2012广州一模(数学理)高清扫描 无水
2012届广东省各地市一模试题打包(2,理数)
设 BE x ，则 CE 2 x .
在RtPAQ中,PQA , AQ PA 1. …………11 分
A
D
4
B
Q
在RtABE中, AE 1 x2 ,在RtAQE中, EQ x,
E
C
在RtAQD中DQ 3, 于是 DE x 3 ……………………………13 分
在RtDCE中，有 (x 3)2 (2 x)2 1 解之得 x 2 3 。
(1) 当 E 为 BC 的中点时，求证： PE DE ；
P
(2) 设 PA 1，在 线 段 BC 上 存 在 这 样 的 点 E ，使 得 二 面 角
P ED
A 的平面角大小为
.
试确定点 E 的位置.
4
A
D
数学（理科）试题 A
第3页共4页 B
E
C
第 18 题图
19．（本小题满分 14 分）
y
数学（理科）试题 A 第 5 页 共 4 页
A(1,2)
x
11．【解析】双曲线 y 2 x 2 1 的两条渐近线为 y 1 x ，
4
2
抛物线 y2 8x 的准线为 x 2 ，
当直线 y x z 过点 A(1, 2) 时， zmax 3 .
12．【解析】 x y 9, 5 x y 14 0.7 .另解：1 2 4 0.7
y A
·P
OC
B x
20．（本小题满分 14 分）
已知向量 a (x2 3,1), b (x, y) ，（其中实数 x 和 y 不同时为零），当 | x | 2 时，有 a b ，当
| x | 2 时， a // b ．
（1）求函数式 y f (x) ；
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理科数学)
3 3 3 3 (C4 C3 C3 4 3 3) A3 42 6 252
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题， 每小题5分，满分30分。
9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积 为 .
2 2 2 2 2
3
2
1 4 3 V (2 2) 3 3 3
2
2
10.已知2 ( kx 1)dx 4, 则实数k的取值范围为
2
2
.
2
2 1 1 2 kx x 1 (2k 2) k 1 1 (kx 1)dx 2 2 3 k 1 2 3 2
2
k 1 4,
。
a1 1, a2 5 1 4, a3 12 1 4 7, a4 22 1 4 7 10
3 2 1 k 3， k2 2 3
2 实数k的取值范围是 ， 2 3
11.已知幂函数y ( m 5m 7) x
2
m2 6
在区间(0, )上单调
递增，则实数m的值为
.
m 5m 7 1, m 5m 6 0,(m 2)(m 3) 0
a 1 1 a 1 2
1 x 2
a 1 1
2 a1
13.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在 沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来 表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类， 如图2中的实心点个数1， 5， 12， 22，…,被称为五角形数，其 中第1个五角形数记作a1 =1, 第2个五角形数记作a2 =5, 第3个 五角形数记作a3 =12, 第4个五角形数记作a4 =22, 规律继续下去，则a5 , 若an 145, 则n , 若按此
广东省实验中学2012届高三 一模 数学理
2011—2012学年度下学期高三年级联考试题(理科数学)本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x∈R |x<5-2}，B={1，2，3，4)，则(C R A) B=( ) A ．{1，2，3，4} B ．{2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}2、已知函数①y=sinx+cosx ，②y=22sin xcosx ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点(-4π，0)成中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x=-4π成轴对称C ．两个函数在区间(-4,4ππ)上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同3、设f(x)=[][]⎩⎨⎧∈-∈2,121,02x xx x ,则⎰2)(dx x f 的值为( )A ．43B ．54C ．65D ．674、一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位cm)，则该三棱柱的表面积为( )A ．(24+83)cm 2B ．24πcm 2C ．314cm 2D ．318cm 2 5、下列四个命题中，正确的是( )A ．已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(-2≤ξ≤0)=0.4，则P （ξ>2）=0.2 B ．设回归直线方程为y=2-2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位C ．已知命题p ：∃x∈R，tanx=1；命题q ：∀x∈R，x 2-x+1>0．则命题“p ∧﹁q ”是假命题 D ．已知直线l 1：ax+3y-1=0,l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是 ba =-36、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是 第一个数是1，第二个数比第一个数大1， 第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题 的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入( )A ．i≤30?；p=p+i-1B ．i≤29?；p=p+i+1C ．i≤31?：p=p+iD ．i≤30?；p=p+i7、已知k ∈AB Z ,=(k,1),AC =(2,4)，若AB ≤10,则△ABC 是直角三角形的概率是( ) A ．74 B ．73 C ．72 D ．718、设函数f(x)的定义域为R ，若存在常数M>0使x M x f ≤)(对一切实数x 均成立，则称函数f(x)为F 函数．现给出下列函数①f(x ）=x 2，②f(x)=122+-x x x③f(x)=x(1-2x)，④f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1x 2均有212)()(21x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为( )A.① ② ③B.② ④C. ② ③D.③ ④二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按1题给分，共30分）（一）必做题 （9～13题） 9、i 是虚数单位，ii -12的共轭．．