高三数学文科

高三自评试题

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合{|02},{|11}A y y B x x =≤<=-<<，则R ()A

B =

A ．{|01}x x ≤≤

B ．{|12}x x ≤<

C ．{|10}x x -<≤

D ．{|01}x x ≤< 2. 已知复数(1i)(12i)z =-+，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 A ．3- B ．1 C ．1- D ．3

3. 数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，11a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．1

4. 函数()si ()n f x A x ω?＝＋（000A ω?π>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为

A ．1

B ．0 C

5. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线:10l x ky -+=与圆2

:4C x y +=相交于

, A B 两点，OM OA OB =+．若点M 在圆C 上，则实数k =

A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．1

6. 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 A ．0 B ．1- C ．2- D ．3-

7. 某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生

A ．1030人

B ．97人

C ．950人

D ．970人

8. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且

0, 0a b >>，则2w a b =-的取值范围是

A ．21[,]32-

B ．2(,0)3-

C ．1(0,)2

D ．21(,)32

9. 已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==，2AD =

，BD =

AC =，

BC AD ⊥，则关于该三棱锥的下列叙述正确的为

表面积13)2S =

表面积为1

2)2

S = C.体积为1V = D. 体积为2

V =

10. 已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，

2()f x x =，则关于x 的方程1

()||2

f x x =

在[1,2]-上根的个数是 A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线2

4x y =的焦点坐标为； 12. 已知y 与x 之间具有很强的线性相关关系，现观测得到),(y x 的四组观测值并制作了右边的

对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为60y bx =+，其中b 的值没有写上．当x 等于5-时，预测y 的值为；

13. 已知||2, ||4a b ==，a 和b 的夹角为3

，以, a b 为邻边作平行四边形，则该四边形的面积为；

14. 如图，()y f x =是可导函数，直线l 是曲线)(x f y =在

4=x 处的切线，

令()

()f x g x x =，则(4)g '= ； 15. 对于下列命题：①函数()12f x ax a =+-在区间(0,1)内有

零点的充分不必要条件是

a <<；②已知,,,E F G H 是空间四点，命题甲：,,,E F G H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；

③“2a <”是“对任意的实数x ，|1||1|x x a ++-≥恒成立”的充要条件； ④“01m <<”是“方程2

(1)1mx m y +-=表示双曲线”的充分必要条件．

其中所有真命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）

已知函数2

()cos

f x x x x π

=+R ∈x ．

（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）若函数)(x f 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求OPQ ?的外接圆的面积.

17．（本小题满分12分）已知函数4()f x ax x

. （Ⅰ）从区间(2,2)-内任取一个实数a ，设事件A ={函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点}，求事件A 发生的概率；

（Ⅱ）若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）得到的点数分别为a 和b ，记事件B ={2

()f x b >在(0,)x ∈+∞恒成立}，求事件B 发生的概率.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 为正方形，

⊥AE 平面CDE ，已知2AE DE ==，F 为线段DE 的中点．

（Ⅰ）求证：//BE 平面ACF ；（Ⅱ）求四棱锥ABCD E -的体积.

19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：121

1,,2

a a ==

且2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=*N n ∈．

（Ⅰ）令21n n b a -=，判断{}n b 是否为等差数列，并求出n b ；（Ⅱ）记{}n a 的前2n 项的和为2n T ，求2n T ．

20．（本小题满分13分）

已知函数()x

f x e ax =+，()ln

g x ax x =-，其中0a <，e 为自然对数的底数．

（Ⅰ）若()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 在[0,2]x ∈上的最小值；

（Ⅲ）试探究能否存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M 的特点，并指出)(x f 和()g x 在区间M 上的单调性；若不能存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，记圆心P

的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点. （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）试探究||MN 和2

||OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请

说明理由；

（Ⅲ）记QMN ?的面积为S ，求S 的最大值.

E F