湖南省长郡中学高中数学 1.2.1第4课时 函数的表示法(3)值域的求法课件 新人教A版必修1
高中数学：函数的值域
①若 b [a,b],则 f ( b ) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，
2a
2a
再比较 f (a), f (b) 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 b [a,b],则[a ,b]是在 f (x) 的单调区间内，只需比较 f (a), f (b) 的大小 2a
即可决定函数的最大（小）值.
5、分式函数（分离常数法）
例 5 求函数 y＝xx＋＋12的值域. 【解析】 y＝xx＋ ＋12＝x＋x＋2－2 1＝1－x＋1 2. 因为x∈R且x≠－2，所以y≠1. 所以值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
思考题 求函数 y＝25x－＋x5的值域.
【解析】
y＝－（2（x＋x＋52）52）＋125＝－12＋4x＋1510，
y x2 2x 3 x
例 7 求函数 y＝|x＋3|＋|x－5|的值域. 【答案】 [8，＋∞)
探究 7 数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于 几何方法求出函数的值域.
思考题 7 求函数 y＝|x－2|－|x＋1|的值域. 【答案】 [－3，3]
4 x 的值域是 { y| y
2} 新疆 王新敞
奎屯
④ y x2 4x 1, x [0,5]
（分离常数法）
解：③ y x x 11 1 1
x 1 x 1
x 1
∵ 1 0 x 1
∴y 1
2、反比例函数值域问题（关注函数定义域和图像）
f (x) 1 1)x(1,2)
2) x (2, 1)
x 3)x(3,) 4)x(,0) (0,1)
3、二次函数值域问题（关注函数定义域和图像）
例 3． 求下列函数的最大值、最小值与值域：
湖南省长郡中学高中数学(人教A版)课件必修一第二章第一节《2.1.2.2指数与指数幂的运算(2)分数指数幂》
2.若a 1，b 0且ab ab 2 2， 则ab ab ___。
3.计 算 a 2 a 1（a 1） _______。
4.计 算: 1
1
216
1
1
28
1
1
24
1
1
22
______。
「家庭作业」
1. 《考一本》第14课时； 2. 自学教材P52 — P58； （1）如何定义幂函数？a为何有规定？ （2）幂函数教材研究了哪些性质？ 如果是你来研究幂函数，你也会这样吗？
「能力提升」
1.计 算 下 列 各 式 ：
（1） 2a
2 3
b
1 2
6a
1 2
b
1 3
3a
1 6
b
5 6
（2） m
1 4
n
3 8
8
m4
1 2
（3）3 25 125 4 25
（4） a2 （a 0） a 3 a2
「思维拓展」
1. 若x
x1
2， 则x2
x2
1
___；x 2
1
x2
___。
「知识回顾」 1. 几次方根的定义及其性质 2. 根式研究的方法 3. 回忆初中同底数幂的运算性质 4. 积商的幂的运算性质
「自我感悟」 1. 教材P50—P51是如何引入分数指数幂 2. 分数指数幂有何作用？ 3. 幂的有关运算性质有怎样的扩充？ 4. 无理数指数幂引入的方法和作用是什么？
「求值检测」
1.求 值：
3
2
8 3；
2 5
2 3
；
1
5
；
16
4
2
81
2.用分数指数幂形式表示下列各式（其中a 0） a3 a； a2 3 a2； a3 a
湘教版高中数学必修一课件1.2.1对应、映射和函数
课堂讲义
• 要点三 映射的个数问题 • 例3 已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A
到集合B的所有不同的映射有多少个？
解 分两类考虑： (1)集合 A 中的两个元素都对应 B 中相同元素的映射有 3 个．
课堂讲义
(2)集合 A 中的两个元素对应 B 中不同元素的映射有 6 个．
∴A 到 B 的映射共有 9 个．
• (2)已知集合A＝{a，b}，B＝{2,0，－2}，f是 从A到B的映射，且f(a)＋f(b)＝0，求这样的映
解 射(1f)的可以个建数立．以下 8 个不同的映射：
课堂讲义
(2)符合要求的映射 f 有以下 3 个：
课堂讲义
要点四 函数的概念 例 4 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( )
有当y≥－1时，它在A中才有原象，而当y＜ －1时，它在A中就没有原象，即集合B中小于 －1的元素没有原象．
课堂讲义
• 规律方法 1.解答此类问题的关键是： • (1)分清原象和象； • (2)搞清楚由原象到象的对应法则； • 2．对A中元素，求象只需将原象代入对应法
则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的 原象，然后利用对应法则列出方程(组)求解．
60°相对应的 B 中的元素是________，与 B 中元素
2 2
相对应的 A 中的元素是________．
答案
(1)D
3 (2) 2
45°
课堂讲义
解析 (1)由映射定义知，B 中至少有元素 1,2,3,4，即 B 中至少 有 4 个元素，选 D. (2)60°角的正弦等于 23，45°角的正弦等于 22，所以 60°的象是 23， 22的原象是 45°.
