二、 特殊角的正弦值与余弦值：
2
130sin =
, 2245sin = , 2360sin =
.
2330cos = ， 2245cos =
， 2
160cos = ．
三、 增减性：当00900<<α时,
sin α随角度α的增大而增大；c ｏs α随角度α的增大而减小。
四、正切概念:
(1) 在ABC Rt ?中，A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切,记作A tan 。
即 的邻边的对边
A A A ∠∠=
tan (或b
a A =tan )
五、特殊角的正弦值与余弦值:
3
330tan =
； 145tan = ； 360tan =
六、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
)90sin(cos ),
90cos(sin A A A A -?=-?=.
七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 (
)
A A -=
90cot tan , (
)
A A -=
90tan cot .
八、同角三角函数之间的关系：
⑴、平方关系：1cos sin 22=+A A ⑵商的关系A
A
A cos sin tan =
A A
A sin cos cot =
⑶倒数关系ｔana ·ｃo ｔａ=1
b
【典型例题】
【基础练习】 一、填空题：
1． =?+?30sin 30cos ＿＿_＿＿_＿____, ２.
sin 2
1
= cos = 。
3．若2
1
sin =θ,且?<
＿___。４.在_________cos ,,60,90,==∠=∠B A C ABC Rt 则中
?
５．在ABC ?,_________cos ,5,3,90====∠B AB AC C 则
6．_________sin ,5,3,90,====∠A AB BC C ABC Rt 则中
?
7.在ABC ?Rt 中,?=∠90C ,b a 33=,则A ∠=_＿_______，A sin ＝____＿____ 8.在ABC ?Rt 中,如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( ） 9.在ABC ?中，若0cos 2322sin 2
=???
?
??-+-B A ，A ∠，B ∠都是锐角,则C ∠的度数是(
）
10.（1) 如果α是锐角，且154sin sin 22=+ α，那么α的度数为( ）
（2)．如果α是锐角,且5
4cos =α,那么)90cos(α-
的值是（ ） 11. 将?21cos ,?37cos ，?41sin ，?46cos 的值，按由小到大的顺序排列是_＿___＿
______＿__＿_____
1２.在ABC ?中，?=∠90C ，若5
1
cos =B ，则B 2sin =__＿_＿___ １
3
．
30cos 30sin 22+的值
为
__
＿
＿
___
＿
＿
＿
,
________18sin 72sin 22=+
14．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ) 15.计算2
2
)3
1(45tan 60sin --
-?
，结果正确的是( ） 16．在_________,1,2tan ,,===∠=∠?b a B Rt C ABC Rt 则若中
１7.等腰梯形腰长为6,底角的正切为4
2
,下底长为212，则上底长为 ,高为 。
18.在ABC ?Rt 中，?=∠90C ，3cot =A ,则2
tan sin cot C
B A ++的值为____＿_＿__＿＿_。
19.比较大小（用>、<、=号连接):（其中?=+90B A )
A A tan _____sin ,
B A cos ______sin ,
A A A
tan _____cos sin
A
D
E
B
C
２0．在R ｔABC ?中,?=∠90C ,则B A tan tan ?等于( ） 二、【计算】 2１
???+???45sin 30cos 45cos 30sin
22.???+?+?30cos 30sin 45sin 2
260sin 21。
23.)45cos 60)(sin 45sin 30)(cos 45sin 230sin 2(?-??+??+? 24． 2
1+1
2--）（+2si ｎ60°—?60tan 1—
【能力提升】
１、如图，在AB CD Rt ACB ABC Rt ⊥∠=∠,,中?于点D ，ＡD=４,,5
4sin =
∠ACD CD 求、BC 的值。
２、比较大小:ｓin23°___＿__si ｎ33°;cos ６7．5°___＿__＿＿_ｃos76.5°。 3、若30°<α<β<90°,化简αβαβcos 12
3
cos )cos (cos 2-+---
4、已知1sin 40sin 2
2
=+?α,则锐角α=___＿_____。
5、在5
4
sin ,51cos ,90-===∠n B A C ABC Rt 中，?那么ｎ的值是_＿____＿＿_＿_。 6、已知,cos sin ,
cos sin n m ==+αααα 则m 、ｎ的关系是（ ）
A ．n m =
B ．12+=n n C.122+=n m D.n m 212-= 7、如图，在等腰Rt △A ＢＣ中,∠
C =９0o
,ＡC =6，Ｄ是A Ｃ上一点，若tan ∠ＤＢA ＝
5，则ＡＤ的长为( ）Ａ.2 B ．3 C.2 Ｄ．1
８、如图,矩形ABC Ｄ中，ＡＢ＞AD ，ＡＢ=a ,AN 平分∠DAB ,
DM ⊥AN 于点M ，ＣN ⊥A Ｎ于点N ．则ＤM +ＣＮ的值为(用含a 的代数式
N
C
D
表示）( ) Ａ.a Ｂ．a 5
4
C.a 22 Ｄ.
