高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算讲义新人教A版
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算
5．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量
共面向量
表示空间向量的有向线段所
位置
在的直线的位置关系：
定 关系
_____互_相__平_行__或_重__合____ 义
平行于同一个__平__面____的向量
特征 方向___相_同__或_相__反_____
特例 零向量与__任__意_向__量_____共线
• (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
• (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定 理)．
• (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
• 本章重点
• 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立 体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
2．几类常见的空间向量
名称
方向
零向量 单位向量
___任__意___ 任意
相反向量
____相_反___
相等向量
相同
模 ___0___ ___1___
相等
___相_等____
记法 ___0___
a 的相反向量：___－__a__ A→B的相反向量：_B_→_A___ a＝b
3.空间向量的加减法和运算律 (1)加法：O→B＝__O_→_A_＋__A→_B____＝a＋b． (2)减法：C→A＝___O→_A_－__O_→_C_＝a－b． (3)加法运算律：
• 1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比 如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸 直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港 的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位 移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？
高中数学3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教A版选修2_1
(3)������������ ·������������1 .
分析:解答本题可先把各向量用同一顶点上的三条棱对应的向量 表示出来,再代入向量的数量积进行运算.
解:如图,设������������ =a, ������������ =b, ������������1 =c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a· b=b· c=c· a=0.
3.1.3 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.
1.向量的夹角
(1)如图,已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作 ������������ =a, ������������ =b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作<a,b>. π (2)向量 a,b 的夹角<a,b>的范围是[0,π],如果<a,b>= ,
1 5
C. −5
D. −
1 5
)
解析:∵b=-5a, ∴a· b=-5a2=-5|a|2=-5. 答案:C
【做一做 2-2】在空间中,已知正三角形 ABC 的边长为 2,则������������ · ������������ = _________________. 解析:∵|������������ | = |������������ | = 2, 且 < ������������ , ������������ >= 60° ,
.
2.向量的数量积 (1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作 a· b , 即a · b=|a||b|cos<a,b>. 零向量与任何向量的数量积为0. 特别地,a· a=|a||a|cos<a,a>=|a|2. (2)数量积满足的运算律: ①(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c.
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.12空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算课件新人教A版选
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.12空间向量及其加减运算空间向 量的数乘运算课件新人教A版选修2
3．1.1 空间向量及其加减运算 3．1.2 空间向量的数乘运算
2．如图所示，在平行六面体 ABCD－A′B′C′D′中，与 A→ A′相等的向量有( )
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
解析：与AA→′相等的向量有B→B′，CC→′，DD→′，共 3 个． 答案：A
跟踪训练 2 ห้องสมุดไป่ตู้图，空间四边形 OABC 中，O→A＝a，O→B＝b， O→C＝c，点 M 在 OA 上，且 OM＝2MA，N 是 BC 的中点，则 MN 等于( )
A.12a－23b＋12c B．－23a＋12b＋12c C.12a＋12b－23c D.23a＋23b－12c
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
证明：连接 AC，则 N∈AC 且 N 为 AC 的中点，
所以A→N＝12A→C，
由已知得A→M＝12A→D1，
所以M→N＝A→N－
→ AM
＝12A→C－12A→D1＝12D→1C.