复数的数是________ 10、若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+5402y x y x ，则s=y-x 的最小值为________11、已知(xx 321⋅-)n 展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为________12、已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-7n ，且满足16<a k +a k+1<22，则正整数k=_______13、已知函数f(x)=221x -alnx (a∈R)，若函数f(x)在[1,2]为增函数，且f /(x)在[1，2]上存在零点(f /(x)为f(x)的导函数)，则a 的值为___________(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14、(极坐标与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程 是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253(t 为参数).设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，则MN 的最大值为____________15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相 垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆0交于F ， 若∠CFE=α()2,0(πα∈)，则∠DEB___________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
2012年数学综合测试(一)理科答案(发排稿)
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分()tan α=+π……………………………………………………………………6分tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos α=，sin α=10分 所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分525210⎛⎫=-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有情况如下表：所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 ……………………10分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分 因为PD ⊥AC ，所以△PCD为直角三角形． 因为PD =，3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =，1DE =，所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt△PBD 中，因为PD =，BD， 所以PB ===．…………………………………………………6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC=，所以AC BE ⊥． 因为AB BC ==4=AC，所以BE ==3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =，BD ，所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分BPACDE（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为PD =，所以13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯13=⨯=10分 由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC，PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即1333AH ⨯⨯=所以3AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 2AH APH AP ∠=== 所以直线AP 与平面PBC14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P =，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt△PAD 中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分 由（1）知BD=，PB=PD ，所以PD BD DN PB ⨯===13分 BP A CDM N因为2sin 32DN DMN DE ∠===所以直线AP 与平面PBC14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△PCG中，PB BG BC === 所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =， 所以222PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以PG PC ==．在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分 在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分因为sin AG APK PG ∠===． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACDEGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =-，()2,0BC =． 因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -． 于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ，则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP 与平面PBC 14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分 所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x ()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分 因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分 12n +≤， ……，12n +≤， 将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分。
2012年广州一模数学试题
