第六章--灰色组合模型
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《灰色模型讲义》PPT课件
X 1 ( D x ( 1 ) d 1 ,x ( 2 ) d 1 , ,x ( n ) d 1 ) 其中
x i( k ) d 1 x i( k )/x i( 1 )k ; 1 ,2 , ,n
则称 D 1 为初值化算子，X i 为原像，X i D1 为 X i 在初值化算子 D 1 下的像，简称初值像。
灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”
ppt课件
3
的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部 分”
信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延
明确，内涵不明确”的对象。
项目
灰色系统
概率统计
模糊数学
研究对象
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
基础集合
灰色朦胧集 康托集
模糊集
方法依据 信息覆盖
其中
k
x(0)(k)d x(0)(i)k ;1,2, ,n
i1
则称D为 X (0) 的一次累加生成算子，记为1-AGO
（Accumulating Generation Operator),称r阶算子D r 为 X (0) 的r次
累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记
X ( 0 ) D X ( 1 ) ( x ( 1 ) ( 1 ) d ,x ( 1 ) ( 2 ) d , ,x ( 1 ) ( n ) d ))
次累减生成算子。
定理 3.5.1 累减算子是累加算子ppt课的件逆算子。
12
ppt课件
13
一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果 决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是 主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计 中的回归分析、方差分析、主成分分析等都可以用来进行系统分析。 这些方法的不足之处是：
x i( k ) d 1 x i( k )/x i( 1 )k ; 1 ,2 , ,n
则称 D 1 为初值化算子，X i 为原像，X i D1 为 X i 在初值化算子 D 1 下的像，简称初值像。
灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”
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3
的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部 分”
信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延
明确，内涵不明确”的对象。
项目
灰色系统
概率统计
模糊数学
研究对象
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
基础集合
灰色朦胧集 康托集
模糊集
方法依据 信息覆盖
其中
k
x(0)(k)d x(0)(i)k ;1,2, ,n
i1
则称D为 X (0) 的一次累加生成算子，记为1-AGO
（Accumulating Generation Operator),称r阶算子D r 为 X (0) 的r次
累加生成算子，记为r-AGO,习惯上，我们记
X ( 0 ) D X ( 1 ) ( x ( 1 ) ( 1 ) d ,x ( 1 ) ( 2 ) d , ,x ( 1 ) ( n ) d ))
次累减生成算子。
定理 3.5.1 累减算子是累加算子ppt课的件逆算子。
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ppt课件
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一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果 决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是 主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计 中的回归分析、方差分析、主成分分析等都可以用来进行系统分析。 这些方法的不足之处是：
专题7--灰色组合模型
7
灰色系统理论课件
1.2 模型建立与应用
建立与应用灰色经济计量学模型的步骤如下： 第一步：理论模型设计。 (1) 研究有关经济理论 (2) 确定模型所包含的变量及函数形式 (3) 统计数据的收集与整理 第二步：建立GM(1,1)并获得模拟值。 第三步：参数估计。 第四步：模型检验。 第五步：模型应用。
将GM模型融入一般模型建模的全过程，实现功能互补，能够使预测精 度大大提高。 主要表现在以下两个方面： （1）用灰色系统理论的思想、方法对原始观测数据进行必要处理，将会 大大改善统计模型的性能。 （2）将GM(1,1)模型与其它模型有机组合，有可能深化对系统演化规律 的认识。
3
灰色系统理论课件
本章结构
灰色系统理论课件
第二节 灰色生产函数模型
22
灰色系统理论课件
第二节 灰色生产函数模型
23
灰色系统理论课件
第三节 灰色—周期外延组合模型