所以M→N与
D→1C共
线．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你 们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
§3.1.3空间向量的数量积运算教学设计
§3.1.3 空间向量的数量积运算一．教学目标1.知识与技能(幻灯片2)(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律； (2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体 几何问题转化为向量问题；(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。
2.过程与方法引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。
3.情感态度与价值观通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。
二．教学重点空间向量数量积的概念以及实际应用。
三．教学难点建立空间向量与空间图形的内在联系； 四．教学过程 教学环节教学过程设计意图新 课 引入同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。
学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。
（幻灯片4） 讲 授 新 课零向量与任何向量的数量积为0。
性质1：这个性质是证明两向量垂直的依据；性质2： 这个性质是求向量模的依据。
思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。
空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。
只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。
（幻灯片5--8）（幻灯片10）=空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则a cos a,叫做a,的数量积.记作,即a cos a,.b b b b a b a b b b 22cos ,a a a a a a a a === cos 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算空间向量的数量积运算素材新人教A版选修2_1
空间向量的数量积运算知识点一 求两向量的数量积如图所示，已知正四面体O-ABC 的棱长为 a ，求AB ·OC ..解 由题意知 |AB | = |AC | = | AO | = a ，且〈AB ，AO〉= 120°，〈AB ，CA 〉= 120°，AB ·OC =AB ·（OA CA - ）= AB ·OA AB -·CA ,= a 2cos120°-a 2cos120°＝0【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈AB ，AC →〉＝60°时，〈AB ，CA →〉＝120°.已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为AB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，试计算：（1）BC · 1ED ；（2）BF · 1AB ； （3）EF ·1FC .解 如图所示，设AB ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.（1） BC ·1ED = b ·［ 12（c -a ）+b ］= | b |2 = 42= 16 .. (2)BF · 1AB = （c -a +12b ）·（ a +c ）= | c |2-| a |2 = 22 - 22= 0.（3）EF ·1FC = [12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a )＝－12|a |2＋14|b |2＝2.知识点二 利用数量积求角如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解 . 因BC AC AB =-,所以 OA ·BC =OA ·AC - OA ·AB=|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉-| OA | | AB | cos 〈OA , AB 〉 =8×4×cos135°- 8×6×cos120° 16224,=-+所以cos 〈OA ,BC 〉=OA →·BC→|OA →||BC →|.＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.【反思感悟】 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题．需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补．在二面角α－l －β中，A ，B ∈α，C ，D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，PA ⊥α，且PA ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点．(1)求二面角α－l －β的大小； (2)求证：MN ⊥AB ；(3)求异面直线PA 与MN 所成角的大小． (1)解 ∵PA ⊥α，l ⊂α∴PA ⊥l ，又∵AD ⊥l ，PA ∩AD=A ， ∴l ⊥平面PAD ，∴l ⊥PD ，故∠ADP 为二面角α-l-β的平面角， 由PA=AD 得∠ADP=45°.∴二面角α-l-β的大小为45°.（2）证明 PC ＝PD →＋DC →，PN ＝12PC →＝12PD →＋12DC →＝12(AD →－AP →)＋12DC →，AN ＝PN →－PA → ＝PN → ＋AP →， ∴AN ＝12AD ＋12AP →＋12DC →，MN ＝AN →－AM →= 12AD ＋12AP →＋12DC →－12DC →= 12AD ＋12AP →，∵AD ⊥AB ，AP ⊥AB∴ AD →·AB ＝ 0，AP →·AB ＝0， ∴ MN ⊥AB . (3)解 设AP ＝a ，由(2)得 MN ＝12AD ＋12AP →AP ·AN ＝12AD ·AP →＋12AP →·AP →＝12a 2，|AP |＝|AD →|＝a ，| MN |＝(12AD →＋12AP →)2＝14AD →2＋14AP →2＝22a ， ∴ cos< AP , MN >＝·||?||AP AN AP AN ＝22，即异面直线PA 与MN 所成角为45°.知识点三 利用数量积证明垂直关系如图所示，m ，n 是平面α内的两条相交直线．如果l ⊥m ，l ⊥n ，求证：l ⊥α .证明 在α内作任一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，n ，g . 因为m 与n 相交，所以向量m ，n 不平行．由向量共面的充要条件知，存在惟一的有序实数对(x ，y )，使g ＝x m ＋y n . 将上式两边与向量l 作数量积， 得l·g ＝x l ·m ＋y l·n .因为l·m ＝0，l·n ＝0，所以l·g ＝0, 所以l⊥g .即l ⊥g .这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线， 所以l ⊥α. 【反思感悟】 证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量垂直，即证明两向量数量积为零．