上海市2017届高三一模数学试卷(word版)
2017年上海市奉贤区高三一模数学试卷
2017年上海市奉贤区高三一模数学试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则 ______．2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则 ______．3. 方程的解 ______．4. 已知，且，则 ______．5. 若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为______．6. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则 ______．7. 中位数为的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为______．8. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰三角形，如果直角三角形的直角边成为，那么这个几何体的表面积是______．9. 已知互异复数，集合，则 ______．10. 已知等比数列的公比，前项的和，对任意的，恒成立，则公比的取值范围是______．11. 参数方程表示的曲线的普通方程是______．12. 已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为______．二、选择题（共4小题；共20分）13. “＜”是方程“表示双曲线”的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14. 若方程在内有解，则的图象是A. B.C. D.15. 已知函数是奇函数，则A. B. C. D.16. 若正方体的棱长为，则集合中个元素的个数为A. B. C. D.三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知圆锥母线长为，底面圆半径长为，点是母线的中点，是底面圆的直径，点是弧的中点．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角．18. 已知函数，且；（1）求和的单调区间；（2）．19. 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔，在一直线上，并与航线成角，轮船沿航线前进米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向，，求；（结果用，，表示）20. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．21. 设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”；（1）若，，，，求的取值范围；（2）若为等差数列，首项，公差，且，判断是否为“紧密数列”；（3）设数列是公比为的等比数列，若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.第二部分13. C 14. D 15. D16. A第三部分17. （1）因为圆锥母线长为，底面圆半径长为，点是母线的中点，是底面圆的直径，点是弧的中点，所以，，，所以，所以三棱锥的体积．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设异面直线与所以的角为，，故异面直线与所成的角为．18. （1）函数，且，所以，所以解得，所以，设，解得，所以的递增区间为．（2），所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以不等式的解集为．19. 由题意，，中，，由正弦定理可得．20. （1）双曲线的，，可得双曲线的渐近线方程为，即为．（2）令可得，解得，（负的舍去），设，，由为的中点，可得，，解得，，即有，可得的斜率为，则直线的方程为，即为．（3）设，即有，设，，由为的中点，可得，，解得，，则为定值．21. （1）由题意，且，所以，所以的取值范围是．（2）由题意，，所以，随着的增大而减小，所以当时，取得最大值，所以，所以是“紧密数列”．（3）由题意得，等比数列的公比，当时，所以，，，因为数列与都是“紧密数列”，所以，，解得，当时，，，则，，符合题意，所以的取值范围是．。
2017年上海市普陀区高考数学一模试卷
2017年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）若集合A={x|y2=x，y∈R}，B={y|y=sinx，x∈R}，A∩B=．2．（4分）若﹣＜a＜，sinα=，则cot2α=．3．（4分）函数f（x）=1+log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）=．4．（4分）若（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=．5．（4分）设k∈R，若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是．6．（4分）设m∈R，若函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是．7．（5分）方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）的解为．8．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0（k∈R）和定点P（1，﹣1），若过P点可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A1C与平面B1BCC1所成的角为，则三棱锥A1﹣ABC的体积为．10．（5分）掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）11．（5分）设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为πR，则A、B之间的球面距离是（结果用含有R的代数式表示）12．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且﹣1≤x＜1时，f（x）=1﹣x2；函数g（x）=，若F（x）=f（x）﹣g（x），则x ∈[﹣5，10]，函数F（x）零点的个数是．二、选择题（共4小题，满分20分）13．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．a D．a2＞b214．（5分）设无穷等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，则“a1+q=1”=1”成立（）是“SA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行16．（5分）设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|+t|的最小值为1，则下列判断正确的是（）A．若||确定，则θ唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则||唯一确定三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知a∈R，函数f（x）=a+（1）当a=1时，解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，求实数a的取值范围．