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学( 理科 ) 一.选择题（40分）1.已知复数)1(i i bi a -=+（其中R b a ∈,，i 是虚数单位），则b a +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．2 2．已知全集R U =，函数11+=x y 的定义域为集合A ，函数)2(log 2+=x y 的定义域为集合B ，则=⋂B A C U )(（）A ．)1,2(--B ．]1,2(--C ．)2,(-∞-D ．),1(∞+-3．如果函数)6sin()(πω+=x x f （0>ω）的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．24 4．已知点),(b a P 是圆222:r y x O =+内一点，直线l 的方程为02=++r by ax ，那么直线l 与圆O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定 5．已知函数12)(+=x x f ，对于任意正数a ，a x x <-||21，是a x f x f <-|)()(|21成立的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．已知两个非零向量a 与b ，定义θsin ||||||=⨯，其中θ为与的夹角，若)4,3(-=a ，)2,0(=b ，则||b a ⨯的值为（）A ．8-B ．6-C ．8D ．6７．在ABC ∆中，︒=∠60ABC ，2=AB ，6=BC ，在BC 上任意取一点D ，使得ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ）A ．61B ．31C ．21D ．32 8．从9,8,7,6,5,4,3,2,1,0这十个数中任取三个不同的数字构成空间直角坐标系中的点坐标),,(z y x ，若z y x ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为（ ）A ．252B ．216C ．72D ．42二．填空题（30分） （一）必做题9．如图是一个空间几何体的 三视图，正视图、侧视图均为边 长为2的正三角形，俯视图为边长为2的正方形，则该几何体的体 积为10．已知4)1(221≤+≤⎰dx kx ，则实数k 的取值范围是 11．已知幂函数622)75(-+-=m x m m y 在区间),0(∞+上单调递增，则实数m 的值为12．已知集合}21|{≤≤=x x A ，}1|||{≤-=a x x A ，若A B A =⋂，则实数a 的取值范围是13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数,22,12,5,1，被称为五角形数，其中第1个五角形数记为11=a ，第2个五角形数记为52=a ，第3个五角形数记为123=a ，第4个五角形数记为,224=a ，若按照此规律继续下去，则=5a ，若145=n a ，则=n．（二）选做题14．（几何证明选讲）如图，圆O 的 半径为cm 5，点P 是弦AB 的中点，cm OP 3= ，弦CD 过点P ，31=CD CP ，则弦CD 的长为15．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，直线l 与曲线C 的参数方程分别为⎩⎨⎧-=+=sy sx l 11:（s 是参数）和⎩⎨⎧=+=22:t y t x C （t 是参数），若l 与C 相交于A 、B ，则=||AB三．解答题16．（12分）已知函数)43tan()(π+=x x f（1）求)9(πf 的值；（2）设)23,(ππα∈，若2)43(=+παf ，求)4cos(πα-的值．●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●● ●●1７．（12分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示，已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两个小组的同学中随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）18．（14分）如图所示，在三棱锥ABC P -中，6==BC AB ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1=AD ，3=CD ，3=PD ．（1）证明PBC ∆为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．PABCD19．（14分）等比数列}{n a 的各项均为正数，42a ，3a ，54a 成等差数列，且2232a a =．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n a n n n b )32)(12(52+++=，求数列}{n b 的前n 项和．20．（14分）已知椭圆1422=+y x 的左右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 以A 、B 为顶点，离心率为5的双曲线．设点P 在第一象限，且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，求证：121=x x ；（3）设TAB ∆与POB ∆（O 为坐标原点）的面积分别为1S 、2S ，15≤⋅PB PA ，求2221S S -的取值范围．21．（14分）设函数x e x f =)(（e是自然对数的底数），!!3!21)(32n x x x x x g nn +++++= (*N n ∈）．（1）证明：)()(1x g x f ≥；（2）当0>x 时，比较)(x f 与)(x g n 的大小，并说明理由； （3）证明：e g n n n<≤+++++)1()12()32()22(121 （*N n ∈）．。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理科数学)
x = 1+ s ∴ y = 2− x y = 1− s
2
x = t + 2 2 ⇒ y = ( x − 2) 2 y = t
∴ 2 − x = ( x − 2) , 解得：x = 2或x = 1
∴ A(1,1), B(2, 0),| AB |= 2
小题， 三、解答题：本大题共6小题，满分 分，解答须 解答题：本大题共 小题 满分80分 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 写出文字说明、证明过程或演算步骤。
π
3π 16.已知函数f ( x ) = tan(3 x + ).(1)设α ∈ π， 4 2
π
,
π 若f ( + ) = 2, 求 cos α − 的值. 3 4 4 3π π α π (2) f + = tan α + + = tan(α + π ) = tan α = 2 4 4 3 4 sin α 3π 2 2 ∴ = 2, 又 Q sin α + cos α = 1且考虑到α ∈ π， cos α 2
∴ (C + C + C + 4 × 3 × 3) ⋅ A = 42 × 6 = 252
3 4 3 3 3 3 3 3
小题， 小题， 二、填空题：本大题共7小题，考生作答 小题， 填空题：本大题共 小题 考生作答6小题 每小题5分 满分30分 每小题 分，满分 分。
