1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一
高中数学第一章空间向量与立体几何1-1空间向量及其运算1-1-2空间向量基本定理新人教B版选择性必修
状元随笔 借助图形寻找所求向量与， ， 的关系，利用三角形
法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．
方法归纳
用基底表示向量的步骤
1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个
基底．
2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三
角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行
变形、化简，最后求出结果．
3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所
有向含有其他形式
的向量．
跟踪训练3 (1)已知平行六面体ABCD － A′B′C′D′中，点E是
上底面A′B′C′D′的中心，求下列各题中x，y的值：
如果空间中的三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，
存在唯一的有序实数组(x，y，z)
p＝xa＋yb＋zc
____________________________，使______________．
2．基底
如 果 三 个 向 量 a ， b ， c__________
，则a，b，c的线性组合
其中真命题的个数为(
)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：只有②为真命题．
3．已知正方体ABCD － A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是
1
AE的三等分点，且AF＝ EF，则AF等于(
)
2
1
1
+ AB + AD
2
2
1
1
1
′
B． AA + AB + AD
2021_2022学年新教材高中数学1.1.1空间向量及其运算课件新人教B版选择性必修第一册
)
答案 C
解析 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等;但两
个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错;根据向量相等的定义,
要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的
方向不一定相同,故②错;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
向量 与1 1 的方向相同,模也相等,所以 = 1 1 ,故③正确;命题④
显然正确;对于命题⑤,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定
相同,故不一定相等,故⑤错.所以正确的个数为2.
反思感悟解决有关向量概念的问题,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意
区分向量与向量的模以及数量.相等向量只需方向相同,长度相等,与向量
)
答案 ×
微思考
两个非零向量共线时,其夹角分别是多少?
提示 两个非零向量共线且同向时,<a,b>=0;两个非零向量共线且反向
时,<a,b>=π.
4.空间向量的数量积
(1)定义:空间中已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积(也
称为内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cos<a,b>.
2
2
示如图.
反思感悟(1)对于借助几何图形的向量运算,应该在线性运算的基础上挖掘
好几何体中本身的特征,如平行、相等、垂直等.
(2)化归与转化思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向
量转化为与之相等的向量以方便其运算,如例3中第(2)问将 替换为 .
变式训练 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式运算结果为1 的
第1章 1.1.1 空间向量及其运算-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义
1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算学习目标核心素养1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重点)2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点)3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养．3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养．图1图21．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．(2)模(或长度)：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．[提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．3．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．4．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．(2)空间向量数量积的定义：(3)数量积的几何意义①向量的投影如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.(4)空间向量数量积的性质：1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．()(2)两个相反向量的和为零向量．()(3)只有零向量的模等于0．()(4)空间中任意两个单位向量必相等．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×[提示]大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．2．下列命题中正确的是()B[对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A错误．对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．3．(教材P 11练习A ②改编)化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c ＝________； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ．(2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD → ＝CD →－CD → ＝0．]4．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则(1)〈AB →，A 1C 1→〉＝________； (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝________； (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝________．(1)45° (2)135° (3)90°[(1)因为A 1C 1→＝AC →，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝〈AB →，AC →〉． 又∠CAB ＝45°，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝45°． (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝180°－〈AB →，A 1C 1→〉＝135°． (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝90°．]