一次函数与一元一次方程、不等式教学设计

一次函数与一元一次方程、不等式一、教学内容分析函数、方程和不等式是中学数学的重要内容，其中函数是联系方程、不等式的纽带.本节课主要是在学习了一次函数的基础上从函数的角度重新认识一元一次方程和一元一次不等式，从“数”与“形”两方面进一步深化对方程和不等式的解或解集意义的理解；同时揭示函数、方程、不等式三者之间的内在关系，加强相关知识间的横向、纵向联系，从而优化知识结构，形成更完整的知识框架体系.二、学生分析学生已经学过一元一次方程和一元一次不等式，有了一定的知识储备，不过学习时并没有它们与其他概念结合起来，对它们的认识还有待深化；通过本章前几节课的学习，学生对一次函数有了充分的认识和理解，已经具备了用函数观点重新分析一元一次方程和一元一次不等式的理论知识和探究能力.八年级的学生已经初步具备了观察分析问题、转化解决问题的能力，正在由直观的形象思维向抽象的逻辑思维转变，这些都为本节课的学习奠定一定的能力基础.三、教学目标1.学习目标(1)认识一次函数与元一次方程、一元一次不等式之间的内在联系，会用函数观点解释一元一次方程和不等式及其解或解集的含义.(2)经历用函数图象表示方程和不等式的过程，进一步体会转化思想和“以形表数，以数释形”的数形结合思想,让学生在潜移默化中逐渐形成数学思维方式，提高应用数学知识来解决问题的意识，全面提升和发展学生能力.2.核心素养在探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间联系的过程中，循序渐进地培养学生的几何直观、逻辑推理和数学运算“核心素养”．教学重点：理解一次函数与一元一次方程、不等式的内在联系.教学难点：在一次函数图象上点的坐标与方程的解、不等式的解集之间建立联系.四、教学媒体与资源的选择与应用ppt 课件、腾讯课堂网络软件五、教学实施过程(一)教学基本结构:1.猜一猜:问题情景，引出课题；2.问题连连看:找一找一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的内在联系(规律)；3.说一说:总结规律；4.练一练:巩固知识，内化提炼；5.归纳小结：优化知识结构.（二）教学实施1.创设情境，引发思考小明在数学问题森林中探险时遇到了下面的问题:这时出现了一次函数 y=2x+1，这些问题可难不到他，不过他发现函数 y=2x+1与式子①②中都含有代数式“2x+1”，于是就猜想这三者之间必然存在着某种联系.小明的猜想是否正确呢?如果正确，它们之间存在什么关系呢？设计意图：引导学生在情景中发现问题，引发学生思考，激发学生的学习动机，迅速将学生的注意力转移到课堂，从而提高课堂效率.2.观察比较，合作探究下面我们跟着小明一起在数学问题森林中探究一次函数与方程、不等式之间的联系.师生活动: 在接下来的探险中小明又遇到了下面的两个问题:试完成问题 2，并思考:问题 1 中的三个方程分别与问题 2 中的三个问题之间有什么关系吗？请同学们举手回答或在讨论区回复.设计意图:利用完成问题 2 的过程启发学生利用方程思想解决函数问题，渗透转化思想；由“思考”中的问题引导学生明确研究方向，初步探索一次函数与一元一次方程之间的关系.师生活动:师生之间通过腾讯课堂中的“举手”回答与“讨论区”发言相结合的形式相互交流，引导学生发现解方程(1)就是求问题 2 中的第（1）小问，即解方程2x+1=3 就是求函数y=2x+1 的函数值y=3 时，自变量x 的值; 同理知解方程（2）2x+1=0 就是求函数y=2x+1 的函数值y=时，的值; 解方程（1）2x+1=-1 就是求.设计意图:充分应用腾讯课堂中的小设备增加师生互动，让学生在语言表述中初步感知一次函数与一元一次方程之间的关系，提高学生的语言表达能力；让学生在展现自我的过程中，及时给与鼓励和肯定，除了口头语言外，还可以利用腾讯课堂中的“点赞”“送小红花”等方式提高学习的成就感，培养数学兴趣.