9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积 如 为 .
1
x +1 y = log 2 ( x + 2)的定义域为集合B，则集合(CU A) I B = (D ) C .( −∞ , −2) D.( −1, +∞ )
广东省广州市海珠区中考数学一模试题
2012年海珠区初中毕业班综合调研测试数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试用时120分钟，可以使用计算器．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．计算=-3)1(（）A. 1B. -1C. 3D. -32．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3．4的平方根是（）A．2 B．-2 C．±2 D．164．如图,∠1与∠2是同位角，若∠2=65°，则∠1的大小是（）A．25° B．65° C．115°D．不能确定5．下列运算正确的是（）A．236·a a a= B．34xxx=÷ C．532)(xx= D．aaa632=⋅6．图中三视图所对应的直观图是（）A． B． C． D．7．在某市初中学业水平考试体育学科的800米耐力测试中，某考点同时起跑的甲和乙所跑第4题图21第6题图的路程S （米）与所用时间t （秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD .则下列说法正确的是（ ）A. 在起跑后 180 秒时，甲乙两人相遇B. 甲的速度随时间的增加而增大C. 起跑后400米内，甲始终在乙的前面D. 甲比乙先到终点8．在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道 自己是否能进入前8名，除了知道自己的成绩以外，还需要知道全 部成绩的（ ）A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差 9．若二次函数的解析式为3422+-=x x y ，则其函数图象与x 轴交点的情况是（ ） A ．没有交点 B ．有一个交点 C ．有两个交点 D ．无法确定10．如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，∠BCA =90°，∠BAC =30°，AB =6，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D重合，则DE 的长度为（ ）A ．6B ．3C ．32D ．3第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．分解因式=+-2422x x ． 12．函数11-=x y 中x 的取值范围是 ．13．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,若︒=∠20C ,则=∠BOC °． 14．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若DE 的长是3，则BC的长是 ． 15．方程组⎩⎨⎧=-=+112312y x y x 的解是 ．16．定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 第13题图B OCAED BCA第14题图ABC ECB是3a 的差倒数，……，依此类推，则2012a = ．三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）（1）解方程xx 332=- （2）先化简，再求值：xy y y x x -+-22，其中31+=x ，31-=y ．18．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直角梯形OABC ，BC AO ∥，(20)A -，，(11)B -，，将直角梯形OABC 绕点O 顺时针旋转90后，点AB C ，，分别落在点A B C '''，， 处．请你解答下列问题：（1）在图中画出旋转后的梯形OA B C '''；并写出'A ，'B 的坐标；（2）求点A 旋转到A '所经过的弧形路线的长．19．（本小题满分10分）“戒烟一小时，健康亿人行”．今年国际无烟日，小华就公众对在餐厅吸烟的态度进行了随机抽样调查，主要有四种态度：A ．顾客出面制止；B ．劝说进吸烟室；C ．餐厅老板出面制止；D ．无所谓．他将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中的信息回答下列问题：(1)求这次抽样的公众有多少人？ (2)请将统计图①补充完整；(3)在统计图②中，求“无所谓”部分所对应的圆心角是多少度？(4)若城区人口有20万人，估计赞成 “餐厅老板出面制止”的有多少万人？ (5)小华在城区中心地带随机对路人进行调查，请你根据以上信息，求赞 成“餐厅老板出面制止”的概率是 多少？20．（本小题满分10分）如图，在□ABCD 的对角线AC 上取两点E 和F ，若AE=CF. 求证：∠AFD=∠CEB. 21．（本小题满分10分）第20题图 Ｂ ＣＡxy第18题图 Ｏ第22题图 甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东30° 方向航行，乙船沿北偏西45°方向航行，1小时后甲船到达B 点，乙船 正好到达甲船正西方向的C 点，问甲、乙船之间的距离是多少海里？ （结果精确到0.1米）22．（本小题满分12分）已知：如图，在平面直角坐标系xoy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上， ∠C=90°，点D 在第一象限，OC=3，DC =4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边DC 交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．23．（本小题满分12分）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8︰3︰2，且其单价和为130元．⑴求篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？⑵若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有哪几种购买方案？24．（本小题满分14分）如图1，在ABC ∆中，5==BC AB ，6=AC ，ECD ∆是ABC ∆沿BC 方向平移得到的，连接AE 、AC 、BE ，且AC 和BE 相交于点O ． （1）求证：四边形ABCE 是菱形；（2）如图2，P 是线段BC 上一动点(不与B 、C 重合)，连接PO并延长交线段AE 于点Q ，过Q 作BD QR ⊥交BD 于R ． ①四边形PQED 的面积是否为定值？若是，请求出其值； 若不是，请说明理由；②以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与以点B 、C 、O 为顶点的三角形是否可能相似？若可能，请求出线段BP 的长； 若不可能，请说明理由．25．