空间向量的概念及简单应用【例1】 (1)下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB →＋AD →＝AC →，只有平行四边形才能成立．故A 、C 、D 均不正确．](2)如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：①试写出与AB →是相等向量的所有向量； ②试写出AA 1→的相反向量；③若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] ①与向量AB →是相等向量的(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→，共3个． ②向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →． ③|AC 1→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＝22＋22＋12＝9＝3．1．两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．2．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[跟进训练] 1．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同； ②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ．其中不正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→成立，故②正确；③显然正确．故选B ．]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →．其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [对于①AB →与C 1D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．]空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则CN →＝( )A ．12(a ＋b －c ) B ．12(a ＋b ＋c )C ．a ＋b ＋12c D ．a ＋12(b ＋c )(2)如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．①AA ′→－CB →； ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．(1)B [若AB 中点为D ，CN →＝CD →＋DN →＝12(a ＋b ＋c )，故选B ．](2)[解] ①AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AD ′→． ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→． 向量AD ′→、AC ′→如图所示：1．首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →．2．首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0．如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0．[跟进训练]3．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→． [解] (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b ． (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ． (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP → ＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ．又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c ．数量积的运算及应用[[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．[提示] 借助cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |，求向量a ，b 的夹角．借助|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2求模．【例3】 如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征．[解] (1)正四面体的棱长为1，则|OA →|＝|OB →|＝1．△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12．(2)由于E ，F 分别是OA ，OC 的中点， 所以EF 12AC ，＝12×1×1×cos 〈AC →，CB →〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14．＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1．1．(变条件，变结论)若H 为BC 的中点，其他条件不变，求EH 的长． [解] 由题意知OH →＝12(OB →＋OC →)，OE →＝12OA →， ∴EH →＝OH →－OE →＝ 12(OB →＋OC →－OA →)，又|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1．且〈OB →，OC →〉＝60°，〈OB →，OA →〉＝60°，〈OC →，OA →〉＝60°．∴|EH →|2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋1＋2×12－2×12－2×12＝12，即|EH →|＝22，所以EH 的长为22．2．(变结论)求异面直线OH 与BE 所成角的余弦值． [解] 在△AOB 及△BOC 中，易知BE ＝OH ＝32， 又BE →＝12OA →－OB →，OH →＝12(OB →＋OC →)，＝14×12＋14×12－12－12×12＝－12． ∴cos 〈BE →，OH →〉＝BE →·OH →|BE →||OH →|＝－23，又异面直线所成角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线OH 与BE 所成角的余弦值为23．1．在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积； (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．如本例中〈EF →，CB →〉＝〈AC →，CB →〉＝120°，易错写成60°，为避免出错，应结合图形进行计算．一、知识必备1．空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．2．向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．二、方法必备1．数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置． 2．转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面直线所成角的范围确定．1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各对向量夹角为45°的是( ) A ．AB →与A 1C 1→ B ．AB →与CA →C ．AB →与A 1D 1→D ．AB →与B 1A 1→A [A 、B 、C 、D 四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A ．]A ．0B ．12 C ．－1 D ．13．化简：2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________． 0 [2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC → ＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋CD →＋DA →＋AC → ＝0＋CA →＋AC →＝0＋0＝0．]4．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．∴|a －b |＝22．]。
