√A 1P 2+CP 2=√342，∴在△A 1CE 中，cos∠A 1EC =4+1−3444=−78，∴sin∠A 1EC =√158，∴S △A 1CE =12×2×1×√158=√158， 设DE 与平面A 1CE 所成角为θ，点D 到平面A 1CE 的距离为d ， 由V D−A 1CE =V A 1−DCE ，∴13×S △A 1CE ×d =13×S △DCE ×A 1P ， 又∵S △DCE =12×√3×1×sin5π6=√34，∴d =√15，∴sinθ=d DE=√55， ∴直线DE 与平面A 1CE 所成角的正弦值为√55．【解析】(1)证法一：过点E 作EF//BD 交BC 于点F ，取A 1B 的中点G ，利用线面平行判定定理证明，证法二：取点F 为BD 中点，连EF ，先证明面面平行，再证明线面平行；(2)设AB =3，在△ADE 中求出DE ，可判断∠A 1DB 为二面角A 1−DE −B 的平面角，再结合条件，利用等体积法求解即可．本题考查了线面平行的判定定理和性质，直线与平面所成的角，同时考查了空间想象力，属于中档题．。
福建省龙岩市龙岩九中2022-2023学年数学高一上期末综合测试试题含解析
故选：C 7、C 【解析】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于 关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关
所以 f (1) m2 2m 8 0 ，解得 m 2 或 m 4 . 当 m 4 时， f (x) (x 1)2 4 cos(x 1) 4 ，易知 f (x) 是连续函数，又 f (1) 4cos 2 0 ， f (2) 5 4cos3 0 ，
所以 f (x) 在[1, 2] 上也必有零点，此时 f (x) 不止有一个零点，故 m 4 不合题意；
且值域为[0, ) ，在 (1, ) 上递增且值域为 (0, ) ；
| f (x) | 的图象如下：
所以 0 m 1时， y m与 | f (x) | 的图象有四个交点，不妨假设 a b c d ，
由图及函数性质知： 4 a 2 b 0 1 c 1 d 10 ，易知： a b 4， c d (2,101] ，
7．下列六个关系式:⑴{a,b}{b,a}2a,b b,a30 400506 0 其中正确的个数
为（） A.6 个 C.4 个
B.5 个 D.少于 4 个
8．已知函数
f
x
3x ,
x 2 ，则 f f 1 （）
x 1, x 2
A.2
B.5
C.7
D.9
9．设集合
A
{1,
3,
5,
7},
B
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
福建省龙岩六校2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题 含答案
龙岩六校高一上学期期中考试数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内客：新教材人教A 版必修第一册到第四章第4节．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．“2m >”是“24m >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知全集U =R ，集合{}360A x x =->，{}2540B xx x =-+≤∣，则()UA B =A ．{}12x x ≤< B ．{}24x x <≤ C ．{}12x x ≤≤D ．{}1x x ≥3．已知函数()2lg 1,0()(3),0x x f x f x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()3f -=A ．0B ．1C ．2D ．104．已知集合{}213A x a =-≤-+<}，{}2230B x x x =--≤，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是A ．B ．C ．D ．5．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x >时，2()f x x ax =-，且()12f -=，则a = A ．1-B ．0C ．1D ．26．设53a -=，3log 0.2b =，2log 3c =，则 A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>7．随着全国高考改革的推进，上海、浙江、北京、天津，山东、海南等省（市）相继开始实行新高考政策．新高考改革下设计的“3＋3”新高考选科模式，赋予了学生充分的自由选择权，可以自主决定科目组合．官方透露的数据显示，某省2017级全省学生中选择地理科目的人数占比为68%，选择生物科目的占比为58%，既选择了地理科目又选择了生物科目的占比为38%，则选择了地理科目或选择了生物科目的占比为 A ．96%B ．92%C ．90%D ．88%8．已知二次函数22()(5)6(0)f x ax a x a a =+-+-≠的图象与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x 两点，且12112x x -<<<<，则a 的取值范围是A ．()2,123+B ．()2,231-C ．()123,++∞D ．(),223-∞-二、选择题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A ．0∈∅B ．{}0∅⊆C ．若a ∈N ，则a -∉ND ．π∉Q10．已知0a b >>，则下列结论正确的是A ．11a b< B ．a c b c ->-C ．22ac bc >D ．1ba >11．在同一直角坐标系中，函数23y x ax a =++-与xy a =的图象可能是A ．B ．C ．D ．12．已知()f x 是R 上的奇函数，()2f x +是R 上的偶函数，且当[]0,2x ∈时，2()2f x x x =+，则A ．()53f -=B ．()33f -=C ．()20200f =D ．()20213f =-第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．