2014高考数学总复习一轮用书与名师对话3-9
2014届高考数学一轮复习名师首选：第9章49《椭圆》
学案49 椭圆导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫______．集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若______，则集合P为椭圆；(2)若______，则集合P为线段；(3)若______，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质自我检测1．已知两定点A(－1,0)，B(1,0)，点M满足MA＋MB＝2，则点M的轨迹是____________．2．“m>n>0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．4．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1＝________，PF2＝________.5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k＝________.探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二 求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．探究点三 椭圆的几何性质例3 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．方程思想例4 (14分)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)，过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.[4分](2)若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.[6分]因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4·(3＋4k 2)·(16k 2－16k －8)>0.整理得32(6k ＋3)>0，解得k >－12.[9分]又x 1＋x 2＝8k k －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2，且PA →·PB →＝PM →2， 即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54.[11分]所以[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k k －3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54，解得k ＝±12.所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件，其方程为y ＝12x .[14分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x 2m ＋y 2n＝1 (m >0，n >0且m ≠n )，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为_________________________________________________________．2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m ＝________.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为________．4．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是________．5．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON ＝________.6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝________；∠F 1PF 2的大小为________．8．如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是______．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·常州模拟)已知方向向量为v ＝(1，3)的直线l 过点(0，－23)和椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若已知点D (3,0)，点M ，N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．10．(14分)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．11．(14分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．学案49 椭 圆答案自主梳理1．椭圆 焦点 焦距 (1)a >c (2)a ＝c (3)a <c 自我检测1．线段AB 2.充要 3.33 4.732 325.1课堂活动区例1 解 如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r .则由圆相切的性质知， CO 1＝1＋r ，CO 2＝9－r ， ∴CO 1＋CO 2＝10， 而O 1O 2＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为：(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B (－2,0)，r ＝6. 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )， 动圆与已知圆的切点为C .则BC －MC ＝BM ， 而BC ＝6， ∴BM ＋CM ＝6. 又CM ＝AM ，∴BM ＋AM ＝6>AB ＝4.∴点M 的轨迹是以点B (－2,0)、A (2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1.例 2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a ，b 的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ， ∴a ＝9，∴方程为y281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，ca ＝63， ∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3， c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程， 则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 例 3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF 1＋PF 2＝2a ，得到a 、c 的关系．(2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 22＝a2，4c 2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos θ，S △＝12PF 1·PF 2·sin θ.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn .∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解 (1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－ba ，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设F 1Q ＝r 1，F 2Q ＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区1.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) 2.8 3.2－1 4.椭圆 5．4 解析连结MF 2，已知MF 1＝2， 又MF 1＋MF 2＝10，故MF 2＝10－MF 1＝8，如图，ON ＝12MF 2＝4.6.x 236＋y 29＝1 解析 由已知得c a ＝32，2a ＝12，∴a ＝6，c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝9. 故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.7．2 120°解析 由PF 1＋PF 2＝6，且PF 1＝4，知PF 2＝2， 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.8.53解析 由题得△PF 1F 2为直角三角形，设PF 1＝m ，∵tan ∠PF 1F 2＝12，∴PF 2＝m 2，F 1F 2＝52m ，∴e ＝c a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝53.9．解 (1)∵直线l 的方向向量为v ＝(1，3)， ∴直线l 的斜率为k ＝ 3. 又∵直线l 过点(0，－23)， ∴直线l 的方程为y ＋23＝3x .∵a >b ，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点．∴c ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴a ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(6分)(2)若直线MN ⊥y 轴，则M 、N 是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－2 6.若MN 与y 轴不垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x ＝my ＋3得(m 2＋3)y 2＋6my ＋3＝0.设M 、N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6mm 2＋3，①y 1y 2＝3m 2＋3，②Δ＝36m 2－12(m 2＋3)＝24m 2－36>0，∴m 2>32.∵DM →＝(x 1－3，y 1)，DN →＝(x 2－3，y 2)，DM →＝λDN →，显然λ>0，且λ≠1， ∴(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)．∴y 1＝λy 2.代入①②，得λ＋1λ＝12m 2m 2＋3－2＝10－36m 2＋3.∵m 2>32，得2<λ＋1λ<10，即⎩⎪⎨⎪⎧λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26， 且λ≠1.(14分)10．解 方法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a .(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b，再由AB ＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，(10分) 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.(14分)方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.(2分)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则AB ＝k 2＋x 1－x 22＝2·4b 2－a ＋b b －a ＋b2.∵AB ＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①(6分)设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b ，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.(10分)代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋2y23＝1.(14分)11．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.(7分) 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.(9分)另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4， 得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.(12分) 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．(14分)方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16.(3分) 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)同方法一．。
2014年《与名师对话》人教版数学(理)高考数学总复习4-3三角函数的图像与性质
R
课前自主回顾 第5页，共59页。
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函数 性质
y＝sin x
y＝cos x
对称性
对称轴：
对称轴：
x＝kπ＋π2(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
对称中心： 对称中心：
y＝tan x 无对称轴 对称中心：
周期
(kπ，0)(k∈Z)
2π
kπ＋
π2，0(k∈Z) k2π，0(k∈Z)
课前自主回顾 第23页，共59页。
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(2012
年北京)已知函数
f(x)＝sin
x－cos xsin sin x
2x .