灰色—周期外延组合模型建模步骤： 设系统行为序列为： ，其中 第一步，建立该序列的GM(1,1)模型为： 第二步，求残差数列
第三步，建立残差数列
的周期外延模型。具体步骤如下：
35
灰色系统理论课件
4.1 BP模型与算法
（4）计算各层节点的误差信号 输出层： 隐含层： （5）反向传播 权值修正： 阈值修正： 式中 为学习因子， （6） 计算误差 为加速收敛的动量因子。
36
灰色系统理论课件
4.2灰色BP建模原理方法
定义7.４.1 时刻L的原始数据 差，称为时刻L的残差，记为 与GM(1,1)模型模拟值 ，即 之
30
灰色系统理论课件
第三节 灰色—周期外延组合模型
最后，叠加生成灰色—周期外延组合模型
灰色模型GM1-N及其应用ppt课件
dX
(1) 1
dt
aX
(1) 1
b1
X
(1) 2
b2
X
(1) 3
bN
1
X
(1) N
这个微分方程模型记为 GM（1,N）。
（1）
方程（1）的参数列记为 (a,b1,b2 ,bN1)T ，
再设 YN
，将方程（1）
(
X
( 1
0)
(2),
X
(0) 1
(3),,
X
(0 1
)
(n)) T
按差分法离散，可得到线性方程组，形如
YN Bˆ
按照最小二乘法，有
（2）
ˆ (BT B)1 BT YN
（3）
其中，利用两点滑动平均的思想，最终 可得矩阵
B
1 2
(
X
(1) 1
(1)
X (1) 1
(2))
1 2
(
X
(1) 1
(2)
X (1) 1
(3))
X
(1) 2
(2)
X
(1) N
(2)
X
(1) 2
(3)
X
(1) N
(3)
§3 灰色模型 GM(1,N)及其应用
客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般 都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成 数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系 统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机 性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以 对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方 程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系 数。
来发展趋势减弱的子因素加以较大的权，对
有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做
线性规划和灰色模型介绍
22
用Lingo编程语言建立模型
应用Lingo编程语言语句不多，语法简洁；
适合大规模数学规划问题； 模型易于扩展； 初始化语句与其他部分分开； 集合的概念很有特色，可表达模型的实际事物；
23
例：模型如下
Max z=5*x1+7*x2+3*x3 s.t. y1+y2+y3<=2; x1<=7*y1; x2<=5*y2; x3<=9*y3; 3*x1+4*x2+2*x3<=30+M*y; 4*x1+6*x2+2*x3<=40+M*(1-y); x1,x2,x3 >=0; y1, y2, y3 =1 or 0; y=1 or 0;
17
• 2）借助软件
• Mathematica软件、MATLAB软件、Lingo软件、excel • LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交 互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo
System Inc.）推出的，是用来求解线性和非线性优化问题的简易
n ai xi ( , )b s.t. i 1 x 0, i 1,2,, n i
通常称
x1 ,x 2 ,, x n为决策变量， c1,c2 ,,cn 为价值系数， a11 ,a12 ,,a mn 为消耗系数, b1 ,b2 ,, bm 为资源限制系数。
C=(c1 ,c2 ,,cn ) 为价值向量，
X=(x1,x2 ,, xn )T 为决策变量向量， b=(b1,b2 ,, bm )T为资源向量。
11
《数学建模灰色模型》PPT课件
第一步：级比检验，建模可行性分析。 第二步：数据变换处理。 第三步： 用GM(1,1)建模。 第四步：模型检验。
精选ppt
35
灰建模实例： 北方某城市1986-1992年交通噪声平均声级数据
序号 年份
Leq 序号
年份
Leq
1
1986
71.1 5
1990
71.4
2
1987
72.4 6
1991
72.0
精选ppt
6
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
精选ppt
7
Байду номын сангаас
树高在20米至30米
精选ppt
8
表1.1 三种不确定性方法的比较
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求
侧重 目标 特色
灰色系统
概率统计
模糊数学
贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
灰色朦胧集 康托集
模糊集
信息覆盖
映射
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二、灰色系统模型
通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分 预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描 述，是模糊预测领域中理论、方法较为完善的预 测学分支之一。
