第三章 杆梁结构的有限元分析原理
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
杆梁结构的有限元分析原理[详细]
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le
EAe
le
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以
求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 将承受横向力和弯矩的杆件称为梁 变截面杆和弯曲杆件
单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2
从而得
a0 ui ,
a1
uj
le
ui
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
其中Ni，Nj是形函数。
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u j
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
第3章杆件结构的有限元法_虚功原理
( { })
* x
u = ∫ ε σdV = ∫ [B ] V V u
T
* 1 * 2
E [B ] δ x dV = ∫ δ
V
{ }
u1 E [B ] dV u 2
T
{ } [B]
* x T
T
E [B ] δ x dV
{ }
[K ]
(e)
1 0 AE = L − 1 0
0 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
小结： （1）本章从设置位移函数（也称为位移插值函 数或试探函数）出发，利用虚功原理导出了局 部坐标系下的杆单元的有限元计算格式，利用 前一章的坐标变换矩阵[T]，就可以将它转换到 整体坐标系下，然后将各单元的刚度矩阵按照 节点力平衡的原理，经过叠加，即可得到总体 刚度矩阵。 （2）本章的方法具有一般性。 （3）位移插值函数的选择与单元节点的数目有 关。一般不可能精确描述单元内各点真实的位 移情况。
Fy(1e ) 0 0 v 1 = (e) Fy 2 0 0 v 2
下面建立 x 方向位移的插值函数。 设杆件内任意一点沿 x 的位移向量为
δ x = u = α1 + α 2 x
第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的 关系 由 x1 = 0, u = u1 ; x 2 = L, u = u 2 可写出
3 杆件结构的有限元法—虚功原理 直接刚度法：已知杆件刚度，利用位移和 力的关系，建立单元刚度矩阵。 不知道力——位移的关系，怎样求解？ 本章介绍一种更为一般的有限元求解力学 问题的方法：虚功原理推导杆单元刚度 矩阵。
这一方法分为6步。 第一步：建立局部坐标系，写出单元的位移向量 和节点力向量。
有限元第3章
单元2：
2、由于整个系统有3个节点(位移)，将上述方程扩大成3阶方程，有
F1 ka F2 = −ka F 0 3
−ka 0 u1 ka 0 u2 0 0 u3
0 0 u1 F1 0 F2 = 0 kb − kb u2 F 0 − k kb u3 b 3
10 3000 −1800 u2 = 20 −1800 3300 u3
u2 = 0.0103603m
u3 = 0.0117117m
F1 = 1200u1 − 1200u2 + 0 × u3 + 0 × u4 = −12.432kN
F4 = 0 × u1 + 0 × u2 − 1500 × u3 + 1500 × u4 = −17.567kN
kb
ka u2 = 0
u1
kb
3 u3 = 0
F3c , u3
只允许节点3有位移 u3 如图3-5(c)所示。类似情况(1)
F3c = −kb u3
F2 c = − F3c = −kbu3
F1c = 0
(4)合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个方向的位移。因此方程式为
F1 k11 F2 = k21 F k 3 31
为了验证结果的正确性，我们进行受力平衡验证：
F1 + F2 + F3 + F4 = −12.432+10+20 − 17.567 ≈ 0
第三节 桁架结构的有限元法
一、单元分析 单元分析的目的是为整体分析做准备， 单元分析的目的是为整体分析做准备，单元分析就是建立单元杆端力和 杆端位移之间的关系，即单元刚度方程。 杆端位移之间的关系，即单元刚度方程。 单元分析的一般步骤如下： 单元分析的一般步骤如下： 1)用广义坐标法或试凑法建立形函数，从而建立满足变形协调的单元位移 用广义坐标法或试凑法建立形函数， 用广义坐标法或试凑法建立形函数 即单元内任意一点的位移用单元节点位移(对杆件单元为杆端位移 对杆件单元为杆端位移)来 场，即单元内任意一点的位移用单元节点位移 对杆件单元为杆端位移 来 表示； 表示； 2)由几何方程建立单元应变场，即单元内任意一点的应变由节点位移来表示； 由几何方程建立单元应变场， 由几何方程建立单元应变场 即单元内任意一点的应变由节点位移来表示； 3)由物理方程建立单元应力场，也即单元内任意一点的应力由节点位移来表示； 由物理方程建立单元应力场，也即单元内任意一点的应力由节点位移来表示； 由物理方程建立单元应力场
3_杆系结构有限元分析
TT 。
杆单元
当用局部坐标系位移表示总体坐标系中的位移时有
T
e
1
'
e
T
T
'
e
利用类似的办法，可以建立起总体坐标系与局部坐标系间结点力 的关系式
F e T T F '
e
(2.12)
将式(2.9)代入式(2.12)，再把式(2.11)代入得
F e T T F ' T T K ' ' T T K ' T e
杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单 元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求 得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 N 及其
