自主招生数学试卷含答案

【点评】 解答 A 时运用了全等三角形的性质， B、 C、 D 都运用了函数图象和坐标的关系， 转化为三角形的面积公式来解答．
2．（ 4 分）如图， ∠ACB=60°，半径为 2 的⊙ O 切 BC 于点 C，若将⊙ O 在 CB 上向右滚动，
则当滚动到⊙ O 与 CA 也相切时，圆心 O 移动的水平距离为（
1）． （1）求边 AB 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△ MBN 的周长为 p，在旋转正方形 OABC 的过程中， p 值是否有变化？请证明你的 结论；
（3）设 MN=m ，当 m 为何值时△ OMN 的面积最小， 最小值是多少？并直接写出此时△ 内切圆的半径．
BMN
2017 年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷 参考答案与试题解析
（2） A 为△ BEF 的外心（即△ BEF 外接圆的圆心）．
15．（ 14 分）在平面直角坐标中，边长为 1 的正方形 OABC 的两顶点 A 、C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上， 点 O 在原点． 现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转， 当 A 点第一次落在直
线 y=x 上时停止旋转．旋转过程中， AB 边交直线 y=x 于点 M ， BC 边交 x 轴于点 N（如图
）
A ． 2π B． 4π C． 2 D． 4 【分析】 连接 O′C， O′B， O′D， OO ′，则 O′D⊥ BC ．
因为 O′D=O ′B ， O′C 平分∠ ACB ，可得∠ O′CB= ∠ ACB= × 60°=30°，由勾股定理得
BC=2 ． 【解答】 解：当滚动到⊙ O′与 CA 也相切时，切点为 D ， 连接 O′C， O′B， O′D， OO ′， ∵O′D⊥AC ， ∴O′D=O ′B ． ∵O′C 平分∠ ACB ，
则当滚动到⊙ O 与 CA 也相切时，圆心 O 移动的水平距离为（
）
A ． 2π B． 4π C． 2 D． 4 3．（ 4 分）如果多项式 x 2+px+12 可以分解成两个一次因式的积，那么整数 个（ ）
p 的值可取多少
A ． 4 B． 5 C． 6 D． 8 4．（ 4 分）小明、小林和小颖共解出 100 道数学题，每人都解出了其中的 60 道，如果将其 中只有 1 人解出的题叫做难题， 2 人解出的题叫做中档题， 3 人都解出的题叫做容易题，那
x， y）称为整点，如果
将二次函数
的图象与 x 轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部
及其边界上的整点个数有
个．
10．（ 5 分）如图所示：在平面直角坐标系中，△
∠OCB=6°0 ，∠ COB=4°5 ，则 OC=
．
OCB 的外接圆与 y 轴交于 A （ 0， ），
11．（ 5 分）如图所示：两个同心圆，半径分别是
2017 年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷
一、选择题（共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分）
1．（ 4 分）下列图中阴影部分面积与算式 | ﹣ |+ （ ） 2+2﹣1 的结果相同的是（
）
A．
B．
D．
2．（ 4 分）如图， ∠ACB=60°，半径为 2 的⊙ O 切 BC 于点 C，若将⊙ O 在 CB 上向右滚动，
．
7．（ 5 分）已知三个非负实数 a，b， c 满足： 3a+2b+c=5 和 2a+b﹣ 3c=1，若 m=3a+b﹣7c，
则 m 的最小值为
．
8．（ 5 分）如图所示，设 M 是△ ABC 的重心，过 M 的直线分别交边 AB ， AC 于 P，Q 两
点，且 =m ， =n，则 + =
．
9．（ 5 分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（
班 8 枪全中，（ 2）班 1 枪脱靶，（ 3）班 2 枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是
255
分．
请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：
班级
内环 中环 外环
（1 ）班
（2 ）班
（3 ）班 13．（ 12 分）设二次函数 y=ax2+bx+c 的开口向下，顶点落在第二象限． （1）确定 a， b， b2﹣ 4ac 的符号，简述理由．
A 、作 TE⊥X 轴， TG⊥ Y 轴，易得，△ GTF≌△ ETD ，故阴影部分面积为 1× 1=1 ；
B、当 x=1 时， y=3，阴影部分面积 1× 3× = ；
C、当 y=0 时， x=± 1，当 x=0 时， y=﹣ 1．阴影部分面积为 [ 1﹣（﹣ 1） ] ×1× =1；
D、阴影部分面积为 xy= × 2=1． 故选 B ．
一、选择题（共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分）
1．（ 4 分）下列图中阴影部分面积与算式 | ﹣ |+ （ ） 2+2﹣1 的结果相同的是（
）
A．
B．
D．
【分析】 先把算式的值求出， 然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积， 否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．
看是
【解答】 解：原式 = + + = = ．
和
，矩形 ABCD 边 AB ， CD 分
别为两圆的弦，当矩形 ABCD 面积取最大值时，矩形 ABCD 的周长是
．
三、简答题（共 4 小题，满分 50 分）
12．（ 12 分）九年级（ 1）、（ 2）、（3）班各派 4 名代表参加射击比赛，每队每人打两枪， 射中内环得 50 分，射中中环得 35 分，射中外环得 25 分，脱靶得 0 分．统计比赛结果， （ 1）
么难题比容易题多多少道（
）
A ． 15 B． 20 C． 25 D． 30 5．（ 4 分）已知 BD 是△ ABC 的中线， AC=6 ，且∠Hale Waihona Puke BaiduADB=45°，∠ C=30°，则 AB= （ ）
A．
B． 2 C． 3 D． 6
二、填空题（共 6 题，每小题 5 分，满分 30 分）
6．（ 5 分）满足方程 | x+2|+| x﹣ 3| =5 的 x 的取值范围是
（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线
x+y=0 上，顶点与原点的距离为 3 ，求
抛物线的解析式．
14．（ 12 分）如图，四边形 ABCD 为圆内接四边形，对角线 AC 、BD 交于点 E，延长 DA 、 CB 交于点 F，且∠ CAD=60°， DC=DE ． 求证：
（1） AB=AF ；