常用傅里叶_拉普拉斯_Z变换表

时域信号弧频率表示的

傅里叶变换

注释

1 线性

2 时域平移

3 频域平移, 变换2的频域对应

4 如果值较大，则会收缩

到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。

5 傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量和频域变量

得到.

6 傅里叶变换的微分性质

7 变换6的频域对应

8

表示和的卷积—这

就是卷积定理

9 矩形脉冲和归一化的sinc函数

10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。

11 tri是三角形函数

12 变换12的频域对应

13 高斯函数 exp( −αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。

14

15

16 a>0

18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换

19 变换23的频域对应

20 由变换3和24得到.

21 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e−iat) / 2.

22 由变换1和25得到

23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。

24 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.

25 变换29的推广.

26 变换29的频域对应.

17 变换本身就是一个公式

27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到.

28 u(t)是单位阶跃函数，且a > 0.

34 狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

附录A 拉普拉斯变换及反变换

1.拉氏变换的基本性质

附表A-1 拉氏变换的基本性质

1()1()([n n k F s f t dt s s

-+=+∑⎰

个

[f L 2．常用函数的拉氏变换和z 变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即

1110

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=

=---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分

式。分以下两种情况讨论。

（1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即

∑

=-=-++-++-+-=n

i i

i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122

11)( （F-1）

式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：

lim()()i

i i s s c s s F s →=- （F-2）

或

i

s

s i s A s B c ='=

)()

( （F-3）

式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为

[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11

1

)()(＝1

i

n s t

i i c e =∑ (F -4)

（2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

())

()()()

(11n r r s s s s s s s B s F ---=

+

=

n

n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11

111

111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，

1-r c ，…，1c 则按下式计算：

)()(lim 11

s F s s c r s s r -=→

11lim

[()()]i

r r s s d

c s s F s ds

-→=-

)()(lim !11)()

(1s F s s ds

d j c r j j s s j

r -=→- (F-5)

)()(lim )!1(11)1()

1(11s F s s ds

d r c r r r s s --=--→

原函数)(t f 为 [])()(1

s F L

t f -=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11

111

1111)()()

( t s n

r i i t s r r r r i

e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211

1

)!2()!1( （F-6）