14 生活中的一次函数与反比例函数
实际生活中的反比例函数
实际生活中的反比例函数
实际生活中的反比例函数
主要内容：
（一）反比例函数的性质：
反比例函数（k 是常数，）
当时，图象的两个分支分别位于第一、三象限。
在每一个象限内，y 的值随x 值的增大而减小。
当时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。
在每一个象限内，y 的值随x 值的增大而增大。
（二）能利用反比例函数及其性质解决实际问题，解释一些生活中的现象，体会数学的价值。
比如：使劲踩气球时，气球为什幺会爆炸？
因为在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（Pa）与它的体积V
（m3）的乘积是一个常数k。
即pV＝k（k 为常数，k>0）
在温度不变的情况下，气球内气体的压强p 是气球体积V 的反比例函数，即。
根据反比例函数的性质
当k>0 时，p 随V 的减小而增大。
如果用力踩气球，气球的体积会变小，压强会变大。
当压强大到一定程度时，气球便会爆炸。
【典型例题】
例1. 某一电路中，保持电压U 不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）之。
一次函数和反比例函数的概念
一次函数和反比例函数的概念
一次函数和反比例函数是数学中两种常见的函数，它们有各自独特的性质，广泛应用于数学和科学研究中。
本文将简要介绍一次函数和反比例函数的概念，以及它们在日常数学中的应用。
首先，一次函数是一种线性函数，它是用以描述某种变化关系的函数。
一次函数的解析式可以写成：y=ax+b，其中a是一次函数的斜率，b是一次函数的截距。
a和b是一次函数的参数，它们可以用来
描述函数的变化规律，根据参数a和b的值，可以判断函数在x轴上是升序还是降序，以及函数的大小。
另一种常见的线性函数是反比例函数，它是一种反相关的函数，它的解析式可以写成：y=1/ax，其中a是反比例函数的斜率，b是0。
反比例函数的斜率可以用来描述反比例函数的变化规律，斜率越大，函数的变化越剧烈。
在日常的数学应用中，一次函数和反比例函数都有广泛的应用，它们可以用来描述现实世界中物理现象的变化规律，可以用来研究物理系统中各因素之间的影响关系等。
例如，一次函数可以用来描述流体流动，反比例函数可以用来描述电磁场中磁化强度与距离的变化情况等。
此外，一次函数和反比例函数也可以用于统计学研究中，用来研究不同种类的变量间的联系，或者用来描述不同人群的行为习惯等。
综上所述，一次函数和反比例函数是数学中常见的函数，它们可以用来描述现实世界中物理现象的变化规律，也可以用来统计学研究中观察不同变量间的联系等。
本文介绍了一次函数和反比例函数这两
种常见函数的概念，以及它们在日常数学应用中的作用，希望能够给读者带来帮助。
中考数学复习指导：一次函数在实际生产生活中的应用举例
一次函数在实际生产生活中的应用举例运用函数知识解决简单的实际问题，体会函数是解决实际问题的数学模型和方法，既是新课程标准的要求，也是中考命题的热点，近几年的中考试题对一次函数的考查力度呈加大趋势，热点问题集中在一次函数的实际应用上，应该引起同学们的关注．现就应用一次函数知识在生活、生产实际中解决实际问题举几例说明．1在日常生活中的应用一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛．例如，当我们购物、租车、住宿、缴水电费时，会为我们提供两种或多种优惠方案，这些问题往往可利用一元一次函数解决．例1为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水标准：每月每户用水未超过7 m3时，每立方米收 1.0元并加收0.2元污水处理费；超过7 m3时，超过部分每立方米收 1.5元并加收0.4元污水费，设某户每月的用水为x m3，应交水费y元．(1)写出y与x之间的函数关系式．(2)若某单元所在小区共有50户，某月共交水费541.6元，且每户用水均未超过10 m3，这个月用水未超过7 m3的用户最多可能有多少户？解(1)由题意可知，当0≤x≤7时，y＝1.2x．当x>7时，y＝1.9（x－7）＋7×1.2＝1.9（x－7）＋8.4．所以y与x之间的函数关系式为(2)设月用水量未超过7 m3共有x户．因为月用水7 m3的应交水费8.4元，用水10 m3的应交水费(5.7＋8.4)元，根据题意，得(50－x)(5.7＋8.4)＋8.4x＝541.6．解得x≈28. 67．若x＝29时，交费的最大额数为29×8.4＋21×14.1＝539.7<541.6．所以x＝28（户）．即月用水量未超过7 m3的用户最多有28户．2在市场经济中的应用随着市场经济体制的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩．买与卖，存款与保险，股票与债券,,都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利息与利率，统计与概率，运筹与优化等，都将在数学课程中呈现出来．