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定 幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随机 过程看成灰色过程。
精选ppt
14
灰色模型的优点:
映射
灰序列生成 频率分布
截集
任意分布
典型分布
隶属度可知
内涵
内涵
外延
现实规律
历史统计规律 认知表达
小样本
大样本
凭借经验
精选ppt
9
时间序列与灰色系统组合模型-PPT文档资料
7.2.2 GM（1,1）模型 建立GM（1,1）模型的实质是对原始序列做一次 累加生成的序列呈现一定的规律，然后建立一阶线性 微分方程模型，求得拟合曲线对系统进行预测。 （1）GM（1,1）预测模型 设有原始序列 ( 0 ) X ( i ), i 1 , 2 , , n （7-40） 将其累加生成新数列 （7-41） X (1) (i) ， i=1，2，…，n
残差的方差为
1 n S (e(t) e)2 n t1 2 1
（7-52）
原始序列的方差值为
1n ( 0 ) ( 0 ) 2 S ( X () t X () t) nt 1
2 2
（7-53）
后验差比值 和小误差概率 为后验方 差检验的两个重要数据。显然，C越小，表示 S 2 越大而 S 2 大说明原始数据的方差大，即原始数据的离 S 1 越小； 散度大； S 1 小说明残差方差小，残差的离散程度小。因
（2）GM（1,1）预测模型的检验方法 根据GM（1,1）模型的预测方程可采用3种检验方法， 残差的大小检验、关联度检验和后验方差检验。 设t时刻的残差为
( 0 ) ( 0 ) ˆ e () t X () t X
残差的均值为
1 e n
n
e (t )
t 1
j 1 j 1
（7-62）
Q ( e (t )) 下，可得 在极小化准则minQ，
2 t 1
N
T T m inQQ , e eW E W T st . .RW1
§7.2 时间序列与灰色系统组合模型
7.2.1 灰色系统概述 灰色系统理论是华中科技大学教授邓聚龙教授于 20世纪70年代末至80年代初提出，已广泛应用于社会、 经济、农业、生态、生物等各个领域。 灰色系统是指信息部分明确、部分不明确的系统， 已知的信息称为白色，未知的信息称为黑色。它通过 对原始数据的重新生成，特别没有规律的原始数据序 列通过累加或累减处理而成为具有较强规律性的新数 列，再用微分方程来描述这一新的数列，解此微分方 程即得到自变量与因变量的关系。
灰色系统理论与应用学习指南
灰色系统理论与应用学习指南第一章 灰色系统的概念与基本原理一、识记1、灰色系统理论的产生与发展动态；2、灰色系统的基本概念；3、灰色系统的基本原理；4、灰数的概念与分类；5、灰数白化及灰度的概念。
二、理解1、几种不确定性方法的比较；2、区间灰数的运算；3、灰数白化的规则与算法。
4、灰数灰度的公理化定义。
三、思考与练习1、下面那个不是常用的不确定性系统的研究方法 （ ）A 概率统计B 模糊数学C 灰色系统D 运筹学2、试简述概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法的异同点。
3、试分析灰色系统理论在横断学科群中的地位。
4、请概述灰色系统的概念，并举出两个实际生活中灰色系统的例子。
5、请简要回答灰色系统的六个基本原理。
6、设1⊗∈[3, 4]，2⊗∈ [1, 2]，试求下列各式的值：12⊗-⊗，12⊗+⊗，11-⊗，12⊗⋅⊗，12⊗⊗7、请简述灰数白化的具体含义？并解释等权白化、等权均值白化、典型白化权函数的定义及其特征。
8、什么是灰度？你对灰度的测度有什么好的建议或想法？第二章序列算子与灰色序列生成一、识记1、冲击扰动序列、算子和缓冲算子概念；2、缓冲算子公理；3、均值生成算子、序列的光滑性概念；4、序列的光滑比和准光滑序列；5、累加生成算子和累减生成算子的概念。
二、理解1、缓冲算子的性质；2、实用缓冲算子的构造；3、强化缓冲算子的设计；4、弱化缓冲算子的设计；5、利用均值生成构造新序列；6、累加与累减生成算子的计算；7、级比生成算子；8、准指数规律。
三、应用1、利用缓冲算子来模拟系统行为数据序列。
2、分别利用不同的算子来模拟。
四、思考与练习1、什么是弱化算子？试举例说明。
2、什么是准光滑序列？3、什么是一次累加生成算子？4、下面哪个不是缓冲算子公理（）A 不动点公理B 信息充分利用公理C 唯一性公理D 解析化，规范化公理5、若序列)XD为（）,(X，则二阶缓冲序列21015535388,23480,12588A （10155，12588，23480，35388）B（15323，17685，29456，34567）C （22341，34215，31625，43251）D（27260，29547，32411，35388）6、什么是光滑连续函数?7、什么是序列的光滑比及其意义？8、简要说明累加生成的灰指数律.9、计算：河南省长葛县乡镇企业产值数据（1983-1986年）为X = (10155,12588,23480,35388)其增长势头很猛，1983-1986年每年平均递增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均递增67.7%，参与该县发展规划编制工作的各阶层人士（包括领导层、专家层、群众层）普遍认为该县乡镇企业产值今后不可能一直保持这么高的发展速度。
关于“灰色预测模型”讲解PPT演示课件
序号
1
2
3
4
5
x(0) 2.874 3.278 3.337 3.390 3.679
解（1）由原始数据列计算一次累加序列 x(1)
结果见表7.3. 表7.3 一次累加数据
