双绝对值和函数与不等式巧解

例1：求f(x)=7丨x一6丨+3lx十4|≥800的解.

解:首先函数两个分界点的函数值分别是:

f(6)=30,f(一4)=70.说明所求的解x1>6,x2<一4。

由7(x1一6)十3(x1+4)≥800

得x1≥83,

由7(6一x2)十3(一4一x2)≥800

得x2≤一77。

所求不等式的解为(一∞,一77]U[83,十∞)。

注意求x2时去绝对值要正负分清。

例2:求函数f(x)=丨x十8丨+丨x+9|+丨x一15丨的最小值.

中间分界值为x=一8.

f(一8)=1十23=24

最小值为24.

结论：三个绝对值之和组成的函数其最小值一定在中间分界值处取得.

例3:求函数f(x)=|x+6|十lx一6l≥100的解。

解答:先求出分界点的函数值:f(一6)=12,f(6)=12。说明所求x大于6或小于一6。x>6时,所求不等式简化为x一6十x+6≥100,解得x≥50。

同理x<一6时的解为x≤一50.观察到什么规律吗?

规律：如果两个绝对值的倍数相同，且里面的常数互为相反数，则解有对称性。

例4:求函数f(x)=|x一6l十lx十6|的最小值。

解答:最小值是6一(一6)=12

X用6或-6 代入，结果一样。

例5:求函数f(x)=2lx一6l+3|x十4l的最小值。

解答:f(x)=2lx一6l+3|x十4l

≥2|x一6|十2|x十4|

≥2l-4一6l=20

规律:①当两个绝对值中x的倍数相同时,最小值等于系数乘以绝对值中两常数之差,再取积的绝对值。

②当两系数不同时,两个系数都取成小的。如例2。

方法二:

求出两个分界点的函数值。两个中较小的就是函数的最小值。

例6:求函数f(X)=丨x十3|十|x十8|的最小值。

解答:

f(一3)=5,f(一8)=5说明最小值是5(=8一3)

例7:求函数f(x)=3丨x一4丨十2丨x十6丨的最小值。

解答:f(4)=20,f(一6)=30.则最小值是20.