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求 f(x)的单调递增区间．
【思路启迪】 (1)由 sin x≠0，可得函数的定义域；求函
课前自主回顾 第9页，共59页。
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问题探究 2：所有的周期函数都有最小正周期吗？
提示：不是所有的周期函数都有最小正周期，周期函数 f(x) ＝C(C 为常数)就没有最小正周期．
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(对应学生用书 P81)
正弦、余弦函数的定义域为 R，正切函数的定义域为 {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}；正弦、余弦函数的值域为[－1,1]，正切函 数的值域为 R.在求三角函数的最值(或值域)时，可先把“ωx＋ φ，ω>0”视为一个整体，再把 sin (ωx＋φ)视为一个整体．
【与名师对话】2014年高考数学总复习 质函数 导数及应用 文 新人教A版
质量检测(二)测试内容：函数 导数及应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝log 2(3x－1)的定义域是( ) A ．R B ．(1，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：由3x－1>0得x >0，故定义域是(0，＋∞)，选C. 答案：C2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ， 又f (2)＝1，即log a 2＝1， 所以a ＝2，故f (x )＝log 2x . 答案：A3．(2012年市丰台区高三第一学期期末)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n ＝P 0(1＋k )n(k >－1)，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k <0，那么这期间人口数( )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．摆动变化D ．不变解析：由于－1<k <0，所以0<1＋k <1，因此P n 为关于n 的递减函数，故选B. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．－1解析：∵f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2－x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1. 令x ＝1得f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，所以f ′(1)＝0，故选A. 答案：A5．若函数f (x )＝ax 2＋(a 2－1)x －3a 为偶函数，其定义域为[4a ＋2，a 2＋1]，则f (x )的最小值为( )A ．3B ．0C ．2D ．－1解析：由f (x )为偶函数知a 2－1＝0，即a ＝±1， 又其定义域需关于原点对称， 即4a ＋2＋a 2＋1＝0必有a ＝－1. 这时f (x )＝－x 2＋3，其最小值为f (－2)＝f (2)＝－1. 故选D. 答案：D6．(2012年某某某某质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y 与储藏温度x 的关系为指数型函数y ＝ka x，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h ，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h ，那么在10 ℃下的保鲜时间是( )A ．49 hB ．56 hC ．64 hD ．76 h解析：由题意知，指数型函数为y ＝ka x，于是⎩⎪⎨⎪⎧100＝ka 080＝ka 5，所以k ＝100，a 5＝45，则当x ＝10时，y ＝100×a 10＝100×(45)2＝64.故选C.答案：C7．(2012年某某四校联考)已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不能确定解析：∵0<x 0<a ，∴2x 0<2a且log 12x 0>log 12a .即－log 12x 0<－log 12a ，∴2x 0－log 12x 0<2a－log 12a又a 是f (x )＝2x－log 12x 的零点，∴2a－log 12a ＝0，∴f (x 0)＝2x 0－log 12x 0<0，选C.答案：C8．(2012年某某)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件解析：∵x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数． 当x ∈[3,4]时，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)．∴x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，充分性成立． 反之：x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，x －4∈[－1,0]，∵T ＝2， ∴f (x )＝f (x －4)，∴x ∈[－1,0]时，f (x )是减函数．∵y ＝f (x )是偶函数，∴x ∈[0,1]时，f (x )是增函数，必要性成立，故选D. 答案：D9．(2012年某某市高三期末质量检查)已知g (x )为三次函数f (x )＝a3x 3＋a2x 2－2ax (a ≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )解析：由已知得g (x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，∴g (x )的图象与x 轴的交点坐标为(－2,0)，(1,0)，且－2和1是函数f (x )的极值点，故选D.答案：D10．(2012年正定中学第一次月考)已知函数 f (x )＝ln a ＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围是( )A ．0<a <1eB ．0<a ≤eC ．a ≤eD ．a ≥e解析：f ′(x )＝1x·x －ln a ＋ln x x2＝1－ln a ＋ln xx 2，因为 f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e.答案：D11．(2013届某某省重点中学联合考试)定义在(1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－(x －3)2，若函数f (x )的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c 等于( )A ．1B ．2C ．2或4D ．1或2解析：由已知可得，当1≤x ≤2时，f (x )＝1c f (2x )＝1c[1－(2x －3)2]；当2≤x ≤4时，f (x )＝1－(x －3)2， 当4≤x ≤8时，f (x )＝cf (x 2)＝c [1－(x2－3)2]由题意可知三点(32，1c )，(3,1)，(6，c )共线，则1－1c 32＝c －13，解得c ＝1或c ＝2.答案：D12．(2012年某某统考)已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1、x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：由于f x 1－f x 2x 1－x 2＝k >2恒成立，所以f ′(x )≥2恒成立．又f ′(x )＝ax＋x ，故ax＋x ≥2，即a ≥－x 2＋2x ，而g (x )＝－x 2＋2x 在(0，＋∞)上的最大值为1，所以a ≥1.故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13． f (x )＝ (n ∈Z )是偶函数，且y ＝ f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为 f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为 f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或214．(2012年某某某某模拟)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“冏”字，故我们把它称为“冏函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“冏函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝__________.解析：由题易知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1，在同一坐标系中画出“冏函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．答案：415．(2013届某某普通高中质检)已知函数f (x ＋12)为奇函数，设g (x )＝f (x )＋1，则g (12 013)＋g (22 013)＋g (32 013)＋g (42 013)＋…＋g (2 0122 013)＝________. 解析：由题意f (－x ＋12)＝－f (x ＋12)，即f (－x ＋12)＋f (x ＋12)＝0，故可得结论：若m ＋n ＝1，则f (m )＋f (n )＝0，g (m )＋g (n )＝2.∴原式＝1 006×2＝2 012. 答案：2 01216．(2012年某某市高三学情调研)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m叫做离x 最近的整数，记作{x }＝m .在此基础上给出下列关系函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为[0，12]；②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，且最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在[－12，12]上是增函数．其中正确的命题是________．解析：由条件知－12<x －{x }≤12，所以①正确；作出图象可知②③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知f (x －3)＝log a x6－x(a >0，且a ≠1)，试判断f (x )的奇偶性．解：∵f (x －3)＝log a x 6－x ，∴f (x )＝log a 3＋x3－x.3＋x3－x>0⇒－3<x <3， ∴定义域关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫3－x 3＋x ·3＋x 3－x ＝log a1＝0，∴f (x )为奇函数．