年份
1999
2000
2001
2002
2003
序号
1
2
3
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5
x(0)
2.874 3.278 3.337
3.390
3.679
x(1)
2.874 6.152 9.489 12.879 16.558
1. 确定近似函数的类型
y
• 根据数据点的分布规律
• 根据问题的实际背景
o
2. 确定近似函数的标准
x
•实验数据有误差, 不能要求 yi f (xi )
34
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偏差 ri yi f (xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对
值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
【例】 表7.2 列出了某公司1999—2003年逐年的
销
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要 求作精度检验。
【例】 表7.2列出了某公司1999—2003年逐年的销
售额.试用建立预测模型，预测2004年的销售额，要 求作精度检验。 表7.2 逐年销售额（百万元） 年份 1999 2000 2001 2002 2003
(
N
)
x(1) (N
1)]
1
1
பைடு நூலகம்
,
1
a
U
u
,
则(7.6)式的矩阵形式为
y BU
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，将上述15个保留
14
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
分别以 作为子类
的代表元，得到影响粮食单位面积产量的7个主要解
释变量：
15
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
案例分析 用GM(1,1)模拟值作为基础数据估计模型参数，得到 以下估计式：
BACK
16
第六章 灰色组合模型
案例分析
表6.2.1 河南省不同时期技术进步贡献率 时期
0.2131 0.2131 0.5015 0.5015 0.5101 0.5101 0.3316 0.3316 0.3316
0.7869 0.7869 0.4984 0.4984 0.4899 0.4899 0.6684 0.6684 0.6684
13
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
计算上述各个变量与粮食单位面积产量的关联度 ， 取下阈值 ， 6 , 12，16，19， 20， 21， 22， 23， 24 皆小于0.4，故将 释变量中删去，然后计算保留变量 从解
之间的关联度 ，取上阈值 变量分为以下7个子类：
第六章
灰色组合模型
南京航空航天大学 灰色系统研究所
引言 组合模型的必要性
仅用单一模型难以全面地揭示研究对象的发展变化规律
任何一种模型只是研究对象若干侧面中某一个（或某 几个）侧面的一种映象，同时由于系统的发展演化过 程，往往是许许多多可知因素和未知因素、确定性因 素和不确定性因素相互作用的结果，
一般统计模型建模大都需要拥有大量的观测数据，许多
A Y EA [ ] 100 % A Y
问题：数据波动导致参数估计和计算结果错误！ 解决思路：用GM(1,1)模拟值作为参数估计的基 础数据。
28
第六章 灰色组合模型
6.2 灰色生产函数模型
灰色生产函数模型
ˆ (y ˆ (1), y ˆ (2),, y ˆ (n)) Y
ˆ(1), k ˆ(2),, k ˆ(n)) ˆ (k K ˆ (lˆ(1), lˆ(2),, lˆ(n)) L ˆ A0et K ˆL ˆ Y
0.0098 t ˆ 0.5101 ˆ0.4899 ˆ Y3 0.16e K3 L3
0.0072 t ˆ 0.5015 ˆ0.4984 ˆ Y2 0.088e K2 L2 0.0161t ˆ 0.3316 ˆ0.6684 ˆ Y4 0.15e K4 L4
BACK
30
第六章 灰色组合模型
6.2 灰色生产函数模型
BACK
21
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
案例分析 为提高预测结果的可靠度，进一步研究不同品种粮食作物年总产量自身的变化规律， 建立不同品种粮食作物年总产量的 GM(1,1)模型，从另一条途径预测全区粮食总产量，与经 济计量模型预测结果相印证。 不同模型的时间响应还原式和粮食总产量定义式如下：
BACK
17
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
解释变量 式如下所示， 和 的时间响应还原 的预测结果由灾变模型给出。
18
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
变量 1
2 3 7 14 表6.1.1 解释变量预测结果 1998 2005 1152.94 1279.81 678.92 46.50 32.09 28.16 763.03 50.80 38.67 33.44
31
Y Y
0.3296 -0.3833 0.4969 0.4815 0.2573 0.5259 0.7397 0.4406 0.8389
A A
BACK
20
第六章 灰色组合模型
y5 y 6
6.1 灰色经济计量学模型
表6.1.3 某区粮食总产量预测值
项目
年份
1998
2000
2010
夏粮总产量
秋粮总产量 粮食总产量
1618.23
