2007年高考.全国Ⅰ卷.理科数学试题及解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试

（必修+选修Ⅱ）理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+

如果事件A 、B 相互独立，那么)(·)()·(B P A P B A P =

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 )2,1,0()1()(1n k p p C k P k n k n ，?=-=-

球的表面积公式 24R S π=

其中R 表示球的半径

球的体积公式 33

4R V π= 其中R 表示球的半径

一、选择题

（1）a 是第四象限角，=?-=?sin ,12

5tan 则 （A ）51 （B ）51- （C ）135 （D ）13

5- （2）设a 是实数，且2

11i i a +++是实数，则a ＝ （A ）21 （B ）1 （C ）2

3 （D ）2 （3）已知向量a ＝（-5，6），b ＝（6，5），则a 与b

（A ）垂直 （B ）不垂直也不平行

（C ）平行且同向 （D ）平行且反向

（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为

（A ）112422=-y x （B ）14

122

2=-y x （C ）16

1022=-y x （D ）110

62

2=-y x （5）设R ,∈b a ，集合{}=-?

?????=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 （1）1 （B ）-1 （C ） （D ）-2 （6）下面给出的四个点中，到直线x-y+1=0的距离为22，且位于?

??+--+01,01 y x y x 表示的平面区域内的点是 （A ）（1，1） （B ）（-1，1） （C ）（-1，-1） （D ）（1，-1）

（7）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线1

1AD B A 与所成角的叙弦值为

（A ）51 （B ）52 （C ）53 （D ）54 （8）设1 a ，函数x x f log,)(=在区间[]a a 2,上的最大值与最小值之差为

21，则=a

（A ）2 （B ）2 （C ）22 （D ）4

（9）)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为

偶函数”的

（A ）充要条件 （B ）充分而不必要的条件

（C ）必要而不充分的条件 （D ）既不充分也不必要的条件

（10）2

2)1(x x -的展开式中，常数项为15，则n ＝

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （11）抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分

相交于点A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是

(A)4

(B)33 (C)43 (D)8 (12)函数2cos

2cos )(22x x x f -=的一个单调增区间是

（A ）（3π,3π） （B ）（2,6ππ） （C ）（3π,0） （D ）（-6

π,6π） 2007年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理科)

第Ⅱ卷(非选择题 共95分)

注意事项:

1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3.本卷共10题，共90分。

二、填空题:本大共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在横线上.

（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种.(用数字作答)

(14)函数)(x f y =的图像与函数x x y (3log =＞0)的图像关于直线x y =对称,则

)(x yf = .

(15)等比数列{a n }的前n 项和S n ,已知1213,2,S S S 成等差数列,则{a n }的公比为 .

(16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a =2b sin A

(Ⅰ)求B 的大小;

(Ⅱ)求C A sin cos 的取值范围.

(18) （本小题满分12分）

某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期为ζ的分布列为 ζ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，基利润为200元；分2期或3期付款，基利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.

(Ⅰ)求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1件位采用1期付款的概率P (A )；

(Ⅱ)求η的分布列及期E η.

(19)(本小题满分12分)

四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD .已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC =22，SA ＝SB ＝3.

(Ⅰ)证明：SA ⊥BC ；

(Ⅱ)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.

(20)(本小题满分12分)设函数f （x ）＝e x －e － x .

(Ⅰ)证明：f （x ）的导数f ＇（x ）≥2；

(Ⅱ)若对所有x ＝0都有f （x ）≥ax ，求a 的取值范围.

(21本小题满分12分)已知椭圆12

32

2＝＋y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆于B 、D 两点，过F 2的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC ⊥BD ，垂足为P .

(Ⅰ)设P 点的坐标为（x 0，y 0），证明：12

32020

(22)(本小题满分12分)已知数列｛a n ｝中a 1＝2，a n ＋1＝（12－）（a n ＋2），n ＝1，2，3….

(Ⅰ)求｛a n ｝的通项公式；

(Ⅱ)若数列｛b n ｝中b 1＝2，b n ＋1=

3

243＋＋n n b b ,n ＝1，2，3，…，证明： ，

，，＝，32 121n a b n n -≤<….

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理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题：

（1）D （2）B

（3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D

（9）B （10）D （11）C （12）A 二、填空题：

（13）36 （14）3()x x ∈R （15）13 （16）三、解答题：

（17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2

B =， 由AB

C △为锐角三角形得π6

B =

． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π??+=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???

1cos cos 2A A A =++

3A π??=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，2A 0π

<<，πππ<+<6

A 2． 解得2A 3ππ<< 所以6

53A 32πππ<+<，

所以1sin 232

A π??+< ???．

由此有232A π??<+< ??

? 所以，cos sin A C +的取值范围为32?????，．

（18）解：

（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

2()(10.4)0.216P A =-=，

()1()10.2160.784P A P A =-=-=．

（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．

(200)(1)0.4P P ηξ====，

(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，

(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．