空间向量讲义(非常好用)学习资料

空间向量讲义(非常好
用)
向量的数量积和坐标运算
b a
,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||⋅⋅b a 叫做a 与b 的数量积（或
内积），记作b a ⋅，即.cos ||||θ⋅⋅=⋅b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是： 若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则
①212121z z y y x x b a ++=⋅
；
②2
22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；
③212121z z y y x x b a ++=⋅
④2
2
2
22
22
12
12
12
12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=
<
1.2. 异面直线n m ,所成的角
分别在直线n m ,上取定向量,,b a
则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角
（如图1所示），则.|||||
|cos b a b a
⋅⋅=θ 1.3. 异面直线n m 、的距离
分别在直线n m 、上取定向量,,b a
求与向量b a 、都垂直的
向量n ，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即|
|n n AB d =
.
1.4. 直线L 与平面α所成的角
在L 上取定AB ，求平面α的法向量n （如图2所示），再求|
|||cos n AB n AB ⋅=
θθπ
β-=2
为所求的角.
图1
1.5． 二面角
方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量
21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ①
若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即|
|||cos 2121n n n n ⋅=θ（例如2004年高考数学
广东卷第18题第（1）问）. ②
若二面角βα--l 是“锐角型”的如图3乙所示，那么其
大小等于两法向量21n n 、的夹角，即|
|||cos 2121n n n n ⋅=θ
③
方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂
直的向量21n n 、（如图4所示），则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 |
|||cos 2121n n n n ⋅=
θ
1.6. 平面外一点p 到平面α的距离
先求出平面α的法向量n ，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面α的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即|
|n n AP d =
.
练习
1．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线
1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ．
n
图3甲
图4
2.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与
1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15
B ．
25 C ．35
D ．
45
3．，在四面体S-ABC 中，E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是棱SA 、BC 、AB 、SC 、AC 、SB 的中点，且EF=GH=MN ,求证：AB SC AC SB BC SA ⊥⊥⊥,,.
4．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． A
B
1A
1D
1C
C
D
5．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱
12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是
ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．
6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =，确定P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．
7．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面ABCD ，
1
12
SA AB BC AD ====
，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．
7.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．
（1）证明EF ∥平面SAD ；
（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小的余弦值．
8．(本小题满分14分)
如图，三棱柱ABC AB A ABC C B A 平面中，平面⊥-1111, ,1ABC AC A 平面平面⊥
90=∠BAC ,3,21===AA AC AB .
(Ⅰ) 求证：ABC AA 平面⊥1；
（Ⅱ） 求异面直线所成角的余弦值与11BC AB ； （Ⅲ） 求点的距离到平面11ABC B A
E
B
C
F
S
D
9、如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD 2，底面ABCD
为直角梯形，其中BC ∥AD , AB ⊥AD , AD =2AB =2BC =2, O 为AD 中点. （1）求证：PO ⊥平面ABCD ；
（2）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值大小； （3）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离
为
3AQ
QD
的值；若不存在，请说明理由.
10．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD= AA 1=1，AB=2。

E 是CC 1的中点， （1）求锐二面角D-B 1E-B 的余弦值
（2）试判断AC 与面DB 1E 的位置关系，并说明理由。

（3）设M 是棱AB 上一点，若M 到面DB 1E 的距离为21
7
，试确定点M 的位置。

E
A
C
B
D 1
A 1
B 1
C 1
D
11 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60
ABC
∠=︒,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD ;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角正切
值为
6
2
，求二面角E—AF—C的余弦值.
12．长方体ABCD-A1B l C l D1中，AB=2，AD=1，AA1=2，E、F分别是AB、CD的中点
(1)求证：D l E⊥平面AB l F；
(2)求直线AB与平面AB l F所成的角
(3)求二面角A-B1F-B的大小。

A
B
C D
P
13．如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ．
(I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； (III)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．
课外练习
1．如右下图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB = 4， AD =3， AA 1= 2．E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB = FB =1．
（1）求二面角C -DE -C 1的正切值；
（2）求直线EC 1与FD 1所成的余弦值．
2已知，如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G G ,在AD 上，且
A E D C
B A 1
F
D 1
C 1 B 1
GD AG 3
1=， E GC GB GC BG ,2,==⊥是BC 的中点，四面体BCG P -的体积为83
（Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成角余弦值； （Ⅱ）若F 点是棱PC 上一点，且GC DF ⊥，求FC
PF
的值.。