分式
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
分式的定义
分式的定义分式是由两个整式构成的比值，它通常写成$\frac{A(x)}{B(x)}$的形式，其中$A(x)$和$B(x)$是两个整式，$B(x)$不等于0。
分子$A(x)$是分式的分子，分母$B(x)$是分式的分母。
分数可以表示为带分数或小数，但分式只能表示为分式形式。
分子和分母都是整式的分式称为代数分式，而分子或分母中含有实数或变量的分式称为含有实数或变量的分式。
分数是初中数学中最简单和最重要的概念之一。
分式的含义是把一个整体分成若干份，并取其中的一份或几份，或者将分子分数与分母分数的比较简单的方法。
分式的定义把两个多项式的表达式用除法来表示，分母是被除数的表达式，分子是除数的表达式。
分式中的分式在代数上的意义是相同的。
例如，$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{6}$表示相同的数值，它们都代表同一个比值。
分式中不能出现分母为0的情况，因为任何数除以0都无法得到一个有意义的结果。
如果分母为0，那么分式就没有定义。
一个分式是简单分式，当分母和分子都为一次多项式时。
一个分式是复杂分式，当分子或分母中至少有一个高于一次的多项式时。
如果一个分子中的每一个项都是分母的因数，则该分式被称为真分式。
如果一个分式的分子是一个多项式，这个多项式可以被分解成独立的因子，每个因子都不是分母的因子，那么这个分式被称为带余式。
分式的基本运算要比整式复杂得多，因为要注意分母不能为零。
对于分式的四则运算来说，最重要的原则是分母化通，即把每个分式的分母化为相同的多项式，这样就能进行加减乘除了。
例如，如果要计算$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$，那么需要把分母化为相同的多项式，最终结果才能以分式的形式表示。
因此，可以将分母通分为$bd$，然后得到等效的分式$\frac{ad+bc}{bd}$。
总之，分式是代数学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于各种数学方面，包括高等数学，物理和工程学。
了解分式的基本概念和运算方法是理解更高级数学理论的关键。
分项分式公式总结
分项分式公式总结分式第一节分式的基本概念I.定义：整式A除以整式B，可以表示成的的形式。
如果除式B中含有字母，那么称为分式（fraction）。
注:A÷B= =A×=A×B-1= A•B-1。
有时把写成负指数即A•B-1,只是在形式上有所不同,而本质里没有区别.II.组成：在分式中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
III.意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。
IV.分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0。
注:分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
第二节分式的基本性质和变形应用V.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
VI.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分．VII.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.VIII.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.IX.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.X.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质.(2)分式的约分和通分是互逆运算过程.第三节分式的四则运算XI.同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减.XII.异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算.XIII.分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母.XIV.分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘.第四节分式方程XV.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.XVI.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。
分式的加法运算
分式的加法运算分式是数学中常见的表达形式，用于表示两个数的比值或一个数的部分。
在分式中，分子表示被除数，分母表示除数，分子与分母之间用横线隔开。
分式的加法运算是指将两个分式进行相加，得到一个新的分式。
一、分式的基本形式分式的基本形式为：$\frac{a}{b}$，其中a表示分子，b表示分母。
分式也可以是一个整数，例如：$\frac{3}{1}$表示整数3。
二、相同分母的分式相加当两个分式的分母相同的时候，可以直接将它们的分子相加，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{2+4}{3}=\frac{6}{3}$。
三、不同分母的分式相加当两个分式的分母不相同的时候，需要通过通分将它们的分母变为相同的，然后再进行相加。
通分是指找到一个新的分母，使得原来的两个分母都能整除这个新的分母。
1. 找到两个分母的最小公倍数（简称最小公倍数，LCM），作为新的分母。
2. 对于每个分式，需要乘以一个适当的数使得分母变为最小公倍数。
3. 将新的分母作为公共分母，将分子相加。
例如：$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，最小公倍数为6。
需要将$\frac{1}{2}$的分子乘以3，将$\frac{2}{3}$的分子乘以2，得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{3+4}{6}=\frac{7}{6}$。
四、分式的加法运算规则1. 分母相同的分式直接相加，分母不变。
2. 分母不同的分式，需要进行通分，使得分母相同后再相加。
3. 通分时，分子按照分母的比例进行相应倍数的扩展。
五、分式的加法运算示例1. $\frac{1}{4}+\frac{2}{5}$通分，最小公倍数为20。
$\frac{1}{4}$的分子乘以5，$\frac{2}{5}$的分子乘以4。
$\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{1\times5}{4\times5}+\frac{2\times4}{5\ti mes4}=\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$2. $\frac{3}{8}+\frac{2}{3}$通分，最小公倍数为24。
分式方程公式
分式方程公式
分式方程是指包含一个或多个分式的方程。
下面列举几个常见的分式方程及其解法：
一次分式方程：
形式：(分子) / (分母) = 常数
解法：将方程中的分式化简为一个整数，然后求解。
二次分式方程：
形式：(分子) / (分母) = (分子) / (分母)
解法：通常可以通过交叉相乘或通分的方式将分式方程转化为一个一次方程，然后求解。
多元分式方程：
形式：(分子1) / (分母1) = (分子2) / (分母2) = ...
