(完整版)16变化的电磁场习题思考题

习题16

16—1．如图所示,金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B 的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v 在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及

环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。 解:（1)由法拉第电磁感应定律i d dt

εΦ

=-，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中

的感应电动势0i ε=;

（2）利用：()a

ab b v B dl ε=⨯⋅⎰，有：22ab Bv R Bv R ε=⋅=。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】

16-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=,在与其相距cm 5.0=d

处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ,宽cm 0.2=a 。 不计线圈自感,若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右

运动，求线圈在图示位置时的感应电动势。 解法一：利用法拉第电磁感应定律解决.

首先用0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得:02I

B r

μπ=，

则矩形线圈内的磁通量为：00ln

22x a

x

I I l x a

l dr r x

μμππ++Φ=⋅=⎰

， 由i d N d t εΦ=-,有：011()2i N I l d x

x a x dt

μεπ=--⋅

+ ∴当x d =时，有：041.92102()

i N I l a v V d a μεπ-=

=⨯+.

解法二：利用动生电动势公式解决。

由0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得：02I

B r

μπ=，

考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：22NB lv ε=，

则：12εεε=-=

00411

() 1.921022()N I N I a l v l v V d d a d d a μμππ--==⨯++。 16-3．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线,圆心角为 120, 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v 平行于长直

导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OB

A

O

B

形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB 直导线的电动势相等。

200()ln 222R

AO R

Iv I v

v B dl d x x μμεππ

=⨯⋅=-=-⎰⎰

, 500225

()ln 224

R OB R

Iv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰

, ∴05ln 22

AB AO OB Iv μεεεπ=+=-

. 解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线)从圆心处引一条半径线,与水平负向夹角为θ,那么，

00022(2cos )2(2cos )

I I I

B x R R R μμμππθπθ===

--，再由()v B dl ε=⨯⋅⎰有： sin d B Rd v εθθ=⋅⋅，∴2030

sin 2(2cos )

I

Rv d R πμεθθπθ=-⋅-⎰

05

ln 22

Iv μπ=-

。 16—4．电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内,磁感应强度按0sin B B t ω=的

规律变化。已知cm 10=a ，T 10220-⨯=B ,rad/s 50=ω，Ω=10R ,求线圈中

感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

2220(4)3cos i d d B

a a a B t dt dt

επππωωΦ=-

=--⋅+=， ∴203cos i

a B t I R R

επωω==

A πR ω

B a πI 32202max

1042.910

501021.035--⨯=⨯⨯⨯⨯==。

16—5．匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速

度绕图a 、b 、c 、d 所示的固定转轴旋转,如图16—43所示。证明：四种情况下线圈中感应电流的最大值相等。

t

d d m Φ

ε-=，其中

解：由法拉第电磁感应定律，

m cos ΦBS θ=，θ为线圈平面的法线方向与磁场B 的夹角。则电动势的大小为ωθΦεsin d d m

BS t

==

,ω为线圈旋转的角速度大小。电动势的最大值为max BS εω=，电流的最大值为max /i BS R ω=,R 为线圈的电阻.对于题设的四种情况,因线圈的面积相同,旋转角速度相同,则四种情况下的最大电流均相同。

16—6．如图所示，半径为a 的长直螺线管中,有

0d d >t

B

的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭合回路ABCDA ，总电阻为R ，上底为a ，下底为a 2，求：（1）AD 段、BC 段和闭合回路中的感应电动势；（2）B 、C 两点A

O

B

θ

间的电势差C B U U -.

解：（1)首先考虑OAD ∆,2

133224

OAD S a a a ∆=⋅=， ∴234OAD d dB dB

S a d t d t d t

ε∆Φ=-=-⋅=-⋅

感1， 而DA l

AO

OD

AD

DA

E d l E d l E d l E d l E d l εε=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰涡

涡涡涡涡感1

∴234AD d B

a d t

ε=

⋅

； 再考虑OBC ∆，有效面积为2

123

OAD S a π=⋅扇，∴26dB a d t πε=-⋅

感2, 同理可得：26

BC dB

a d t

π

ε=

⋅

； 那么，梯形闭合回路的感应电动势为：23(

)64BC AD dB

a d t

π

εεε=-=-

⋅

，逆时针方向。 (2)由图可知，AB CD a ==，所以，梯形各边每段a 上有电阻5

R

r =，

回路中的电流:23()64a d B

I R R d t

επ==-⋅

,逆时针方向； 那么,2232()510B C BC BC dB

U U I r I R a dt

πεε+-=⋅-=⋅-=-⋅

。

16-7．圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R ，高为h ，

电阻率为ρ，如图所示。若匀强磁场以d B

k dt =（0k k >，为恒量) 的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。

解:在圆柱体内任取一个半径为r ，厚度为dr ，高为h 的小圆柱通壁，

有：2l d B E dl r dt π⋅=

⋅⎰涡，即：22d B r k r dt

εππ=⋅=涡， 由电阻公式l

R S ρ

=，考虑涡流通过一个d r 环带，如图， 有电阻：2r

R h d r πρ=，

而热功率：2222

3

()22k r k h d P i R r dr r hdr

πππρρ===，

∴224

3028R k h k h R P r d r ππρρ

==⎰。

16-8．一螺绕环，每厘米绕40匝,铁心截面积2cm 0.3，磁导率0200μμ=，绕组中通有电流mA 0.5,环上绕有二匝次级线圈,求：(1)两绕组间的互感系数;（2）若初级绕组中的电流在s 10.0内由A 0.5降低到0,次级绕

组中的互感电动势。

涡流