定积分及微积分基本定理练习题(附答案)
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx
C ．S ＝??01(y2－y)dy
D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0
1(x －x2)dx.
2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A ．a B ．a C ．c D ．c [解读] a ＝??02xdx ＝1 2x2|02＝2，b ＝??02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c 3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A. 112B.14C.13D.7 12 [答案] A [解读] 由? ?? ?? y ＝x2 y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝??0 1(x2－x3)dx ＝ ? ??? ????13x3－14x401＝112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题： (2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是 ( ) A.? ????43，169 B.? ????45，169 C.? ????43，157 D.? ?? ??45，137 [答案] A [解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝??0t(tx －x2)dx ＝t3 6；S2＝ ??t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ? ????43，169. 4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.18 5D ．6 [答案] A [解读] S ＝??0 2x3dx ＝ ? ?? x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)? ?1－1(sinx ＋1)dx 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2＋2cos1 D ．2－2cos1 [答案] B [解读] ??1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝ 2. 6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B．3π C. 3π 2 D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π. [点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为 ? ?? ??π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝??0 xt(t －4)dt 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－32 3 C ．有最小值－32 3，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 [答案] B [解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－25 3. ∴最大值为0，最小值为－ 32 3 . [点评] 一般地，F(x)＝??0 x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)． 8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝??1x 1 t dt ，若f(x) 的取值围是( ) A.? ?? ?? 36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D [解读] f(x)＝??1x 1 t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得， 0 9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A. 1πB.2πC.3πD.π 4 [答案] A [解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝??0π sinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝ S S 矩形OABC ＝22π＝1 π . 10．(2010·质检)函数f(x)＝???? ? x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π 2的图象与x 轴所围成的图形面积 S 为( ) A.32B ．1 C ．4 D.1 2 [答案] C [解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝??0－2(x ＋2)dx ＋∫π 202cosxdx ＝2＋2＝4. 11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x 3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x) 与g(x)的图象交点的个数记为n ，则??m ng(x)dx 的值是( ) A ．－52 B ．－43 C ．－54 D ．－76 [答案] A [解读] 由题意可得，当0 数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则??m ng(x)dx ＝??14? ?? ??－x 3dx ＝ ? ??－x2614＝－5 2. 11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( ) A.13 B.23 C.12 D.3 4 [答案] A [解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝ ??01b2db 1×1 ＝1 3 . 12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲 线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( ) A.12 B.14 C.13 D.25 [答案] C [解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝??01x2dx ＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13 . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．23 B ．2－ 3 C.323D.35 3 [答案] C [解读] 图中阴影部分面积为 S ＝??-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝32 3. 3.??024－x2dx ＝( ) A ．4π B．2π C ．π D.π 2 [答案] C [解读] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中 阴影部分的面积， ∴S ＝1 4 ×π×22＝π. 4. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t0时刻，两车的位置相同 D ．t0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A. 5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π 4，0≤y ≤1}随机投掷一点， 该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( ) A.π4 B.1 2 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是 π 2 ，在这个区 6． (sinx －cosx)dx 的值是( ) A ．0 B.π 4 C ．2 D ．－2 [答案] D [解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2. 7．(2010·模拟)??02(2－|1－x|)dx ＝________. [答案] 3 [解读] ∵y ＝??? ?? 1＋x 0≤x ≤1 3－x 1 ， ∴??02(2－|1－x|)dx ＝??01(1＋x)dx ＋??12(3－x)dx ＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32 ＝3. 8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若? ?1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝ ________. [答案] －1或13 [解读] ∵??1－1f(x)dx ＝??1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，??1－ 1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4， ∴a ＝－1或1 3 . 9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1 x )6的展开式中含x2项的系数 是________． [答案] －192 [解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π 2) －(sin0－cos0)＝2， (2x － 1x )6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×C r 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得， r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192. 10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于4 3 ，求线段AB 的中点P 的轨迹方程． [解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a b －a (x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab. 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝??a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b 2x2－abx － x33)|b a ＝1 6 (b －a)3， ∴16(b －a)3＝4 3 ， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中? ???? x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b2 2.将b －a ＝2代入得??? ?? x ＝a ＋1， y ＝a2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x2＋1. ∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1. 能力拓展提升 11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝??034xdx ，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－1 2 C ．1或－12 D ．－1或－1 2 [答案] C [解读] 因为S3＝??034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6 q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－1 2 ，故选C. 12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则??1elnxdx ＝( ) A ．1 B ．e C ．e －1 D ．e ＋1 [答案] A [解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是??1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1. 13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18 [解读] 由方程组??? ?? y2＝2x ， y ＝4－x ， 解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y2 2 、x ＝4－y ， ∴S ＝??-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y3 6)|2－4＝18. 14. 已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________． [答案] (e －1)2 [解读] 由题意得S1＋S2＝??0t(et －1－ex ＋1)dx ＋??t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝??0t(et － ex)dx ＋??t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t － 3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝1 2 ， ∴当t ∈[0，12)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(1 2，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数， 因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 1 2＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e － 1)2. 15．求下列定积分． (1)??1－1|x|dx 。 (2)??0πcos2x 2dx ； (3)∫e ＋121 x －1 dx. [解读] (1)??1－1|x|dx ＝2??01xdx ＝2×1 2x2|10＝1. (2)??0πcos2x 2dx ＝??0π1＋cosx 2dx ＝12x|π0＋12sinx|π0＝π 2. (3)∫e ＋121 x －1 dx ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为1 12 ，求a 的值． [解读] f ′(x)＝－3x2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x ＝0或x ＝a(a<0)． ∴S 阴影＝??a 0[0－(－x3＋ax2)]dx ＝(14x4－13ax3)|0a ＝112a4＝112， ∵a<0，∴a ＝－1. 1．(2011·质检)已知函数f(x)＝sin5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几 何意义，探求 f(x)dx 的值，结果是( ) A.16＋π 2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B [解读] f(x)dx ＝sin5xdx ＋1dx ，由于函数y ＝ sin5x 是奇函数，所以sin5xdx ＝0，而 1dx ＝x|π2－π 2 ＝π，故选B. 2．若函数f(x)＝???? ? －x －1 －1≤x<0，cosx 0≤x<π 2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的 面积为a ，则a 的值为( ) A. 2＋π4 B.1 2 C ．1 D.32 [答案] D [解读] 由图可知a ＝12＋???0 π 2cosxdx ＝12＋sinx|π20＝32. 3．对任意非零实数a 、b ，若a ?b 的运算原理如图所示，则2???0 πsinxdx ＝________. [答案] 22 [解读] ∵??0πsinxdx ＝－cosx|π0＝2>2， ∴2???0 πsinxdx ＝2?2＝2－12＝2 2. 4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若??01f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________． [答案] 33 [解读] ??01f(x)dx ＝??01(ax2＋c)dx ＝(ax33＋cx)|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax20＋c ，即ax20＝ a 3，又a≠0，所以x20＝13，又0≤x0≤1，所以x0＝33.故填3 3 . 5．设n ＝??12(3x2－2)dx ，则(x －2 x )n 展开式中含x2项的系数是________． [答案] 40 [解读] ∵(x3－2x)′＝3x2－2， ∴n ＝??12(3x2－2)dx ＝(x3－2x)|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x － 2 x )5的通项公式为Tr ＋1＝Cr 5x5－r(－2 x )r ＝(－2)rCr5x 5－ 3r 2 ，令5－ 3r 2 ＝2，得r＝2， ∴x2项的系数是(－2)2C25＝40.