（本小题满分14分）如图，在直角坐标系xoy 中，已知点)3,2(P ，过P 作轴y PA ⊥交y 轴于点A ，以点第24题图1DCOBA E 第24题图2PQ R ABOC EDP 为圆心PA 为半径作⊙P ，交x 轴于点C B ,，抛物线c bx ax y ++=2经过A ，B ，C三点．（1）求点A ，B ，C 的坐标； （2）求出该抛物线的解析式；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABCP 的面积是BPQ ∆面积的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．2012年海珠区初中毕业班综合调研测试数学参考答案暨评分参考一、选择题（每题3分，共30分）1-10：BBCDB CDCAC二、填空题（每题3分，共18分）11．2)1(2-x 12．1>x 13．40° 14．6 15．⎩⎨⎧-==13y x 16．43三、解答题（其余解法参照提供的答案给分）17．（1）解：)3(32-=x x ……………………………………………………2分9=x ………………………………………………………………2分经检验，9=x 是原方程的解 ………………………………………1分（2）解：原式y x y y x x ---=22yx y x --=22………………………………………2分 yx y x y x --+=))((y x += ………………………………………2分当31+=x ，31-=y 时，原式3131-++=2= …………1分18．（1）梯形OA B C '''即为所求（图略） ………………………………………4分)20(，A '，)1,1(B ' ………………………………………………………2分（2）2236090⨯⨯︒︒=πl π=……………………………………………………4分 19．（1）200%1020=÷（万）…………………………………………………2分 （2）601011020200=---（人），图略…………………………………2分（3）︒=︒⨯1836020010………………………………………………………2分（4）62006020=⨯（万） ……………………………………………………2分（5）%30%10020060=⨯=P …………………………………………………2分20．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴BC AD =,AD ∥BC ……………………………………………2分∴BCE DAF ∠=∠ …………………………………………………2分 ∵CF AE =∴EF CF EF AE +=+即CE AF = …………………………………………………………2分 在DAF ∆和BCE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE AF BCE DAF BC AD ∴DAF ∆≌BCE ∆……………………………………………………2分 ∴BEC DFA ∠=∠……………………………………………………2分21．解：过A 作BC AD ⊥交BC 于D ，则︒=∠30BAD ,︒=∠45CAD ………2分∵BC AD ⊥∴︒=∠90ADB ，︒=∠90ADC∵︒=∠30BAD ,︒=∠90ADB ,60160=⨯=AB∴30602121=⨯==AB BD ……………………………………………2分 DAB AB AD ∠=cos ︒⨯=30cos 60330= ………………………2分∵︒=∠90ADC ,︒=∠45CAD ,330=AD∴330==AD CD …………………………………………………2分 ∵BD CD BC +=∴8.8130330≈+=BC ……………………………………………1分答：甲乙两船之间的距离大约是81.8海里………………………………1分22．解：（1）过A 作x AE ⊥轴且交x 轴于点E ，则︒=∠90AEO ……………1分∵︒=∠90DCO ∴AE ∥CD∵点A 是线段OD 的中点∴242121=⨯==CD AE ………………………………………1分 5.132121=⨯==OC OE ………………………………………1分∴)2,5.1(A设该反比例函数解析式为x k y 1=，则5.121k=…………………1分 ∴31=k ……………………………………………………………1分故所求反比例函数解析式为x y 3=……………………………………1分 （2）当3=x 时，反比例函数x y 3=的函数值是133==y ，故)1,3(B ……………………………………………………………1分 设所求一次函数的解析式为b x k y +=2，则⎩⎨⎧+=+=b k b k 22315.12解之得⎪⎩⎪⎨⎧=-=3322b k …………………………………4分 故所求一次函数的解析式为332+-=x y ………………………………1分 23．解：（1）设篮球、羽毛球拍和兵乓球拍的单价分别为x x x 2,3,8，………1分则有130238=++x x x ……………………………………………1分 解之得10=x ……………………………………………………1分 故201022,301033,801088=⨯==⨯==⨯=x x x答：篮球单价为80元/个，羽毛球拍单价为30元/副，乒乓球拍单价为20元/副……………………………………………………………………………1分（2）设购买篮球y 个，则购买羽毛球拍y 4副，乒乓球拍)580(y -副，由题意得…………………………………………………………………………2分⎩⎨⎧≤-+⨯+≤-3000)580(204308015580y y y y …………………………………2分 解之得：1413≤≤y ……………………………………………………2分当13=y 时，15580,524=-=y y当14=y 时，10580,564=-=y y ………………………………………1分故有以下两种购买方案：篮球13个，羽毛球拍52副，乒乓球拍15副；篮球14个，羽毛球拍56副，乒乓球拍10副. ………………………………………1分 24．（1）证明：∵ABC ∆沿BC 方向平移得到ECD ∆∴BC AE AB EC ==, ………………………………………2分 ∵BC AB =∴AE BC AB EC ===………………………………………1分 ∴四边形ABCE 是菱形………………………………………1分（2）①四边形PQED 的面积是定值 ………………………………………1分过E 作BD EF ⊥交BD 于F ，则︒=∠90EFB ………………………1分 ∵四边形ABCE 是菱形∴AE ∥BC ,OE OB =,OC OA =,OB OC ⊥ ∵6=AC ∴3=OC ∵5=BC∴4=OB ,53sin ==∠BC OC OBC ………………………………………1分∴8=BE∴524538sin =⨯=∠⋅=OBC BE EF …………………………………1分 ∵AE ∥BC∴CBO AEO ∠=∠，四边形PQED 是梯形 在QOE ∆和POB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠POB QOE OBOE CBO AEO ∴QOE ∆≌POB ∆∴BP QE =………………………………………………………………1分 ∴EF PD QE S PQED ⨯+=)(21梯形EF PD BP ⨯+=)(21EF BD ⨯⨯=21EF BC ⨯⨯=221EF BC ⨯=245245=⨯=………………………………………1分 ②PQR ∆与CBO ∆可能相似…………………………………………………1分 ∵︒=∠=∠90COB PRQ ，CBO QPR ∠>∠∴当BCO QPR ∠=∠时PQR ∆∽CBO ∆…………………………………1分 此时有3==OC OP过O 作BC OG ⊥交BC 于G 则△OGC ∽△BOC ∴CG ：CO ＝CO ：BC即CG :3＝3:5，∴CG =95………………………………………………………1分∴PB ＝BC －PC ＝BC －2CG ＝5－2×95＝75…………………………………1分25．