18．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2－x 在点A (1，f (1))处的切线为l ，若此切线在点A 处穿过y ＝f (x )的图象(即动点在点A 附近沿曲线y ＝f (x )运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求函数f (x )的表达式．解：由已知得f ′(x )＝x 2＋ax －1，由f ′(1)＝a 知f (x )在点A (1，f (1))处的切线l 的方程是y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即y ＝ax －23－12a .因为切线l 在点A 处穿过y ＝f (x )的图象，所以g (x )＝f (x )－(ax －23－12a )在x ＝1两边附近的函数值异号，则x ＝1不是g (x )的极值点．而g (x )＝13x 3＋12ax 2－(1＋a )x ＋23＋12a ，则g ′(x )＝x 2＋ax －a －1＝(x －1)(x ＋1＋a )． 令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1－a ，若1≠－1－a ，则x ＝1和x ＝－1－a 都是g (x )的极值点， 所以1＝－1－a ，即a ＝－2， 故f (x )＝13x 3－x 2－x .19．已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)上各有一个实数根．证明：(1)对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根，即f (x )－1＝0必有实数根．x 2＋(2t －1)x ＋1－2t －1＝0， x 2＋(2t －1)x －2t ＝0，Δ＝(2t －1)2－4×(－2t )＝(2t ＋1)2≥0，所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根．(2)当12<t <34时，因为f (－1)＝3－4t ＝4(34－t )>0，f (0)＝1－2t ＝2(12－t )<0，f (12)＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0，所以方程f (x )＝0在区间(－1,0)及(0，12)上各有一个实数根．20．2012年5月12日韩国某某世博会开幕，某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件， 则月平均利润为y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×(1＋12)＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．21．(2013年某某某某月考)已知函数：f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1(1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式；(2)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求b 的取值X 围．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导数得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，过y ＝f (x )上点P (1，f (1))的切线方程为：y －f (1)＝f ′(1)(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)而过y ＝f (x )上P (1，f (1))的切线方程为：⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3a ＋b ＋c －2＝1即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0a ＋b ＋c ＝3①②∵y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，故f ′(－2)＝0 ∴－4a ＋b ＝－12③由①②③相联立解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)x [－3，－2)－2 (－2，23)23 (23，1] f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大极小f x 极大f 32f (1)＝13＋2×1－4×1＋5＝4∴f (x )在 [－3,1]上最大值为13 由y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由(1)知2a ＋b ＝0 ∴f ′(x )＝3x 2－bx ＋b依题意f ′(x )在[－2,1]上恒有f ′(x )≥0，即3x 2－bx ＋b ≥0在[－2,1]上恒成立 ①在x ＝b 6≥1时，f ′(x )小＝f ′(1)＝3－b ＋b >0，∴b ≥6②在x ＝b6≤－2时，f ′(x )小＝f ′(－2)＝12＋2b ＋b ≥0，∴b ∈Ø③在－2≤b6≤1时，f ′(x )小＝12b －b212≥0，则0≤b ≤6.综上所述讨论可知，所求参数b 取值X 围是：b ≥022．(2012年怀柔高三调研)已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx，其中e是自然常数，a ∈R .(1)讨论a ＝1时，f (x )的单调性、极值； (2)求证：在(1)在条件下，f (x )>g (x )＋12；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1， ∴f (x )>0，f (x )min ＝1，令h (x )＝g (x )＋12＝ln x x ＋12，h ′(x )＝1－ln x x ，当0<x <e 时，h ′(x )>0，h (x )在(0，e]上单调递增， ∴h (x )max ＝h (e)＝1e ＋12<12＋12＝1＝|f (x )|min .∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )无最小值．②当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，e]上单调递增，f (x )min ＝f (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )无最小值．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时，f (x )有最小值3.。
2014届高考数学(理)一轮复习【配套文档】：第九篇 易失分点清零(十一) 解析几何(一) 含答案
易失分点清零（十一)解析几何（一)1。
若过点A（4,0）的直线l与曲线(x－2）2＋y2＝1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为（)．A．［－3,错误!］B．（－错误!，错误!）C.错误!D.错误!解析易知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝k（x－4),即kx－y－4k＝0，直线l与曲线(x－2）2＋y2＝1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，d＝错误!≤1，得4k2≤k2＋1，k2≤错误!，解得－错误!≤k≤错误!，故选C.答案C2．已知点P在曲线y＝错误!上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为（）．A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!解析设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝错误!＝错误!，因为e x>0,所以由均值不等式，得k≥错误!。
又k〈0,所以－1≤k〈0,即－1≤tan α〈0.所以错误!≤α〈π.答案D3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线是（)．A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析点（x，y）关于直线x＝1的对称点为(2－x，y），2－x－2y ＋1＝0⇒x＋2y－3＝0.答案D4．圆（x＋2）2＋y2＝5关于原点（0,0)对称的圆的方程为（)．A．（x－2）2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝5 D．x2＋（y＋2）2＝5解析根据圆自身的对称性，原圆心(－2，0）对称后的圆心(2，0）,两圆为等圆,不同处在于圆心变化了,所以对称后圆的方程为（x－2)2＋y2＝5。
答案A5．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1）2＝9，点P（2,2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是（）．A．3错误!B．4错误!C．5错误!D．6错误!解析依题意，知圆的最长弦为直径,最短弦为过点P且垂直于最长弦的弦，所以|AC|＝2×3＝6.又因为圆心到BD的距离为2－12＋2－12＝错误!,所以|BD|＝2错误!＝2错误!。
3-3与名师对话高三一轮数学(理)
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基
础
知
识
考点一 定积分的计算
诊
断
【例1】 计算下列定积分：
核 心 考 点 突 破
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[解]
基 础 知 识 诊 断 核 心 考 点 突 破
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[解析] 由图可知，
基 础 知 识 诊 断 核 心 考 点 突 破
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基 础 知 识 诊 断 核 心 考 点 突 破
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请做请：做课：后随跟堂踪巩训固练验(收十九)
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训
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点 突 破
(3)曲线f(x)＝sinx，x∈0，54π与x轴围成的图形的面积为_3_－___2_2__．
[思路引导] 作出图形→求交点→转化为定积分．
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基
[解析]
础
知
识
诊
断
核 心 考 点 突 破