解法：可以通过分数的相等性，将多个分式等于一个常数，进而解得各个变量的值。
在解分式方程时，应考虑分母是否为零的情况，并排除无效解。
另外，有时候方程可能会包含复杂的分式形式，需要运用化简、约分等技巧来简化方程，使其更容易求解。
分式方程是包含分式的方程，解分式方程的方法包括化简、约分、通分、交叉相乘等技巧，以求得方程的解。
分式是什么
分式是什么
一般地，如果A、B(B不等于零)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。
分式是不同于整式的一类代数式，分式的值随分式中字母取值的变化而变化。
分式条件
1、分式有意义条件：分母不为0。
2、分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3、分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4、分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5、分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
1、如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
2、分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
分式-完整版课件
一、分式方程的概念
二、解分式方程
三、分式方程解的情况
复习回顾一:
一、什么是分式方程？
方程中只含有分式和整式，且分母中 含有未知数的方程。
复习回顾(1)下x 2列2方程3x中，分式4x 方 程3y有（7 ５
）个
一(2) 1 3
x2 x
(4) x(x1) 1 x
(3) 3 x x （6）2xx110
1应.若是方X=程-2 2x.34xa21 有增根，则增根
2 ax 3
2.解关于x的方程
x2x2
4 x2
产生增根，则常数a= -4或6 。
3.当m为何值时，方程
x 2 x3
m x3
解
为非负数？
一、分式方程的概念 二、解分式方程
解分式方程必须检验有无增根。
三、分式方程解的情况
a
x2 1产生增根，
则增根可能是X=1或x=-1 ;a的值
是 2或0 .
变式 3
已知关于ｘ的方程
a 1 2x x1 x2 1
①
去分母，得 a(x1)(x21)2x
②
当方程②的根不是方程①的根时，a为多少？
分析：∵方程②的根不是方程①的根 ∴分式方程①有增根，增根可能为x=1，-1。 而增根x=1，-1是整式方程的解
把x=1代入方程② 即2a=2,解得a=1 把x=-1代入方程②即a·0=0+(-2)∴此方程无解
综上所述，a的值是1
问题：若方程①有增根，则增根必为 X=1 。
变式4、当a为何值时,方程
x 1 a x1 x2 1
的解是正数?
若解是负数呢？
变式5、当a为何值时,方程
x 1 x1
分式运算规则
分式运算规则
以下是分式运算中的基本规则：
1. 分式加减运算：对于两个分式相加或相减，首先需要通分，然后将分子相加（或相减），分母保持不变。
2. 分式乘法运算：对于两个分式相乘，将分子相乘，分母相乘。
3. 分式除法运算：对于两个分式相除，将第二个分式的分子、分母互换位置，然后将第一个分式和互换位置后的第二个分式相乘即可。
4. 分式化简：对于一个分式，可以将其分子、分母同时除以一个公因数，以简化分式。
5. 分式的取相反数：将分式的分子、分母取相反数，即可得到原分式的相反数。
6. 分式的约分：对于一个分式，如果它的分子和分母有公因数，可以将它们同时除以这个公因数进行约分。
需要注意的是，分式运算中，要尽可能避免进行中间结果的约分，保持中间结果的分子、分母形式，直到计算完成后再进行约分，可以避免计算出错和结果
不精确的问题。
什么是分式
什么是分式?