a 23 9、已知ＡD 是等腰△A ＢC 底边上的高,且t ａn ∠B=
4
3
, AC 上有一点E,满足AE ：C Ｅ＝2:３则ｔa ｎ∠ADE 的值是( )
A E ⊥BC 于E,BC ＝
1,cos Ｂ=
13
5
,求这个菱形的面积。
11、（北京市中考试题） 在中ABC ?Rt ,?=∠90C ,斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于
x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根,求ABC ?Rt 较小锐角的正弦值．
12、（上海中考模拟)如图ΔＡBC 中，AD 是BC 边上的高,t ａn ∠B=cos ∠D ＡC 。 （1）求证:AC=ＢD (2)若sin ∠C ＝13
12
,B Ｃ=12,求A Ｄ的长.
14、（上海中考模拟）已知:如图，在BC D B ACB ABC Rt 是中，,5
3
sin ,90==∠ ?边上一点,且?=∠45ADC ,DC = 6 。求.的正切值BAD ∠。
D
C
[思维拓展训练］
1、如图，已知Ｐ为∠AOＢ的边OA上的一点,以P为顶点的∠ＭＰＮ的两边分别交射线OB 于Ｍ、Ｎ两点,且∠MPN=∠AOＢ=α（α为锐角)．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始,按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变)时,M、N两点在射线OＢ上同时以不同的速度向右平行移动.设OM=x,ON=y(y>x＞０），△POM的面积为S．若ｓiｎα=二分之根号三。oＰ=２.(1)当∠MPN旋转30°（即∠OPM=３０°)时，求点N移动的距离;（2）求证:△OPN∽△PMN;
(３)写出ｙ与x之间的关系式;
（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．
2题图
２、如图,在直角梯形AＢＣD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16,DC=１２,ＡD＝21．动点Ｐ从点D出发,沿射线DA的方向以每秒２两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Ｑ分别从点Ｄ,C同时出发,当点Ｑ运动到点Ｂ时,点P随之停止运动.设运动的时间为ｔ（秒).（1)设△BＰQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;（2）当t为何值时，以B,Ｐ，Ｑ三点为顶点的三角形是等腰三角形；(3）当
线段ＰQ 与线段AB 相交于点O ，且2ＡO=ＯB 时,求∠B ＱP 的正切值;
（4）是否存在时刻t,使得ＰQ ⊥BD ？若存在，求出ｔ的值；若不存在，请说明理由．
3、如图：直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为y =－
43x +16
3
，点A 、Ｄ的坐标分别为(-4，０），（0,4).动点P 自Ａ点出发,在AB 上匀速运行.动点Q 自点Ｂ出发，在折线ＢC Ｄ上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P 运动t (秒)时，△OPQ 的面积为s (不能构成△OPQ 的动点除外).
(1）求出点B 、C 的坐标；(2)求s 随ｔ变化的函数关系式; （３)当t 为何值时s 有最大值？并求出最大值.
４、如图,将矩形OA ＢC 放置在平面直角坐标系中，点D 在边0C 上，点E 在边OA 上，把矩形沿直线DE 翻折，使点O 落在边ＡB 上的点F 处,且ｔａn ∠BFD=
3
4
.若线段ＯA 的长是一元二次方程x 2
—7ｘ一８＝0的一个根，又２AB=30A ．请解答下列问题:
O
x
y
A
B
C
D
P
Q
(１）求点Ｂ、F的坐标: （2)求直线ＥD的解析式：
(３)在直线ED、FD上是否存在点M、Ｎ，使以点Ｃ、D、M、N为顶点的四边
形是平行四边形,若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
6题图
5、如图,在直角梯形ＡBCD中,∠D=∠ＢＣD=9０°，∠B=６0°，AＢ=6,AD=9，
点E是CD上的一个动点（Ｅ不与D重合），过点E作EF∥ＡC，交ＡD于点F(当E运动到Ｃ时,EF与ＡC重合巫台).把△DＥF沿EF对折，点D的对应点是点G，设DＥ=x，△GEF与梯形ABＣD重叠部分的面积为y。
（1)求CＤ的长及∠1的度数；
（2)若点G恰好在BC上，求此时x的值；
(3) 求y与x之间的函数关系式。并求ｘ为何值时，y的值最大？最大值是多少?
(第25题图)
C
D
E
F
