例说排列组合问题常见处理方法
行测中数学问题之年龄排列组合问题
行测中数学问题之年龄、排列组合问题解年龄问题，一般要抓住以下三条规律：（1）不论在哪一年，两个人的年龄差总是确定不变的；（2）随着时间向前（过去）或向后（将来）推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；（3）随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。
【例1】妈妈今年 43岁，女儿今年11岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几年前妈妈的年龄是女儿的5倍？【分析】无论在哪一年，妈妈和女儿的年龄总是相差43-11=32（岁）当妈妈的年龄是女儿的3倍时，女儿的年龄为（43-11）÷（3-1）=16（岁）16-11=5（岁）说明那时是在5年后。
同样道理，由11-（43-11）÷（5-1）=3（年）可知，妈妈年龄是女儿的5倍是在3年前。
【例2】今年，父亲的年龄是女儿的4倍，3年前，父亲和女儿年龄的和是49岁。
父亲、女儿今年各是多少岁？【分析】从3年前到今年，父亲、女儿都长了3岁，他们今年的年龄之和为49+3×2=55（岁）由“55 ÷（4+1）”可算出女儿今年11岁，从而，父亲今年44岁。
【例3】陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。
”问王老师今年多少岁？【分析】我们先要明白：如果我比你大a岁，那么“当我像你这么大时”就是在a年前，“当你像我这么大时”就在a年后。
这样便可根据题意画出下图：从图上可看出，a=13，进一步推算得王老师今年29岁。
排列组合问题I一、知识点：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤） 阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 9．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．10．组合数公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且组合数的性质1：m n n m n C C -=．规定：10=n C ； 2：m n C 1+＝m n C +1-m n C二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个）对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240）从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.b 、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30）三、讲解范例：例1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将１、３、５、７四个数字排好有44P种不同的排法；第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有33P种不同的“捆绑”方法;第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有15P种不同的“插入”方法根据乘法原理共有153344PPP∙∙＝720种不同的排法720个符合条件的七位数解（2）：因为三个偶数２、４、６互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有44P种不同的排法；第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有35P种“插入”方法根据乘法原理共有3544PP∙＝1440种不同的排法所以共有1440个符合条件的七位数例２将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：下面分别计算每一类的方法数：解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有46 C解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有16C种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有15C种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以2 2 P所以共有221516PCC∙＝15种不同的分组方法第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有16C种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有25C种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有2516CC∙＝60种不同的分组方法第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有26C种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有24C种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以33P，因此共有332426PCC∙＝15种不同的分组方法根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种例３一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有66P种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有35C种不同的“插入”方法根据乘法原理共有3566CP∙＝7200种不同的坐法排列组合问题II一、相临问题——整体捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
排列组合常见题型及解题策略答案
排列组合常见题型及解题策略答案排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83 C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】五人并排站成一排，如果必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【解析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432，其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法数是52563600A A【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法（数字作答）【解析】：111789A A A=504【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A＝3600【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
例说排列组合问题求解策略
Ａ
种， 再排列到 ３ 个班里有 Ａ ， ， 种 因
此共有 （ 粤 蔓 ） Ａ 种。 ｃ Ａ２ － ×
九 、正确 分 类 ． 确分 步 准 例 ９（ ６年江苏高考 ） ０ 今有 ２个红球 ， 个 黄球 ， 白球 ， ３ ４个 同色球 不加 以区分 ， 将这 ９个球排 成一列有 种 不 同的 方法 （ 数字作答 ） 用 。 分析 ： 第一步从 ９个不同的位置 中选 ２个放上两个相同的