都有 2 个 y 值与之对应，不是函数，C 项中由于 x－2≥0 且 1
湖南省长郡中学高中数学(人教A版)课件必修一第三章第二节《3.2.2几类不同增长的函数模型(2)》
情 况 怎 样 ？a xy log2 x增长 情况怎样？x2 log2 x恒成立吗？
探究4：
当x （0， ） 时 ，y xn与y loga x增 长 （n > 0） （a > 1）
情 况 怎 样 ？xn log2 x恒 成 立 吗 ？
知识回顾
1. “直线上升，对数增长，指数爆炸” 的增长特点；
2. 数学建模大致过程。
新知探究
探究1：
① 方 程2x x2的 解 的 个 数 有 几 个 ？ ② 当x （0， ） 时 ， 何 时2x x2？ 何 时2x x2？
探究2：
当x （0， ）时，y a x与y xn增长
探究5：
当x （0， ） 时 ，y a（x a 1） ，y loga x （a 1） 和y ？ 增 长 情 况 怎 样 ？an xn loga x
恒成立吗？
学法归纳
1. 指数函数，对数函数与幂函数的 增长特点
2. 思想与方法
自我运用
1.若 （m 4）12 （3 2m）12， 求m的 取 值 范 围 。
2.求不 等式x 1 log（ 6 x 3）的所 有整 数解 。
3. 若x
0时 ， 1
x
1
m， 求m的 取 值 范 围 。
2
「家庭作业」
1. 《考向标》 P80 — P81； 自我成长部分
2. 反思最近数学建模作业中 出现的问题及解决策略
2024届新高考一轮复习人教A版 第二章 第1节 函数的概念及其表示 课件(38张)
C )
g(x)=
C.f(x)= 与 g(x)=|x|
0
D.f(x)=1,x∈R 与 g(x)=x
解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同
一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义
域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,
2
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=x -x+3.
义域.
求函数的解析式
1.(2022·黑龙江哈尔滨月考)已知 f( +1)=lg x,则 f(x)的解析式为
解析:令 +1=t(t>1),则 x=
所以 f(t)=lg
所以 f(x)=lg
(t>1),
-
(x>1).
-
答案:f(x)=lg
(x>1)
பைடு நூலகம்-
,
-
.
2.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为
所以f(x)的定义域为[-5,5],所以f(1-2x)满足-5≤1-2x≤5,所以-2≤x≤3,
所以函数f(1-2x)的定义域为[-2,3].
3.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(x-1)的定义域为
解析:因为f(x)的定义域为[0,2],
所以0≤x-1≤2,即1≤x≤3,
所以函数f(x-1)的定义域为[1,3].
答案:[1,3]
湖南省长郡中学高中数学课件：必修一 第二章 第一节 《2.1.2.1指数函数及其性质(1)指数函数及
第十页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
「思维拓展」
1. 如图，请写出a、b、c、d间的大小关系：
y y=dx
y=cx
1
y= b x
y=ax
0
x
第十一页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
第十二页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
「家庭作业」
1. 《考向标》 P41 — P43 ； 2. 自学教材P57 — P58；
人口增长率的实际问题
第十三页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
第三页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
「基础检测」
第四页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
第五页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
第六页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
第七页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
第八页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
「能力提升」
第九页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
第一页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
「自我感悟」 1. 自学教材P48问题1、问题2及P54，
引入指数函数的现实意义。 2. 教材如何给出指数函数定义？又
为何规定a的取值范围？
3. 教材从几个方面研究指数函数的 性质？
第二页，编辑于星期日：十八点 二十九分。
「学法归纳」 1. 指数函数的定义 2. 指数函数的性质
高中数学 函数值域求法教案 新人教A版必修1
函数值域求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 求函数y =x 1的值域 解： x ≠0 ，∴x1≠0 显然函数的值域是：〔 -∞，0 〕∪〔0 ，+∞〕。
例2 求函数y = 3 -x 的值域。
解：x ≥0 ∴- x ≤0 3- x ≤3故函数的值域是：[ -∞，3 ]2 、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=〔x-1〕2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]例2、求函数13432-+-=x x y 的值域。
解：()()[]713421342113426421+-+-=-+-=x x x x y =()31134212++-x ，所以27≥y ，故所求函数值域为[72，+∞]。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞〕。
3 、判别式法2例1 求函数y = 2211x x x +++的值域。