已知：在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，求证：OC ⊥AB .证明 ∵OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，∴OA ·BC = 0，OB ·AC = 0.∵ OC ·AB ＝(OB +BC )· ( AC →+ CB )= OB ·AC →＋OB →·CB →＋BC →·AC →＋BC →·CB →=OB · CB →＋BC →·(AC →＋CB →)= OB ·CB →＋BC →·AB ＝BC → · (AB ＋BO →)＝BC →·AO →＝0，∴ OC ⊥AB →，∴OC ⊥AB . 课堂小结：空间两个向量a ，b 的数量积，仍旧保留平面向量中数量积的形式，即：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉，这里〈a ，b 〉表示空间两向量所成的角(0≤〈a ，b 〉≤π)．空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质．应用数量积可以判断空间两直线的垂直问题，可以求两直线夹角问题和线段长度问题．即(1)利用a⊥b ⇔a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b|a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题．一、选择题1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 答案 A解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b | ⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0， 当a 与b 反向时，不能成立．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4 答案 C解析 |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6·cos60°＋9＝13.3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c 答案 B解析 A 中若a⊥b ，则有a·b ＝0，不一定有a ＝0，b ＝0.C 中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b . D 中当a ＝0时，a·b ＝a·c ，不一定有b ＝c .4．已知四边形ABCD 满足：－*6]·OC →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·－*6]·OC →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形 答案 D5．已知a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题6．已知向量a 、b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．答案 45°解析 因为a 与2b －a 垂直，所以a ·(2b －a )＝0.即2a·b －|a |2＝0，所以2|a||b |·cos〈a ，b 〉－|a |2＝0，所以42cos 〈a ，b 〉－4＝0⇒cos 〈a ，b 〉＝22，所以a 与b 的夹角为45°.7. 已知线段AB,BD 在平面α内,∠ABD=120°,线段AC ⊥α,如果AB=a,BD=b,AC=c,则|CD |为____________．答案 a 2＋b 2＋c 2＋ab解析 |CD |2＝|AB ＋BD →－AC →|2＝AB 2＋BD →2＋AC →2＋2AB ·BD →－2AB ·AC →－2BD →·AC →＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab cos60°＝a 2＋b 2＋c 2＋ab .|CD |＝a 2＋b 2＋c 2＋ab .＝a 2＋b 2＋c 2＋ab .8．已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，m⊥n ，则λ＝________.答案 －32解析 由m·n ＝0，得(a ＋b )·(a ＋λb )＝0，列方程解得λ＝－32.三、解答题9. 如图，已知E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，试求向量11A C 与DE 所成角的余弦值.解 设正方体的棱长为m ，AB ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝m . a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.又∵11A C ＝A 1B 1→＋B 1C 1→＝AB ＋AD →＝a ＋b ，DE ＝DD 1→＋D 1E →＝DD 1→＋12D 1C 1→＝c ＋12a .∴ 11A C ·DE →＝(a ＋b )·(c ＋12a )＝a ·c ＋b ·c ＋12a 2＋12a ·b ＝12a 2＝12m 2.又∵| 11A C |＝2m ，|DE →|＝2m ， ∴cos 〈11A C ，DE →〉= 1111||?||A C DE A C DE＝12m 22m ·52m ＝1010. 10．已知在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长(如图所示)；(2) 求 'AC 与AC →的夹角的余弦值．解 (1)∵'AC = AB + AD + 'AA , ∴|'AC |2 = (AB +AD + 'AA )2=| AB |2+ | AD |2+ | 'AA |2+ 2 (AB ·AD +AB ·'AA + AD ·'AA )= 42 + 32 + 52+2（0+10+7.5）= 85. ∴|'AC | ＝ 85. (2) 方法一 设'AC 与AC 的夹角为θ,∵四边形ABCD 是矩形,∴| AC | = 22345+=。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算讲义新人教A版
3.1.2 空间向量的数乘运算1．空间向量的数乘运算(1)定义：□01实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①分配律：λ(a＋b)＝□05λa＋λb.②结合律：λ(μa)＝□06(λμ)a.2．共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量(2)共面向量1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．( )(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．( )(3)如果OP →＝OA →＋tAB →，则P ，A ，B 共线．( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝______b .(2)已知b ＝－5a (|a |＝2)，则向量b 的长度为________，向量b 的方向与向量a 的方向________．(3)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝______，y＝______.(4)(教材改编P 89T 1)已知空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于________．