18．（14分）已知椭圆Г：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，且|F1F2|=6，∠PF1F2=arccos，△PF1F2的面积为3．（1）求椭圆Г的方程；（2）若M是椭圆上的动点，求|MQ|的最大值．并求出|MQ|取得最大值时M 的坐标．19．（14分）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.8g/cm3，总重量为5.8kg，其中一个螺帽的三视图如图所示，（单位毫米）（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对于上述螺帽做防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）20．（16分）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．（18分）已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数f（x）的“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡“数对．（1）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡“函数，并说明理由；（2）若a∈R，a≠0，当a变化时，求证f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同．（3）若m1、m2∈R，且（m1，）（m2，）均为函数，f（x）=cos2x（0）的“平衡”数对，求m12+m22的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）若集合A={x|y2=x，y∈R}，B={y|y=sinx，x∈R}，A∩B={x|0≤x≤1} ．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|y2=x，y∈R}={x|x≥0}，B={y|y=sinx}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}，故答案为：{x|0≤x≤1}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若﹣＜a＜，sinα=，则cot2α=．【分析】根据α的取值范围求得cosα=，由同角三角函数关系得到tanα=，结合倍角公式进行解答．【解答】解：∵﹣＜a＜，sinα=，∴cosα=，∴tanα=，∴tan2α===，∴cot2α==．故答案是：．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角的应用，属于基本知识的考查．3．（4分）函数f（x）=1+log2x（x≥1）的反函数f﹣1（x）=2x﹣1（x≥1）．【分析】由x≥1，可得y=1+log2x≥1，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，把x与y互换即可得出反函数．【解答】解：∵x≥1，∴y=1+log2x≥1，由y=1+log2x，解得x=2y﹣1，故f﹣1（x）=2x﹣1（x≥1）．故答案为：2x﹣1（x≥1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题．4．（4分）若（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a1+a2+…+a5=31．【分析】依题意，分别令x=0（可求得a0=1）与x=1，即可求得a1+a2+…+a5的值．【解答】解：∵（1+x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，∴当x=0时，a0=1；当x=1时，（1+1）5=a0+a1+a2+…+a5=32，∴a1+a2+…+a5=32﹣1=31．故答案为：31．【点评】本题考查二项式定理的应用，突出考查赋值法的运用，属于中档题．5．（4分）设k∈R，若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是（，+∞）．【分析】利用双曲线的焦点坐标的位置，列出不等式组求解k，然后求解半焦距的取值范围即可．【解答】解：若﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，可得，可得k＞2，半焦距c==．则半焦距的取值范围是：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（4分）设m∈R，若函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则f（x）的单调递增区间是[0，+∞）．【分析】由题意函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则mx=0，可得m=0，可得f（x）=x+1，可求单调递增区间．【解答】解：由题意：函数f（x）=（m+1）x+mx+1是偶函数，则mx=0，故得m=0，那么：f（x）=x+1，根据幂函数的性质可知：函数f（x）的单点增区间为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查了幂函数的图象及性质的运用．属于基础题．7．（5分）方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）的解为1．【分析】可先将2+log2（3x﹣2）化为对数，利用对数的性质，即可将问题转化为一元二次方程问题，求出方程的解，注意验证解得x的值．【解答】解：由题意可知：方程log2（9x﹣5）=2+log2（3x﹣2）化为：log2（9x﹣5）=log24（3x﹣2）即9x﹣5=4×3x﹣8解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1．故答案为1．【点评】本题考查的是对数方程问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想注意，解方程的思想．注意隐含条件的利用，值得同学们体会和反思．8．（5分）已知圆C：x2+y2+2kx+2y+k2=0（k∈R）和定点P（1，﹣1），若过P点可以作两条直线与圆C相切，则k的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．．【分析】把圆的方程化为标准方程后，由过已知点总可以作圆的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式，让其大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集，求出两解集的并集即为实数k的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2=1，由过定点（1，﹣1）可作圆的2条切线可知点（1，﹣1）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：（1+k）2+（﹣1+1）2＞1∴k＞0或k＜﹣2，则实数k的取值范围是（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．故答案为（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2）．