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基
础
知
识 诊
2．两个性质
断
核 心 考 点 突 破
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2014届高考高三数学一轮复习数学(人教A版·理)第九章 平面解析几何9.4
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离【答案】B【解析】圆心到直线的距离d==<1,∴直线与圆相交但不过圆心.2.圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】可判断圆C1与C2相交,故公切线有2条.3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为()A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0【答案】D【解析】设切线方程为y-=k(x-1),由d=r,可求得k=.故所求切线方程为x-y+2=0.4.过点(0,-1)作直线l与圆x2+y2-2x-4y-20=0交于A,B两点,如果|A B|=8,则直线l的方程为()A.3x+4y+4=0B.3x-4y-4=0C.3x+4y+4=0或y+1=0D.3x-4y-4=0或y+1=0【答案】C【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.圆心为(1,2),半径r=5,又|AB|=8,从而圆心到直线的距离等于3.由点到直线的距离公式得直线方程为3x+4y+4=0或y+1=0.5.已知一圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.20C.30D.40【答案】B【解析】圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=52,∴圆心为P(3,4).∴过点(3,5)的最长弦为直径|AC|=10,过点(3,5)的最短弦|BD|=2=4.故S四边形ABCD=|AC||BD|=×10×4=20.6.设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·=0,则等于()A. B.或-C. D.或-【答案】D【解析】∵·=0,∴OM⊥CM.∴OM是圆C的切线.设OM的方程为y=kx,由=,得k=±,即=±.7.设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是()A.[1-,1+]B.(-∞,1-]∪[1+,+∞)C.[2-2,2+2]D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)【答案】D【解析】∵直线与圆相切,∴=1,∴|m+n|=,即mn=m+n+1.设m+n=t,则mn≤=,∴t+1≤.∴t2-4t-4≥0,解得t≤2-2或t≥2+2.8.(2012·北京卷,9)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.【答案】2【解析】由题意得,圆x2+(y-2)2=4的圆心为(0,2),半径为2,圆心到直线x-y=0的距离d==.设截得的弦长为l,则由+()2=22,得l=2.9.(2012·天津卷,12)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为.【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2.∴=.∴m2+n2=≥2|mn|,即|mn|≤.l与x轴交点A,与y轴交点B,故S△AOB=·=·×6=3.10.求过点P(4,-1)且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0切于点M(1,2)的圆的方程.【解】设所求圆的圆心为A(m,n),半径为r,则A,M,C三点共线,且有|MA|=|AP|=r,因为圆C:x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C(-1,3),则解得m=3,n=1,r=,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.11.已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,求圆C的方程.【解】设点P关于直线y=x+1的对称点为C(m,n),则有解得故圆心C(0,-1)到直线3x+4y-11=0的距离d==3,所以圆C的半径的平方r2=d2+=18.故圆C的方程为x2+(y+1)2=18.12.已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8).(1)过M作圆的割线交圆于A,B两点,若|AB|=4,求直线AB的方程;(2)过M作圆的切线,切点为C,D,求切线长及CD所在直线的方程.【解】(1)圆x2+y2-4x+2y-3=0化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=8,圆心为P(2,-1),半径r=2.①若割线斜率存在,设AB:y+8=k(x-4),即kx-y-4k-8=0,设AB的中点为N,则|PN|==,由|PN|2+=r2,得k=-,此时AB的直线方程为45x+28y+44=0.②若割线斜率不存在,AB:x=4,代入圆方程得y2+2y-3=0,解得y1=1,y2=-3,符合题意. 综上,直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4.(2)切线长为==3.以PM为直径的圆的方程为(x-2)(x-4)+(y+1)·(y+8)=0,即x2+y2-6x+9y+16=0.又已知圆的方程为x2+y2-4x+2y-3=0,两式相减,得2x-7y-19=0,所以直线CD的方程为2x-7y-19=0.拓展延伸13.已知m∈R,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?【解】(1)设直线l的斜率为k.直线l的方程可化为y=x-,此时直线l的斜率k=.因为|m|≤(m2+1),所以|k|=,当且仅当|m|=1时等号成立.所以斜率k的取值范围是.(2)不能.由(1)知直线l的方程为y=k(x-4),其中|k|≤.圆C的圆心为(4,-2),半径r=2,圆心C到直线l的距离为d=,由|k|≤,得d≥>1,即d>,从而,若直线l与圆C相交,则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于,所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.。
2014届高考数学一轮复习(配最新高考+模拟)第九章解析几何单元测试 文 新人教A版
2014届高考数学（文）一轮复习单元测试第九章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、．（2013年高考某某卷（文4））设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ 的最小值为 （ ）A ．6B ． 4C ．3D ．22 ．（2013年高考某某卷（文5））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = （ ）A ．12-B ．1C ．2D ．123 ．（2013年高考某某卷（文7））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=4、【某某省某某一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】椭圆221259x y +=的焦距为A ．4B ．6C ．8D ．105、【市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为A ．2 B. 3 C. 4 D.56．（ 2013年高考某某卷（文））双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22 C ．1D ．27、【东北三校2013届高三3月第一次联考】与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）A ．2213y x -= B ．2221y x -=C ．22122y x -= D ．2213y x -=8 ．（2013年高考某某卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 9 ．（2013年高考某某卷（文10））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值X 围是 （ ）A ．(2]3B ．[,2)3C ．()3+∞ D ．[)3+∞ 10、【某某省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】设12,F F 分别是椭圆22221x y a b 0a b 的左、右焦点，与直线yb 相切的2F 交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与2F 的切点，则椭圆的离心率为A.2B.3C.3D.411．（2013年高考课标Ⅰ卷（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为 （ ）A ．2B ．C ．D ．412、【某某省某某四中2013届高三第四月考文】设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3：2，则曲线C 的离心率等于（ ）（A ）2332或 （B ）223或（C ）122或（D ）1322或二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．【市某某区2013届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是，离心率是.14.（2013年高考某某卷（文14））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是_________.15、（2013年高考某某（文14））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为___________.16、（2013年高考某某卷（文15））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点, ,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) （2013年高考某某卷（文））已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点. (Ⅰ)求k 的取值X 围;(Ⅱ)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.18. (本小题满分12分) （2013年高考某某卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.19．(本小题满分12分) 【市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 的距离为10，过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．20．(本小题满分12分) 【（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .21．(本小题满分12分)（2013年高考某某卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.22．(本小题满分12分)（某某市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知抛物线C :px y 22=)0(>p ,直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B .(1)当直线l 过点)0,(p M -时,证明21y y ⋅为定值;(2)当p y y -=21时,直线l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记)0,(p N ,如果直线l 过点)0,(p M -,设线段AB 的中点为P ,线段PN 的中点为Q .问是否存在一条直线和一个定点,使得点Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.祥细答案一、选择题 1、【答案】B【解析】本题考查圆的性质以及距离公式。