红球 ， 共有 ｃｑ 放法 ， ２ 种 第二步从余下 的 ７个不 同位置 中 ３个 ， 放上 ３个相 同的黄球 ， 共有 ｃ 种放法 ， 第三步 ， 在剩余 ４个位 置放上 ４个相 同的 白球 ， 共有 ｃ４ ４ 种放法 。由分步计数原理得 ：
Ｃｑ Ｃ ７ ４ １ ６ 。 ２× ×Ｃ ４ ２ ０ ＝ 十 、 排 问题 。 排 处 理 分 直
一
、
Ａ １ ４ ４
Ｂ ９ ６
Ｃ ２ ７
Ｄ ４ ８
分析 ： 由于 甲、 乙站道 有条件要求 ， 故可把 甲、 乙考 虑为特 殊元素 ， 首先安排这 两个特殊元 素 ， 乙不同站道方 式为 Ｃ： ① ，
样 的排 队 照 相方 式 有 （ ） Ａ ３ 种 Ｂ ９ 种 Ｃ １２ ６ ８ １ 种 Ｄ ｌ２ ９ ０种 分析 ：把 Ａ Ｂ和 Ｃ Ｄ各看成一个元素 ，与 Ｅ、 、 、 Ｆ进行全排 列 ，其排列数 Ａ４ Ｂ和 ｃ、 ４Ａ、 ， Ｄ分别全排列 ，其排列数为 Ａ２ ｚ× 将 Ｇ、 Ｈ插入 ４个元素 中间空挡 或两端 ， 其排列数 ， 故共 有排法为 Ａ４ ４× ２×Ａｓ１２ ， ４ ×Ａ４ Ａ ２ ２ ９ ０ 故选 Ｄ。 ＝ 六 、相 同 元素 分 配 。 挡板 分 隔处 理 例 ６（２年唐 山一模 ） ６个班 中选 １ ０ 从 ２名同学参加市青少 年 夏 令 营 ， 班 至少 一人 ， 每 有几 种 选法 ？ 分析 ： 本题 只与人数有 关 ， 与顺序无关 ， 可把 １ ２人排成一 列 ， 在 １ 个 空 隙 中 选 ５个 位 子 ， 入 五 块 “ 板 ” 成 ６段 ， 再 １ 插 隔 分 故 本题 答 案 Ｃ 种方 法 七 、 类 元 素 排 列 。 合 选 位 处 理 两 组
数学排列组合常见题型及解法
例5. 9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有 种。
7.至少问题正难则反“排除法”:有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用此法时要注意做到不重不漏。
例7亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解 设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为 =252（种）
【华图解析】直接求5个小球的全错位排列不容易，我们先从简单的开始。
小球数/小盒数 全错位排列
1 0
2 1（即2、1）
3 2（即3、1、2和2、3、1）
4 9
5 44
6 265
当小球数/小盒数为1～3时，比较简单，而当为4～6时，略显复杂，考生们只需要记下这几个数字即可（其实0，1，2，9，44，265是一个有规律的数字推理题，9=(1+2)*3；44=(2+9)*4；265=(44+9)*5；(44+265)*6=1854）由上述分析可得，5个小球的全错位排列为44种。
排列组合经典解法
排列组合问题的经典解法一、重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
【例1】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 （ ）A.38B.83C.38AD.38C【解析】冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军。
把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个客有8种可能，因此共有38种不同的结果。
选（A ）。
评述：类似问题较多。
如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8封信是“客”，3个邮筒是“店”，故共有83种结果。
要注意这两个问题的区别。
二、特色元素“优先法”某个（或几个）元素要排在指定位置，可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。
【例2】乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种。
【解析】3名主力的位置确定在一、三、五位中选择，将他们优先安排，有33A 种可能；然后从其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有27A 种排法。
因此结果为2733A A =252种。
三、相邻问题“捆绑法”把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其余普通元素全排列，是为“捆绑法”，又称为“大元素法”。
不过要注意“大元素”内部还需要进行排列。
【例3】有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种。
【解析】将数学书与外文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有55A 种排法，再将3本数学书之间交换有33A 种，2本外文书之间交换有22A 种，故共有223355A A A =1440种排法。
【评述】这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定间隔时，也用“捆绑法”解决。
(完整版)排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
ng教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的n1m2m 方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：nnm12nN m m m=+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，n1m2m …，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：nnm12nN m m m=⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A=练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题的八种求法(免费)
126
种
（ 1）分成三堆，一堆 2 本，一堆 3 本，一堆 1 本； （ 2）平均分成三堆； （ 3）平均分给三个同学； （ 4）分给三个同学，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； （ 5）分给甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本。 解： （ 1）不是平均分堆，故有：
C C C
1排列组合问题的八种求法云南昭通鲁甸一中李明健云南昭通站张中华推荐排列组合是高中数学的重点难点内容之一同时也是解决概率问题的重要工具下面举例说明排列组合问题的八种求法
排列组合问题的八种求法
云南昭通鲁甸一中 李明健 云南昭通站 张中华推荐 排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概 率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法： 一、特殊位置或特殊元素：优先法 例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数 字且不能被 10 整除的六位数？ 解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取 两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位 置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
60