【点评】此题考查了点与圆的位置关系，一元二次不等式的解法．理解过已知点总利用作圆的两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，若A1C与平面B1BCC1所成的角为，则三棱锥A1﹣ABC的体积为．【分析】由已知可得A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，求解直角三角形得到BB1，再由棱锥体积公式求得三棱锥A1﹣ABC的体积．【解答】解：如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠ABC=90°，A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，∵A 1B1=AB=1，∴，又BC=1，∴．∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，考查直角三角形的解法，是中档题．10．（5分）掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d，则d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为（结果用最简分数表示）【分析】掷两颗骰子得两个数，共有36种情况，d=﹣2，有4种情况，d=﹣1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况，即可求出d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值．【解答】解：掷两颗骰子得两个数，共有36种情况，d=﹣2，有4种情况，d=﹣1，有5种情况，d=0，有6种情况，d=1，有5种情况，d=2，有4种情况，∴d∈{﹣2，﹣1，0，1，2}出现的概率的最大值为=．故答案为．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为πR，则A、B之间的球面距离是R（结果用含有R的代数式表示）【分析】求出北纬45°圈的纬度圈半径，利用两地所在纬度圈上的弧长为πR，求出球心角，即可求出球面距离．【解答】解：北纬45°圈上两点A、B，设纬度圈半径为r，∴r=R•cos45°．∵两地所在纬度圈上的弧长为πR，∴|α|=∴|AB|==R，∴∠AOB=∴A、B两点间的球面距离为R．故答案为：R．【点评】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．12．（5分）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），且﹣1≤x＜1时，f（x）=1﹣x2；函数g（x）=，若F（x）=f（x）﹣g（x），则x ∈[﹣5，10]，函数F（x）零点的个数是15．【分析】由题意可得f（x）的周期为2，令F（x）=0，即f（x）=g（x），分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，找出在[﹣5，10]的交点个数，即可得到函数F （x）零点的个数．【解答】解：定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），可得f（x）的周期为2，F（x）=f（x）﹣g（x），则令F（x）=0，即f（x）=g（x），分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，观察图象在[﹣5，10]的交点个数为15．则函数F（x）零点的个数是15．故答案为：15．【点评】本题考查函数零点个数的求法，注意运用数形结合的思想方法，同时考查函数的周期的运用，属于中档题．二、选择题（共4小题，满分20分）13．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．a D．a2＞b2【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可【解答】解：对于A：a＜b＜0，两边同除以ab可得，＞，故A正确，对于B：a＜b＜0，即a﹣b＞a，则两边同除以a（a﹣b）可得＜，故B错误，对于C，根据幂函数的单调性可知，C正确，对于D，a＜b＜0，则a2＞b2，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．14．（5分）设无穷等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，则“a1+q=1”=1”成立（）是“SA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据充要条件的定义，结合无穷缩减数列和的极限值公式，可得答案．【解答】解：当a 1＜0时，q＞1，则S n=﹣∞≠1，故“a 1+q=1”是“S n=1”不充分条件，若“S=1”，则a1=1﹣q，即“a1+q=1”，故“a 1+q=1”是“S n=1”必要条件，综上可得：“a 1+q=1”是“S n=1”成立必要非充分条件，故选：B．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，无穷缩减数列和的极限值公式，难度中档．15．（5分）设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】利用空间中线线间的位置关系求解．【解答】解：∵α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，也有可能平行．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．16．（5分）设θ是两个非零向量、的夹角，若对任意实数t，|+t|的最小值为1，则下列判断正确的是（）A．若||确定，则θ唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则||唯一确定【分析】令g（t）==+2t+，可得△≤0，恒成立．当且仅当t=﹣=﹣时，g（t）取得最小值1，代入即可得出．【解答】解：令g（t）==+2t+，∴△=4﹣4≤0，恒成立．当且仅当t=﹣=﹣时，g（t）取得最小值1，∴﹣2×+=1，化为：sin2θ=1．∴θ确定，则||唯一确定．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知a∈R，函数f（x）=a+（1）当a=1时，解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，分类讨论解不等式f（x）≤2x；（2）若关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，即a=2x﹣在区间[﹣2，﹣1]上有解，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≤2x，即1+≤2x，x＞0，可化为2x2﹣x﹣1≥0，解得x≥1；x＜0，可化为2x2﹣x+1≤0，无解，综上所述，不等式的解集为{x|x≥1}；（2）关于x的方程f（x）﹣2x=0在区间[﹣2，﹣1]上有解，即a=2x﹣在区间[﹣2，﹣1]上有解，∴a=2x+在区间[﹣2，﹣1]上单调递增，∴﹣≤a≤﹣3．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查方程解的问题，正确转化是关键．18．