弹簧振动规律

阻尼振动周期

由于质点的运动不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动。不过cos(ωt+φ)是周期变化的，他使得质点每连续两次通过平衡位置并沿着相同方向运动所需的时间是一样的，于是把cos(ωt+φ)的周期叫做阻尼振动的周期用表示。与数学上通常理解的周期不同。

原创）弹簧振子会永远振动吗？（图）

科学的皇后 2008-07-08 23:21:39 阅读161 评论10 字号：大中小订阅

上次周法哲说到一个弹簧振子，假定滑块是一个质点，质量为m，质点运动的动能和弹簧的弹性势能不断互相转化，滑块会在初始位置O点的左右永远振动下去，且振幅保持为A不变。如下图所示：

描述这个弹簧振子系统的振动方程为

（1）可以看出它是一个二阶齐次线性常微分方程，其解可为：

（2）

其时域波形如下图，是个正弦波：

但是，实际上由于振子系统不是完全孤立的，除受系统内部弹簧的弹性力外，还受系统外界的干扰作用。比如滑块体积不为0，运动中必然受空气的阻力；平面不光滑，滑块受到摩擦力。这些摩擦力会消耗一部分机械能转化成热量散发到系统以外。这些“反动”作用叫做摩擦阻尼。一般的机械振动中，振动的质点带动邻近的质点振动，振子的部分机械能必然传递给邻近的质点，即振子的能量要辐射出去一部分，振子系统的这种能量耗散叫做辐射阻尼。

无论摩擦阻尼还是辐射阻尼的作用，事实上都会使振子系统的机械能有所耗散。所以实际中的振子系统不可能永远振动下去。这种受外界阻尼作用的振动，物理学上叫做阻尼振动。

阻尼振动系统描述仍然可用微分方程，只不过需要考虑阻尼因素的作用。在振动速率v << 光速c时，阻尼作用相当于振子受到了一个正比于振动速率v的阻力f ：

（3）根据牛顿第二定律可得振子系统的振动方程为：

（4）其中

称为阻尼系数。而

可以看作系统固有的谐振圆频率。

可以看出式（4）是一个二阶齐次线性常微分方程，它所描述的系统会做什么样的运动？关键要看阻尼作用的大小。下面听周法哲为你一一分析：

1、当没有阻尼作用时，即阻尼系数β＝0 时，方程（4）回到简谐振动方程（1），其解可为式（2）所表述的正弦波函数，系统永远作等幅振动。

2、当阻尼作用较小时，即阻尼系数满足条件

时，方程（4）的解可为：

（5）

其中A0和φ为由初始条件决定的积分常数，振动的“圆频率”为

式（5）表述的振子位移曲线x（t）如下图：

可以看出其振动“周期”没有变，但振幅却按照指数规律衰减，从初始的最大振幅为A0 逐渐衰减为0，振子最终稳定下来，静止在平衡位置。这就是我们通常所说的阻尼振动或阻尼振荡。

3、当阻尼作用刚好达到某种平衡时，即阻尼系数满足条件

时，方程（4）的解可为：

（6）

其中c1和c2为积分常数。式（6）表述的振子位移曲线x（t）如下图：

可以看出阻尼作用抵消了振子振动的机械能，恰恰形不成周期振动，质点运动的速率较小，在系统能量消耗完毕时，恰好回到平衡位置，静止下来。这就是我们通常所说的临界阻尼情况。

4、当阻尼作用较大，超过临界值时，即阻尼系数满足条件

时，方程（4）的解可为：

（7）其中c1和c2为积分常数，并且：

式（7）表述的振子位移曲线 x（t）如下图：

可以看出阻尼作用大大抵消了振子振动的机械能，根本形不成周期振动，质点运动的速率很小，需要经过相当长的时间过程，才能回到平衡位置静止下来。这就是我们通常所说的“过阻尼振动”情况，实际上毫无“振动”可言。

世界上大部分物体振动，实际上都属于上述各种情况的阻尼振动，宏观上系统振动能量不衰减的等幅振动或等幅振荡，一定是在特殊条件下的理想状态。

实验13 气垫导轨上弹簧振子振动的研究

力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。

一、必做部分：简谐振动

[实验目的]

1．测量弹簧振子的振动周期T 。

2．求弹簧的倔强系数和有效质量 。

[仪器仪器]

气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。

[实验原理]

在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。

设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个

弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1

只受弹性力与的作

用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第

二定律，其运动方程为

（1）

令

方程（1）的解为 （2）

说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；

—初相位。

（3）

叫做振动系统的固有频率。而 （4）

式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。

由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与有下列关系：

（5） 在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出和。

[实验内容]

1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。

2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T ，重复测量6次，与T 相应的振动系统的有效质量是，其中m 1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m 0为弹簧的有效质量。

3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T

，这时系统的有效质量