2014届高考数学(理)一轮复习【配套文档】：第四篇 第3讲 三角函数的图象与性质 含答案
第3讲三角函数的图象与性质A级基础演练（时间:30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分）1．（2011·山东）若函数f(x)＝sin ωx（ω＞0）在区间错误!上单调递增，在区间错误!上单调递减,则ω＝（）．A.错误!B。
错误!C．2 D．3解析由题意知f（x)的一条对称轴为x＝错误!,和它相邻的一个对称中心为原点，则f（x)的周期T＝错误!，从而ω＝错误!。
答案B2．已知函数f(x)＝sin(x＋θ）＋3cos（x＋θ)错误!是偶函数，则θ的值为（)．A．0 B。
错误!C。
错误! D.错误!解析据已知可得f(x)＝2sin错误!,若函数为偶函数,则必有θ＋错误!＝kπ＋π2（k∈Z),又由于θ∈错误!,故有θ＋错误!＝错误!,解得θ＝错误!，经代入检验符合题意．答案B3．函数y＝2sin错误!(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为（)．A．2－错误!B．0 C．－1 D．－1－错误!解析∵0≤x≤9，∴－错误!≤错误!x－错误!≤错误!,∴－错误!≤sin错误!≤1，∴－错误!≤2sin错误!≤2.∴函数y＝2sin错误!(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－错误!。
答案A4．（2011·安徽）已知函数f（x）＝sin（2x＋φ)，其中φ为实数．若f（x）≤错误!对x∈R恒成立，且f错误!＞f(π)，则f（x）的单调递增区间是( ）．A。
错误!(k∈Z)B。
错误!(k∈Z)C。
错误!(k∈Z)D.错误!(k∈Z)解析由f（x）＝sin（2x＋φ），且f(x）≤错误!对x∈R恒成立，∴f错误!＝±1,即sin错误!＝±1.∴错误!＋φ＝kπ＋错误!（k∈Z）．∴φ＝kπ＋错误!(k∈Z)．又f错误!〉f(π），即sin（π＋φ)〉sin(2π＋φ)，∴－sin φ〉sin φ。
∴sin φ<0.∴对于φ＝kπ＋错误!（k∈Z），k为奇数．∴f(x)＝sin（2x＋φ）＝sin错误!＝－sin错误!。
2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题,含详解及20
第三节等比数列及其前n项和[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，某某T13等．2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用，如2012年某某T18等.[归纳·知识整合]1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{a n}的有关概念及公式定义a n＋1a n＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或a na n－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且n≥2)通项公式a n＝a1q n－1＝a m·q n－m前n项和公式S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na1q＝1a11－q n1－q＝a1－a n q1－qq≠1等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝±ab[探究] 1.b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.2．如何理解等比数列{a n }与指数函数的关系？ 提示：等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1qn －1可改写为a n ＝a 1q·q n.当q >0，且q ≠1时，y＝q x是一个指数函数，而y ＝a 1q·q x是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q·q x的图象上的一群孤立的点．2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q 则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(2)若等比数列前n 项和为S n 则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m－S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(3)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k.[自测·牛刀小试]1．在等比数列{a n }中，如果公比q <1，那么等比数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．无法确定数列的增减性解析：选D 当a 1>0,0<q <1，数列{a n }为递减数列，当q <0，数列{a n }为摆动数列． 2．(教材习题改编)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：选B ∵数列{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝5log 3a 5a 6＝5log 39＝10.3．(教材习题改编)在等比数列{a n }中，若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－1＝15，a 1q 3－q ＝6.∴q 2－1≠0，q 4－1q 3－q ＝52.∴2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12或q ＝2.当q ＝2时，a 1＝1，∴a 3＝a 1q 2＝4.当q ＝12时，a 1＝－16，∴a 3＝a 1q 2＝－4.答案：4或－44．在等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________． 解析：由等比数列性质，已知转化为a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 即(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，故a 3＋a 5＝5. 答案：55．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________． 解析：设等比数列的公比为q ，则4＝q 4.即q ＝± 2. 当q ＝2时，插入的三个数是2，2,2 2. 当q ＝－2时，插入的三个数是－2，2，－2 2. 答案：2，2,22或－2，2，－2 2等比数列的基本运算[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·某某高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(3)(2012·某某高考)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.[自主解答] (1)设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，所以a 1＋a 10＝－7.(2)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n ·q 2＝5a n ·q ， 即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝2或q ＝12(舍去)．又∵a 25＝a 10＝a 5·q 5， ∴a 5＝q 5＝25＝32. ∴32＝a 1·q 4，解得a 1＝2. ∴a n ＝2×2n －1＝2n ，故a n ＝2n.(3)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2作差可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，所以2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．[答案] (1)D (2)2n(3)32———————————————————等比数列运算的通法与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)及前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q 时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．1．(1)(2013·海淀模拟)在等数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝a 3a 5，则a 7＝( ) A.116B.18C.14D.12(2)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152B.314 C.334D.172解析：(1)选B 在等比数列{a n }中，a 24＝a 3a 5，又a 4＝a 3a 5，所以a 4＝1，故q ＝12，所以a 7＝18.(2)选B 显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13，(舍去)故S 5＝a 11－q 51－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.