2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3.2空间
第2课时 空间直角坐标系必备知识·自主学习1.空间直角坐标系建立 方法在空间中任意选定一点O 作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy ，然后过O 作一条与xOy 平面垂直的数轴z 轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz.坐标 轴在空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴是两两互相垂直的，它们都称为坐标轴．坐标 平面通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．一般 画法x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与y 轴正方向夹角为135°(或45°)，z 轴与y 轴(或x 轴)垂直．图示 点的坐标设M 为空间中的一个点，过M 分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，设这些平面与x 轴、y轴、z 轴依次交于点P ，Q ，R.且P ，Q ，R 在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，因此将有序实数组(x ，y ，z)称为点M 的坐标，记作M(x ，y ，z)．卦限 空间直角坐标系的三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限．说明空间直角坐标系中点P 的坐标与空间向量OP →的坐标相同．2．空间向量坐标的应用空间两点A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，线段AB 的中点M(x ，y ，z) AB →的坐标公式AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)空间中两点之间的距离公式AB AB ==222212121x x y y z z （－）＋（－）＋（－）中点坐标公式OM →＝()x ，y ，z ＝121212x x y y z z ()222+++，，已知 A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，(1)向量AB →的坐标能表示为()x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2 吗？ 提示：不能．(2)A ，B 两点的距离能表示成()x 1－x 22＋()y 1－y 22＋()z 1－z 22 吗？提示：能．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)在空间直角坐标系中，在y 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c).() (2)若向量AB →＝(x ，y ，z)，则点B 的坐标是(x ，y ，z).()(3)点P(x ，y ，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离OP ＝x 2＋y 2＋z 2 .() 提示：(1)×.y 轴上的点的坐标是横、竖坐标都为0. (2)×.A 点与原点重合是，不与原点重合则不是． (3)√.由空间中两点的距离公式可得．2．已知正方体的棱长为2，点E 是棱DD 1的中点，在如图所示的坐标系下，点E 的坐标为() A ．(1，0，0) B ．(0，1，0)C ．(0，0，1)D ．⎝⎛⎭⎫0，0，12【解析】选C.因为点E 在z 轴上，且DE ＝1，所以E 点的坐标为(0，0，1).3．(教材例题改编)已知点A ，B 的坐标分别为(－2，3，5)，(1，－1，－7)，则向量AB →的坐标是________．【解析】因为点A ，B 的坐标分别为(－2，3，5)，(1，－1，－7)，所以AB →＝(3，－4，－12). 答案：(3，－4，－12)关键能力·合作学习类型一 空间中点的坐标的确定(直观想象)1.点(1，－1，0)在空间直角坐标系中的() A ．z 轴上B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上2．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE.在如图所示的坐标系下，EF →＝()A ．(1，2，1)B ．⎝⎛⎭⎫1，32，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，12，1 D ．⎝⎛⎭⎫0，－12，－1 3．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标为________．【解析】1.选B.因为点(1，－1，0)的竖坐标为0，所以此点是xOy 平面上的点．2．选C.因为AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝4，则CF ＝AB ＝1，CE ＝12 AB ＝12，所以BE ＝BC －CE ＝2－12 ＝32.所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，0 ，点F 的坐标为(1，2，1)，所以EF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1 . 3．设点D(x ，y ，z)，则DB → ＝(－x ，1－y ，－z)，AC → ＝(－1，0，2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z)，AB →＝(－1，1，0)，因为DB ∥AC ，DC ∥AB ，所以DB → ∥AC → ，DC → ∥AB →，则⎩⎪⎨⎪⎧－x －1＝－z 2，1－y ＝0，－x －1＝－y1，2－z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2， 所以D(－1，1，2).答案：(－1，1，2)确定点的坐标的常用方法：确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号．类型二 空间中两点之间的距离问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，|C 1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点． (1)求DE ，EF 的长度．(2)若点G 为线段A 1C 1上一动点，求当GB ＝10 时点G 的坐标．【思路导引】建立适当的空间直角坐标系，把D ，E ，F 的坐标写出来，设出G 点坐标，再用距离公式解决．【解析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， 设G ()x ，0，2 ，其中0≤x≤2. (1)|DE|＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2 ＝ 5 ，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2 ＝ 6 . (2)||GB ＝()x －02＋()0－22＋()2－02＝x 2＋8 ＝10 ，所以x ＝±2 (负值舍去)，所以点G 的坐标为()2，0，2 .距离问题的两种题型及解题策略：(1)已知两点坐标求距离，直接代入公式求解即可；(2)已知两点间距离求参数或点的坐标，应利用公式建立相应方程求解．1．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC 边上的中线长为________．【解析】因为B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，所以BC 的中点为⎝⎛⎭⎫2，32，－12 ，所以BC 边上的中线长为 （3－2）2＋⎝⎛⎭⎫1－322＋⎝⎛⎭⎫2＋122＝302. 答案：3022．