答案 (1)－57 (2)10 相反 (3)1 14(4)AG →解析 (4)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12×(2BG →)＝AB →＋BG →＝AG →.探究1 空间向量的数乘运算例1 已知正四棱锥P －ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．(1)OQ →＝PQ →＋yPC →＋zPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[解] (1)如图，∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12PA →，∴y ＝z ＝－12.(2)∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点， ∴PA →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PA →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →， ∴PA →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2. 拓展提升利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．【跟踪训练1】 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值．解 (1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA →＝A 1A →.(2)连接AE ，则EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→，∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.探究2 共线向量例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 连接EF ，EB ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →，∴E ，F ，B 三点共线．[条件探究] 将例2的条件改为“O 为A 1C 上一点，且A 1O →＝23A 1C →，BD 与AC 交于点M ”．求证：C 1，O ，M 三点共线．证明 连接AO ，AC 1，A 1C 1.∵A 1O →＝23A 1C →，∴AO →＝AA 1→＋A 1O →＝AA 1→＋23A 1C →＝AA 1→＋23(A 1A →＋AC →)＝13AA 1→＋23AC →.∵AC →＝2AM →，AA 1→＝AC 1→＋C 1A 1→＝AC 1→－AC →＝AC 1→－2AM →， ∴AO →＝13(AC 1→－2AM →)＋43AM →＝13AC 1→＋23AM →.∵13＋23＝1，∴C 1，O ，M 三点共线． 拓展提升1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ，使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b .(2)判断向量共线的关键：找到实数λ. 2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA →＝λPB →成立． (2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．【跟踪训练2】 已知向量e 1，e 2不共线，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－3e 1＋8e 2，判断a 与b 是否共线．解 设a ＝λb ，即3e 1＋4e 2＝λ(－3e 1＋8e 2)，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝3，8λ＝4无解．∴不存在λ，使a ＝λb ，即a 与b 不共线．探究3 共面向量例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．[证明] 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD＝k ，所以OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OG →＝kOC →，OH →＝kOD →. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，因此EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝kAC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面． 拓展提升证明向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a ，b ，c 共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．(2)对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①MP →＝xMA →＋yMB →；②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或PA →∥MB →，或PB →∥AM →)．【跟踪训练3】 (1)已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.答案215解析 ∵点P 与A ，B ，C 三点共面， ∴15＋23＋λ＝1，解得λ＝215. (2)已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外一点O 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.①判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； ②判断点M 是否在平面ABC 内．解 ①∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)＝BM →＋CM →，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴向量MA →，MB →，MC →共面．②由①知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．1.四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1. 2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.3.证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线. 4.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.1．给出下列命题：①a ＝“从上海往正北平移9 km”，b ＝“从北京往正北平移3 km”，那么a ＝3b ； ②(a ＋b )＋λc ＋λ(a ＋d )＝b ＋(1＋λ)a ＋λ(c ＋d )；③把正方形ABCD 平移向量m 到A 1B 1C 1D 1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；④有直线l ，且l ∥a ，在l 上有点B ，若AB →＋CA →＝2a ，则C ∈l .