种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总 结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
- 4-
2 4 4 5
解法二：先把特殊元素 0 排在中间四个位置的任何一个，然后 把 0 以外的五个数字排在其他五个位置， 可得符合条件的总数共有：
A A 个。
1 5 5 4
二、对称（或机会均等）问题用：除法 例 2、 A、 B、 C、 D、 E 五人排成一排，如果 B 必须站在 A 的 右边，则不同的站法有多少种？ 解：B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边的排列情况是对称的（或 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边机会相等） ，故有：
排列组合问题经典题型
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种例3.已知集合{1,2,3,,19,20}A =，集合1234{,,,}B a a a a =，且B A ⊂，若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠=，则满足条件的集合B 有多少个？3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例4.（1）A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种6.全员分配问题分组法:例7.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例8：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？例9.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？8.限制条件的分配问题分类法:例10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A． 152 B. 126 C. 90 D. 549.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
排列组合的21种例题
高考数学复习解排列组合应用题的21种战略之马矢奏春创作排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不容易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题战略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素介入排列.例右边，那么分歧的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素拔出上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么分歧的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须坚持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例A、24种B、60种C、90种D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，分歧的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个分歧的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则分歧的分配方案有ABC D、6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则分歧的保送方案有多少种？（2）5本分歧的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，分歧的分法种数为A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种分歧分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀结业生中选4人分别到西部四城市介入中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种分歧派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210种B、300种C、464种D、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种分歧的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧(可编辑修改word版)
n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果， 任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列， 无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。
所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。
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例说排列组合问题常见处理方法(湖南省邵东三中 422819) 王向群
排列、组合是高中数学中的难点之一.这部分内容独特,思维抽象,题型繁多,并且容易产生由于思维不周而引起的重复或遗漏,而且这种错误往往又难以检验.因此,掌握一些常见排列组合问题的处理方法很有必要的.下面拟作一些介绍.
一、特殊元素,优先考虑
例1 6名学生站成一排,其中甲、乙两人既不站排头,也不站排尾有多少种不同的方法?
分析:甲、乙两人为特殊元素,他们既不站排头,也不排排尾,那么他们只能站在中间4个位置上,有A24种方法,其余4人有A44种站法,因此共有N=A24A44= 288(种)站法.
二、特殊位置,安排在前
例2 6名学生站成一排,其中甲、乙两人既不站排头,也不站排尾有多少种不同的方法?
分析:排头和排尾是两个特殊位置,甲、乙两人不能站,那么只能由其余4人中选2人去站,有A24种方法,其他4个位置由余下的4人去站,有A44种方法,因此共有N=A24A44=288(种)站法.
三、合理分类,严防重复
例3 写有0,2,4,6,8的5张卡片,如果6允许作9使用,从中抽取3张可组成多少个不同的3位数?
分析:0,6是两个特殊元素,优先考虑,并正确分类,符合条件的取法可分为四类:
(1)选0不选卡片6,由于0不能排首位,可组成3位数A12A23=12(个);
(2)选0且选卡片6,需先从2,4,8中再选一卡片,由于0不能排百位且6可作9使用,可组成3位数C13(C12õA22)õ2=24(个);
(3)不选0但选卡片6,这时还需从2,4,8中选二张卡片,由于6可作9使用,可组成3位数C23A33A22= 36(个);
(4)0,6都不选,可组3位数A33=6(个).
因此,符合条件的3位数有N=A12A23+A12õC13A22A22+C23A33A22+A33=78(个).
四、恰当分步,谨防遗漏
例4 从6双不同的手套中任取4只,其中恰有2只配成一双的取法有多少种?
分析:事情可分四步完成:
(1)从6双中取一双,有C16种方法;
(2)从余下的5双中取两双,有C25种方法;
(3)从取出的两双中的一双中取一只有C12种方法;
(4)从取出的两双中的另一双中取一只有C12种方法.
因此共有取法N=C16C25C12C12=240(种).
五、排列方阵,直排处理
例5 9人排成3行,每行3人,其中3人要排在同一行,有多少种不同的排法?