设点P 在x 轴上，使它到点P 1(0， 2 ，3)的距离是到点P 2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P 的坐标．【解析】因为点P 在x 轴上，所以设点P 坐标为(x ，0，0).因为PP 1＝2PP 2，所以（x －0）2＋()0－22＋（0－3）2＝2（x －0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2 ，所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0). 类型三 空间向量坐标的应用(直观想象、逻辑推理) 角度 1 求值问题【典例】棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．求： (1)EF → ·CF → ；(2)EF → ·CG → ；(3)||CE → ；(4)|EF → |.【思路导引】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量的坐标，再分别求解． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D(0，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C(0，1，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 ，G ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 . 所以EF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－12 ，CF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，0 ，CG → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12 ，CE → ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－1，12 . (1)EF → ·CF → ＝12 ×12 ＋12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ×0＝0.(2)EF → ·CG → ＝12 ×1＋12 ×0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ×12 ＝14 .(3)|CE →|＝02＋（－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122 ＝52 .(4)|EF → |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32 .本例条件不变，求cos 〈GF → ，EC →〉．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12 ，C(0，1，0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0 ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12 .所以GF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，－12 ，EC → ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－12 ，所以cos 〈GF → ，EC →〉＝GF EC GF EC＝0－12＋1434·54＝－1515 .角度 2 证明问题如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝ 2 ，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF.【思路导引】建立恰当的坐标系，利用空间向量证明． 【证明】(1)因为平面ABCD ⊥平面ACEF ， 平面ABCD∩平面ACEF ＝AC ，EC ⊥AC ， 所以EC ⊥平面ABCD ，又BC ⊥DC ，如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连接NE ，则点N ，E 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22，22，0 ，(0，0，1).所以NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 .又点A ，M 的坐标分别是( 2 ， 2 ，0)，⎝⎛⎭⎫22，22，1 ，所以AM → ＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 . 所以NE → ＝AM →.又NE 与AM 不共线，所以NE ∥AM. 又因为NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， 所以AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1 .因为D( 2 ，0，0)，F( 2 ， 2 ，1)，所以DF → ＝(0， 2 ，1)，所以AM → ·DF → ＝0，所以AM → ⊥DF →.同理AM → ⊥BF →.又DF∩BF ＝F ，且DF ⊂平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以AM ⊥平面BDF.空间向量坐标应用的关注点： (1)建系，写坐标，把向量坐标化；(2)利用向量的坐标运算公式求解向量的数量积、模长、夹角等问题． (3)利用空间向量共线与垂直的条件证明线面的平行、垂直问题．1．以A(10，－1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形的形状是() A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】选D.根据空间两点间距离公式， 得|AB|＝（10－4）2＋（－1－1）2＋（6－9）2 ＝7， |BC|＝（4－2）2＋（1－4）2＋（9－3）2 ＝7， |AC|＝（10－2）2＋（－1－4）2＋（6－3）2＝98 .因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|， 所以△ABC 是等腰直角三角形．2．如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点． (1)BN 的长为________；(2)1BA 与1CB 夹角的余弦值为________．【解析】如图，以CA → ，CB →，1CC 为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)， 所以|BN →|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2 ＝3 ，所以线段BN 的长为3 .(2)依题意得A 1(1，0，2)，C(0，0，0)，B 1(0，1，2)， 所以1BA ＝(1，－1，2)，1CB ＝(0，1，2)， 所以11BA CB ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA |＝6 ，|1CB |＝5 ，所以cos 〈11BA CB ，〉＝1111BA CB BA CB ＝3010，即1BA 与1CB 夹角的余弦值为3010.答案：(1)3 (2)30103．如图，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝BC ＝a.(1)求AB → ·SC → ；(2)用空间向量的方法证明：BC ⊥平面ABS. 【解析】以点A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系．因为SA ＝AB ＝BC ＝a ， 所以B ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，C(0, 2 a ，0)，S(0，0，a).(1)AB → ＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，SC →＝(0, 2 a ，－a).所以AB → ·SC →＝a 2.