其中正确的命题是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④ D ．①②③ 答案 C解析 由向量相等与起点无关易知①正确；由向量的数乘运算满足分配律及向量的加减运算满足交换律和结合律易知②正确；③中轨迹形成的几何体是平行六面体，不一定是正方体，③错误；由AB →＋CA →＝CA →＋AB →＝CB →＝2a 知CB →与l 直线平行，又B 在l 上，所以C ∈l ，故④正确．故选C.2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D 答案 A解析 由已知可得AB →＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，所以BD →＝2AB →，即BD →，AB →是共线向量，所以A ，B ，D 三点共线．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋12OB →＋16OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋12OB →＋16OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋12＋16＝1，x ＝13.4．在平行六面体ABCD －EFGH 中，若AG →＝xAB →－2yBC →＋3zDH →，则x ＋y ＋z 等于( )A.76B.23C.56 D ．1 答案 C解析 由于AG →＝AB →＋AD →＋CG →＝AB →＋BC →＋DH →，对照已知式子可得x ＝1，－2y ＝1,3z ＝1，故x ＝1，y ＝－12，z ＝13，从而x ＋y ＋z ＝56.5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．证明 EF →＝EB →＋BA 1→＋A 1F →＝12B 1B →－A 1B →＋12A 1D 1→ ＝12(B 1B →＋BC →)－A 1B → ＝12B 1C →－A 1B →. 由向量共面的充要条件知，A 1B →，B 1C →，EF →是共面向量．。
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
高中数学3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课件新人教a选修2_1
(2)向量
a,b
的夹角<a,b>的范围是[0,π],如果<a,b>=
π 2
,
那么向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b.
知识拓展(1)当<a,b>=0时,两个向量同向共线;当<a,b>=π时,两
个向量反向共线.若a∥b,则<a,b>=0或π.
(2)对空间任意两个向量a,b,有以下两个特点:
①<a,b>=<b,a>;
A.5
B.
1 5
C. −5
D.
−
1 5
解析:∵b=-5a,
∴a·b=-5a2=-5|a|2=-5.
答案:C
【做一做 2-2】在空间中,已知正三角形 ABC 的边长为 2,则������������ ·
������������ = _________________.
解析:∵|������������| = |������������| = 2, 且 < ������������, ������������ >= 60°,
③若 θ 为 a 与 ④|a·b|≤|a||b|.
b
的夹角,则
cos
θ=
|������������|·|������������|.
归纳总结两个向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的
值为两个向量的模与两个向量夹角的余弦值的乘积;对于两个非零
向量的数量积,其符号由夹角的余弦值的正负决定.
【做一做 2-1】 在空间中,若|a|=1,b=-5a,则 a·b 等于( )
①(λa)·b=λ(a·b); ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算新人教A版
E→F [12(A→B＋A→C)＝A→E， A→F－12(A→B＋A→C)＝A→F－A→E＝E→F．]
合作 探究 释疑 难
空间向量的有关概念
【例1】 (1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A→C＝A→1C1； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p． 其中正确命题的序号是________．
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 1关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. 2注意点：注意一些特殊向量的特性. ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向 量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连接的向 量中，与向量 A→A′ 相等的向量有________；与向量 A→′B′ 相反的向量有 ________．(要求写出所有适合条件的向量)
(1)②③④ (2)B→B′，C→C′，D→D′ B→′A′，B→A，C→D，C→′D′ [(1)对 于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；
A→B＋12B→C－32D→E－A→D化简的结果为________．
0
[延长DE交边BC于点＝
A→F
，
3 2
D→E
＋
A→D
＝
A→D＋D→F＝A→F，故A→B＋12B→C－32D→E－A→D＝0．]
4．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则
A→F
－
1 2
(A→B＋A→C)的化简结果为________．
5．共线向量和共面向量
(1)共线向量 ①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线_互__相__平__行__或__重__合_, 则这些向量叫做 共线向量 或平行向量．
3.1.3空间向量的数量积
(a b) c a c b c
注意： (a b) c a (b c)
类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义: 如图 ,已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取 一点 O , 作 OA a , OB b , 则角 AOB 叫做向
CD a2 b2
【例3】如图，在正三棱柱ABC A1 B1C1中， 若AB 2 BB1 , 则AB1与C1 B所成角的大小为 ( A)60 ( B)90 (C )105
A1
B1
A B
( D)75
C1
解析：易知AB C1C , BB1 CB, AB, CB 120, BB1 , C1C 180 | AB | 2 | BB1 | AB1 C1B ( AB BB1 ) (C1C CB)
4)空间向量的数量积满足的运算律
( a ) b ( a b ) a b b a (交换律） a (b c) a b a c (分配律）
判断： (1)a b a c b c k (2)a b k a b (3)向量的数量积满足结合律，即(a b)c a (b c)
复习回顾：平面向量的数量积运算
1、平面向量的数量积定义: a b | a || b | cos 其中 是a和b 的夹角, 范围是0 2、平面向量的数量积的几何意义：
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的 投影 b cos 的乘积.