（14分）已知椭圆Г：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的点，PQ⊥x轴，垂足为Q，且|F1F2|=6，∠PF1F2=arccos，△PF1F2的面积为3．（1）求椭圆Г的方程；（2）若M是椭圆上的动点，求|MQ|的最大值．并求出|MQ|取得最大值时M 的坐标．【分析】由【解答】解：（1）由△PF1F2的面积为3，|F1F2|=6，得，∴，又∠PF1F2=arccos，∴，则由，解得．∴，解得：．∴2a=4，a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3．∴椭圆Г的方程为；（2）由（1）知，，代入，可得x p=2，∴Q（2，0），设M（x0，y0），则，∴．∴|MQ|===．∵，∴当时，．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，19．（14分）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.8g/cm3，总重量为5.8kg，其中一个螺帽的三视图如图所示，（单位毫米）（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对于上述螺帽做防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）【分析】（1）一个六角螺帽毛坯的体积为，再利用螺帽的个数=5.8×1000÷（7.8n）即可得出．（2）求出正六棱柱型金属螺帽毛坯的表面积，即可得出结论．【解答】解：（1）由三视图可得，正六棱柱型金属螺帽毛坯的底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．一个六角螺帽毛坯的体积=≈2.956（cm3）．∴螺帽的个数=5.8×1000÷（7.8×2.956）≈252（个）．（2）正六棱柱型金属螺帽毛坯的表面积是6××2+6×12×10﹣π•52•2+2π•5•10≈1625.224（mm3）．∵每平方米需要耗材0.11千克，∴0.001625224×0.11×252≈0.05千克．【点评】本题考查了六棱柱与圆柱的体积、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．（16分）已知数列{a n}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4a n（a n+1），b n=2log2（1+a n）﹣1．（1）求证：{1+a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}中去掉{a n}的项后，余下的项组成数列{c n}，求c1+c2+…+c100；（3）设d n=，数列{d n}的前n项和为T n，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4an（a n+1），可得a n+12=，又数列{a n}的各项均为正数，可得a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），即可证明．（2）b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．由n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．可得c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）即可得出．（3）d n===，可得数列{d n}的前n项和为T n=．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，解出即可判断出结论．【解答】（1）证明：∵对任意的n∈N*，均有a n+12﹣1=4an（a n+1），∴a n+12=，又数列{an}的各项均为正数，∴a n+1=2a n+1，变形为a n+1+1=2（a n+1），∴{1+a n}是等比数列，公比为2，首项为2，∴1+a n=2n，即a n=2n﹣1．（2）解：b n=2log2（1+a n）﹣1=2n﹣1．∵n=7时，a7=127；n=8时，a8=255＞213=b107．∴c1+c2+…+c100=b1+b2+…+b106+b107（a1+…+a6+a7）=﹣+7=11449﹣256+9=11202．（3）解：d n===，∴数列{d n}的前n项和为T n=+…+==．假设存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、T m、T n成等比数列，则=T1T n，即=，即=＞0，即2m2﹣4m﹣1＜0，解得1﹣＜m＜1+．∵m是正整数且m＞1，∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T1、T m、T n成等比数列．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则称函数f（x）的“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡“数对．（1）若m=1，判断f（x）=sinx是否为“可平衡“函数，并说明理由；（2）若a∈R，a≠0，当a变化时，求证f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同．（3）若m1、m2∈R，且（m1，）（m2，）均为函数，f（x）=cos2x（0）的“平衡”数对，求m12+m22的取值范围．【分析】（1）当m=1时，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，求出k=2nπ±，n ∈Z，可得结论；（2）证明（2，0）分别是函数f（x）=x2与g（x）=a+2x的“平衡“数对，可得结论；（3）假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则mcos2x=cos2（x+k）+cos2（x﹣k）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]，得出m12+m22的函数，即可求m12+m22的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，∴sinx=sin（x+k）+sin（x﹣k）=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk﹣cosxsink=2sinxcosk，∴sinx（1﹣2cosk）=0，∵对于定义域内的任意实数x，f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，∴1﹣2cosk=0，即cosk=，∴k=2nπ±，n∈Z，∴f（x）=sinx是“可平衡“函数；（2）∵f（x）=x2的定义域为R．假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f （x﹣k）成立，则mx2=（x+k）2+（x﹣k）2=2x2+2k2，即（m﹣2）x2=2k2，由于上式对于任意实数x都成立，∴，解得m=2，k=0，∴（2，0）是函数f（x）=x2的“平衡“数对，∵g（x）=a+2x，∴m（a+2x）=a+2x+k+a+2x﹣k，∴，解得m=2，k=0，∴（2，0）是函数g（x）=a+2x的“平衡“数对，∴f（x）=x2与g（x）=a+2x的平衡“数对”相同（3）假设存在实数m、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有m•f（x）=f（x+k）+f（x﹣k）成立，则mcos2x=cos2（x+k）+cos2（x﹣k）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]∴m（1+cos2x）=[1+cos2（x+k）]+[1+cos2（x﹣k）]∴m+mcos2x=1+cos2xcos2k﹣sin2xsin2k+1+cos2xcos2k+sin2xsin2k，∴m（1+cos2x）=2+2cos2xcos2k，∵（m1，）（m2，）均为函数，∴m1（1+cos2x）=2+2cos2xcosπ=2﹣2co2x，m2（1+cos2x）=2+2cos2xcos=2，∵0，∴0＜2x≤，∴0＜cos2x≤1，∴m1====2tan2x，m2==∴m12+m22=4tan4x+，设h（x）=4tan4x+，（0）∴h（0）≤h（x）≤h（），即1≤h（x）≤8∴m12+m22的取范围为[1，8]【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，考查运算能力，属于难题．。