例2某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100 t到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：(1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B，种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？写出每种安排方案；(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．解(1)根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为（20－x－y），则有6x＋5 y＋4（20－x－y）＝100．整理，得y＝－2x＋20．(2)由(1)知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、－2x ＋20、x ，根据题意，得42204x x，解得4≤x ≤8．因为x 为整数，所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种，方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车；方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车；方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车；方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车；方案五：装运A 种脐橙8车，B 种脐橙4车，C 种脐橙8车．(3)设利润为W(百元)，根据题意，得W ＝6x ×12＋5(－2x ＋20)×16＋4x ×10＝－48x ＋1 600．因为k ＝－48<0，所以W 的值随x 的增大而减小，要使利润W 最大，x 取最小值4，故选方案一．W 最大＝－48×4＋1 600＝1 408（百元）＝14.08(万元)．3在工程问题中的应用下面这道题看似平常却是别有新意的好题，本题突破了传统的工程问题的模式，将工程问题与一次函数图像相联系，进一步加强了传统经典习题与现实生活的联系，在新的时代背景中更好地学习和掌握数学知识．例3某县在实施“村村通”工程中，决定在P 、Q 两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从P 、Q 两村同时相向开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．如图1是甲、乙两个工程队所修道路的长度y(m)与修筑时间x （天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，求该公路的总长．解由乙图像可知，A(12，840)．设y乙＝kx(0≤x ≤12)，因为840＝12k ，所以k ＝70．解得y乙＝70x ．当x ＝8时，y 乙＝560，所以C(8，560)．设y 甲＝mx ＋n(4≤x ≤16)，将B(4，360)、C(8，560)代入，得43608560m n m n，解得50160m n．所以y 甲＝50x ＋160．当x ＝16时，y甲＝50×16＋160＝960．由此可得乙修筑公路长840 m ，甲修筑公路长960 m ．故该公路全长为1800 m ．4在行程问题中的应用行程问题是一个常规的问题，而新课程下的行程问题，往往与图像、图形、表格等结合在一起，不仅考查了我们对知识的理解，而且考查了识图能力和数形结合的数学思想．例4甲、乙两人骑自行车前往A 地，他们距A 地的路程 5 (km)与行驶时间t(h)之间的关系如图2所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题：(1)甲、乙两人的速度各是多少？(2)写出甲、乙两人距A 地的路程s 与行驶时间t 之间的函数关系式（任写一个）．(3)在什么时间段内乙比甲离A 地更近？解(1)由图像知，甲2.5 h 行驶50 km ，所以V甲＝502.5＝20(km/h)．乙2h行驶60 km，所以V乙＝602＝30(km/h)．(2)s甲＝50－20t或s乙＝60－30t．(3)当1<t<2.5时，s乙的图像在s甲的图像的下面，说明在同一时刻，s乙<s甲，即乙离A 地距离小于甲离A地距离，乙比甲离A地更近，以上四例说明，一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛，内容十分丰富，上述题目联系实际和时代的热点，较为自然地考查了一次函数模型的实际问题，同时也考查了同学们利用函数思想和方程、不等式、最值等知识解决问题的能力，希望同学们能从中得到启示，善于运用数学去分析身边周围的现象，学会用数学知识分析和解决生产、生活中的一些实际问题．。
函数在日常生活中的应用
函数在日常生活中的应用函数不仅在我们的学习中应用广泛，日常生活中也有充分的应用。
在此举出一些例子并作适当分析。
当人们在社会生活中从事买卖活动或其他生产时，其中常涉及到变量的线性依存关系，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。
