2020届高考数学(文)总复习课时练习(含解析)：第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性

课时规范练
A组 基础对点练
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y
＝x为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为
y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝e
x－e－x，f(－x)＝e－x－ex
＝－
(ex－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝e
x－e－x
为奇函数，故选D.
答案：D
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝ln x B．y＝x2＋1
C．y＝sin x D．y＝cos x
解析：A项中的函数是非奇非偶函数；B项中的函数是偶函数但不存在零点；
C项中的函数是奇函数；D项中的函数既是偶函数又存在零点．
答案：D
3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )

A．y＝1x B．y＝|x|－1

C．y＝lg x D．y＝12ln|x|
解析：A项，y＝
1
x
是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；易知B

正确；C项，y＝lg x是非奇非偶函数，故C错误；D项，y＝12ln|x|是递减的．
答案：B
4．设f(x)＝x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是( )
A．f(x)是奇函数 B．f(x)在R上单调递增
C．f(x)的值域为R D．f(x)是周期函数
解析：因为f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sin x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，
故A正确；因为f′(x)＝1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正
确；因为f(x)在R上单调递增，所以f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周
期函数，故选D.
答案：D
5．f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)
3
＋ln(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)
3＋ln(1－x)]＝x3
－ln(1－x)．
答案：C
6．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－1e的解集为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，1)
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：因为f(x)＝e
x－ae－x
为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)

＝ex－e－x在R上单调递增，且f(1)＝e－1e.则由f(x－1)＜e－1e，得f(x－1)＜f(1)，
即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－1e的解集为(－∞，2)．故选
A.
答案：A
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，
f(x)＝6－x，则f(919)＝__________．
解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝
f(1)．又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
8．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式
f(x－2)≥0的解集是__________．
解析：由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－
∞，1]∪[3，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)
9．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋
x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
答案：3
10．函数f(x)＝ex＋3x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)
的和，则g(0)＝________．
解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝e
x
＋3x①，用－x代替x

得h(－x)＋g(－x)＝e－x－3x，因为h(x)为奇函数，g(x)为
偶函数，所以－h(x)＋g(x)＝e－x－3x②.

由(①＋②)÷2得g(x)＝ex＋e－x2，
所以g(0)＝e0＋e02＝1.
答案：1
B组 能力提升练
11．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x

－1)＜f13的x的取值范围是( )
A.13，23 B.13，23
C.12，23 D.12，23
解析：法一：偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
有f(2x－1)＜f13⇔f(|2x－1|)＜f13，
进而转化为不等式|2x－1|＜13，
解这个不等式即得x的取值范围是13，23.故选A.
法二：设2x－1＝t，若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则f(x)在(－∞，0)上单调递减，如图，

∴f(t)＜f13，有
－13＜t＜13，即－13＜2x－1＜13，
∴13＜x＜23，故选A.
答案：A
12．若函数f(x)＝2x＋12x－a是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)

解析：f(－x)＝
2－x＋12－x－a＝2x＋11－a·2x，由f(－x)＝－f(x)得2x＋11－a·2x＝－2
x
＋1
2
x
－a
，即1

－a·2x＝－2x＋a，化简得a·(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1，f(x)＝
2
x
＋1
2
x
－1
.由f(x)>3

得0答案：C
13．已知函数f(x)＝lg({x}－x)，其中{x}表示不小于x的最小整数，则关于f(x)
的性质表述正确的是( )
A．定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．在定义域内为增函数
C．f(x)为周期函数
D．在定义域内为减函数
解析：由题意，得{x}－x＞0，x的取值范围为{x|xZ}，故A错误，由定
义域可知其图象不连续，{x}－x∈(0，1)，故函数是周期函数，在定义域内
不具有单调性，故选C.
答案：C
14．(2019·潍坊模拟)设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且x∈R，满足fx－32＝
fx＋12，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2，0]时，f(x)＝( )
A．|x＋4| B．|2－x|
C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|

解析：∵x∈R，满足f
x－32＝f



x＋

1

2
，

∴x∈R，满足fx＋32－32＝fx＋32＋12，
即f(x)＝f(x＋2)，
若x∈[0，1]，则x＋2∈[2，3]，
f(x)＝f(x＋2)＝x＋2，
若x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]，
∵函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，
∴f(－x)＝－x＋2＝f(x)，
即f(x)＝－x＋2，x∈[－1，0]；
若x∈[－2，－1]，则x＋2∈[0，1]，
则f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4，
x∈[－2，－1]．

综上，f(x)＝x＋4，－2≤x＜－1，－x＋2，－1≤x≤0，故选D.
答案：D
15．已知y＝f(x＋1)＋2是定义域为R的奇函数，则f(e)＋f(2－e)＝________．
解析：法一：y＝f(x＋1)＋2的图象关于原点(0，0)对称，y＝f(x)是由y＝f(x
＋1)＋2的图象向右平移1个单位、向下平移2个单位得到的，则y＝f(x)的
图象关于点(1，－2)对称，则f(e)＋f(2－e)＝－4.
法二：由y＝f(x＋1)＋2是定义域为R的奇函数，得f(－x＋1)＋2＝－[f(x＋
1)＋2]，即f(1－x)＋2＝－f(1＋x)－2，∴f(1＋x)＋f(1－x)＝－4.令x＝e－1，
得f(1＋e－1)＋f(1－e＋1)＝－4，故f(e)＋f(2－e)＝－4.
答案：－4
16．(2019·保定调研)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，
若f(a)＝－2，则实数a＝________.

解析：x≥0时，f(x)＝x(x＋1)＝




x＋

1

2

2

－14的最小值为0，所以f(a)＝－2时，

a＜0，因为f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x(－x＋1)
＝x2－x＝－f(x)，所以x＜0时，f(x)＝－x2＋x，则f(a)＝－a2＋a＝－2，所
以a＝－1.
答案：－1