反比例函数与一次函数综合题优秀课件
一次函数与反比例函数综合题PPT课件(数学人教版九年级下册)
例2
(k2
¹
如图，已知一次函数
0)的图象交于 A(- 4,-
y1 = k1x + b(k1 ¹ 0) 的图象与反比例函数 2), B(m, 4) 两点，与y轴交于点C.
y2
=
k2 x
（2）
直接写出不等式
k1x + b <
k2 x
的解集.
y
B (2,4)
简析：x取何值时， y1 < y2
C
x< −4 或 0< x<2
B(2,4) C
S△AOB=
1 2
×
2
×
(2
+
4)
=6
D
o
x
A
(-4,-2)
数学初中 坐标系内图形面积的计算
练习1 如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象交于A(m,2)，B (3,n)两点.
（k
≠0）与反比例函数y=
3x(x>0)
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积.
简析：
(1)
y=
一次函数与反比例函数综合题
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
数学初中
学习目标
1 掌握一次函数和反比例函数的概念和性质，建立知识之间的联系； 2能画出一次函数和反比例函数的图象，理解图象与系数之间的关系， 体 会数形结合思想； 3会结合函数图象分析函数性质，并解决有关问题，提高分析和解决 问 题的能力．
3 x
A(
3 2
,2)
B (3,1)
A(
3 2
,2)，B
(3,1)
y=-32x+3
数学初中 坐标系内图形面积的计算
一次函数与反比例函数综合应用公开课课件.ppt
（请直接写出答案）；
图9
课堂总结：
1.解函数题必须做到数形结合。 2.抓住点坐标在解题过程的关键作用。 3.利用函数图象熟记函数性质。 4.图形面积求解巧用拼凑法与割补法。
中考真题：
2011年宜宾市中考题
21．（本小题满分7分）如图，一次函数的图象与反比例函数
y1
3 x
(x
0)
的图
象相交于A点，与y 轴、x 轴分别相交于B、C两点，且C（2，0).当x <–1
一次函数与反比例函数的综合 复习
教学目标：
掌握一次函数、反比例函数图象及其性质 掌握关于反比例函数和一次函数的交点问题
掌握一次函数与反比例函数的大小比较
掌握一次函数与反比例函数所围成的三角形面 积计算
典型例题：
类型一：一次函数与反比例函数图像
-k
例1.函数y=kx-1和y= x (k≠0)在同一坐标系中的
y
y1
y2
A B P
O
CQ
x
(21题图)
中考预测：
如图，直线y=x﹣1与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已 知点A的坐标为（﹣1，m）． （1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（n，-1）是反比例函数图象上 一点，过点P作PE⊥x轴于点E，延长EP交 直线AB于点F，求△CEF的面积．
类型三：一次函数与反比例函数所围成的三角形 面积计算
18．如图9，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象与
反比例函数
ym x
的图象的两个交点。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及 △AOB的面积；
一次函数与反比例函数的综合运用ppt课件
A
D
EO
x
C
B
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小结4：看到求函数的关系式，想到利用待定系数法 ； 看到交点坐标，想到是两个函数关系式组成 方程组的解； 看到面积，想到 三角形面积公式，不规则图形 的面积要转化为和它有关的规 则图形的面积来求解.