N i , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
即
（2.8）
K e e F e 0
故
K e e F e
（2.9）
杆单元
式(2.9)即为杆单元的平衡方程。其中杆单元在局部坐标系单元刚 度矩阵的显式为
1 1 K B DBdV E 1 1 Adx V 0 l 1
e T l
EA 1 1 l 1 1
e e e e
令K T
e
T
K '
e
T ，则
F e K e e
(2.13)
杆单元
式(2.11)，(2.12)，(2.13)就是两种坐标系中的全部转换关系，利用式(2.13) 就可以很容易将局部坐标系的刚度矩阵转换为总体坐标系的刚度矩阵。 对于图 2.4 所示的杆单元，其表示式为
有限元-梁系结构的有限元法
4x l
3x 2 l2
) i
x l
(3x l
2)
j
容易验证 ： x 0： u ui v vi i x l： u u j v v j j
(3-1a)，(3-1b)或(3-2a)，(3-2b)称为平面梁单元的位移插值 函数
二、建立节点位移与节点力关系
1、 轴向节点力
E Fx A
拉压杆问题的回顾
1、杆的基本概念：
杆--轴线为直线的细长构件，沿轴线承受 拉（压）载荷； 杆模型--平面假设将杆简化为一维问题， 可由杆轴线代表； 杆变形特点--只与轴向位移相关；
拉压杆问题的回顾
2、杆有限元的基本概念
节点位移—轴向位移，每节点1个自由度； 节点力—轴力； 结构离散：轴线划分为若干直线段； 单元分析：建立节点力与节点位移关系； 节点平衡：对每一节点，建立相关节点力与 外力的平衡关系，得到一线性方程组； 约束处理：引入已知节点位移，使方程组可解
梁系结构实例
2、平面梁系
1、节点力平衡的需求--单元节点力（在 局部坐标系中）向整体坐标系的变换； 2、单元分析的需求--节点位移（在整体 坐标系中）向局部坐标系的变换； 3、结构对称性的利用（练习，作业3）。
l2 2EI
l
0
Vi
i
u
j
（3-4）
6EI l2
4EI
V
j j
l
（3－4）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系
式（3-4）还可写成：
F
e
K e
e
（3-5）
e
F
——称为局部坐标下的节点力列向量
e ——称为局部坐标下的节点位移列向量
e
K
3 杆系结构有限元法解析
0
k222
k223
0 k322 k323
三、方程求解（约束条件的引入）
由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列 式的值为零，矩阵的逆不存在。 对应线性代数方程组式（2－7）和式（2－9）无定解。
物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在
Fx1 Fx1 cos Fy1 sin Fy1 Fx1 sin Fy1 cos 类似地可写出节点2处的表达式。
令 sin ， cos ，则节点力的变换关系为
Fx1 0 0 Fx1
Fy1 Fx 2
Fy 2
kb
0 u1 0
kb
u2
kb u3
从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位 移就可计算出每个弹簧所受力的大小。
弹簧1-2受力 pa＝ka×（弹簧1－2长度的变化量） pa＝ka×（u2-u1）
有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤：
度应采用一个矩阵来表示，即 K ，同理，各点的位移也应采用一个矩 阵来表示，即 ，再加上矩阵 F ，就构成了
F
F K
K 称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？
系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
3 杆系结构有限元法
杆系结构定义：当结构长度尺寸比两个截面方
向的尺寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中常见得轴、 支柱、螺栓、加强肋以及各类型钢等都属于杆件。
有限元分析与ANSYS实践第3章
2019/2/19
a)
b)
c)
图3-1 杆件结构实例 2019/2/19
在有限元分析中，当杆件的长度尺寸远大于截面尺寸时， 可认为杆件单元只发生轴线方向的拉伸与压缩变形，不产生 弯曲、扭转等变形。如图3-2所示，作用于杆件两端方向相 反的两个外力，其作用线与杆件轴线重合，使杆件发生拉伸 （虚框）。
单元首结点 编号 1 2 1
单元尾结点 编号 2 3 3
单元长度 /cm 70.71 70.71 100
（2）单元分析 在各单元上，沿杆的轴向建立笛卡尔（直角）坐标系，称为 单元（或局部）坐标系。 1） 对水平杆单元3，假设其受力与位移情况如图3-5所示。在 单元坐标系x轴向右的外力fix和fjx的共同作用下，结点i位移了 uix，结点j位移了ujx。
图3-24a) 活动绞支座
（2）施加载荷
（3）计算求解
图3-28 求解窗口
4. 后处理 （1）定义单元表
（2）输出单元表
图3-31 输出单元表
3.2自重作用下均匀截面直杆的有限元法分析
由于结构体自身存在质量，所以在实际工程中，除考虑外 力作用的同时，应首先了解结构体自身重量所产生力学问 题。本节介绍自重作用下均匀截面直杆的有限元法分析一 般原理和ANSYS分析方法。
例 3-1 设平面三角结构 的桁架 123 如图 3-4 所示。 已知：各杆的弹性模量 E=2.0×105MPa，各杆截面 均为 A=0.5cm 2 ，杆 13 长为 100cm，载荷P=2KN，试求 平面桁架的内力和位移。
图3-4 平面桁架123
解：1.传统分析方法 设杆12、杆23和杆13的内力分别为N1、N2和N3。 在总体坐标系x-y（或U-V）中，由力的平衡方程可 以得到结点的内力值。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。