命题“21,30x x x ∃>-<”的否定是_________． 14．已知集合{}1,4,2A x =，{}21,B x =，若B A ⊆，则x =_________．15．正实数a ，b 满足329a b +=，则16a b+的最小值为_________． 16．已知函数()f x 的定义域为R ，()13f =，对任意两个不等的实数a ，b 都有()()1f a f b a b->-，则不等式()2121xxf -<+的解集为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①2(23)46f x x x -=-，②2()2()33f x f x x x +-=-，③对任意实数x ，y ，均有()2()f x y f y +=22233x xy y x y ++-+-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．已知函数()f x 满足_________，求()f x 的解析式．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 18．（12分）（1）已知幂函数()2355m y m m x-=-+的图象关于y 轴对称，求该幂函数的解析式；（2）已知函数()f x 的定义域为[]3,6-，求函数()()45x g x f x =++ 19．（12分）（1,0)a b >；（2）计算7114log 3355081113log 4log 0.012log e 71642-⎛⎫+⋅⋅-+-+ ⎪⎝⎭． 20．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本()f x 万元，()2550500,040,10025003013000,40,100x x x x x x x x f x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪=⎩NN ．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润()g x （万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润． 21．（12分）已知集合{}2450A xx x =--<∣，{}22(34)280B x x m x m m =-+++<∣． （1）若2m =，求AB ；（2）若B A ⊆，求m 的取值范围． 22．（12分）已知13()3xx b f x t--=+是定义在R 上的奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，且1a ≠，若对于任意[)1,x ∈+∞，存在[]2,1m ∈-，使得215()22m f x x x a +-++≤成立，求a 的取值范围．高一上学期期中考试数学参考答案1．A 由24m >，解得2m >或2m <-，所以“2m >”是“24m >”的充分不必要条件．2．C 因为{}{}3602A x x x x =->=>∣∣，{}{}254014B xx x x x =-+≤=≤≤∣，所以()UA B={}12x x≤≤．3．B (3)(0)(3)lg101f f f-====．4．C 因为{}{}21323A x x x x=-≤-+<=-<≤∣∣，{}{}223013B x x xx x=-≤=-≤≤-，所以B A⊆，故选C．5．A 因为函数()y xf=是R上的偶函数，所以()112()1f f a==-=-，解得1a=-．6．D 因为01a<<，0b<，1c>，所以c a b>>．7．D 由韦恩图可知，选择了地理科目或选择了生物科目的占比为68%58%38%88%+-=．8．B 若0a>，则(1)0(1)0(2)0fff->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2221021106160aa aa a⎧->⎪+-<⎨⎪+->⎩，解得2231a<<；若0a<，则(1)0(1)0(2)0fff-<⎧⎪>⎨⎪<⎩，即2221021106160aa aa a⎧-<⎪+->⎨⎪+-<⎩，不等式组无解．故a的取值范围是()2,231．9．BD 空集中没有元素，A错误；空集是任何集合的子集，B正确；若0a=，0∈N，C错误；π不是有理数，D正确．10．AB 因为0a b>>，所以11a b<，A正确；B显然正确；若0c=，则22ac bc=，C错误；若12a =，13b =，则1311122⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误．11．AC 若1a >，则函数xy a =是R 上的增函数，函数23y x ax a =++-的图象的对称轴方程为02ax =-<， 故A 符合，B 不符合；若01a <<，则函数xy a =是R 上的减函数，30a -<， 函数23y x ax a =++-的图象与y 轴的负半轴相交， 故C 符合，D 不符合．12．ACD 因为()2f x +是偶函数，()f x 是奇函数，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--， 即() 4()f x f x +=-，(8)()f x f x +=． 又因为当[]0,2x ∈时，2()2f x x x =+，所以(5)(3)f f -==(1)3f =，()(5)(1)33f f f =-==--，(2020)(2012)(4)(0)0f f f f ====-=，()2021f ()()()2013 513f f f ====-=-，故选ACD ．13．21,30x x x ∀>-≥存在量词命题的否定是全称量词命题． 14．2-或0因为B A ⊆，所以24x =或22x =，解得2x =±或0x =． 又由集合的互异性，排除2x =，所以2x =-或0． 15．3因为329a b +=， 所以161161182(32)312399a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a =，3b =时取等号． 16．(1),-∞不妨令a b >，则()()1f a f b a b->-等价于()()f a a f b b ->-．