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点 ③k>0时，y随的x增大 ③k>0时，y随的x增大
而_减__小（在每个象限
而_增__大_
内）
k<0时，y随的x增 大而增__大_ （在每个
k<0时，y随的x增 大而_减__小_
象限内）
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知识考点•对应精练
【知识考点】 （1）正比例函数与反比例函数图象交点的对称性 （2）一次函数与反比例函数图象的特点 （3）一次函数与反比例函数图像交点问题及不等式 （4）一次函数、反比例函数的图象与几何综合题
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4．如图所示，函数 y＝－x 与函数 y＝－4x的图象相交于 A，B 两
点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D.则
四边形 ACBD 的面积为
( D)
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题组二 函数图象的共存
【例 2】当 a≠0 时，函数 y＝-ax＋1 与函数 y＝ax在同一坐
标系中的图象可能是图中的
(B )
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反比例函数与一次函数综合
一、反比例函数的定义函数ky x=(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.二、反比例函数的图象反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图像关于x 轴对称，也关于y 轴对称.三、反比例函数图象的性质反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线； 当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：⑴反比例函数ky x=(0k ≠)的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k >时，双曲线ky x=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．中考要求知识点睛反比例函数与一次函数综合一、反比例函数与一次函数综合【例1】 已知直线1y k x =(10k ≠)和双曲线2k y x=(20k ≠)的一个交点是(2-，5)，求它们的另一个交点坐标．【例2】 直线()0y ax a =>与双曲线3y x=交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -= ．【例3】 已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式．【例4】 若一次函数3y x b =+和反比例函数3b y x-=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6.【例5】 如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线()0ky x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AOBC =，则k =_________．【例6】 已知一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与反比例函数m y x=(0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===，（1）点A 、B 、D 的坐标；（2）求一此函数与反比例函数的解析式.【例7】 在平面直角坐标系Oxy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90︒得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图像的一个交点为()3A a ，，试确定反比例函数的解析式． 例题精讲【例8】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()2A a ，，则k 的值等于 ． 【例9】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90的到直线l .直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为()3A a ，，试确定反比例函数的解析式.【例10】 已知反比例函数ky x=(0k <)的图像经过点A(m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且A O B∆（1）求k 和m 的值．（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求:AO AC 的值．【例11】 如图，反比例函数ky x=的图像与一次函数y mx b =+的图像交于()13A ，，()1B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x 取何值时，反比例函数的值 大于一次函数的值．【例12】 如图7，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()13A ，．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标；（2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值 范围．【例13】 如图，已知()()424A B n --，，，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数的图象的两个交点. （1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的 取值范围．【例14】 如图，已知：一次函数y kx b =+的图像与反比例函数my x=的图像交于A 、B 两点. （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 取值范围．【例15】 如图，已知()()424A n B --，，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积；（3）求方程0mkx b x +-=的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkx b x+-=的解集（请直接写出答案）.A【例16】 用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6y x =-的图象（如图9所示），利用图象求方程630x x-+=的近似解（结果保留两个有效数字）．【例17】 如图，是一次函数y kx b =+与反比例函数2y x=的图像， 则关于x 的方程2kx b x+=的解为（ ）A ．1212x x ==，B ．1221x x =-=-，C ．1212x x ==-，D ．1221x x ==-，【例18】 已知一次函数与反比例函数的图象交于点P (3-，m )，Q (2，3-)．（1） 求这两个函数的函数关系式；（2）在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的大致图象；（3）x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？（图9）（图9）【例19】 已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，．（1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．【例20】 知一次函数y x m =+与反比例函数1m y x+=(1m ≠-)的图象在第一象限内的交点为P (0x ，3) （1）0x 的值．（2）一次函数和反比例函数的解析式.【例21】 直线y kx =(0k >)与双曲线4y x=交于A ()11x y ，，B ()22x y ，两点，求122127x y x y -的值.【例22】 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，，为AB 上一点且PC 为AOB ∆的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0k y k x =>的图象于Q ，32OQC S ∆=，则k 的值和Q 点的坐标分别为______________.。
【精品】反比例函数与一次函数综合应用ppt课件
y
OA B Cx
先由数（式）到形再由形 到数（式）的数学思想
变2:换一个角度：如图双曲线 y k 上任一点分别作x轴、y轴的垂线段x， 与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数 解析式。
∵︳K︱ ＝12 ∴k=±12
图像在第四象限
y 12 x
考察面积不变性和中心对称性。
变3:如图，A、C是函数 y 2的图象 上关于原点O对称的任意两点，过x C向x 轴
引垂线，垂足为B，则三角形ABC的面积
为2
。
超越自我:
已知 ,反 如 比 图 y例 8与 函一 数 y次 x函 2 的数 图 x
交A ,于 B 两.求 点 (1 )A ,B 两点;(的 2) A坐 O 的 B 标 面 .
解: (1)y
8 x
,
y x2.
解 得 x y 4 ,2;或 x y 42 .,
⑺ 若E是线段DA上的一动点，如图， EM平行y轴，且交反比例函数图像于 点M，ER⊥y轴于点R，MQ⊥y轴于 点Q，那么四边形ERQM面积是否可 以取得最大值或最小值？为什么？
全品学练考P8 选做题
⑵ 求经过点A、B的一次函数的解析式； ⑶ 求S△ABO；
综合应用2/2
1的8图.已象知上点，A经（过3，点4A）、，B的B（一－次2函，数m）的在图反象比分例别函与数x轴y 、 xky 轴交于点C、D。 ⑴ 求反比例函数的解析式；
⑵ 求经过点A、B的一次函数的解析式；
⑷ 当x为何值时反比例函数y的值 大于一次函数y 的值
y
o
x
1、如图是三个反比例函数在x轴上方的
图( 像B ，)y1k x 1,y2k x 2,y3k x 3 由此观察得到
A k1>k2>k3 B k3>k2>k1
北师版九上数学专题9 反比例函数与一次函数的综合问题 课件
式灵活，能很好地锻炼和考查思维能力，是历年中考命题的热
点.常见的反比例函数与一次函数分为以下六种类型：图象的共
存问题，图象交点坐标问题，图象交点个数问题，不等式解集
问题，基础面积问题及综合应用问题.