黄浦区2017届高三一模数学卷答案及官方评分标准
高 数学参考答案 评分标准一、填空题 1~6题 题4分 7~12题 题5分1.{0 1 2}，，2.12x =− 3.1+2i 4.− 5.22(2)(1)18x y −++= 6.107.18.7− 9.12− 10.200 11 12.1(]6−∞−,．二、选择题 题5分 13.A14.C15.C16.B、解答题 共76分17．解 1 因为PA ⊥平面ABC ，所 PBA ∠为PB 平面ABC 所成的角，由PB 平面ABC 所成的角为π6，可得π6PBA ∠=，……………………………2分因为PA ⊥平面ABC ，所 PA AB ⊥，又6AB =，可知PA =故21161833P ABC ABC V S PA −∆=⋅=⋅=．……………………………6分2 设N 为棱AC 的中点，连,MN NP ，由M N ， 分别是棱BC AC ,的中点，可得MN ∥BA ，所 PM MN 的夹角为异面直线PM AB 所成的角．………………8分因为PA ⊥平面ABC ，所 PA AM ⊥，PA AN ⊥，又132MN AB ==，PN ==，PM ==，所 222cos 2MP MN PN PMN MP MN −∠==⋅+，……………………………12分故异面直线PM AB 所成的角为．……………………………14分18．解 1 设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b−=>>，半焦距为c ，则2c =，122|||||||2a PF PF =−==，1a =，……………2分所 2223b c a =−=，故双曲线C 的方程为2213y x −=．……………………………4分双曲线C 的渐近线方程为y =．……………………………6分2 设直线l 的方程为y x t =+，将其 入方程2213y x −=，可得222230x tx t −−−= *……………………………8分22248(3)12240t t t ∆=++=+>，若设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程 * 的两个根，所 212123,2t x x t x x ++==−，又由OA OB ⊥，可知12120x x y y +=，……………………………令令分即1212()()0x x x t x t +++=，可得212122()0x x t x x t +++=，故222(3)0t t t −++=+，解得t =，所 直线l 方程为y x =． (4)19．解 1 设M 是CD 中点，连OM ，由OC OD =，可知OM CD ⊥,COM DOM ∠=∠=,12COD θ∠=，sin MD R θ=，又OE OF =,EC FD =,OC OD =，可得△CEO ≌△DFO ，故EOC DOF ∠=∠，可知124AOM BOM AOB π∠=∠=∠=，…………2分又DF CD ⊥,OM CD ⊥,所 //MO DF ,故DFO∠34π=，在△DFO 中，有sin sin DF DODOF DFO=∠∠，可得sin()4(cos sin )3sin4R DF R πθθθπ−==− ………5分所 2COD ODF OCE COD ODFS S S S S S ∆∆=++=+21sin 2sin (cos sin )2R R R R θθθθ=+−222sin 2sin (0)4R R πθθθ=−<<………8分 2 2222111sin 2(1cos 2)(sin 2cos 2)222S R R R R θθθθ=−−=+−……………令代分221sin(2)2R θϕ=+−(其中1arctan 2ϕ=)……………………令以分当22πθϕ+=，即42πϕθ=−时，sin(2)θϕ+取最大值1．又42πϕ−π(0,)4∈，所 S2． (4)20．解 1 当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+……2分此方程无解，所 存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+，故()32f x x =+ 属于集合M ．……………………………4分2 由2()lg2af x x =+属于集合M ，可得方程22lg lg lg (2)226a a ax x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔−++−=有实解，………7分若6a =时， 述方程有实解若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=−−−≥，解得1212a −≤≤+，故所求a的取值范围是[1212 −+．……………………………令代分3 当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔+2222(2)244x x b x bx b ++=+++⇔32440x bx ×+−=，………………12分()3244x g x bx =×+−，则()g x 在R 的图 是连续的，当0b ≥时，(0)10g =−<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点当0b <时，(0)10g =−<，11(320bg b =×>，故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点故对任意的实数b ，()g x 在R 都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解，所 对任意实数b ，都有()f x M ∈．………………………16分21．解 1 由10n b n =−，可得1(9)(10)1n n b b n n +−=−−−=−，故{}n b 是等差数列．所 16516151514141365()()()()a a a a a a a a a a −=−+−+−++−⋯15515141351011()1102b b b b b b b +=++++===⋯……………………………4分2 2+3212+32222212221()()n n n n n n n n a a a a a a b b ++++++−=−+−=+223122132221312(22)(22)22n n n n n n+−+−+−=+−+=−……………………………6分由2+321n n a a +<⇔213122207.5n n n +−−<⇔<，2+321n n a a +>⇔213122207.5n n n +−−>⇔>，……………………………8分故有35715171920a a a a a a a >>>>><<<⋯⋯，所 数列2+1{}n a 中17a 最小，即第8项最小．