(2)由于AB → ＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0 ，AS →＝(0，0，a)，BC → ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0 ，显然，AB → ·BC → ＝0，AS → ·BC →＝0. 即AB ⊥BC ，AS ⊥BC ，又AB∩AS ＝A ， 故BC ⊥平面ABS. 【补偿训练】如图所示，在三棱锥S-ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13 ，SB ＝29 . (1)求SC → ·BC → . (2)求|SC → ||AB → |.【解析】因为∠SAB ＝∠SAC ＝90°，所以SA ⊥AB ，SA ⊥AC 且AB∩AC ＝A ，所以SA ⊥平面ABC ，如图所示，取A 为坐标原点，AC ，AS 所在直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13 ，SB ＝29 ，得C(0，2，0)，B(－13 ，2，0)，S(0，0，2 3 ).所以AB → ＝(－13 ，2，0)，SC → ＝(0，2，－2 3 )，BC → ＝(13 ，0，0).(1)SC → ·BC → ＝0.(2) |SC → |＝02＋22＋()－232 ＝4， |AB → |＝()－132＋22＋02 ＝17 ，所以|SC → ||AB → |＝4×17 ＝417 .课堂检测·素养达标1．以棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为()A ．⎝⎛⎭⎫0，12，12B ．⎝⎛⎭⎫12，0，12 C ．⎝⎛⎭⎫12，12，0 D ．⎝⎛⎭⎫12，12，12【解析】选B.根据题意，正方形AA 1B 1B 的对角线的交点纵坐标为0，横、竖坐标都是12. 2．(教材练习改编)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(2，2，－1)，点B 的坐标为(3，－1，2)，则()A ．AB → ＝(2，2，－1) B ．AB → ＝(3，－1，2)C ．BA → ＝(1，－3，3)D ．BA → ＝(－1，3，－3)【解析】选D.AB → ＝OB → －OA → ＝(1，－3，3)，BA → ＝OA → －OB → ＝(－1，3，－3).3．点(4，0，1)在空间直角坐标系中的()A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上【解析】选C.因为点(4，0，1)的纵坐标为0，所以此点是xOz 平面上的点．4．已知A(－4，1，3)，B(2，－3，5)，则线段AB 中点的坐标为________.【解析】设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝－4＋22 ＝－1，y 0＝1－32 ＝－1，z 0＝3＋52＝4， 所以线段AB 的中点坐标为(－1，－1，4).答案：(－1，－1，4)5．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB → 与CA → 的夹角θ的大小是________．【解析】由于AB → ＝(－2，－1，3)，CA → ＝(－1，3，－2)，所以AB → ·CA → ＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB → |＝14 ，|CA → |＝14 ，所以cos θ＝cos 〈AB → ，CA → 〉＝－714×14 ＝－12 ， 则θ＝120°.答案：120°。
高中数学选修1(人教B版)课件1.1.1空间向量及其运算
答案：(2)B
题型二 空间向量的加、减法运算[经典例题]
状元随笔
向量加法的三角形法则和平行四边形法则及向量减法的三角 形法则有什么特点？
知识点二 空间向量的加、减、数乘运算及其运算律
加法
a＋b＝O→A＋O→B
空间 减法
a－b＝O→A－O→B
向量 的运
当 λ＞0 时，λa＝Q→P＝λO→A；
算 数乘 当 λ＝0 时，λa＝0；当 λ＜0
时，λa＝M→N＝λO→A
加法与 数乘运 算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a； (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 成为同一个平面内的两个向量，因此，它们的加减法运算类似于平 面向量的加减法．
(2) 若 两 个 空 间 向 量 的 始 点 相 同 ， 则 这 两 个 向 量 即 为 平 面 向 量．求这两个向量之和时，应优先考虑平行四边形法则．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量 的终点，因此为便于记忆，常把这个和向量叫做“封口向量”，求 空间中若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向 量．
将所求向量置于适当的三角形或多边形中，利用三角形法则、 平行四边形法则或首尾相接的方法，将所求向量表示出来，然后化 简整理．
方法归纳
利用数乘运算进行向量表示的技巧 1．数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用 三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 2．明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性 质． 提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知 向量表示出来．
新高考 高中数学 选修一 课件+类型题1.1.1空间向量及其线性运算
临渊羡鱼，不如退而结网！
新高考·人教B版 ·选修1
选修一
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其运算
一、空间向量的概念
思考： 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量O→A， O→B，O→C，它们和以前所学的向量有何不同？ 【提示】 O→A，O→B，O→C是不同在一个平面内的向量，而 我们以前所学的向量都在同一平面内．
图 3－1－20
方法点评：
1．求两向量数量积的解题思路： (1)解出两向量的模． (2)根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)使用公式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉得出结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．
典型例题
类型一、空间向量的有关概念 例 1、给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体 ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD—A1B1C1D1 中，A→C＝A→1C1； ③若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a，b 的方向相同或相 反； ④在四边形 ABCD 中，必有A→B＋A→D＝A→C. 其中正确命题的序号是________．
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
方法点评： 1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、 相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同． 2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量 有关概念问题时，通常抓住这两点来解决． 3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何 向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
图 3－1－20
(3)|G→F|＝12a，|A→C|＝a， 又∵G→F∥A→C，〈G→F，A→C〉＝π， ∴G→F·A→C＝12a2cos π＝－12a2； (4)∵|E→F|＝12a，|B→C|＝a，E→F∥B→D， ∴〈E→F，B→C〉＝〈B→C，B→D〉＝60°， ∴B→C·E→F＝12a2cos 60°＝14a2.