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数学 九年级上册 BS版
0 2
典例讲练
.
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数学 九年级上册 BS版
2. 如图，在平面直角坐标系中，△ OAB 的边 OA 在 x 轴正半轴
上，其中∠ OAB ＝90°， AO ＝ AB ，点 C 为斜边 OB 的中点，反
比例函数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图象过点 C 且交线段 AB 于点
D ，连接 CD ， OD .
类型二 图象交点坐标问题
已知点 A （ a ， b ）是一次函数 y ＝－ x ＋4和反比例函数 y
1
＝ 图象的一个交点，则代数式 a2＋ b2的值为
14 .
【思路导航】根据点 A （ a ， b ）是一次函数 y ＝－ x ＋4和反比
1
例函数 y ＝ 图象的一个交点，求出 a ， b 的值，从而求得代数
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14.
数学 九年级上册 BS版
【点拨】求两函数的交点坐标，把两个函数看成两个方程，则
交点的横、纵坐标就是这个方程组的公共解，所以只需要联立
方程组求解即可.
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数学 九年级上册 BS版
1. 已知反比例函数 y ＝ 的图象与一次函数 y ＝2 x ＋1的图象的
3
y＝
一个交点是（1， k ），则反比例函数的表达式是
反比例函数与一次函数的综合-完整版课件
下节课预习提示和作业布置
预习提示
下节课将学习反比例函数与二次函数的综合应用，请学生提前预习相关内容，了 解基本概念和性质
作业布置
布置与反比例函数与一次函数综合应用相关的练习题和思考题，要求学生认真完 成并提交作业
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
行程问题
结合反比例函数和一次函 数，可以解决与行程相关 的问题，如根据速度和时 间的关系计算路程等。
经济问题
反比例函数和一次函数也 可以应用于经济领域，如 分析成本、收益和利润之 间的关系等。
两者结合的综合题型分析
函数图像分析 通过观察和分析反比例函数和一 次函数的图像，可以判断它们的 增减性、对称性等性质，进而解 决相关问题。
反比例函数的图像关于原点对称，即 满足奇函数的性质 $f(-x) = -f(x)$。
反比例函数在其定义域内具有单调性 ：在第一、三象限内单调递减，在第 二、四象限内单调递增。
反比例函数在其定义域内没有极值点 ，也没有拐点。
CHAPTER 03
一次函数基本概念与性质
一次函数定义及表达式
一次函数定义
反比例函数与一次函 数的综合-完整版课件
汇报人：XXX 2024-01-22
contents
目录
• 引言 • 反比例函数基本概念与性质 • 一次函数基本概念与性质 • 反比例函数与一次函数综合应用 • 典型例题解析与讨论 • 课堂小结与作业布置
CHAPTER 01
引言
目的和背景
帮助学生理解反比例 函数和一次函数的基 本概念、性质和应用 。
学生2
对于例题2，我首先根据点 M、N 的坐标和距离关系列出方程组，然后利用待 定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式。最后通过解方程组求出两个函 数的交点坐标。
微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0
=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0
= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,
所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),
∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .
8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=
= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
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A.-1<x<0
B. -1<x<1
C. x<-1或0<x<1 D. -1<x<0或x>1
y
A
O
x
图2
5.(2010江苏宿迁)如图，已知一次函数y=x-2与反 比例函数y=3/x的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）观察图象，可知一次函数值小于反比例函数 值的的取值范围是____________．
的图象交于A、
B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐 标都是－２，
y
求：（1）一次函数解析式；
（2）△AOB的面积
ADOຫໍສະໝຸດ xCBOx
（2）若AD⊥x轴,BC ⊥x轴,垂足为D、C,求:
SAOB和S梯形ABCD.