总之，函数渗透在我们生活中的各个方面，我们也经常遇到此类函数问题，这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，用函数解决。
如：1.一次函数的应用：购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。
此类问题非常基本，却也运用最为广泛。
2.二次函数的应用：当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。
如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。
二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。
如增加的速度、增加的起点等。
3.反比例函数的应用:反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。
如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。
还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。
所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。
4.三角函数的应用：实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。
如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。
在日常生活中，我们往往需要将各种函数结合起来灵活运用，以解决复杂的问题。
要时刻将函数的解析式与其图形联系起来，以得到最简单的解决办法。
一次函数和反比例函数的综合应用讲义
反比例函数与一次函数的综合应用开心哈哈一次函数k与b, k不为0来才成立;b为0来正比例, b不为0来一般地;反比例函数k值, k不为0来才存在;不与坐轴打交道, 与一次函数常相守;两者结合请注意, 性质图像不相忘.制胜装备1、巩固一次函数和反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象．2、巩固反比例函数图象的变化其及性质并能运用解决某些实际问题．战前总动员远山苏格拉底和拉克苏相约，到很远很远的地方去游览一座大山。
据说，那里风景如画，人们到了那里，会产生一种飘飘欲仙的感觉。
许多年以后，两人相遇了。
他们都发现。
那座山太遥远太遥远。
他们就是走一辈子，也不可能到达那个令人神往的地方。
拉克苏颓丧地说：“我用尽精力奔跑过来，结果什么都不能看到，真太叫人伤心了。
”苏格拉底掸了掸长袍上的灰尘说：“这一路有许许多多美妙的风景，难道你都没有注意到？”拉克苏一脸的尴尬神色：“我只顾朝着遥远的目标奔跑，哪有心思欣赏沿途的风景啊！”“那就太遗憾了。
”苏格拉底说，“当我们追求一个遥远的目标时，切莫忘记，旅途处处有美景！”战况分析重点: 一次函数和反比例函数的性质在实际中的应用难点: 数学建模思想在函数中的应用易错点: 反比例函数的定义及性质理解不透,忽略条件扫清障碍1、一次函数、正比例函数的概念及联系。
一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成＿＿＿＿＿＿＿ (k 、b 为常数，k ≠0)形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）。
特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数。
即正比例函数是一次函数的特殊情况。
2、一次函数图象的特征（y = kx + b ，k ≠0，b ≠0）（1）一次函数的图象不过原点，和两坐标轴相交，它是经过点（0，b ），（－b k ，0）的一条直线。
正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点（0,0）的一条直线。
（2）一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）图象是平行于直线y ＝kx （k ≠0）且过（0，b ）的一条直线。
反比例函数和一次函数
反比例函数和一次函数
反比例函数和一次函数是两种最基本的函数类型。
反比例函数是指当一个量增大时，另一个量会相应地减小，而且它们的乘积是一个常数；一次函数是指当一个量增加时，另一个量也会以相同的速度增加。
这两种函数在数学中都有很广泛的应用。
反比例函数可以表示为y=k/x，其中k是一个常数。
这个函数可以用来描述许多实际问题，例如两个物体之间的引力和距离的关系，或者电阻和电流之间的关系。
当x增大时，y会相应地减小；当x减小时，y会相应地增加。
这种函数在数学中很常见，因为它可以用来解决很多实际问题。
一次函数可以表示为y=mx+b，其中m和b是常数。
这个函数可以用来表示许多线性关系，例如速度和时间之间的关系，或者距离和时间之间的关系。