……………………………令代分法二 由33331(1)(22)(2)2()2n n n n n n b −=−+=−+−，……………………………5分可知1n a =2+11232n a b b b b +++++⋯223211(1(2)21[(2)(2)]1312nn−−−−=+−+−+33213321[12(22)]3n n +−=−++ (8)分331[123≥−+ 当且仅当2133222n n +−=，即8n =时取等号 所 数列2+1{}n a 中的第8项最小．……………………………令代分3 若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则1121()2()23n n n n n n c c a a a a d d d ++++−=−+−=+=为常数，所 数列{}n c 为等差数列．……………………………令以分由1n n n b a a d +=−= 1,2,3,n =… ，可知1n n b b +≤ 1,2,3,n =… ．………………令3分若数列}{n c 为等差数列且1+≤n n b b n =1,2,3,… ，设}{n c 的公差为D ，则11211()2()2n n n n n n n n c c a a a a b b D +++++−=−+−=+= n =1,2,3,… ，………………令5分又122n n b b D +++=，故121()2()0n n n n b b b b D D +++−+−=−=，又10n n b b +−≥，210n n b b ++−≥，故1210(1,2,3,)n n n n b b b b n +++−=−==⋯，…………令7分所 1n n b b +=(1,2,3,)n =⋯，故有1n b b =，所 11n n a a b +−=为常数．故数列{}n a 为等差数列．综 可得， 数列}{n a 为等差数列 的充分必要条件是 数列}{n c 为等差数列且1+≤n n b b n =1,2,3,… ． (8)。
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷
2017年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分1. 若“”，则“”是________命题（填：真、假）【答案】真【考点】命题的真假判断与应用不等式的概念与应用【解析】利用函数在是单调增函数判定．【解答】解：函数在是单调增函数，∴当，一定有，故是真命题答案为：真．2. 已知,，若，则的取值范围是________．【答案】．【考点】并集及其运算【解析】利用集合的性质直接求解，解题时要注意的是是成立的【解答】解：若，,，必有；故答案为：．3. （为虚数单位），则________．【答案】【考点】复数的模【解析】设，代入，化为：，利用复数相等即可得出．【解答】解：设，∵，∴，化为：，∴，，解得，．∴．故答案为：．4. 若中，，，则面积的最大值是________．【答案】【考点】正弦定理【解析】由条件可得的面积，再利用正弦函数的值域、基本不等式求得的最大值．【解答】解：在中，∵，，∴的面积，当且仅当时取等号，故答案为：．5. 若函数的反函数的图象经过点，则________．【答案】【考点】反函数【解析】由函数的反函数的图象经过点，得函数的图象经过点，代入计算可得结论．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，∴，∴，故答案为．6. 过半径为的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则该截面的面积是________．【答案】【考点】直线与平面所成的角球的性质【解析】充分利用球的半径、球心与截面圆心的连线、在截面圆上的射影构成的直角三角形解决即可．【解答】设截面的圆心为，由题意得：，，∴．7. 抛掷一枚均匀的骰子（刻有，，，，，）三次，得到的数字依次记作，，，则（为虚数单位）是方程的根的概率是________．【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数，由（为虚数单位）是方程的根，得，，由此能求出（为虚数单位）是方程的根的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的骰子（刻有，，，，，）三次，得到的数字依次记作，，，基本事件总数，∵（为虚数单位）是方程的根，∴，即，∴，，∴（为虚数单位）是方程的根包含的基本事件为：，，∴（为虚数单位）是方程的根的概率是．故答案为：．8. 设常数，展开式中的系数为，则________．【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】由，根据的系数为，求出，从而，解得，由此能求出的值．【解答】解：∵常数，展开式中的系数为，∴，当时，，∴，解得，∴，∴．故答案为：．9. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为________．【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】通过方向向量求出直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，通过点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线的方向向量为，所以直线的斜率为：，直线方程为：，由点到直线的距离可知：；故答案为：．10. 若双曲线的一条渐近线为，且双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为________．【答案】【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的求解直线与双曲线的位置关系【解析】求出抛物线的准线方程，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：抛物线的准线：，双曲线与抛物线的准线仅有一个公共点，可得双曲线实半轴长为，焦点在轴上．双曲线的一条渐近线为，∴，可得，则此双曲线的标准方程为：．故答案为：．11. 平面直角坐标系中，给出点，，若直线存在点，使得，则实数的取值范围是________．【答案】或【考点】两点间的距离公式【解析】根据题意，设出点，代入，化简得，由，求出实数的取值范围．【解答】解：设，∵，∴，∴，化简得，则，解得或，即实数的取值范围是或．故答案为：或．12. 已知偶函数满足，且在时，，若存在，，…满足，且（，则最小值为________．【答案】【考点】函数的最值及其几何意义【解析】由函数是最小正周期为的偶函数可知函数的值域为，对任意，,…,，都有，要使取得最小值，尽可能多让,…,取得最高点，然后可得的最小值．【解答】解：∵偶函数满足，∴函数是周期为4的偶函数，且当时，，∴函数的值域为，对任意，,…,，都有，若，注意到在上是单调递减函数，，，则，∴不妨设当时，，要使取得最小值，则尽可能多让,…,取得最高点与最低点，且，，，∵，且，=2018，根据，且，相应的最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，满分20分）若与都是非零向量，则“”是“”的（）A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C【考点】平面向量数量积的运算必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据向量数量积运算和向量垂直的充要条件，可得答案．