3、平面向量的数量积的主要性质:
B E A F D
C
G
3)空间两个向量的数量积性质
设 a, b是空间中的两个非零向量 ，则
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3.1.3 空间向量的数量积运算 1．空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b□05互相垂直，记作□06a⊥b. 2．空间向量的数量积
定义 □07已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作 □08a·b
运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝□09λ(a·b)
交换律 a·b＝□10b·a
分配律 a·(b＋c)＝□11a·b＋a·c
两个向量数量积的性质： (1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔□12a·b＝0； (2)若a与b同向，则a·b＝□13|a||b|； 若反向，则a·b＝□14－|a||b|； 特别地：a·a＝|a|2或□15|a|＝a·a；
(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝□16a·b|a||b|； (4)|a·b|□17≤|a||b|.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．( ) (2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.( ) (3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．( )
(4)在△ABC中，〈AB→，BC→〉＝∠B.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做 (1)(教材改编P92T3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则a2等于( )
A．2BA→·AC→ B．2AD→·BD→ C．2FG→·CA→ D．2EF→·BC→ (2)若向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则a·b＝________.
(3)已知|a|＝2，|b|＝22，a·b＝－22，则a与b的夹角为________． (4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则cos〈a，b〉＝________. 答案 (1)B (2)1 (3)135° (4)18 解析 (1)∵AD→与BD→的夹角为60°，|AD→|＝|BD→|＝a， ∴2AD→·BD→＝2|AD→||BD→|cos60°＝2×a×a×12＝a2.
探究1 求向量的数量积 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)EF→·BA→；(2)EF→·BD→；(3)EF→·DC→；(4)BF→·CE→. [解] (1)EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12×1×1×cos60°＝14.
(2)EF→·BD→＝12|BD→||BD→|cos〈BD→，BD→〉＝12×1×1×cos0°＝12. (3)EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD→||DC→|cos〈BD→，DC→〉＝12×1×1×cos120°＝－14. (4)BF→·CE→＝12(BD→＋BA→)·12(CB→＋CA→) ＝14[BD→·(－BC→)＋BA→·(－BC→)＋BD→·CA→＋BA→·CA→] ＝14[－BD→·BC→－BA→·BC→＋(CD→－CB→)·CA→＋AB→·AC→] ＝14×－12－12＋12－12＋12＝－18.