构造函数()()h x f x x =-，则()h x 是R 上的增函数． 因为()13f =，所以()2121xxf -<+等价于()()2121(1)1xxf f ---<-， 即211x -<，解得1x <． 17．解：选①，令23t x =-，则32t x +=． 因为2(23)46f x x x -=-，所以233()4622t t f t ++⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭26939t t t =++--23t t =+即2()3f x x x =+．选②，因为2()2()33f x f x x x +-=-，（1）所以22()2()3()3()33f x f x x x x x -+=---=+．（2） （2）2⨯-（1）得23()39f x x x =+， 即2()3f x x x =+．选③，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，即(0)0f =． 令0y =，则22()2(0)33f x f x x x x =++=+．18．解：（1）因为()2355m y m m x-=-+是幂函数，所以2551m m -+=，解得1m =或4m =． 又因为()2355m y m m x -=-+的图象关于y 轴对称，所以1m =，故该幂函数的解析式为2y x -=． （2）因为()f x 的定义域为[]3,6-，所以在()g x 中，有35640x x -≤+≤⎧⎨+≥⎩，解得814x x -≤≤⎧⎨≥-⎩，故()g x 的定义域为[]4,1-．19．解：（1）原式=22a b a b= 1=．（2）原式144235431114log 3log 2log 10012443-⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112133=++-+ 3=．20．解：（1）由题意知，当040,100x x <<∈N 时，22()300550500100052501500g x x x x x x =----=-+-；当40,100x x ≥∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭． 综上，252501500,040,100()25002000,40,100x x x x g x x x x x ⎧-+-<<∈⎪=⎨⎛⎫-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩NN． （2）当040,100x x <<∈N 时，22()525015005(25)1625g x x x x =-+-=--+，且当25x =时，()g x 取得最大值1625； 当40,100x x ≥∈N 时，2500()20001900g x x x ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当50x =时，()g x 取得最大值1900．综上，当50x =，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元．21．解：（1）因为2m =，所以{}{}21024046B xx x x x =-+<=<<∣， 又{}{}245015A xx x x x =--<=-<<∣， 所以{}16AB x x =-<<．（2）{}{}22(34)280(2)(4)0B xx m x m m x x m x m =-+++<=---<∣， 因为B A ⊆，若24m m <+，即4m <，则21454m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得112m -≤≤； 若24m m =+，即4m =，则B =∅，符合题意；若24m m >+，即4m >，则41254m m m +≥-⎧⎪≤⎨⎪>⎩，不等式无解．所以m 的取值范围为112mm ⎧-≤≤⎨⎩∣或}4m =． 22．解：（1）因为13()3xx b f x t--=+是定义在R 上的奇函数，所以(0)0(1)(1)f f f =-=-⎧⎨⎩，即12103331b b b t t ---=⎧⎪⎨--=-⎪++⎩，解得131t b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则111333()13133x x x x f x +---==++．（2）令25()()22g x f x x x =-++， 由（1）可知()233165()2312x x g x x x -++=-+++261(1)312x x =--++． 易证函数631xy =+与21(1)2y x =--+均是[)1,+∞上的减函数， 则()g x 是[)1,+∞上的减函数，且max ()(1)2g x g ==． 令1()(21)m h m am +=-≤≤，对于任意[)1,x ∈+∞，存在[]2,1m ∈-， 使得215()22m f x x x a +-++≤成立等价于max max ()()g x h m ≤成立， 即max 2()h m ≤．若01a <<，则()h m 在[]2,1-上单调递减，1max 1()(2)h m h a a-=-==， 故12a ≥，解得102a <≤； 若1a >，则()h m 在[]2,1-上单调递增，2max ()(1)h m h a ==， 故22a ≥，解得a ≥综上所述，a 的取值范围为)10,2,2⎛⎤⎡+∞ ⎥⎣⎝⎦．。