1.1.1空间向量及其运算(教学课件)-高中数学人教B版选择性必修第一册
A.
3
3
B)
B.0
C.
1
2
D.
2
2
π
，则
3
解析： 在空间四边形 OABC 中，OB OC ，AOB AOC
π
，BC OC OB ，
3
OA BC OA (OC OB ) OA OC OA OB
π
π 1
| OA | | OC | cos | OA | | OB | cos | OA | (| OC | | OB |) 0 ，
也就是：一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向
量的相反向量.
数乘向量：
给定一个实数 与任意一个空间向量 a，规定它们的乘积是一个空
间向量，记作
，其中：
（1）当 ≠ 0 且 ≠ 时，
的模为| || |，而且
①当 > 0 时，与 a 的方向相同；
②当 < 0 时，与 a 的方向相反.
（2）当 = 0 或 = 时，
3
3
2
3
3
2
3.如图，正四面体 ABCD 的棱长为 2，点 E，F 分别为棱 AD，BC 的中点，则 EF BA
的值为(
A.4
C)
B.-4
C.-2
D.2
解析： EF EA AB BF
1
1
DA AB BC ，
2
2
2
1
1
1
1
EF BA DA AB BC BA AD AB AB BC BA
交换律： a b b a ；
2022版新教材高中数学第一章空间向量及其运算课件新人教A版选择性必修第一册ppt
相反 ;若<a,b>= ,则向量a,b
2
6 | 空间向量的数量积
1.定义 已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos<a,b> 叫做a,b的数量积,记作 即a·b=|a||b|cos<a,b>. 规定:零向量与任意向量的数量积为 0 . 2.运算律 (1)(λa)·b= λ(a·b) ,λ∈R; (2)交换律:a·b= b·a ; (3)分配律:(a+b)·c= a·c+b·c .
MB
,
MC
三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解析
(1)共面.由已知得OA+OB
+
OC
=3OM
,所以 OA -
OM
=(
OM
-
OB
)+(
OM
-
OC
),
即
MA= BM
+CM
=-
MB
-
MC
,所以
MA,
MB
,MC
共面.
(2)点M在平面ABC内.
由(1)知
MA
,
MB
,
MC
共面且过同一点M,
所以M,A,B,C四点共面,从而点M在平面ABC内.
3.向量 AB与向量 CD是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上. ( ✕ )
提示:向量
AB
与向量
CD
是共线向量,可能点A、B、C、D在同一条直线上,也可能
AB∥CD.
4.向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. ( ✕ )
提示:向量a,b,c共面,表示这三个向量的有向线段所在的直线可能共面,也可能异
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1
2(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则
12112(x ,y )a b x z +=++，
12112(x ,y )a b x z -=--，
111(,,)a x y z R λλλλ=，
12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：2
1cos ||||x a b
a b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理
（1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ，
，向量共面：a xb yc =+
2
典例解析
考点一：概念的判断
例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( )
A ．有不同的方向
B ．有不相等的模
C ．不可能是平行向量
D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ）
①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α.
A.1
B.2
C.3
D.4
变式2 给出下列命题：
①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
考点二：空间向量的线性运算
例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。
(1)化简：11122
AO AB AD -- (2)设E 是棱1DD 上的点，且123DE DD =
，若1EO=xAB yAD zAA ++试求,,x y z 的值。
3
变式1： 如图所示，在平面六面体1111D C B A ABCD -中，E,F 分别在1B B 和1D D
且.3
2,3111DD DF BB BE == （1）证明：1;AC AE AF =+
（2）若1,.EF xAB yAD zAA x y z =++++求
变式2：如图，已知平行六面体1111D C B A ABCD -中，
,60,90,5,4,3111︒=∠=∠︒=∠===AD A AB A BAD AA AD AB 求1AC 的长.