解：原函数化为关x 的一元二次方程〔y-1 )2x +〔y - 1 〕x= 0 〔1〕当y ≠1时， x ∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0 解得：21≤y ≤23 〔2〕当y=1，时，x = 0,而1∈[21, 23]故函数的值域为[21，23] 例2求函数y=x+)2(x x -的值域。
解：两边平方整理得：22x -2〔y+1〕x+y 2=0 〔1〕x ∈R ，∴△=4〔y+1〕2-8y ≥0解得：1-2≤y ≤1+2但此时的函数的定义域由x 〔2-x 〕≥0，得：0≤x ≤2。
由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2〔y+1〕x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程〔1〕有实根，由△≥0求出的X 围可能比y 的实际X 围大，故不能确定此函数的值域为[21，23]。
高中数学 1.2.1函数的概念(第2课时)课件 新人教A版必
前后整体范围一致
f (x 1)的定义域为 (0,2]
定义域就是指x的取值范围
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, ) 求f ( x )的定义域
2
f ( x )的定义域为[2,) 2
本课小结
• 复习并巩固了函数的概念
下列函数的定义域。
(1) f (2x 1) (2) f (1 x) f (x)
(1)[1,0] (2)[0,1]
可简要概括为：
１.定义域仅指x的取值；
２.对同一对应法则括号里的
整体范围一致
题型二：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f (x)的定义域
例2.已知f (x 1)的定义域为[1,1],
求f ( x )的定义域 2
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
解：f (2x 1)中0 x 1
定义域就是指x的取值范围
1 2x 11
f (x 1)中1 x 1 1 0 x 2
练：已知f ( x 3)的定义域为[4,9], 求函数f (x)的定义域。
f (x)的定义域为：[1,0]
题型三：
抽象函数的定义域
已知f (g(x))的定义域,求f ((x))的定义域
练习 : 1.已知函数f (2x 1)的定义域 0,1 ,
求f ( x 1)的定义域
2.已知函数f (x2 2)的定义域为[1, )
函数的概念
人教A版数学必修一1.2.6函数值域的求法.pptx
2、求下列函数的值域: （1）y = | x + 1 | －| 1 －x |
解：由 y = | x + 1 | －| x －1 | 当 x ≤－ 1 时，y = －( x + 1 ) + ( x －1 ) = －2 当 －1 ＜ x ≤ 1 时，y = ( x + 1 ) + ( x －1 ) = 2x 当 x ＞ 1 时，y = ( x + 1 ) － ( x －1 ) = 2
4ac b2 当a<0时，值域为: {}y | y 4a
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x
值域为 _____R___________
（2）y = | x | －1 x∈{－2, －1, 0, 1, 2 } 值域为 {_－__1_,_0_,_1__}
（3）y = 2
x2
（4）y = x 3
y2 3 y 4 0 4 y 1且y 1
2
当y 1 时, x 7 有解 y 1
2
6
2
故函数的值域为 [－4，1 ]
②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2, x=4时，y=1
∴在[3,4]上,ymin =-2， ymax =1； 值域为[-2，1]. 解③略: 解④ ∵顶点横坐标2 [0,5] 当x=0时，y=1, x=2时，y=-3,
x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， ymin =-3， ymax =6
2
2
4、求函数 y =
x2 2x 3 2x2 2x 1
的值域
解：由题知 x ∈ R，则有 2yx 2 + 2yx + y = x 2 －2x －3
湖南省长沙市一中高中数学 《1.2.1任意角的三角函数(一)》教案 新人教A版必修4
4-1.2.1任意角的三角函数〔1〕教学目的：知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式〔一〕。
能力目标：〔1〕理解并掌握任意角的三角函数的定义；〔2〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；〔3〕通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
德育目标： 〔1〕使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度〔自变量〕与比值〔函数值〕的一种联系方式；〔2〕学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕，以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.教学过程：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P 〔除了原点〕的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么〔1〕比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； 〔2〕比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； 〔3〕比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； 〔4〕比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有说明α一定是正角或负角，以及α的大小，只说明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0， 所以tan y x α=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，yx =αcot 无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y分别是一个确定的实数， 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。