y
解:(2)∵AD⊥x轴,BC ⊥y轴
B
∴C(2，0)，D(4，0)
∴BC=4，AD=2，CD=|4-2|=2
A
S梯 形 ABCD1 2(4 12)26O C
D
x
SBOCSAOD2244
S A O B S 四 边 形 A B O D S A O D
S B O C S 梯 形 A B C D S A O D 6
三、思考与练习
1．如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函
数 y m 的图像交于两点 A(2， 1)， B(1， n)
x （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式
（2）求△AOB 的面积
y
A
DO
x
CB
2.如图:已知在直角坐标平面内的第一象限中,函
O
Mx
3.（2007年乐山市）如图，反比例函数
y=k/x的图象与一次函数y=mx+b的图象交于
A(1,3),B(n,-1)两点．
y
（1）求反比例函数与一次函数
A
的解析式；
O
x
（2）根据图象回答：当x取何值 B
时，反比例函数的值小于一次
函数的值.
4比.(例20函10数辽y宁2=大k2连x的)如图图像2都，经反过比点例A函(-数1,2y)1， 若kx1 和y1>正y2， 则x的取值范围是（ ）
D （4，0）
8、已知反比例函数 y(a2)xa26，
当x＞0时，y随x的增大而增大，求函
数关系式 9、已知反比例函数
y
2k 1 x
的图象
在每个象限内y随x的增大而减小，且k
满足 92 (2k 1 )2k 1 ，若k为整数，
求反比例函数的解析式
10、已知一次函数ykxb的图象
与反比例函数
y
8 x
反比例函数与一次函数综合题 优秀课件
一、课前热身 1.已知a<0,则函数y1=ax,y2=a/x图象大致是
(C )
2. 函数y=k/x与y=kx+k在同一坐标系内的
图象大致是
(B )
3.函数y=kx-1和y= -xk(k≠0)在同一坐标
系中的大致图象是
(D )
y
y
y
y
0
x0
x
0
x
0
x
(A)
(B)
y
A
O x
B C
例4 一次函数y=kx+b与反比例函数
y8 x
的图象相交于A，B两点，A点的横坐标和B点的
纵坐标都是2，求△ABC的面积。
y
B O x A
例5 直线AB与双曲线的一个交点为C，CD⊥x轴 于点D，OD=2·OB=4·OA=4。 求此反比例函数和一次函数的解析式。
y
C
BO
D
A
x
例6.在反比例函数 y 8 (x 0) 的图像上有不重合的 两点A、B，且点A的纵x坐标与点B的横坐标都等于
y
A
O
x
B
6与.(反20比10例山函东数济宁y )k如(k 图0),在正第比一例象函限数的y 图12 象x 的交图于象点 A，过点A作x轴的x 垂线,垂足为M,已知△OAM的
面积为1.（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的 点（点A与点B不重合），且点B的横坐标为1， 在轴上求一点P， 使PA+PB最小.
直线y=2x与直线x=1的交点E的纵坐标。 （1）求：点A、点B的坐标；
解 ： (1) 由 yx==2 1 x得 y x= =2 1即 E(1,2)
由 题 意 知 ： A ( x , 2 ) , B ( 2 , y ) y
A(x,2),B(2,y)都在y=8 x
A(4,2),B(2,4)
B A
数 y 2 x 的图像上有一点P(a，4)，过点P作 PM⊥x轴3 ，PN⊥y轴，垂足分别为点M、N，
且垂线分别与函数 y k 的图像交于点B、A，
PA：AN=2：1
x
(1)求点P、点A的坐标;
y
(2) 求 y k (k 0) 中的k值；
x
(3)求点B的坐标；
N AP B
(4)求 S A O B .
(C)
(D)
二、应用举例
例1 已知正比例函数y=kx与反比例函数
y
3 x
的图象都过点A（m，1），求此正比例函数的
解析式及另一个交点的坐标。
分析：把点A的坐标代入反比例函数的解析式中 确定出m的值，然后求出正比例函数的解析式。 联立两个解析式解方程组或利用对称性就可求另 一个交点的坐标。
例2 已知A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数
7.如图所示，正比例函数y=k1x的图象与
反比例函数y= k2的图象交于A、B两点，其
x
中点A的坐标为（ 3 ，2 3 ）。
（1）分别写出这两个函数的表达式。 （2）你能求出点B的坐标吗？
你是怎样求的？ （3）若点C坐标是（–4，
0）.请求△BOC的面积。 C （4）试着在坐标轴上找
点D,使△AOD≌△BOC。
y=kx+b的图象与反比例函数
y
m x
的图象的
两个交点。
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式。
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例
函数的值的x的取值范围
y
A O x B
例3 正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数 y 1 的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂
线交xx 轴于B，连接BC，求△ABC的面积。