考点三：空间向量的基底
例3．
是向量的一个基底， 设给出下列向量组：①{},,a b p ②{},,b c r ③{},,p q r ④{},,p q a b c ++其中可以作为空间向量基底的向量组有（ ）组．
A.1
B.2
C.3
D.4 变式1：已知空间四边形OABC ，其对角线N M AC OB ,,,分别是边CB OA ,的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=，用向量,,OA OB OC 当基底表示向量OG （ ）
A.2233OG OA OB OC =+
+ B.122233
OG OA OB OC =++ C.111633OG OA OB OC =++ D.112633OG OA OB OC =++ 变式2 在长方体1111D C B A ABCD -中，以1111,,C D DD AD 为基底表示C A 1,其结果是（ ）
A.11111C D DD AD C A ++=
B.11111C D DD AD C A -+=
C.111112C D DD AD C A +-=
D.111112C D DD AD C A ++=
考点四：空间向量的坐标运算
例4． 已知点,)0,2,3(),1,1,0(B A -向量,)2,3,4(--=AC 则向量=BC （ ）
A. ()1,4,7--
B. ()1,4,7
C. ()1,4,1--
D.()1,4,1-
变式1：已知._______,,6||),2,,2(),,4,2(=+⊥===y x b a a y b x a 求且若
变式2：已知空间内三点)2,4,2(),0,2,2(),2,0,0(---C B A 点P 在xOy 平面上且,PA AB ⊥ ,PA AC ⊥则P 点的坐标是_____________.
,,p a b q b c r c a =+=+=+{}
,,a b c
4
考点五：空间向量共线、共面问题
例5．已知)9,2,1(),3,1,2(y b x a -==，如果b a ,为共线向量，则（ ）
A.1,1==y x
B.21,21-==y x
C.23,61-==y x
D.2
3,61=-=y x 变式1. 已知),5,7(),2,4,1(),3,1,2(λ=--=-=c b a 若c b a ,,三向量共面，则实数λ等于（ ）
A.762
B.763
C.760
D.7
65 变式2．已知向量(1,1,0)a →=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→
是共面向量，则x =__________． 考点六：空间向量的数量积与夹角
例6．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB 与CA 的夹角θ的大小是_______． 变式1：已知O B A ),6,2,1(),6,2,1(---为坐标原点，则向量OB OA ,的夹角是（ ）
A.0
B.2π
C.π
D.23π
变式2．已知(1,0,0)a =，(0,1,1)b =-，若a λb +与b 的夹角为120︒，则λ的值为（ ） A ．66 B ．66- C ．66± D ．6±
考点七：建立直角坐标系
例7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为( ) A.19 B.49 5 C.29 5 D.23
变式1．如图，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,21,23，点D 在平面yOz 上，
且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD 的长度为________．
变式2．如图，正方体1111OABC O A B C -的棱长为2，E 是1B B 上的点，且
12EB EB =，则点E 的坐标为（ ）
A ．(2,2,1)
B ．(2,2,2)
C ．2(2,2,)3
D ．4(2,2,)3
5
巩固练习
1．已知点A(－3,0，－4)，点A 关于原点的对称点为B ，||AB 等于( )
A ．12
B ．9
C ．25
D ．10
2．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x,y,z 坐标轴，建立空间直角坐标系，则正方形AA 1B 1B 的对角线交点的坐标为( )
A.⎪⎭⎫ ⎝⎛
21,21,0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,21 D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,21,21 3．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛
215,
,3λ平行，则λ＝( ) A.23 B.92 C ．－92 D ．－23
4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值为( )
A ．1 B.15 C.35 D.75
5．如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD
的交点，若AB ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ，则下列向量中与M B 1相
等的向量是( )
A ．1122a b c -++ B.1122
a b c ++ C.1122a b c -+ D ．1122
a b c --+ 6.(2013·武汉模拟)二面角α－l －β为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC⊥l ，BD⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )
A ．2a B.5a C ．a D.3a
7．已知点B 是点A (3,7，－4)在xOz 平面上的射影，则||OB 等于________．
8．已知点P 在z 轴上，且满足|OP |＝1(O 为坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离为________．
QA QB
⋅取最小值时，
a+
，则向量b
OE⊥b？
A A（2）
1
1）略（2）3 85
9。