2020-2021学年福建省泉州市高一上期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年福建省泉州市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．二次函数y＝x2+（a﹣1）x+1（a＞0）只有一个零点，则不等式ax2﹣8x﹣a≥0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜3}B．{x|﹣≤x≤3}C．{x|x＜﹣，或x＞3}D．{x|x≤﹣，或x≥3}3．若，那么等于（）A．8B．3C．1D．304．已知a＝2.32.1，b＝0.22.3，c＝log2.30.2，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b5．设，且，则（）A．B．C．D．6．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣17．已知函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，得到g （x）的图象，g（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数g （x）图象的一个对称中心为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）8．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0）的最小正周期为π，最大值为4，则（）A．ω＝1，a＝3B．ω＝2，a＝3C．ω＝2，a＝7D．ω＝1，a＝7二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤10．关于函数g（x）＝，下列结论正确的（）A．g（x）的图象过原点B．g（x）是奇函数C．g（x）在区间（1，+∞）上单调递增D．g（x）是定义域上的增函数11．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数C．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在[﹣π，π]上是增函数D．，若恒成立，则a的最小值为12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．14．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x﹣3，则f（1）＝．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn＞0}，则的最小值．16．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）比较f（x+1）与f（x）的大小．19．（1）求函数的值域；（2）已知，求f（x）的解析式．20．设x∈R，函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）的对称轴方程与对称中心．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．2020-2021学年福建省泉州市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15），∴A∩B＝{5，7，11}，∴A∩B中元素的个数为3．故选：B．2．二次函数y＝x2+（a﹣1）x+1（a＞0）只有一个零点，则不等式ax2﹣8x﹣a≥0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜3}B．{x|﹣≤x≤3}C．{x|x＜﹣，或x＞3}D．{x|x≤﹣，或x≥3}【解答】解：二次函数y＝x2+（a﹣1）x+1（a＞0）只有一个零点，∴△＝（a﹣1）2﹣4＝0，解得a＝3，∴不等式ax2﹣8x﹣a≥0即为不等式3x2﹣8x﹣3≥0，等价于（3x+1）（x﹣3）≥0，解得x≤﹣或x≥3，故不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥3}，故选：D．3．若，那么等于（）A．8B．3C．1D．30【解答】解：根据题意，若1﹣2x＝，解可得x＝，在中，令x＝可得：f（）＝＝8，故选：A．4．已知a＝2.32.1，b＝0.22.3，c＝log2.30.2，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【解答】解：∵a＝2.32.1＞2.30＝1，0＜b＝0.22.3＜0.20＝1，c＝log2.30.2＜log2.31＝0，∴c＜b＜a，故选：A．5．设，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴α+β∈（0，π）．∵，即＝，即sin（α+β）＝cosα，∴α+β＝﹣α，即2α+β＝，故选：D．6．今有一组实验数据如表：x 2.0 3.0 4.0 5.1 6.1y 1.5 4.17.51218.1现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，比较恰当的一个是（）A．y＝log2x B．y＝C．y＝D．y＝2x﹣1【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，B，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除D，故选：C．7．已知函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，得到g （x）的图象，g（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为个单位长度，则函数g （x）图象的一个对称中心为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【解答】解：由已知得数f（x）＝cos（ωx﹣），函数g（x）的最小正周期为，则，解得ω＝2，所以g（x）＝cos（2x﹣），由（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数g（x）图象的对称中心为（）（k∈Z）．显然当k＝﹣1时，g（x）图象的一个对称中心为（﹣）．故选：C．8．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0）的最小正周期为π，最大值为4，则（）A．ω＝1，a＝3B．ω＝2，a＝3C．ω＝2，a＝7D．ω＝1，a＝7【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+a（ω＞0），＝sin2ωx﹣cos2ωx+a﹣1＝2sin（2ωx﹣）+a﹣1，因为的最小正周期为π，最大值为4，故2ω＝2即ω＝1，2+a﹣1＝4，所以a＝3故选：A．