拓展提升 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
【跟踪训练1】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)BD→·AA1→； (2)AE→·AC→； (3)EO→·AC→. 解 设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c， 则|a|＝|c|＝1，|b|＝2，
(1)∵BD→＝AD→－AB→＝b－a， ∴BD→·AA1→＝(b－a)·c＝b·c－a·c. 又a，b，c两两互相垂直，
∴b·c＝0，a·c＝0，故BD→·AA1→＝0. (2)∵AE→＝AA1→＋A1E→ ＝AA1→＋12AD→
＝c＋12b， 又AC→＝AB→＋AD→＝a＋b， ∴AE→·AC→＝c＋12b·(a＋b)
＝12|b|2＝2. (3)∵EO→＝AO→－AE→ ＝12(AB→＋AD→)－(AA1→＋A1E→)
＝12(a＋b)－c＋12b ＝12a－c， 又AC→＝a＋b， ∴EO→·AC→＝12a－c·(a＋b)＝12a2＝12. 探究2 利用数量积求夹角 例2 已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值． [解] 如下图，
设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3， 则a·b＝b·c＝c·a＝12. 因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32， 所以OE→·BF→＝12(a＋b)·12c－b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12， 所以cos〈OE→，BF→〉＝OE→·BF→|OE→||BF→|＝－23. 所以异面直线OE与BF所成角的余弦值是23. 拓展提升 由数量积求角的方法策略 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角的大小，通过解三角形得出夹角的大小，此法就是求两个向量夹角的平移法．
(2)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值． (3)利用向量的数量积求出两向量的夹角，则这个夹角就是两异面直线所成的角或补角(注意异面直线所成角的范围)． 【跟踪训练2】 三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°， 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 答案 66 解析 下图所示，
设该三棱柱的底面边长为1，依题意有AB1→＝AB→＋AA1→，BC1→＝BA→＋AA1→＋A1C1→＝AC→＋AA1→－AB→，则|AB1→|2＝(AB→＋AA1→)2＝AB→2＋2AB→·AA1→＋AA1→2＝2＋2cos60°＝3，|BC1→|2＝(AC→＋AA1→－AB→)2＝AC→2
＋AA1→2＋AB→2＋2AC→·AA1→－2AC→·AB→－2AA1→·AB→＝2，而AB1→·BC1→＝(AB→＋AA1→)·(AC→＋AA1→－AB→)＝AB→·AC→＋AB→·AA1→－AB→·AB→＋AA1→·AC→＋AA1→·AA1→－AA1→·AB→＝12＋12－1＋12＋1－12＝1，所以cos
〈AB1→，BC1→〉＝AB1→·BC1→|AB1→||BC1→|＝13×2＝66. 所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为66. 探究3 利用向量数量积求距离 例3 已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离． [解] 下图，由AC⊥α，知AC⊥AB.过点D作DD′⊥α于点D′，连接BD′，
则∠DBD′＝30°，〈CA→，BD→〉＝120°，所以|CD→|2＝CD→·CD→＝(CA→＋AB→＋BD→)2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2CA→·BD→＋2AB→·BD→＝b2＋a2＋b2＋2b2cos120°＝a2＋b2， 故CD＝a2＋b2.
拓展提升 (1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． (2)应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝a＋b＋c2 ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·c＋2a·b＋2b·c.
【跟踪训练3】 在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝12|ND|，求|MN|. 解 如下图所示，
|AB→|＝|AC→|＝|AD→|＝a，把题中所用到的量都用向量AB→，AC→，AD→表示，于是MN→＝MB→＋BC→＋CN→＝23AB→＋(AC→－AB→)＋13(AD→－AC→)＝－13AB→＋13AD→＋23AC→.
又AD→·AB→＝AB→·AC→＝AC→·AD→＝a·a·cos60°＝12a2， ∴MN→·MN→＝－13AB→＋13AD→＋23AC→·－13AB→＋13AD→＋23AC→ ＝19AB→ 2－29AD→·AB→－49AB→·AC→＋49AC→·AD→＋19AD→ 2＋49AC→ 2＝19a2－19a2＋19a2＋49a2＝59a2. 故|MN→|＝MN→·MN→＝53a，即|MN|＝53a. 探究4 判断或证明垂直问题 例4 下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF.
[证明] 设正方体的棱长为a， ∵A1G→·DF→＝(A1A→＋AD→＋DG→)·(DC→＋CF→)＝A1A→·DC→＋AD→·DC→＋DG→·DC→＋A1A→·CF→＋AD→·CF→＋DG→·CF→＝DG→·DC→＋AD→·CF→＝12a2－12a2＝0，