分析:设这其中3人是a,b,c,他们在同一行中有A33种方法.且这行可能在3行中的任一行,有C13种可能.至于其余6人,可设想先排成一行有A66种方法,然后从中截断,成前后二行,这已经包括了所有可能情形. E E E
a b c
E E E
.故共有方法,A33õC13õA66=12960种.
六、元素不邻,选空插入
例6 3人坐有8个座位的长椅上,若每人左右都有空位,这样的坐法有多少种?
分析:要求3人左右都要有空位,那么3人只能排在由5个空位排列所形成的4个空格之中的3个,故有排法N=A34=24(种).
七、元素相邻,合并考虑
例7 一条长椅上有10个座位,现有4人坐,问恰
好有5个连续空位的坐法有多少种?
分析:把5个连续空位看成大元素a,单个的空位为元素b,并设4人为c,d,e,f,则问题化为6个元素的排列,其中a,b不能相邻.因此,a,b只能排在由c,d,e,f 排列后所形成的3个空格及左,右两端上,故有不同的坐法N=A44A25=480(种).
八、机遇均等,采用等分
例8 从a,b,c,d,e,f,g七个元素中选取5个排成一排,其中a在b前面又在c前面的排法有多少种?其中a在b前面且b又在c前面的排法有多少种?
分析:依题意,a,b,c必须选上,另两个元素从d,e, f,g中选取,有C24种方法.如果没有限制条件,含a,b,c 在内的5个元素的全排列有A55种.另一方面,a,b,c的位置关系只可能有以下两种情况:a,b,c或a,c,b.但a, b,c的全排列有6种.
a在b,c前面的排法占整个排法的2
6,故符合条件
的排法N=1
3
C24A55=240(种).
同理,a在b前面且b又在c前面的排法,只有a,b,
c占整个排法的1
6,故这时符合条件的排法N=
1
6
C24A55=120(种).
九、元素均分,须去重复
例9 把6本不同的书平均分成三堆有多少种不同的方法?
分析:若把6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人,有C26C24C22种方法.可设想先把这6本不同的书平均分成三堆有x种方法,再将这三堆分给甲,乙,丙三人有
A33种方法,∴xõA33=C26C24C22,∴x=C26C24C22 A33
=
15(种)方法.
十、正难则反,间接排除
例10 一条长椅上有7个座位,4人坐,要求3个空位有两个相邻,另一个空位不相邻有多少种不同的方法?
分析:7个座位4人去坐有A47种方法,其中不符合题意的坐法有两类:
(1)3个空位相邻,把它们看成大元素,有A55种不同的坐法;
(2)3个空位彼此不相邻,那么3个空位只能插入由4人坐一排所形成的5个空档中的3个,有A44C35种方法.
∴N=A47-A35-A44C35=480(种).
别解:此4人有A44种坐法,再在他们形成的五个空隙中插入元素E E和E,故共有A44õA25=480种方法.
十一、构造集合,辅元分类
例11 车间有9个工人,有3人只会作钳工,有4人只会作车工,有2人既会钳工又会车工,现从中选派钳工,车工各2人去完成某一任务,有多少种不同的指派方法?
分析:设会钳工的工人构成集合A,会车工的工人构成集合B,那么既会钳工又会车工的工人即为集合A ∩B,于是指派方法可分三类:
(1)集合A中派只会钳工的工人2人,集合B中派2人,有C23C26种方法;
(2)集合A中派只会钳工的工人1人,在集合A∩B中派1人作为钳工,再在集合B中余下的工人中派2人,有C13C12C15种方法.
(3)在集合A∩B中派2人作为钳工,在集合B中余下的4人中派2人,有C22C24种方法.
因此,不同的指派方法N=C23C26+C13C12C25+C22C24 =111(种).
十二、构造模型,化为具体
例12 大街上有编号为1,2,…,15的15盏灯,为了节约用电又不影响照明,可以关掉3盏灯,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的灯,有多少种不同的关灯方法.
分析:用“1”表示亮灯,用“0”表示熄灯.每一种关灯方法都对应着12个1和3个0的一个排列,其中3个0不能相邻,且既不排排头,也不排排尾.因此,3个0只能排在由12个1排列后所形成的11个空档之中,故有C311=165种不同的关灯方法.。