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥B．2a﹣b＞C．log2a+log2b≥﹣2D．+≤【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．③，故C错误．④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立．故D正确．故选：ABD．10．关于函数g（x）＝，下列结论正确的（）A．g（x）的图象过原点B．g（x）是奇函数C．g（x）在区间（1，+∞）上单调递增D．g（x）是定义域上的增函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数g（x）＝，则有g（0）＝0，则函数g（x）的图象经过原点，A正确，对于B，函数g（x）＝，其定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，B错误，对于C，函数g（x）＝，其导数g′（x）＝，在区间（1，+∞），g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，C正确，对于D，函数g（x）＝，有g（0）＝0，g（2）＝﹣4，g（x）是定义域上的增不是函数，D错误，故选：AC．11．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．若把函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数C．若把f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在[﹣π，π]上是增函数D．，若恒成立，则a的最小值为【解答】解：如图所示：，∴T＝6π，∴，∵f（2π）＝2，∴，即，∴（k∈Z），∴（k∈Z），∵|φ|＜π，∴，∴，故A正确；把y＝f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数，是奇函数，故B正确；把y＝f（x）的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，∵x∈[﹣π，π]，∴，∴在[﹣π，π]上不单调递增，故C错误；由可得，恒成立，令，，则，∵，∴，∴，∴，∴a的最小值为，故D正确．故选：ABD．12．下列条件能使log a3＜log b3成立的有（）A．b＞a＞0B．1＞a＞b＞0C．b＞＞1D．1＞＞＞0【解答】解：要使log a3＜log b3成立，只要＜，∴＜，∴0＞lga＞lgb，或lga＜0，lgb＞0．求得1＞a＞b＞0，或b＞1＞a＞0，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知x，y∈R，x2﹣xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为．【解答】解：∵x2﹣xy+9y2＝1，∴x2+9y2＝1+xy≥＝6xy，即xy≤，当且仅当x＝3y，即，y＝时，等号成立，∴（x+3y）2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy≤1+7×＝，∴≤x+3y≤，∴x+3y的最大值为．故答案为：．14．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝4x﹣3，则f（1）＝1．【解答】解：设f（x）＝kx+b（k≠0），则f（f（x））＝k2x+kb+b＝4x+9，从而，解得k＝2，b＝﹣1或k＝﹣2，b＝3，则f（x）＝2x﹣1或f（x）＝﹣2x+3，故f（1）＝1．故答案为：1．15．函数y＝a x+2﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，若P∈{（x，y）|mx+ny+1＝0，mn ＞0}，则的最小值8．【解答】解：由已知定点P坐标为（﹣2，﹣1），由点P在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，又mn＞0，∴m＞0，n＞0，∴+＝（2m+n）（+）＝4++≥4+2＝4+4＝8当且仅当m＝，n＝取等号．故答案为：8．16．将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则＝﹣．【解答】解：将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位长度后，可得y＝cos（2x+）的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2cos（2x+）的图象，则＝﹣，故答案为：﹣．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：A＝{x|x2﹣3ax+2a2＞0，a＞0}＝（﹣∞，a）∪（2a，+∞），B＝{x|x2﹣x ﹣6≥0}＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），若x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴a＞0，且2a≤3．解得0＜a≤．18．已知函数．（1）判断函数的奇偶性；（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）比较f（x+1）与f（x）的大小．【解答】（1）解：∵，∴f（x）是偶函数；（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴，则f（x2）＞f（x1），即当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数；（3）解：要比较f（x+1）与f（x）的大小，∵f（x）是偶函数，∴只要比较f（|x+1|）与f（|x|）大小即可．当|x+1|≥|x|时，即时，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，∴f（x+1）≥f（x）；当|x+1|＜|x|时，即当时，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）是增函数，∴f（x+1）＜f（x）．