【解答】解：“”“”“”“”，故“”是“”的充要条件，故选：行列式中，元素的代数余子式的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二阶行列式的定义【解析】利用代数余子式的定义和性质求解．【解答】解：∵行列式，∴元素的代数余子式为：．故选：．一个公司有名员工，其中名员工的月工资分别为，，，，，，另两名员工数据不清楚，那么位员工月工资的中位数不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数【解析】由已知能求出位员工月工资的中位数的取值区间为，由此能求出结果．【解答】∵一个公司有名员工，其中名员工的月工资分别为，，，，，，∴当另外两名员工的工资都小于时，中位数为，当另外两名员工的工资都大于时，中位数为，∴位员工月工资的中位数的取值区间为，∴位员工月工资的中位数不可能是若直线通过点，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】先把点代入得到，即可得到，得到，问题得以判断【解答】解：直线通过点，∴，∴，其中，∴，∴，∴，故选：三、解答题（满分76分）共5题某柱体实心铜制零件的截面边长是长度为毫米线段和毫米的线段以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中．（1）求半径的长度；（2）现知该零件的厚度为毫米，试求该零件的重量（每个立方厘米铜重克，按四舍五入精确到克）．柱底．【答案】解：（1）∵，，，．，∴在中，由余弦定理可得：，可得：，∴解得：．（2）在中，，，，，∴．∴．柱底扇形该零件的重量．【考点】弧长公式【解析】（1）在中，由余弦定理建立方程，即可求半径的长度；（2）求出柱底，即可求该零件的重．量【解答】解：（1）∵，，，．，∴在中，由余弦定理可得：，可得：，∴解得：．（2）在中，，，，，∴．∴．柱底扇形该零件的重量．如图所示，，是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段，点，在直线上，且位于点的两侧，在上，（1）求证：异面直线与垂直；（2）若四面体的体积，求异面直线，之间的距离．【答案】解：（1）证明：由已知，，，可得平面．由已知，，可知且．又为在平面内的射影．∴（2）∵，是它们的公垂线段，就是异面直线，之间的距离，由中垂线的性质可得，四面体的体积，可得：，∴．异面直线，之间的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算【解析】（1）欲证，可先证面，根据线面垂直的判定定理只需证，即可；（2）判断异面直线的距离，利用体积公式求解即可．【解答】解：（1）证明：由已知，，，可得平面．由已知，，可知且．又为在平面内的射影．∴（2）∵，是它们的公垂线段，就是异面直线，之间的距离，由中垂线的性质可得，四面体的体积，可得：，∴．异面直线，之间的距离为．如图所示，椭圆，左右焦点分别记作，，过，分别作直线，交椭圆，，且．（1）当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值；（2）求四边形面积的最大值．【答案】（1）证明：由椭圆，得，，∴．设，则所在直线方程为，所在直线方程为，联立，得．解得，不妨取，则同理求得，．则，则；（2）解：由（1）知，，．、的距离，∴．四边形令，则，∴当时，．【考点】直线与椭圆的位置关系【解析】（1）由椭圆方程求出焦点坐标，得到直线、的方程，与椭圆方程联立求得、的坐标，求出所在直线斜率得答案；（2）由（1）结合弦长公式求得，再由两平行线间的距离公式求出边、的距离，代入平行四边形面积公式，利用换元法求得最值．【解答】（1）证明：由椭圆，得，，∴．设，则所在直线方程为，所在直线方程为，联立，得．解得，不妨取，则同理求得，．则，则；（2）解：由（1）知，，．、的距离，∴．四边形令，则，∴当时，．数列，定义为数列的一阶差分数列，其中（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；（2）若，，求数列的通项公式；（3）对中的数列，是否存在等差数列，使得，对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）若，试判断是等差数列，理由如下：∵，∴，∵，且，∴是首项为，公差为的等差数列；（2）∵．，∴，∴，∴数列构成以为首项，为公差的等差数列，即；（3），即，∵，∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）根据数列的通项公式，结合新定义，可判定是首项为，公差为的等差数列；（2）由入手能够求出数列的通项公式；（3）结合组合数的性质：进行求解．【解答】解：（1）若，试判断是等差数列，理由如下：∵，∴，∵，且，∴是首项为，公差为的等差数列；（2）∵．，∴，∴，∴数列构成以为首项，为公差的等差数列，即；（3），即，∵，∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”；若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵，∴，由于与的小无法比较，∴不一定成立，∴对任意正常数，都不是“同比不减函数，（2）∵函数是“同比不减函数，∴恒成立，∴，∵，∴，（3）图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，∴．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）根据同比不减函数的定义即可证明，（2）根据同比不减函数的定义，分离参数得到，根据三角形函数的性质即可求出的范围，（3）画出函数的图象，根据图象的平移即可求出的范围．【解答】解：（1）∵，∴，由于与的小无法比较，∴不一定成立，∴对任意正常数，都不是“同比不减函数，（2）∵函数是“同比不减函数，∴恒成立，∴，∵，∴，（3）图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，∴．。
2017年上海市黄浦区高考一模数学试卷【解析版】
2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．（4分）若集合A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z＝．2．（4分）抛物线y2＝2x的准线方程是．3．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则z＝．4．（4分）已知sin（α+）＝，α∈（﹣，0），则tanα＝．5．（4分）以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y＝7相切的圆的方程是．6．（4分）若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是．7．（5分）已知向量（x，y∈R），，若x2+y2＝1，则的最大值为．8．（5分）已知函数y＝f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）＝log2（x+1）．若函数y＝g（x）是y＝f（x）的反函数，则g（﹣3）＝．9．（5分）在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n＝﹣3a n+1，且＝，则a的值为．10．