解：（1）过P 作BC PD ⊥交BC 于D ,由题意得:2===PC PB PA ,3==OA PD∴1==CD BD , ∴1=OB∴)3,0(A ,)0,1(B ,)0,3(C ………………………………………3分 （2）设该抛物线解析式为：)3)(1(--=x x a y ，则有)30)(10(3--=a 解之得33=a 故该抛物线的解析式为)3)(1(33--=x x y …………………………3分 （3）存在…………………………………………………………………1分∵︒=∠90BDP ,2,1==BP BD ∴21cos ==∠BP BD DBP ∴︒=∠60DBP ……………………………………………………1分 ∴︒=∠60BPA∴ABP ∆与BPC ∆都是等边三角形∴BCP ABP ABCP S S S ∆∆==22四边形……………………………………1分 ∵)0,1(B ，)3,2(P∴过P B ,两点的直线解析式为：33-=x y …………………1分则可设经过点A 且与BP 平行的直线解析式为：13b x y +=且有1033b +⨯=解之得31=b 即33+=x y解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+=)3)(1(3333x x y x y 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==38730y x y x 或 也可设经过点C 且与BP 平行的直线解析式为：23b x y +=且有2330b +=解之得332-=b 即333-=x y解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)3)(1(33333x x y x y 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3403y x y x 或 ∴)3,4(),0,3(),38,7(),3,0(Q …………………………………4分。
2012广州天河初三数学一模(含答案)
2012年天河区初中毕业班综合练习一数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的班级、姓名、座位号；填写考号，再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．6-的绝对值是（）．A．6-B．6C．16D．16-2．已知△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，则∠C =（）．A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱体组成，它的主视图是( ).5．己知△ABC和△DEF的相似比是1：2，则△ABC和△DEF的面积比是（）．A.2：1B.1：2C.4：1D.1：46．下列计算正确的是（ ）．A. a 2＋a 3＝a 5B. a 6÷a 3＝a 2C. 4x 2－3x 2＝1D. (－2x 2y )3＝－8 x 6y 3 7．下列各点中，在函数21y x =-图象上的是（ ）．A. 5(,4)2--B. (1,3)C. 5(,4)2D. (1,3)-8．五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（ ）．A. 19和20B. 20和19C. 20和20D. 20和219．抛物线223y x =-的对称轴是（ ）．A. y 轴B. 直线2x =C. 直线34=x D.直线3x =-10．如果△+△=＊，○=□+□，△=○+○+○+○，则＊÷□=（ ）.A. 2B. 4C. 8D. 16第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．命题“如果0a b +>，那么0,0a b >>”是 命题（填“真”或“假”）． 12．9的算术平方根是 ．13．因式分解:21x -= ．14．等腰三角形的两边长分别为4和8，则第三边的长度是 ．15．将点A （2，1）向右平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是 ． 16．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.三、解答题（本大题共9小题，共102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分9分）解不等式2(1)34x x +>-，并在数轴上表示它的解集. 18．（本小题满分9分）同时投掷两个正方体骰子，请用列举法求出点数的和小于5的概率.先化简式子231111x x x x x -÷--+-，然后从22x -<≤中选择一个合适的整数x 代入求值.20．（本小题满分10分）如图，ABC ∆的三个顶点都在55⨯的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上.（1）在网格中画出将ABC ∆绕点B 顺时针旋转90°后的 △A ′BC ′的图形.（2）求点A 在旋转中经过的路线的长度.（结果保留π）21．（本小题满分12分）如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAE ，且交BF 于点C ，在AE 上取一点D ，使得AD=BC ，连接CD 和BD ,BD 交AC 于点O .（1）求证：△AOD ≌△COB （2）求证：四边形ABCD 是菱形.22．（本小题满分12分）某班将开展“阳光体育”活动，班长在班里募捐了80元给体育委员小明去购买体育用品.小明买了5个毽子和8根跳绳，毽子每个2元，共花了34元.买回后班长觉得用品不够，还需再次购买，下面两图是小明再次买回用品时与班长的对话情境，请根据所给的信息，解决问题：（1）试计算每根跳绳多少元？（2）试计算第二次买了毽子和跳绳各多少件？ （3）请你解释：为什么不可能找回33元？第20题如图，直线l 经过点A （1，0），且与曲线m y x =（x交于点B （2，1）．过点P （p ，p －1）（p ≥2）作x 别交曲线my x =（x ＞0）和m y x=-（x ＜0）于M ，N （1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）是否存在实数p ，使得S △AMN =4S △APM ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．24．（本小题满分14分）如图（1），AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ， 若8,6==OC OB ， （1）求BC （2）求证：（32211OBOF=如图（2），在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥， 垂足为D ，设,BC a AC b ==，C D h =，则有等式222111hba=+成立．