(完整版)16变化的电磁场习题思考题

习题1616—1．如图所示,金属圆环半径为R ，位于磁感应强度为B 的均匀磁场中，圆环平面与磁场方向垂直。

当圆环以恒定速度v 在环所在平面内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两端a 、b 间的电势差。

解:（1)由法拉第电磁感应定律i d dtεΦ=-，考虑到圆环内的磁通量不变，所以，环中的感应电动势0i ε=;（2）利用：()aab b v B dl ε=⨯⋅⎰，有：22ab Bv R Bv R ε=⋅=。

【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】16-2．如图所示，长直导线中通有电流A I 0.5=,在与其相距cm 5.0=d处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长cm 0.4=l ,宽cm 0.2=a 。

不计线圈自感,若线圈以速度cm/s 0.3=v 沿垂直于长导线的方向向右运动，求线圈在图示位置时的感应电动势。

解法一：利用法拉第电磁感应定律解决.首先用0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得:02IB rμπ=，则矩形线圈内的磁通量为：00ln22x axI I l x al dr r xμμππ++Φ=⋅=⎰， 由i d N d t εΦ=-,有：011()2i N I l d xx a x dtμεπ=--⋅+ ∴当x d =时，有：041.92102()i N I l a v V d a μεπ-==⨯+.解法二：利用动生电动势公式解决。

由0l B dl I μ⋅=∑⎰求出电场分布，易得：02IB rμπ=，考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分：11NB l v ε=， 远端部分：22NB lv ε=，则：12εεε=-=00411() 1.921022()N I N I a l v l v V d d a d d a μμππ--==⨯++。

16-3．电流为I 的无限长直导线旁有一弧形导线,圆心角为 120, 几何尺寸及位置如图所示。

求当圆弧形导线以速度v 平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解法一：（用等效法）连接AO 、OB ，圆弧形导线与AO 、OBAOB形成闭合回路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB 直导线的电动势相等。

200()ln 222RAO RIv I vv B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰, 500225()ln 224R OB RIv Iv v B dl d x x μμεππ=⨯⋅=-=-⎰⎰, ∴05ln 22AB AO OB Iv μεεεπ=+=-. 解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线)从圆心处引一条半径线,与水平负向夹角为θ,那么，00022(2cos )2(2cos )I I IB x R R R μμμππθπθ===--，再由()v B dl ε=⨯⋅⎰有： sin d B Rd v εθθ=⋅⋅，∴2030sin 2(2cos )IRv d R πμεθθπθ=-⋅-⎰05ln 22Iv μπ=-。

16—4．电阻为R 的闭合线圈折成半径分别为a 和a 2的两个圆，如图所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内,磁感应强度按0sin B B t ω=的规律变化。

已知cm 10=a ，T 10220-⨯=B ,rad/s 50=ω，Ω=10R ,求线圈中感应电流的最大值。

解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。

2220(4)3cos i d d Ba a a B t dt dtεπππωωΦ=-=--⋅+=， ∴203cos ia B t I R Rεπωω==A πR ωB a πI 32202max1042.910501021.035--⨯=⨯⨯⨯⨯==。

16—5．匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速度绕图a 、b 、c 、d 所示的固定转轴旋转,如图16—43所示。

证明：四种情况下线圈中感应电流的最大值相等。

td d m Φε-=，其中解：由法拉第电磁感应定律，m cos ΦBS θ=，θ为线圈平面的法线方向与磁场B 的夹角。

则电动势的大小为ωθΦεsin d d mBS t==,ω为线圈旋转的角速度大小。

电动势的最大值为max BS εω=，电流的最大值为max /i BS R ω=,R 为线圈的电阻.对于题设的四种情况,因线圈的面积相同,旋转角速度相同,则四种情况下的最大电流均相同。

16—6．如图所示，半径为a 的长直螺线管中,有0d d >tB的磁场，一直导线弯成等腰梯形的闭合回路ABCDA ，总电阻为R ，上底为a ，下底为a 2，求：（1）AD 段、BC 段和闭合回路中的感应电动势；（2）B 、C 两点AOBθ间的电势差C B U U -.解：（1)首先考虑OAD ∆,2133224OAD S a a a ∆=⋅=， ∴234OAD d dB dBS a d t d t d tε∆Φ=-=-⋅=-⋅感1， 而DA lAOODADDAE d l E d l E d l E d l E d l εε=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰涡涡涡涡涡感1∴234AD d Ba d tε=⋅； 再考虑OBC ∆，有效面积为2123OAD S a π=⋅扇，∴26dB a d t πε=-⋅感2, 同理可得：26BC dBa d tπε=⋅； 那么，梯形闭合回路的感应电动势为：23()64BC AD dBa d tπεεε=-=-⋅，逆时针方向。