当x增加时，y也会相应地增加；当x减少时，y也会相应地减少。
这种函数在数学中也很常见，因为它可以用来解决很多实际问题。
反比例函数和一次函数在数学中都很重要，因为它们可以用来表示许多实际问题。
通过对这些函数的学习和理解，我们可以更好地理解和解决实际问题。
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反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x 的渐近线：x 轴与y 轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k|11.k 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
一次函数和反比例函数
一次函数和反比例函数一次函数和反比例函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在数学、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍一次函数和反比例函数的概念、性质、图像和应用。
一、一次函数一次函数又称为一次方程，是指形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，x和y分别表示自变量和因变量。
一次函数的图像是一条直线，其中a称为直线斜率，表示直线倾斜的程度，b称为截距，表示直线与y轴的交点。
1. 性质（1）斜率为零的直线是水平直线，斜率为正的直线是向上倾斜的直线，斜率为负的直线是向下倾斜的直线。
（2）当x取不同的值时，y的变化量与x的变化量成正比例关系。
（3）直线的截距表示当x为0时，直线与y轴的交点的纵坐标。
2.图像一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距决定了直线的位置和形状。
可以通过画出两个点来确定一条直线，但也可以通过斜率和截距来快速绘制出直线。
如果一次函数的斜率为2，截距为1，则可以画出通过点（0,1）和（1,3）的直线。
3.应用一次函数在很多领域中都有广泛的应用。
斜率表示了物体运动的速率和变化率，截距表示了与x轴的位移，因此一次函数可以被用来描述运动、重力、天体物理等等。
二、反比例函数反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k是常数，x和y分别表示自变量和因变量。
当x趋近于0时，y趋近于无限大；当x趋近于无限大时，y趋近于0。
反比例函数的图像是一条无限接近x和y轴的双曲线。
（1）当x趋近于0时，y趋近于无限大；当x趋近于正无穷大时，y趋近于0。
（2）反比例函数的图像是一条双曲线，其两条渐进线是x轴和y轴。
（3）当x增大时，y减小，反之亦然。
反比例函数在很多领域中都有广泛的应用。
它可以被用来计算电路中的电流和电压、计算物体的加速度、分析经济学中的消费和产量关系等等。
反比例函数的性质和图像使得其在工程、经济等领域中具有很大的实用价值。
在实际应用中，一次函数和反比例函数经常被用来描述各种现象和过程。
反比例函数生活中的例子
反比例函数生活中的例子
反比例函数是一种数学函数，其中一个变量的值增加时，另一个变量的值会减少，反之亦然。
在生活中，我们可以找到许多反比例函数的例子。
1. 速度和旅行时间。
当我们以较高的速度旅行时，旅行时间会减少；而以较低的速度旅行时，旅行时间会增加。
2. 人口密度和居住空间。
当人口密度增加时，每个人的居住空间会减少；而当人口密度减少时，每个人的居住空间会增加。
3. 投资和回报。
当我们投资的金额增加时，我们可以获得更高的回报率；而当我们投资的金额减少时，我们可以获得更低的回报率。
4. 燃油消耗和速度。
当我们以较高的速度行驶时，车辆的燃油消耗会增加；而当我们以较低的速度行驶时，车辆的燃油消耗会减少。
5. 水龙头的流量和水压。
当水龙头的水压增加时，水流的流量会减少；而当水龙头的水压减少时，水流的流量会增加。
这些例子说明了反比例函数的应用，对我们理解和应用数学知识有很大的帮助。
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一次函数和反比例函数知识点总结
一次函数知识点总结:函数性质：1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）当x增加m，k（x+m)+b=y+km, km/m=k。
2. 当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。
3. 当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4. 一次函数的图像：直线5. 在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。
（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。
因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。