金陵科技学院MATLAB课程设计

引言

MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而前经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C++ 。在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。

此次课程设计的目的使大家掌握自动控制原理的时域分析法，根轨迹法，频域分析法，以及各种补偿（校正）装置的作用及用法，能够利用不同的分析法对给定系统进行性能分析，能根据不同的系统性能指标要求进行合理的系统设计，并调试满足系统的指标。学会使用MATLAB语言及Simulink动态仿真工具进行系统仿真与调试。

1、滞后——超前校正设计目的和原理

1.1滞后-超前校正设计目的

所谓校正就是在系统不可变部分的基础上，加入适当的校正元部件，使系统满足给定的性能指标。校正方案主要有串联校正、并联校正、反馈校正和前馈校正。确定校正装置的结构和参数的方法主要有两类：分析法和综合法。分析法是针对被校正系统的性能和给定的性能指标，首先选择合适的校正环节的结构，然后用校正方法确定校正环节的参数。在用分析法进行串联校正时，校正环节的结构通常采用超前校正、滞后校正和滞后-超前校正这三种类型。

超前校正通常可以改善控制系统的快速性和超调量，但增加了带宽，而滞后校正可以改善超调量及相对稳定度，但往往会因带宽减小而使快速性下降。滞后-超前校正兼用两者优点，并在结构设计时设法限制它们的缺点。

1.2滞后-超前校正设计原理

滞后-超前校正RC网络电路图如图1所示。

图1 滞后——超前校正RC 网络

由此求得滞后——超前网络的传递函数：

若使：

则：

滞后——超前网络的传递函数变为 ：

｜←滞后→｜←超前→｜

设12

范围内，输出电压相位滞后于输入电压相位；在高频范围内，输出电压相位超前于输入电压相位 。

图2 滞后——超前网络的伯德图

s

C R R Z 111

11+=

s

C R Z 2221+

=2112212112212(1)(1)

()(1)(1)c Z R C s R C s G s Z Z R C s R C s R C s

++=

=

++++111222

,1,

aT RC bT R C ab ===11221212

RC R C RC T T ++=+121122

TT R C R C =212111()11c bT s aT s G s T s T s ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪

++⎝⎭⎝

⎭

滞后——超前校正的频域设计实际是超前校正和滞后校正频域法设计的综合，基本方法是利用滞后校正将系统校正后的穿越频率调整到超前部分的最大相角处的频率。具体方法是先合理地选择截止频率c ω，先设计滞后校正部分，再根据已经选定的β设计超前部分。

应用频率法确定滞后超前校正参数的步骤： 1、根据稳态性能指标，绘制未校正系统的伯德图； 2、选择校正后的截止频率c ω； 3、确定校正参数β； 4、确定滞后部分的参数2T ； 5、确定超前部分的参数1T ；

6、将滞后部分和超前部分的传递函数组合在一起，即得滞后-超前校正的传递函数；

7、绘制校正后的伯德图，检验性能指标。

2、滞后——超前校正思路和过程

题目：已知单位负反馈系统的开环传递函数0

()(0.051)(0.11)

K G S S S S =

++，试用

频率法设计串联滞后——超前校正装置使系统的速度误差系数

150v K s -≥，相位裕度为00402γ=±，剪切频率(100.5)c rad s ω=±。

根据初始条件速度误差系数150v K s -≥，调整开环传递函数：0K 取50，因此系统的开环传递函数50

()(0.051)(0.11)

G S S S S =

++

2.1 用MATLAB 绘制校正前系统的伯德图 程序： num=[59];

den=[0.005 0.15 1 0]; G=tf(num,den); margin(G) 运行结果如下：

图3 校正前系统的伯德图

相位裕度为=-16.9γ 剪切频率19.4c rad s ω=

不满足题目中的要求，需要采用串联滞后——超前校正装置校正

2.2滞后——超前校正设计参数计算

校正前的传递函数50

()(0.051)(0.11)