(2)由图可知，AB CD a ==，所以，梯形各边每段a 上有电阻5Rr =，回路中的电流:23()64a d BI R R d tεπ==-⋅,逆时针方向； 那么,2232()510B C BC BC dBU U I r I R a dtπεε+-=⋅-=⋅-=-⋅。

16-7．圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R ，高为h ，电阻率为ρ，如图所示。

若匀强磁场以d Bk dt =（0k k >，为恒量) 的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。

解:在圆柱体内任取一个半径为r ，厚度为dr ，高为h 的小圆柱通壁，有：2l d B E dl r dt π⋅=⋅⎰涡，即：22d B r k r dtεππ=⋅=涡， 由电阻公式lR S ρ=，考虑涡流通过一个d r 环带，如图， 有电阻：2rR h d r πρ=，而热功率：22223()22k r k h d P i R r dr r hdrπππρρ===，∴2243028R k h k h R P r d r ππρρ==⎰。

16-8．一螺绕环，每厘米绕40匝,铁心截面积2cm 0.3，磁导率0200μμ=，绕组中通有电流mA 0.5,环上绕有二匝次级线圈,求：(1)两绕组间的互感系数;（2）若初级绕组中的电流在s 10.0内由A 0.5降低到0,次级绕组中的互感电动势。

涡流解：已知4040000.01n ==初匝，2N =次，50200810μμπ-==⨯，42310S m -=⨯。

（1）由题意知螺绕环内：B nI μ=，则通过次级线圈的磁链： N BS N n I S ψμ==次次次， ∴54428104000310 6.0310M N nS H I ψμπ---===⨯⨯⨯⨯⨯=⨯次初；（2）42506.0310 3.02100.1I MV t ε--∆-==⨯⨯=⨯∆初次。

16-9．磁感应强度为B 的均匀磁场充满一半径为R 的圆形空间B ，一金属杆放在如图14—47所示中位置，杆长为2R ，其中一半位于磁场内,另一半位于磁场外。

当0d Bdt>时，求：杆两端感应电动势的大小和方向。

解:∵ac ab bc εεε=+，而：Oabab d dtεΦ=-扇形， ∴a bε=2233[]d R d B R B dt -=， Obcbc d dt ε∆Φ=-=22[]1212d R R d B B dt dtππ--=，∴a c ε=223[]12R R d Bdt π+; ∵0d Bdt>,∴0a c ε>，即ac ε从a c →。

16-10．一截面为长方形的螺绕环,其尺寸如图所示，共有N 匝，求此螺绕环的自感。

解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度:012()2N I B R r R r μπ=<<则SB d S Φ=⋅⎰⎰,有:210201ln22R R N I h R N Ih dr r R μμππΦ=⋅⋅=⎰利用自感定义式：L I ψ=，有：L =2021ln 2N h R R μπ。

16-11．均匀磁场B被限制在半径R =10 cm 的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里．取一固定的等腰梯形回路abcd ,梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行,位已知π=31θ，置如图所示．设磁感强度以d B /d t =1 T/s 的匀速率增加，cm 6==Ob Oa ，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向．答案：mV 68.3，指向:沿adcb 绕向× ×× × RB cb a O θ解：大小： mV 68.3d d )sin 2121(d d d d 22=⋅-==Φ=tBOa R t B S t θθξ 指向:沿adcb 绕向。

16-12．一圆形线圈A 由50匝细导线绕成，其面积为4cm 2,放在另一个匝数等于100匝、半径为20cm 的圆形线圈B 的中心，两线圈同轴.设线圈B 中的电流在线圈A 所在处激发的磁场可看作匀强磁场。

求: （1）两线圈的互感；（2）当线圈B 中的电流以50A/s 的变化率减小时，线圈A 中的感生电动势的大小。

解：设B 中通有电流I ，则在A 处产生的磁感应强度为：002242B B B B BN I N I B R R R μμππ=⋅=(1）A 中的磁通链为：02A B A A A A BN N IN BS S R μψ==⋅。

则：02A B AABBN N S M I R μψ==,∴7476410501004102010 6.281020.2M H ππ----⨯⋅⋅⋅⨯==⨯=⨯⋅. （2）∵0646.281050 3.14102A B A A B N N S d d IV d t R dtμψ--=⋅=⨯⋅=⨯，∴43.1410A V ε-=⨯。

16—13．如图，半径分别为b 和a 的两圆形线圈（b >>a ）,在0=t 时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I ,小圆形线圈以角速度ω绕竖直轴转动,若小圆形线圈的电阻为R ，求：（1）当小线圈转过 90时，小线圈所受的磁力矩的大小;(2)从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。