疑点：什么是分式?怎样区分分式和整式?
解析：可以这样认为：分母中含有字母的式子就叫分式. 基本上在初中阶段，除了分式就是整式了。
分式和整式的区别：分式的分母中一定含有字母 . 当整式为分数形式时，分母中不能含有字母. 如：
(1);(2) ;(3) ;(4) 解：(1)(4)的分母中含有字母，故是分式;(2)(3)的分母中不含有字母，所以是整式。
注意：上面第(2)个，不是字母，是无理数。
(3)中的x与分数是相乘的关系，所以字母x是在分子的位置上。
结论：一个式子，如果它的分母中含有字母，这个式子就叫分式。
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分式的分解
分式的分解一、分式的定义分式是由两个整数或者代数式构成的表达式，其中一个整数或者代数式在另一个整数或者代数式下面，用横线隔开。
二、分式的形式分式通常写成a/b的形式，其中a和b分别为分子和分母，a和b 都可以是整数、代数式或者混合式。
三、分式的分解分式的分解指的是将一个分式表示的整体化简为多个分式的和或差。
1. 分母的分解当分母为一个多项式时，可以进行分解为多个分式的和或差。
例如，对于分式1/(x+1)，可以进行分解为两个分式：1/x和-1/(x+1)。
2. 分子的分解当分子为一个多项式时，可以进行分解为多个分式的和或差。
例如，对于分式(x+1)/(x+2)，可以进行分解为两个分式：1+1/(x+2)。
3. 分式的拆分当分式的分子和分母都是多项式时，可以进行拆分为多个分式的积或商。
例如，对于分式(x^2+2x+1)/(x+1)，可以进行拆分为两个分式：(x+1)*(x+1)/(x+1)。
四、分式的简化分式的简化是指将一个分式表示的整体化简为最简形式。
1. 化简分数当分子和分母没有公因数时，可以将分数化简为最简形式。
例如，将分数4/8化简为1/2。
2. 化简代数式当分子和分母存在公因式时，可以将代数式因式分解后进行约分，使得分式化简为最简形式。
例如，将分式x^2/(x+1)化简为x/(x+1)。
五、分式的运算分式可以进行加、减、乘、除等运算。
1. 分式的加法和减法对于分式a/b和c/d，可以进行分式的加法和减法运算。
加法运算结果为(a*d+c*b)/(b*d)，减法运算结果为(a*d-c*b)/(b*d)。
2. 分式的乘法对于分式a/b和c/d，可以进行分式的乘法运算。
乘法运算结果为(a*c)/(b*d)。
3. 分式的除法对于分式a/b和c/d，可以进行分式的除法运算。
除法运算结果为(a*d)/(b*c)。
六、分式的应用分式在实际生活和数学中有广泛的应用。
1. 比例问题比例可以用分式表示，例如人口比例可以表示为人口数量的分式。
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分式单元复习
基础知识总结
一.分式的概念
1．用A，B表示两个整式，A÷B就可以表示成AB的形式，如果B中含有字
母，式子AB就叫做分式。
对分式的概念要注意以下两点：①分母中应含有字母；②分母的值不能为零，
若为零，则该分式就没有意义。
2．整式和分式统称为有理式。
二.分式的基本性质
1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零
的整式，分式的值不变。用式子表示是,AAMAAMBBMBBM（其中M是不等
于零的整式）。这一性质是确定分式的符号以及进行通分和约分的基础。
2．分式的符号变换法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中
任何两个，分式的值不变。
三.分式的乘除
1．乘法法则：acacbdbd；
除法法则：acadadbdbcbc。
2．把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，约分的依据
是分式的基本性质，约分时首先要把分子、分母都分解因式，然后把分子与分母
的公因式约去。
3．分子、分母没有公因式的分式叫最简分式。
4．分式的乘方：nnnaabb（n为正整数，0b）
四. 分式的加减
1．通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式
相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
2．最简公分母：取各分式分母中的系数的最小公倍数与各字母，因式的最
高次幂的积作为通过时的公分母，叫做最简公分母。
3．分式的加减法
（1）同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，
用式子表示为ababccc。
（2）异分母分式的加减法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的
式子，然后相加减，用式子表示为acadbcadbcbdbdbdbd
五．分式方程：
1．解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程。转化的常用方
法是去分母法，在去分母过程中，若转化得到的整式方程的根恰使去分母时乘的
整式的值为零，则这个整式方程的根是原方程的增根，即：方程没有解。
2．解分式方程的步骤与解一元一次方程的步骤类似，最后必须要验根，即
将转化得到的整式方程的根代入最简公分母，看其结果是否为零，其中使最简公
分母为零的根是原方程的增根，应舍去。
六．分式方程的应用题：
列分式方程解应用题与整式方程解应用题一样，关键是找出问题中的等量关
系，要特别注意的问题就是列公式方程解应用题要检验——既要检验运算结果是