G S S S S =

++

取10c rad s ω=，2c 1=25rad s ωω=，则11

==0.1c

aT ω，2121==0.5bT ω

在截止频率处，满足等式：5020lg =20lg

10a ，所以1

=5,b=5a ，12=0.02,=2.5T T 得到校正装置的传递函数：0.1s+10.5s+1

()0.02s+1 2.5s+1

G S =∙

所以校正后的传递函数为：()

()

500.5s+1()s 0.02s+10.05s+1 2.5s+1G S =

（）（）

作此函数的伯德图，可见不满足题目的要求，再改变k 的值，作伯德图，直至满足要求

图4 手绘校正前后，校正装置的伯德图2.3 用MATLAB绘制校正后系统的伯德图

程序：

num=[29.5 59];

den=[0.0025 0.176 2.57 1 0];

G=tf(num,den);

margin(G)

图5 校正后系统的伯德图

校正后系统的相位裕度为=42γ 剪切频率10.4c rad s ω=，满足题目的要求

3、用MATLAB 计算系统校正前后的闭环极点

校正前的特征根： 程序： num=[59];

den=[0.005 0.15 1 0]; G=tf(num,den); Gc=feedback(G,1); [num,den]=tfdata(Gc,'v'); r=roots(den);

disp('系统闭环极点:'); disp(r)

运行结果： 系统闭环极点: -34.2286 2.1143 +18.4464i 2.1143 -18.4464i

校正后的特征根： 程序：

num=[29.5 59];

den=[0.0025 0.176 2.57 1 0]; G=tf(num,den); Gc=feedback(G,1); [num,den]=tfdata(Gc,'v'); r=roots(den);

disp('系统闭环极点:'); disp(r)

程序运行结果： 系统闭环极点: -55.7495

-6.1665 +12.0264i

-6.1665 -12.0264i

-2.3175

分析：校正前，系统存在右半平面的根，可见系统不稳定校正后，右半平面的根消失，可见系统变稳定了

4、用MATLAB绘制系统校正前后的各响应曲线

4.1用MATLAB绘制系统校正前后单位脉冲响应曲线

校正前：

程序：

num=[59];

den=[0.005 0.15 1 0];

G0=feedback(tf(num,den),1);

impulse(G0,0:0.02:8)

运行结果：

图6 系统校正前单位脉冲响应曲线校正后：

程序：

num=[29.5 59];

den=[0.0025 0.176 2.57 1 0];

G0=feedback(tf(num,den),1);

impulse(G0,0:0.02:2)

运行结果：

图7 系统校正后单位脉冲响应曲线

4.2用MATLAB绘制系统校正前后单位阶跃响应曲线

校正前：

程序：

num=[59];

den=[0.005 0.15 1 0];

G=tf(num,den);

Gc=feedback(G,1);

step(Gc)

图8 系统校正前单位阶跃响应曲线校正后：

程序：

num=[29.5 59];

den=[0.0025 0.176 2.57 1 0];

G=tf(num,den);

Gc=feedback(G,1);

step(Gc)

运行结果：

图9 系统校正前后单位阶跃响应曲线4.3用MATLAB绘制系统校正前后单位斜坡响应曲线

校正前：

程序：

num=[59];

den=[0.005 0.15 1 0];

sys=tf(num,den);

lsim(sys,0:0.01:40,0:0.01:40);

运行结果：

图10 系统校正前后单位斜坡响应曲线校正后：

程序：

num=[29.5 59];

den=[0.0025 0.176 2.57 1 0];

sys=tf(num,den);

lsim(sys,0:0.01:40,0:0.01:40);

运行结果：

图11 系统校正前后单位斜坡响应曲线

5、用MATLAB计算系统校正前后动态性能指标σ%、tr、tp、ts以及稳态误差的值

校正前的动态性能指标σ%、tr、tp、ts以及稳态误差的值

程序：

num=[59];

den=[0.005 0.15 1 0];

G=tf(num,den);

Gc=feedback(G,1);

[y,t]=step(Gc);

C=dcgain(Gc);