等比数列的判定与证明[例2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求a n .[自主解答] (1)证明：∵由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2，② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1.∴{b n }是首项b 1＝3，公比q ＝2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14. a n ＝(3n －1)×2n －2.———————————————————等比数列的判定方法(1)定义法：若a n＋1a n＝q(q为非零常数，n∈N*)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a n}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n}是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{b n}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{b n}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1×22，解得b1＝54.所以{b n}是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为b n＝54×2n－1＝5×2n－3.(2)证明：由(1)得数列{b n}的前n项和S n＝541－2n1－2＝5×2n－2－54，即S n＋54＝5×2n－2.所以S1＋54＝52，S n＋1＋54S n＋54＝5×2n－15×2n－2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，以2为公比的等比数列.等比数列的性质及应用[例3] (1)在等比数列{a n }中，若a 1·a 2·a 3·a 4＝1，a 13·a 14·a 15·a 16＝8，则a 41·a 42·a 43·a 44＝________.(2)已知数列{a n }为等比数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12＝________.[自主解答](1)法一：a 1·a 2·a 3·a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，①a 13·a 14·a 15·a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，② 由②÷①，得a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41·a 42·a 43·a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ，T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·q 3＝1·q 3＝8，即q ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·q 10＝210＝1 024.(2)法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.故S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1·q 3＋a 2·q 3＋a 3·q 3)＋(a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6)＋(a 1·q 9＋a 2·q 9＋a 3·q 9)＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＋(a 1＋a 2＋a 3)q 6＋(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝(a 1＋a 2＋a 3)(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝3×(1＋2＋22＋23)＝45.法二：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝63，即q 3＝2.因为S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝9，S 12－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12，所以S 12－S 6S 6＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝ a 1·q 6＋a 2·q 6＋a 3·q 6＋a 4·q 6＋a 5·q 6＋a 6·q 6a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q 6＝4.所以S 12＝5S 6＝45. [答案] (1)1 024 (2)45 ———————————————————等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．3．已知等比数列前n 项的和为2，其后2n 项的和为12，求再后面3n 项的和． 解：∵S n ＝2，其后2n 项为S 3n －S n ＝S 3n －2＝12， ∴S 3n ＝14.由等比数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， 即(S 2n －2)2＝2·(14－S 2n )解得S 2n ＝－4，或S 2n ＝6.当S 2n ＝－4时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是首项为2，公比为－3的等比数列， 则S 6n ＝S n ＋(S 2n －S n )＋…＋(S 6n －S 5n )＝－364， ∴再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝－364－14＝－378.当S 2n ＝6时，同理可得再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝126－14＝112. 故所求的和为－378或112.3个防X ——应用等比数列的公比应注意的问题 (1)注意q ＝1时，S n ＝na ，这一特殊情况．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1和q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况而导致错误．4个思想——求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．(2)整体思想：当公比q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q ·(1－q n)，令a 11－q ＝t ，则S n ＝t (1－q n )．把a 11－q与q n当成一个整体求解，也可简化运算．(3)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a 1与q 分类讨论．(4)函数思想：在等比数列{a n }中，a n ＝a 1q·q n，它的各项是函数y ＝a 1q·q x图象上的一群孤立的点，可以根据指数函数的一些性质研究等比数列问题(如单调性)，注意函数思想在等比数列问题中的应用.创新交汇——以等比数列为背景的新定义问题1．在新情境下先定义一个新数列，然后根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来新兴起的一类问题，同时，数列也常与函数、不等式等形成交汇命题．2．对于此类新定义问题，我们要弄清其本质，然后根据所学的数列的性质即可快速解决．[典例] (2012·某某高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①②B ．③④ C ．①③D ．②④[解析] 法一：设{a n }的公比为q . ①f (a n )＝a 2n ，∵a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2， ∴{f (a n )}是等比数列．排除B 、D. ③f (a n )＝|a n |， ∵|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |， ∴{f (a n )}是等比数列． 法二：不妨令a n ＝2n.①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n)}是首项为4，公比为4的等比数列． ②因为f (x )＝2x，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以f a 2f a 1＝2422＝4≠f a 3f a 2＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n ＝(2)n. 显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列． ④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n＝n ln 2. 显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列． [答案] C [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题是以“保等比数列函数”为新定义背景，考查等比数列的有关性质．(2)考查内容创新：本题没有直接指明判断等比数列的有关性质，而是通过新定义将指数函数、对数函数及幂函数、二次函数与数列有机结合，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．2．解决本题的关键有以下两点(1)迅速脱掉“新定义”的外衣，认清本题的实质是：已知数列{a n }为正项等比数列，判断数列{a 2n }，{2a n }，{|a n |}及{ln|a n |}是否为等比数列问题．(2)灵活运用排除法或特殊值法也是正确解决本题的关键． [变式训练]1．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32B.32或23 C.23D ．以上都不对 解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 2．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：选D 由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵n ∈N *，∴12≤S n <1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．