追问:你能把得到的结论推广到一般情况吗？请分享一下你的观点.师生互动:采用请学生“举手”阐述观点、其他同学在“讨论区”分享观点的课堂形式，师生合作，归纳得到：解方程ax+b=c 就是求当函数y=ax+b 函数值为c 时，自变量x 的值.设计意图:进一步从函数值的角度理解一元一次方程的解，深化对一元一次方程的认识，初步理解函数与方程之间的内在联系；引导学生认识事物的部分与整体之间的辩证统一的哲学关系.师生活动:作出一次函数 y=2x+1 图象，并描出 y=3，0，－1 时的对应点 A、B、C.追问:问题1 中的三个方程的解与这三个点的坐标之间有什么联系吗？请举手或在讨论区回复.发现: 问题 1 中的三个方程的解分别是一次函数y=2x+1 的函数值 y=0、3、-1 时对应点的横坐标.追问:你能把得到的结论推广到一般情况吗？请举手分享一下你的观点.从函数图象上看，解方程ax+b=c 就是求当函数y=ax +b 值为c 时对应点的横坐标．设计意图:从“形”的角度认识方程解的意义，进一步深化对一元一次方程的认识，加强知识间的联系，明白方程与函数之间常常可以相互转化.同时借助函数图象直观形象的认识一元一次方程的解与一次函数之间的关系，将数与形相结合，培养学生直观想象的核心素养.追问:任何一个以 x 为未知数的一元一次方程都可以变形为 ax+b=0 (a≠0) 的形式，你能用函数的观点从“数”与“形”两个方面解释解一元一次方程吗？请举手分享一下你的观点.从函数值的角度看，解一元一次方程相当于求某个一次函数 y=ax+b 的函数值为 0 时，自变量 x 的值；从函数图象上看，解一元一次方程相当于求某个一次函数 y=ax+b 的函数图象与 x 轴交点的横坐标.设计意图：层层递进，深化学生对一元一次方程的解与一次函数关系的理解，让学生能够充分吸收消化教学内容。

3.乘胜追击，小试牛刀练习1.（1）一元一次方程－2x+4=0的解是；（2）函数y=－2x+4，当x= 时，函数值y=0；（3）直线y=－2x+4与x轴的交点坐标是；练习2. 如图所示，已知直线y=ax－b，则关于x的方程ax－b=1的解是.师生互动:请学生在“讨论区”发言.对不同学生的不同发言,教师实时的给予有针对性的评价，完成较好的同学要及时表扬，比如“点赞”、“送小红花” 等，对答题不规范的学生则要鼓励完善.设计意图：鼓励学生在网络课堂上积极与老师互动，增强课堂趣味性和学生自信心；由浅入深地提升学生对一元一次方程的问题与一次函数问题间的互相转化意识，逐步让学生吸收消化知识.4.迁移应用，巩固练习师生活动:小明又经历了下列探险：通过类比一元一次方程与一次函数之间的关系的研究过程，小明很快就发现了一次函数与一元一次不等式之间的关系，你发现了吗？师生互动:请学生积极“举手”发言，教师实时的规范学生语言表述；没有抢到“举手”席位的同学在“讨论区”发言,教师给予有针对性的评价.结论：(1)从“函数值”看，求不等式 ax+b＞c（或＜c）的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于 c（或小于 c）的对应的自变量的取值范围;(2)从“函数图象”看，求不等式 ax+b＞c（或＜c）的解集就相当于确定直线y=kx+b 在直线 y=c 上方(或下方)时对应 x 轴的哪一部分.设计意图：多让学生说和写，增加师生互动的同时加深学生对知识的理解和认识；通过类比学习，加深学生对发现问题、提出问题、探索发现、归纳总结这一研究方法的认识，在探究和应用中渗透由特殊到一般数学思想方法，潜移默化的培养学生逻辑推理的核心素养.追问：能把你得到的结论推广到一般情形吗？师生互动：在上述结论的基础上进一步归纳得到:因为任何一个的一元一次方程都可以变形为 ax+b＞0 (或 ax+b＜0，a≠0)的形式，所以一元一次不等式的解集,从“函数值”看，可以转化为求某个一次函数 y=ax+b 的值大于(或小于)0 时自变量 x 的取值范围;从“函数图象”看，就是确定直线 y=ax+b 在 x 轴(直线y=0)上方(或下方)时对应 x 轴的哪一部分.