请你判断小叶的结论是否正确，若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由.25．（本小题满分14分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1-=x y ，令0=y ，可得1=x ，我们就说1是函数1-=x y 的零点．请根据零点的定义解决下列问题：已知函数)3(222+--=m mx x y （m 为常数）． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且411121-=+x x ，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B （点A 在点B 左侧），点M 在直线10-=x y 上，当MA +MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．第23题第24题图（1）第24题图（2）2012年天河区初中毕业班综合练习一（数学）参考答案说明：1、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，各题组可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本题有9个小题, 共102分。
2012届广东省各地市一模试题1
ABCD 图1江门市2012年高考模拟考试数 学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：1．锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．2．用最小二乘法求线性回归方程系数公式2121 xn x yx n y xb ni i ni i i--=∑∑==，x b y a-=．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知复数i z -=1（i 是虚数单位），若R a ∈使得Rz z a ∈+，则=aA ．21 B ．21-C ．2D ．2- ⒉已知函数||lg )(x x f =，Rx ∈且0≠x ，则)(x f 是A ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递增B ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递增C ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递减D ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递减 ⒊从一个五棱锥的顶点和底面各顶点（共6个点）中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于 A ．21 B ．31C ．41 D ．51⒋如图1，ABC ∆中，3=AC ，4=BC ，o 90=∠C ，D 是BC 的中点，则=⋅ AD BAA ．0B ．135C ．17D ．17-⒌有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：平均气温（℃） 2- 3- 5- 6- 销售额（万元） 20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y 与平均气温x 之间线性回归方程a x by ˆˆ+=的系数4.2ˆ-=b ．则预测平均气温为8-℃时该商品销售额为 A ．6.34万元 B ．6.35万元 C ．6.36万元 D ．6.37万元绝密★启用前 试卷类型：B43正视图侧视图俯视图图232 , 1==s i开始21>s1+=s s s1+=i i是输出i结束否图3⒍下列命题中，真命题的个数．．是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ①不等式1|3|>-x 的解集是) , 4(∞+．②命题“任意素数都是奇数”的否定是“任意素数都不是奇数”． ③平行于同一平面的两平面互相平行． ④抛物线22x y =的焦点坐标是)21, 0(．⒎如图2，某几何体的正视图和侧视图都是对角线长分别 为4和3的菱形，俯视图是对角线长为3的正方形，则 该几何体的体积为 A ．36 B ．18 C ．12 D ．6 ⒏定义bc ad dc b a -= ，其中a ，b，c ，{}4 , 3 , 2 , 1 , 1-∈d ，且互不相等．则dc b a 的所有可能且互不相等的值之和等于A ．2012B ．2012-C ．0D ．以上都不对二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐已知数列{}n a 的前n 项和为n S n n )1(-=，则=n a ．⒑在平面直角坐标系xOy 中，以点)1 , 1(-M 为圆心，且与直线022=+-y x 相切的圆的方程是 ．⒒以初速度s m /40垂直向上抛一物体，t 时刻(单位：s ) 的速度为t v 1040-=(单位：s m /)，则物体能达到的 最大高度是 （提示：不要漏写单位）． ⒓已知x 、y 满足⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤0242y x y x ，则y x -2的最大值是 ．⒔执行如图3所示的程序框图，输出的=i ．∙O ABCDE图4(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕（几何证明选讲选做题）如图4，AD 是ABC ∆的高，AE是ABC ∆外接圆的直径。
2012年广州一模理科数学参考答案
2012年广州一模理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：9．334；10．]2,32[；11．3；12．]2,1[；13．35，10；14．26；15．2． 三、解答题：16．（1）3231134tan3tan 14tan3tan)43tan()9(--=-+=-+=+=πππππππf ．（2）∵2tan )tan()443tan()43(==+=++=+απαππαπαf ，∴2cos sin =αα，即ααcos 2sin =，①又∵1cos sin 22=+αα，② ∴由①、②解得51cos 2=α．∵)23,(ππα∈，∴55cos -=α，552sin -=α， ∴1010322)552(22)55(4sinsin 4coscos )4cos(-=⨯-+⨯-=+=-παπαπα． 17．（1）依题意，得)95939087(41)96968987(41++++⨯=+++⨯a ，∴3=a ． （2）根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92=x ．∴乙组四名同学数学成绩的方差9])9295()9293()9293()9287[(4122222=-+-+-+-=s ．（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有1644=⨯种可能的结果．这两名同学成绩之差的绝对值的所有可能情况如下表：∴X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9．