1475.73 3093.96
1821.72
1571.37 3393.09
2109.42
1663.23 3772.65
经济数据难以满足统计模型的建模要求。
灰色系统需要的数据较少， 核心模型GM(1,1)仅用4个数 据就可以估计出模型参数， 且可达到一 定的模拟精度
灰色系统理论在建模过程中一方面提倡尊重原 始数据而又不拘泥于原始数据，并允许以科学 的定性分析为基础对研究对象的实验、观测、 统计数据进行必要的调整和修正
6.1 灰色经济计量学模型
灰色经济计量学模型的步骤
第一步：理论模型设计 对所研究的经济活动进行深入分析，根据研究目的，选择进入 模型的变量，并根据经济行为理论或经验以及样本数据所呈现 出的变量间的关系，建立描述这些变量之间关系的数学表达式。 第二步：建立GM(1,1)并获得模拟值 建立GM(1,1)并获得模拟值。为了消除模型各变量观测数据的 随机波动或误差，采用各变量的观测数据分别建立GM(1,1)， 然后运用各变量的GM(1,1)模拟值作为建立模型的基础序列。
BACK
9
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
灰色经济计量学模型的步骤 第三步：参数估计
模型设定后，应根据由GM(1,1)模拟得到的模拟序
列，选择适当的方法，如最小二乘法，求出模型参
数的估计值。
第四步：模型检验 第五步：模型应用
BACK
10
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
2
第六章 灰色组合模型
本章结构
6.1 6.2 6.3
—灰色经济计量学模型
—灰色生产函数模型
—灰色—周期外延组合模型 —灰色人工神经网络模型
6.4
6.5 6.6
—灰色线性回归组合模型
—灰色马尔可夫模型
3
第六章 灰色组合模型
第一节
灰色经济计量学模型
BACK
4
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
2010 1458.22
882.98 56.50 48.81 41.47
17 18
25 26
5 5
68.95 173.84
1.7 11.7
68.09 176.57
11.7 32.38
66.03 180.27
27
28
76.24
52.97
19
74.87
54.17
73.18
55.71 第六章 灰色组合模型
BACK
23
第六章 灰色组合模型
y5 1 5 2 3 4 7 6 y y 6 5 6
6.1 灰色经济计量学模型
表6.1.4 主要粮食作物总产量GM(1,1)预测值 （单位：万吨）
年份 项目 小麦总产量 夏杂粮总产量 稻谷总产量 玉米总产量 薯类总产量 大豆总产量 高粱总产量 谷子总产量 其它秋杂粮总产量 夏粮总产量 秋粮总产量 粮食总产量
BACK
22
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
案例分析
1 ˆ5 y ˆ5 ˆ 52 。 夏粮总产量定义式： y y 1 ˆ6 y ˆ6 ˆ 62 y ˆ 63 y ˆ 64 y ˆ 65 y ˆ 66 y ˆ 67 秋粮总产量定义式： y y
ˆy ˆ5 y ˆ6 粮食总产量定义式： y
1998 1810.57
31.34 236.55 721.10 230.97 118.67 12.23 32.66 24.91 1841.91 1376.09 3219.00
2000 1955.10
33.31 265.40 869.55 243.78 131.00 10.01 34.01 26.38 1988.41 1581.13 3569.54
6.1 灰色经济计量学模型
案例分析
解释变量对
， 的影响显著，解释力分别达到97.96%和98.71%。
为进一步研究粮食总产量，需要建立夏粮、秋粮播种面积模型。 影响播种面积的主要因素有：
从而有夏粮播种面积 和秋粮播种面积 的定义式方程： 建立解释变量的GM(1,1)模型，以解释变量的预测值为基础对内生变 量进行预测，可以提高预测的科学性。
BACK
7
第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
运用灰关联原理确定进入模型系统的主要变量
（1）删去与被解释变量微弱关联的部分解释变量
i 计算y与xi (i 1,2,, n)的关联度
给定下阈值 0 ，当 计算保留解释变量
j
i 0 时，删除 x i ；
（2）基于灰色关联聚类确定进入模型系统的变量
案例分析 某地区粮食生产系统分析及预测 基于灰色经济计量学组合模型建模的思想方法，在
某区粮食生产系统分析及预测研究中，根据向60位专
家进行三轮德尔菲函询的结果，归纳出影响粮食单位 面积产量的相关因素共有以下24种：
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第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
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第六章 灰色组合模型
6.1 灰色经济计量学模型
Y A0e K L
t
其中Y为产出，K为资本投入，L为劳动力投入； A0 为常数，α为资本弹性，β为劳动力弹性，γ为技术 进步系数 C-D模型的线性形式
ln Y ln A0 t ln K ln L
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第六章 灰色组合模型
6.2 灰色生产函数模型
经典生产函数模型存在的问题及解决思路 对于给定的 Y ( y(1), y(2),, y(n))
经济计量学模型
多元线回归模型