(2012·某某高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由题意可知a 3a 11＝a 27＝16，因为{a n }为正项等比数列，所以a 7＝4.所以log 2a 10＝log 2(a 7×23)＝log 225＝5.3．各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189解析：选C ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1＋a 1·q ＋a 1·q 2＝21,3＋3×q ＋3×q 2＝21， 1＋q ＋q 2＝7，解得q ＝2或q ＝－3.∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝21×q 2＝21×4＝84.4．(2013·某某模拟)已知a ，b ，m ，n ，x ，y 均为正数，且a ≠b ，若a ，m ，b ，x 成等差数列，a ，n ，b ，y 成等比数列，则有( )A ．m >n ，x >yB ．m >n ，x <yC ．m <n ，x <yD ．m <n ，x >y 解析：选B ∵m ＝a ＋b2，n ＝ab (a ≠b )，∴m >n .又2b ＝m ＋x ，由b 2＝ny ，得b ＝ny ， 即2ny ＝m ＋x ≥2mx ，∴ny ≥mx ， 即ny ≥mx ，y x ≥mn>1.∴y >x .5．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝18，则a 2a 3a 4等于() A ．36 B ．216 C ．±36 D．±216解析：选B 由等比数列的性质得a 23＝a 1·a 5＝2×18＝36， 又a 3＝a 1q 2＝2q 2>0，故a 3＝6. 所以a 2a 3a 4＝a 33＝216.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝() A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 利用等比数列知识求解． ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n . ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n .∴3a n ＝2a n ＋1. ∴a n ＋1a n ＝32.又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴a 2a 1＝12.∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列．∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎝⎛也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，⎭⎪⎫求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 解析：∵S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－28．若数列{a n }(a n ∈R )对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝22，那么a 12＝________.解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a 3＝a 1q 2＝22⇒q 3＝22，a 12＝q 12＝64. 答案：649．(2013·聊城模拟)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b∈R ，满足f (a ·b )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，a n ＝f 2n n (n ∈N *)，b n ＝f 2n 2n(n ∈N *)，考察下列结论．①f (0)＝f (1)；②f (x )为偶函数；③数列{a n }为等比数列；④{b n }为等差数列．其中正确的是________．解析：令a ＝0，b ＝0，则f (0)＝0，令a ＝b ＝1， 则f (1)＝2f (1)，故f (0)＝f (1)＝0； 设a ＝－1，b ＝x ，因为f (1)＝f [(－1)×(－1)]＝－2f (－1)， 则f (－1)＝0，所以f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )，f (x )为奇函数；f (2n)＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)＝2f (2n －1)＋2n⇒f 2n2n＝f 2n －12n －1＋1，则{b n }为等差数列；∵b 1＝f 22＝1，∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴f 2n2n ＝n ，a n ＝f 2n n＝2n，则数列{a n }为等比数列．答案：①③④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：(1)∵S n ＝1＋ka n ，①S n －1＝1＋ka n －1，②①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)， ∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝k k －1为常数，n ≥2. ∴{a n }是公比为kk －1的等比数列．(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k. ∴a n ＝11－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1n －1＝－kn －1k －1n.(3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1，∴{a 2n }是首项为⎝⎛⎭⎪⎫1k －12，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －12的等比数列．当k ＝－1时，等比数列{a 2n }的首项为14，公比为14，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .11．设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4.∴a 2＝－2，a 5＝4. ∵{a n }为等差数列， ∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2， 即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6. (2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)，①S n ＝23(b n －1)，②①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n .∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，首项b 1＝－2， ∴b n ＝(－2)n. ∴S n ＝23[(－2)n－1]．12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{}对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.解：(1)∵由已知得a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1(n ∈N *)． 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3. ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1(n ∈N *)．(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋b n＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋－1b n －1＝a n .两式相减得，n ≥2时，b n＝a n ＋1－a n ＝2.∴＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2， ∴c 1＝3.∴＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2·3n －1n ≥2.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.1．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．52B ．7 C ．6 D ．4 2解析：选A 法一：由等比中项的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝(5016)3＝5 2.法二：由等比数列的性质知a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9构成等比数列，所以(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)＝(a 4a 5a 6)2，即a 4a 5a 6＝±5×10＝±52，又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4 D ．1∶3解析：选C 由等比数列的性质：S 3、S 6－S 3、S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.3．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝4，a 4a 5a 6＝212. (1)求首项a 1和公比q 的值； (2)若S n ＝210－1，求n 的值． 解：(1)∵a 4a 5a 6＝a 35＝212⇒a 5＝16，∴a 5a 3＝q 2＝4⇒q ＝2，a 1q 2＝a 3，解得a 1＝1.(2)由S n ＝210－1，得S n ＝a 1q n －1q －1＝2n－1，∴2n －1＝210－1⇒2n ＝210，即n ＝10.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． 解：(1)b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，以－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， 又a 1＝1也符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．。
1-3与名师对话高三一轮数学(理)
心 考
0，因此∀x∈R，x2>0为假命题；当x＝2π时，cosx＝1，因此∃x∈R，使得cosx＝1
后 跟
点
踪
突 破
为真命题；根据指数函数的性质，∀x∈R,2x>0为真命题．故选B.