由表可得161)0(==X P ，162)1(==X P ，161)2(==X P ，164)3(==X P ， 162)4(==X P ，163)6(==X P ，161)8(==X P ，162)9(==X P ． ∴随机变量X∴随机变量X 417166816291618163616241643161216211610==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX ． 18．（1）取AC 中点E ，连结BE ，在ABC ∆中，6==BC AB ，1=AD ，3=CD ，∴4=AC ，∴1=DE ，22)6(2222=-=-=CE BC BE ，∴31)2(2222=-=+=DE BE BD ．∵面⊥PAC 面ABC ，面⋂PAC 面AC ABC =，⊂PD 面PAC ，AC PD ⊥，∴⊥PD 面ABC ．又∵⊂BD 面ABC ，∴BD PD ⊥，∴622=+==BD PD PB ． ∵DC PD ⊥，∴323)3(2222=+=+=DC PD PC ．又∵6=BC ，∴222PC BC PB =+，∴PBC ∆为直角三角形，且PB BC ⊥． （2）取PB 中点M ，连结DM ．∵⊥PD 面ABC ，⊂BC 面ABC ，∴BC PD ⊥，又∵PB BC ⊥，P PB PD =⋂，∴⊥BC 面PBD ．∵⊂DM 面PBD ，∴⊥BC DM ． 在PBD ∆中，3==BD PD ，M 为PB 中点，∴PB DM ⊥． 又∵B PB BC =⋂，∴⊥DM 面PBC ． 取AB 中点N ，连结MN 、DN ，则BE DN 21//，PA MN 21//． ∴DMN ∠为异面直线PA 与DM 所成的角，设为θ． ∵26)26()3(2222=-=-=PM PD DM ，2221==BE DN ，121==PA MN ， ∴361262)22(1)26(2cos 222222=⨯⨯-+=⨯⨯-+=MNDM DN MN DM θ． 设直线AP 与平面PBC 所成的角为α，则α与θ互余，∴36cos sin ==θα． 19．（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，依题意，有⎩⎨⎧=+=2235432422a a a a a ，即∴⎩⎨⎧=+=2212141312122q a q a q a q a q a ． ∵01>a ，0>q ，∴211==q a ．∴n n a 21=（+∈N n ）．（2）由（1）得nn n n n n n n n n n n b 2)32(12)12(121)31122(21)32)(12(521+-+=+-+=⋅+++=-， ∴++=21b b S n …n b ++⨯-⨯+⨯-=)271251()25131(2…n n n n n n 2)32(131]2)32(12)12(1[1+-=+-++-． 20．（1）依题意，可得)0,1(-A ，)0,1(B ．设双曲线的方程为1222=-by x （0>b ），∵双曲线的离心率为5，∴5112=+b ，即2=b ．∴双曲线的方程为1422=-y x ． （2）设点),(11y x P ，),(22y x T ，（01>x ，02>x ，01>y ，02>y ）则111+=x y k AP，122+=x y k AT ，∴112211+=+x y x y ，∴22222121)1()1(+=+x y x y ．又∵点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，∴142121=-y x ，142222=+y x ，即442121-=x y ，222244x y -=，∴22222121)1(44)1(44+-=+-x x x x ，即11112211+-=+-x x x x ，∴121=x x ．（3）),1(11y x ---=，),1(11y x --=，∵15)1)(1(2111≤+---=⋅y x x ，∴162121≤+y x ．又∵442121-=x y ，∴421≤x ． ∵点P 是双曲线在第一象限内的一点，∴211≤<x ． ∵22121y y AB S ==，1122121y y OB S ==，∴2221212222214541x x y y S S --=-=-， 由（2）知121=x x ，∴121x x =，∴2121222145x x S S --=-． 设21x t =，则tt S S 452221--=-，41≤<t ． 设t t t f 45)(--=，则2/41)(tt f +-=，当21<<t 时，0)(/>t f ，当42≤<t 时，0)(/<t f ．∴)(t f 在)2,1(上单调递增，在]4,2(上单调递减．∵1)2(=f ，0)4()1(==f f ，∴1)2()(m ax ==f t f ，0)4()(m in ==f t f ．∴2221S S -的取值范围为]1,0[．21．（1）设1)()()(11--=-=x e x g x f x h x ，则1)(/1-=x e x h ．令0)(/1>x h ，得0>x ；令0)(/1=x h ，得0=x ；令0)(/1<x h ，得0<x ．即函数)(1x h 在)0,(-∞上单调递减，在),0(+∞上单调递增，在0=x 处取得唯一极小值． ∴对于任意实数x ，都有0)0()(11=≥h x h ，即0)()(1≥-x g x f ．∴)()(1x g x f ≥．（2）设)!!3!21()()()(32n x x x x e x g x f x h nxn n +⋅⋅⋅++++-=-=（+∈N n ）， 记)()(1/x h x h n n-=（+∈N n ），则])!1(!3!21[)(1321-+⋅⋅⋅++++-=--n x x x x e x h n xn ， ])!2(!3!21[)(2322-+⋅⋅⋅++++-=--n x x x x e x h n xn ，…，)1()(1x e x h x +-=．由（1）知0)(1>x h 在),0(+∞上恒成立，∴)(2x h 在),0(+∞上单调递增， ∴0)(2>x h 在),0(+∞上恒成立，∴)(3x h 在),0(+∞上单调递增，……∴)(x h n 在),0(+∞上单调递增，∴当0>x 时，0)0()(=>n n h x h ，即)()(x g x f n >． （3）由（2）知)1()1(f g n <，即e g n <)1(．下面证明不等式的另一部分：要证明)1()12()42()32()22(1321n n g n ≤++⋅⋅⋅++++，只需证明!1)12(n n n ≤+， 即证明n n n )21(!+≤，即证明12)1(-+≤n n nn n ，也即证明nn n n n )11()1(2+=+≤． 当1=n 时，1)111(2+=；当2≥n 时，211)11(1010=+>⋅⋅⋅++=+nC C n C C n n n nn n ， ∴n n)11(2+≤对一切+∈N n 都成立， 从而不等式)1()12()42()32()22(1321n ng n ≤++⋅⋅⋅++++成立． 故e g n n n<≤++⋅⋅⋅++++)1()12()42()32()22(1321（+∈N n ）． 【注】第（2）问可用数学归纳法证明；第（3）问中nn n )21(!+≤的证明也可以用数学归纳法证明，也可以考虑基本不等式211+≤⋅n n ，212)1(+≤⋅-n n ，213)2(+≤⋅-n n ，…，211+≤⋅n n ，将这n 个不等式相乘，得证．。