空间向量讲义非常好用

空间向量讲义(非常好用）
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向量的数量积和坐标运算
b a
,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||⋅⋅b a 叫做a 与b 的数量积
(或内积）,记作b a ⋅，即.cos ||||θ⋅⋅=⋅b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是: 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则
①212121z z y y x x b a ++=⋅
;
②2
22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=;
③212121z z y y x x b a ++=⋅
④2
2
2
22
22
12
12
12
12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=
<
１．2. 异面直线n m ,所成的角
分别在直线n m ,上取定向量,,b a
则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角
（如图1所示),则.|||||
|cos b a b a
⋅⋅=θ １.３． 异面直线n m 、的距离
分别在直线n m 、上取定向量,,b a
求与向量b a 、都垂直的
向量n ,分别在n m 、上各取一个定点B A 、,则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长,即|
|||n n AB d ⋅=
.
１．４． 直线L 与平面α所成的角
在L 上取定AB ，求平面α的法向量n （如图2所示)，再求|
|||||cos n AB n AB ⋅⋅=θ,则θ
π
β-=
2
为所求的角.
C n
图1
D
A
B
n
m
a
b
１.5. 二面角
方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量
21n n 、（都取向上的方向，如图３所示）,则
① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角,即.|
|||cos 2121n n n n ⋅⋅-=θ(例如2004年高考数学
广东卷第18题第（１）问)．
②
若二面角βα--l 是“锐角型”的如图3乙
所示,那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即
.|
|||cos 2121n n n n ⋅⋅=
θ
③
方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、,过B A 、分别在平面βα、内
求出与l 垂直的向量21n n 、(如图4所示),则二面角
βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即
.|
|||cos 2121n n n n ⋅⋅=
θ
1.６. 平面外一点p 到平面α的距离
先求出平面α的法向量n ,在平面内任取一定点A ,则点p 到平面α的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即|
|||n n AP d ⋅=
.
练习
1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线1B C 和
1C D 所成角的余弦值为 .
α
β
1
n 2
n 图
3
l
α
1
n 2
n l
β
图3甲
α
1
n 2
n l β
图4
B
A
图5
A p
n
α
２.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与
1AD 所成角的余弦值为（ ）
Ａ
.15 ﻩ
B.25ﻩ C ．35ﻩﻩＤ.
45
３．,在四面体S-ＡＢＣ中，E 、F 、G 、Ｈ、M 、N 分别是棱SA 、ＢC 、AB 、SC 、AC 、S Ｂ的中
点，且ＥＦ=G Ｈ=ＭN ,求证：AB SC AC SB BC SA ⊥⊥⊥,,.
4．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角. A
B
1
A
1
D
1
C
C
D
5.如图3,直三棱柱111ABC A B C -中,底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ,求点1A 到平面AED 的距离.
6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２,P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =,确定
P Q ，的位置,使11QB PD ⊥.
7.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面
ABCD ,1
12
SA AB BC AD ====
，,求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．
7．如图,在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形, 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点. (1)证明EF ∥平面SAD ；
（２）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小的余弦值.
8.（本小题满分14分）
如图,三棱柱ABC AB A ABC C B A 平面中，平面⊥-1111， ,1ABC AC A 平面平面⊥
90=∠BAC ,3,21===AA AC AB .
(Ⅰ) 求证：ABC AA 平面⊥1;
(Ⅱ) 求异面直线所成角的余弦值与11BC AB ； (Ⅲ） 求点的距离到平面11ABC B A E B
C
F
S
D
9、如图，在四棱锥P-ＡBCD 中,侧面PAD ⊥底面A ＢCD ，侧棱P A =P Ｄ=2,底面ABCD 为直
角梯形，其中ＢＣ∥ＡＤ, ＡB ⊥AD , AD =2ＡB =２ＢＣ=２， O 为A Ｄ中点． (1）求证：PO ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线ＰＢ与CD 所成角的余弦值大小；
(3)线段A Ｄ上是否存在点Ｑ,使得它到平面ＰC Ｄ的距离为32
?若存在,求出AQ QD 的值；若不存在,请说明理由.
10．如图，在长方体ＡB ＣD-Ａ1B １C 1Ｄ1中,AD ＝ AA 1＝１，AB=2。

Ｅ是ＣＣ１的中点, （１）求锐二面角D-B 1E-Ｂ的余弦值
(2）试判断ＡC 与面DB 1E 的位置关系,并说明理由。

(3)设Ｍ是棱AB 上一点，若M 到面DB 1E 的距离为21
7,试确定点M 的位置。

E
A
C
B
D 1
A 1
B 1
C 1
D
B D P
１1 如图,已知四棱锥P －A ＢC Ｄ,底面ABCD 为菱形,P A ⊥平面A ＢC Ｄ，60ABC ∠=︒,Ｅ，
F 分别是B Ｃ， PC 的中点．
(Ⅰ）证明：A Ｅ⊥ＰD ；
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角正切
值为6
2
,求二面角E —AF —C 的余弦值．
１2.长方体A ＢC Ｄ－A 1ＢｌC ｌD 1中,ＡB =2,AD =１，ＡA 1=2,E 、F 分别是
ＡB 、C Ｄ的中点
（1)求证：D ｌE ⊥平面AB ｌＦ;
(2)求直线AB 与平面AB l F 所成的角 (3)求二面角A-B 1F-B 的大小。

13.如图,三棱锥P —ABC 中， ＰC ⊥平面AB Ｃ，P Ｃ＝AC=2，AB=BC,Ｄ是PB 上一点,且CD ⊥平面PA Ｂ．
ﻩ(I ） 求证：AB ⊥平面ＰＣB ；
ﻩ(I Ｉ) 求异面直线ＡP 与BC 所成角的大小; (III)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值.
课外练习
1．如右下图,在长方体ＡBCD -Ａ１B 1Ｃ１D 1中,已知AB = 4, AD ＝3, AA 1= 2．Ｅ、Ｆ分别是线段AB 、BC 上的点,且ＥB = FB =1.
(1)求二面角C -DE －C 1的正切值；
(2)求直线EC 1与FD 1所成的余弦值．
2已知,如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形,⊥PG 平面ABCD ，垂足为G G ,在AD 上,且GD AG 3
1
=
, E GC GB GC BG ,2,==⊥是BC 的中点,四面体BCG P -的体
积为83
（Ⅰ)求异面直线GE 与PC 所成角余弦值; (Ⅱ)若F 点是棱PC 上一点，且GC DF ⊥，求FC
PF
的值．
A
E
D
C B
A
1 F D
1 C
1
B
1。