否是所列方程的根，还要检验是否符合题意。
典型例题
一、 选择 ：
A.①③④ B.①②⑤ C.③⑤ D.①④
A.3或-3 B.3 C.-3 D.0
3.下列各式中，正确的是 ［ ］
4.下列各式的约分运算中，正确的是 ［ ］
A.c≠d B.c≠-d C.bc≠-ad D.a≠b
7.使分式1122aa有意义的a的取值是（ ）
A、a≠1 B、a≠±1 C、a≠－1 D、a为任意实数
8.当x = －3时，下列分式中有意义的是（ ）
A、33xx B、33xx C、)2)(3()2)(3(xxxx D、)2)(3()2)(3(xxxx
9.分式512xx的值为负，则x应满足 （ ）
A、x＜－5 B、x＜5 C、x＜0 D、x≤0
二．填空题：
9.在公式A=πr(r+I)中，所有字母都不等于零，I=_________.
三．分式计算：
（1）2322322bbaba （2）322292331xxxxx
（3）223434xxxxxxx （4）2144111072322aaaaaaaaa
四．分式计算：
1、1111xxx 2、1123xxxx
3、132111223xxxxxxxx 4、65556711222xxxxxx
五．分式方程：
1、325x＝13x 2、416222xxx＝1
3、13131243xxxx 4、222112424123xxxxx
六．化简求值：
1、3,32,1)()2(222222babaabaababaabaa其中
2、已知,1001,1ba求22223311[()()]}ababaaababbab的值；
3、3222224102131264224aaaaaaaaaaa，其中12a
4、已知a=1,b=2,求2233222331bababababa的值。
七．变形求值：
1.已知：2x-3y+z=0①,3x-2y-6z=0②,求2222222zyxzyx的值。
2.已知x2-3x+1=0,求441xx的值。
3. 已知4)4(422xCBxxAxx，则___________,_____,CBA；
4.已知分式3613189262423xxxxx，
（1） 当x取什么值时，分时有意义？
（2） X取什么整数值时，分式的值为正整数？
5.已知311yx，求yxyxyxyx2232的值。
八．分式方程的应用题：
1、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，
B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两
车的速度。
2、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千
米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部
队的速度。
3、某一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做
就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在
规定的日期完成，问规定日期是几天？
4、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，
6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果
设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么 ？
5、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已
知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
6、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，为
了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的
糖果单价定为每千克17。5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲
糖果有多少千克？
7、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300
枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，
需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级
学生有多少人？
8、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方水费上涨1/3，小利家去
年12月的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小利家今年7月
的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水的价格。
九．能力提高：
1.计算8421814121111xxxxx=
2.已知4,4xyyx，那么3333yxyx= 。
3.已知baba111，求baab的值=
4.22224422222222)2()2()2()1(44)1()2(xxxxxxxxxxxx =
5.已知cba,,为实数，且51,41,31accacbbcbaab，那么cabcababc的值是=
6. 已知xzyxyzyxzzyx，且1))()((xyzxzzyyx，那么
zyx
的值等于（ ）
（A）1 （B）0 （C）2 （D）3