设计意图：通过类比探索，初步掌握用函数的观点从“数”与“形”两个方面解释一元一次不等式及其解集的意义，理解一次函数与一元一次不等式的关系，进一步深化学生对一元一次不等式的理解；同时在探究过程中体会由特殊到一般、数形结合的数学思想方法，提高学生的几何直观.5.综合应用，深化理解例 1 如图，直线 y＝ax＋b 过点 A(0，2)和点 B(－3，0).（1）方程ax＋b＝0 的解是 ...........................................（2）不等式 ax＋b＜0 的解集是；不等式ax＋b≥0 的解集是 ......................................（3）不等式ax＋b＜2 的解集是 ...................................（4）当0≤y≤2时，x 的取值范围是 ...........................师生互动:请学生积极“举手”表述思考过程，没有抢到“举手”席位的同学则在“讨论区”发言,教师给予有针对性的评价.设计意图：综合考察学生对一次函数与一元一次方程、不等式之间关系的理解，渗透转化和数形结合的数学思想方法.例2 如果一次函数y＝kx+b 的图象经过点(1,2)，且不经过第三象限，则关于x 的不等式kx+b＞2 的解集是 .....................设计意图：在构图解决问题的过程中，考察学生对前后知识的融合程度，提高学生对知识的综合应用能力，进一步渗透数学结合思想，培养学生的几何直观追问：现在你能判断小明的的猜想是否正确了吗？师生活动：请学生“举手”分享观点，师生合作归纳得到方程、不等式与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来.解决问题时，方程与函数、不等式与函数之间可以互相转化，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑.设计意图：让学生在思考交流中用函数的观点将方程和不等式的知识相关重新整合，提升学生对函数、方程和不等式三者间相互关系的认识，优化知识结构.6.回顾清点，知识梳理回顾课堂历程，结合下列问题，请“举手”说一说，其他同学请在“讨论区”分享你的观点:(1)请用函数的观点，从数和形两个角度说说你对一元一次方程、一元一次不等式有什么新的理解和认识;(2)本节课中用到了哪些数学思想方法？如果正确，它们之间又存在什么关系呢？设计意图：让学生在回顾交流的过程中，从知识、方法等角度总结自己的收获，并通过彼此间的交流达到互相分享、相互启发的目的，从而进一步提升学生对函数、方程和不等式三者间相互关系的认识.7.布置作业教材 99 页：习题 19.2 第 8，10，11，13 题.板书设计：19.2 一次函数与一元一次方程、不等式例题1.2.小结作业教学评价与反思1.本节课合理、有序地引导学生投入到一次函数与方程、不等式关系的探索活动中，用函数地观点从数和形两个角度将方程和不等式等知识重新整合. 教学中由浅入深，用一系列的问题循序渐进地引导学生自主探索、合作交流，让学生充分吸收消化教学内容.在探究过程中，重视德育教育，不断渗透数形结合、特殊到一般、转化与化归等数学思想方法，潜移默化地影响学生的数学思维方式，全面提升和发展学生的数学素养；在探究中，教师是学生探索新知路上的组织者、引导者和合作者，让学生在课堂上充分展现自己的思维亮点，让学生成为学习的主体、成为课堂学习地小主人！2.教学实施不足之处是：虽然师生配合总体默契，但由于处于疫情期间，学生在腾讯课堂中回答问题时操作麻烦，部分学生能完全积极融入到的知识的探讨与学习中.后期网络教学中，应当寻求更好的、便于操作的互动方式。