训 练
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基
名
础 知
5．(2020·河南三市一调)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，
点
踪
突
训
破
练
第7页
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基
1．一种关系
名
础 知
逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算
师 微
识
课
诊 断
中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由
导 学
“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．两类否定
心
后
考 点
以实数a的取值范围是a≤－2或a＝1.
跟 踪
突
训
破
练
第13页
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基 础 知 识 诊 断 核 心 考 点 突 破
第14页
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名
师
微
课
核心考点突破
导 学
课 后 跟 踪 训 练
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考点一 含逻辑联结词的命题的真假判断
师 微
识 诊
A．∃x0∈R，x20＋x0≤0
B．∃x0∈R，x20＋x0<0
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通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的 两个端点逐步逼近零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分 法．
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(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如 下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)· f(b)<0，给定精确度ε；②求 区间(a，b)的中点c；③计算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)· f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)· f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|<ε，则得到零点近似 值a(或b)；否则重复②③④.
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根的分布(m<n <p为常数) x1<m<x2
图象
满足条件 f(m)<0 Δ>0 m<－ b <n 2a fm>0 fn>0
m<x1<x2<n
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根的分布(m<n <p为常数) m<x1< n<x2<p
图象
满足条件 fm>0 fn<0 fp>0 Δ＝0 b m<－2a<n 或f(m)· f(n)<0
只有一根在 (m，n)之间
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3.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义
f(b)<0 的函数y＝f(x)， 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·
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关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有零 点，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]． (1)f(x)＝0在区间[0,2]上有一解． ∵f(0)＝1>0， 3 ∴f(2)≤0，即4＋2(m－1)＋1≤0⇒m≤－ . 2
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解法二：函数f(x)的图象如图所示．
可观察函数f(x)共有两个零点．
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(2)∵f′(x)＝2xln
2＋3>0，
∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数． 而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0， f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0， ∴f(－1)· f(0)<0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．
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考纲要求
考点
高考真题例举 2012 2011 2010
1.结合二次函数的图象，了 解函数的零点与方程根的联 函数的零点与 天津卷， 山东卷， 福建卷， 4 6 4 系，判断一元二次方程根的 方程的根 存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图象，能 —— —— —— 够用二分法求相应方程的近 二分法 似解.
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问题探究2：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且 有f(a)· f(b)<0呢？
提示：不一定．如图．
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(2)f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则 Δ≥0⇒m－12－4≥0⇒m≥3或m≤－1， 0<－m－1<2⇒－3<m<1， 2 3 f2≥0⇒4＋m－1×2＋1≥0⇒m≥－ ， 2 3 ∴－ ≤m≤－1. 2 由(1)(2)知：m≤－1.
已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区 间(1,2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
【思路启迪】 设出二次方程对应的函数，可画出相应的 示意图，然后用函数性质加以限制．
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5 1 即－ <m<－ . 6 2
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(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示． f0>0， f1>0， 列不等式组 Δ≥0， 0<－m<1 1 m>－ ， 2 1 ⇒m>－2， m≥1＋ 2或m≤1－ 2， －1<m<0，
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(2)几个等价关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔ 函数 y＝f(x)有 零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 不断的一条
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(对应学生用书P53)
判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方 法： (1)当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落 在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3) 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来 判断．
f(b)<0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有 曲线，并且有 f(a)·
零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x) ＝0 的根．
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问题探究 1：(1)函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点 吗？ (2)在(3)中，(a，b)内只有一个零点吗？
应用二分法确定的零点一般不唯一．
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用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度为 0.1)．
【思路启迪】 应用二分法求零点的方法求解．
【解】 设f(x)＝2x3＋3x－3. 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0， 所以函数在(0,1)内存在零点， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解． 取区间(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
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1 解法二：画出函数 f(x)＝ －x 的图象， x 如右图． 1 由图象， 可观察出 f(x)＝x－x， x∈(0,1) 不存在零点．
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判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵 活处理，当能直接求出零点时，可直接求出；当不能直接求出 时，可根据零点存在性定理；当用零点存在性定理也无法判断 时可画出图象进行判断．
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x2＋2x－3，x≤0， (1)函数f(x)＝ －2＋ln x，x>0
的零点个数为
(
)
A．3 C．7
B．2 D．0 ( )
(2)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
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用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题 (1)第一步中要使：①区间长度尽量小；② f(a)， f(b)的 值比较容易计算且f(a)· f(b)<0. (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与 求相应方程的根是等价的．对于求方程 f(x)＝g(x)的根，可以 构造函数F(x)＝ f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程 f(x)＝ g(x)的根．
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判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x2－2x＋1，x∈[0,2]； 1 (2)f(x)＝ －x，x∈(0,1)． x
【思路启迪】 可用解方程或图象法判断．
【解】 (1)解法一：令f(x)＝x2－2x＋1＝0，解得x＝1. 又1∈[0,2]，∴f(x)＝x2－2x＋1，x∈[0,2]存在零点．
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解析：(1)解法一：由f(x)＝0得
x>0， －2＋ln
x≤0， 2 x ＋2x－3＝0
或
x＝0，
解得x＝－3或x＝e2.
因此函数f(x)共有两个零点．
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