[max_y,k]=max(y);

peak_time=t(k)

max_overshoot=100*(max_y-C)/C

r1=1;

while(y(r1)<0.1*C)

r1=r1+1;

end

r2=1;

while(y(r2)<0.9*C)

r2=r2+1;

end

rise_time=t(r2)-t(r1)

s=length(t);

while y(s)>0.98*C&&y(s)<1.02*C

s=s-1;

end

setting_time=t(s)

ess=1-dcgain(Gc)

运行结果：

peak_time = 6.6704

max_overshoot =1.1116e+008

rise_time =0

setting_time =6.9426

ess =0

校正后的动态性能指标σ%、tr、tp、ts以及稳态误差的值程序：

num=[29.5 59];

den=[0.0025 0.176 2.57 1 0];

G=tf(num,den);

Gc=feedback(G,1);

[y,t]=step(Gc);

C=dcgain(Gc);

[max_y,k]=max(y);

peak_time=t(k)

max_overshoot=100*(max_y-C)/C

r1=1;

while(y(r1)<0.1*C)

r1=r1+1;

end

r2=1;

while(y(r2)<0.9*C)

r2=r2+1;

end

rise_time=t(r2)-t(r1)

s=length(t);

while y(s)>0.98*C&&y(s)<1.02*C

s=s-1;

end

setting_time=t(s)

ess=1-dcgain(Gc)

运行结果：

peak_time =0.2661

max_overshoot =32.7131

rise_time =0.1140

setting_time =0.9694

ess =0

分析：对比校正前后的阶跃响应曲线可知，校正前系统是不稳定的，时域性能指标不存在，但通过Matlab 可求得相应的值。校正后的系统是稳定的，系统的阶跃阶跃响应曲线是衰减振荡的。可见，校正后的各项性能指标都大大减小，系统的性能变好了！当调节时间取%2±的误差范围时，调节时间0.9694s t s =。

6、用MATLAB 绘制系统校正前后的根轨迹图

校正前：

程序：

num=[59];

den=[0.005 0.15 1 0];

G=tf(num,den);

rlocus(G);title('校正前系统的根轨迹图');

xlabel('实轴');

ylabel('虚轴');

[k,p]=rlocfind(num,den)

Select a point in the graphics window

selected_point =-4.2256 + 0.0000i （分离点）

k =0.0326

p =

-21.5470

-4.2274

-4.2256

[k,p]=rlocfind(num,den)

Select a point in the graphics window

selected_point =0.0000 +14.0362i （与虚轴的交点）

k =0.5009

p =

-29.9184

-0.0408 +14.0555i

-0.0408 -14.0555i

图12 系统校正前的根轨迹图

校正后：

程序：

num=[29.5 59];

den=[0.0025 0.176 2.57 1 0];

G=tf(num,den);

rlocus(G);title('校正后系统的根轨迹图');

xlabel('实轴');ylabel('虚轴');

[k,p]=rlocfind(num,den)

Select a point in the graphics window

selected_point = -6.5583 + 0.0000i

k =0.4385

p =

-52.8844

-6.5583

-5.9043

-5.0530

[k,p]=rlocfind(num,den)

Select a point in the graphics window

selected_point =-0.2101 + 0.0000i

k = 0.0019

p =

-50.0142

-19.9664

-0.2101

-0.2094

[k,p]=rlocfind(num,den)

Select a point in the graphics window

selected_point =-5.3790 + 0.0000i

k =0.4382

p =

-52.8830

-6.7591

-5.3790

-5.3789

[k,p]=rlocfind(num,den)

Select a point in the graphics window

selected_point =-0.0006 +29.4296i

k =5.1373

p =

-68.0811

-0.1355 +29.4882i

-0.1355 -29.4882i

-2.0479

图13 系统校正后的根轨迹图

7、用MATLAB绘制系统校正前后的Nyquist图

校正前：

程序：

num=[59];

den=[0.005 0.15 1 0];

G=tf(num,den);

nyquist(G);

图14 系统校正前的Nyquist图

校正后：

程序：

num=[29.5 59];

den=[0.0025 0.176 2.57 1 0];

G=tf(num,den);

nyquist(G);

图15 系统校正后的Nyquist图