19．（1）求函数的值域；（2）已知，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）设t＝，则t≥0，x＝，代入f（x）得，y＝+t＝，因为t≥0，所以函数y的最大值是1，即函数f（x）的值域是（﹣∞，1]；（2）由题意得，，①令x取代入得，，②由①②解得f（x）＝．20．设x∈R，函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1，（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）的对称轴方程与对称中心．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos x（2sin x﹣cos x）+sin2x+1＝sin2x﹣（cos2x﹣sin2x）+1＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x﹣）+1令：﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）．（2）令：2x﹣＝+kπ，（k∈Z），解得：x＝kπ+，（k∈Z），所以函数的对称轴方程为：x＝kπ+，（k∈Z），令：2x﹣＝kπ，（k∈Z），解得：x＝kπ+，（k∈Z），所以函数的对称中心为：（kπ+，1），（k∈Z）．21．已知函数．（Ⅰ）设α∈[0，2π]，且f（α）＝1，求α的值；（Ⅱ）将函数y＝f（2x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．当时，求满足g（x）≤2的实数x的集合．【解答】解：（Ⅰ）由＝，由，得sin（α+）＝0，又α∈[0，2π]，得或．（Ⅱ）由题知，，由g（x）≤2，得，∴，∵，，∴，或，∴，或，即所求x的集合为，或．22．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放a（0＜a≤4，a∈R）亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x（天）的变化的函数关系式近似为y＝，其中f（x）＝，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和．（1）若第一次投放2亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高40%；（2）政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高40%，试求m的最小值．【解答】解：（1）依题意，a＝2，y＝，要使y≥0.4，则f（x）≥2．当0≤x≤2时，，得1≤x≤2；当2＜x≤7时，7﹣x≥2，得2＜x≤5．∴1≤x≤5，即第一次投放2亿元消费券，则接下来5天内都能使消费总额至少提高40%；（2）设再次投放m亿元消费券x天，则，，0≤x≤2，由≥0.4，得m≥，令t＝3+x，t∈[3，5]，t∈N*，则m≥＝，而＝，当且仅当，即t＝2，即x＝时，上式等号成立，∴m的最小值为20﹣．。
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2020-2021学年福建省龙岩市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}2．若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件3．已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（）B．[）C．（）D．[）4．已知a＝，b＝log2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c5．已知，则＝（）A．B．C．D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥210．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为．16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．2020-2021学年福建省龙岩市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．若a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充分必要条件【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，当若“a＞b＞1”时，由对数函数的性质可得：log2a＞log2b＞0，可得log b2＞log a2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．3．已知y＝f（x+1）为偶函数，且y＝f（x）在[1，+∞）上单调递增，则不等式的解集为（）A．（）B．[）C．（）D．[）【解答】解：∵函数y＝f（x+1）是偶函数，∴y＝f（x+1）关于y轴对称，∵y＝f（x+1）向右平移1个单位得到y＝f（x），∴y＝f（x）关于直线x＝1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∵不等式，|2x﹣1|＜|﹣1|，即|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选：A．4．已知a＝，b＝log2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵，，，∴b＜a＜c．故选：D．5．已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，可得＝＝，∴解得tanα＝﹣，∴＝＝＝．故选：B．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。