（5分）甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有．11．（5分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．12．（5分）已知（a为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α15．（5分）在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan∠P AB•tan∠PBA＝m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．16．（5分）若函数y＝f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H函数”；②函数是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①和②均为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，P A⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．19．（14分）现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE＝OF，EC＝FD，∠ECD＝∠CDF＝90°．记∠COD＝2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．20．（16分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）＝f（t）+f（2）．（1）判断f（x）＝3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）＝2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．21．（18分）已知数列{a n}，{b n}满足b n＝a n+1﹣a n（n＝1，2，3，…）．（1）若b n＝10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1＝1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n＝a n+2a n+1（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n＝1，2，3，…）”．2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．（4分）若集合A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z＝{0，1，2}．【解答】解：集合A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x﹣1＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3，x∈R}，则A∩Z＝{0，1，2}．故答案为{0，1，2}．2．（4分）抛物线y2＝2x的准线方程是．【解答】解：抛物线y2＝2x，∴p＝1，∴准线方程是x＝﹣故答案为：x＝﹣．3．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则z＝1+2i．【解答】解：由，得z＝1+2i．故答案为：1+2i．4．（4分）已知sin（α+）＝，α∈（﹣，0），则tanα＝﹣2．【解答】解：∵sin（α+）＝cosα，sin（α+）＝，∴cosα＝，又α∈（﹣，0），∴sinα＝﹣，∴tanα＝＝﹣2．故答案为：﹣2．5．（4分）以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y＝7相切的圆的方程是（x﹣2）2+（y+1）2＝18．【解答】解：将直线x+y＝7化为x+y﹣7＝0，圆的半径r＝＝3，所以圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝18．故答案为（x﹣2）2+（y+1）2＝18．6．（4分）若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是10．【解答】解：∵二项式的展开式共有6项，故n＝5，则此展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，∴r＝2，中含x4的项的系数＝10，故答案为：10．7．（5分）已知向量（x，y∈R），，若x2+y2＝1，则的最大值为+1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2）．＝≤+r＝+1＝+1．∴的最大值为+1．故答案为：．8．（5分）已知函数y＝f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）＝log2（x+1）．若函数y＝g（x）是y＝f（x）的反函数，则g（﹣3）＝﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）＝﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）＝3，解得：x＝7，即g（3）＝7，故得g（﹣3）＝﹣7．故答案为：﹣7．9．（5分）在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n＝﹣3a n+1，且的值为﹣12．＝，则a【解答】解：在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n＝﹣3a n+1，可得数列{a n}为公比为﹣的等比数列，＝，可得＝＝＝＝，可得a1＝﹣12．故答案为：﹣12．10．（5分）甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有200．【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：①甲乙所选的课程全不相同，有C63×C33＝20种情况，②甲乙所选的课程有1门相同，有C61×C52×C32＝180种情况，则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20＝200种情况；故答案为：200．11．（5分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b＝c，∴a2＝b2+c2＝2b2，．则．故答案为：．12．（5分）已知（a为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是．【解答】解：法1°：依题意知，当x1，x2∈[1，4]时，f（x1）max≤g（x2）min，由“对勾“函数单调性知，＝2x+＝2（x+）在区间[1，4]上单调递增，∴g（x2）min＝g（1）＝3；∵＝2ax2+2x，当a＝0时，f（x）＝2x在区间[1，4]上单调递增，∴f（x）max＝f（4）＝8≤3不成立，故a≠0；∴f（x）＝2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x＝﹣，当a＞0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max＝f（4）＝8≤3不成立，故a＞0不成立；当a＜0时，1°若﹣≤1，即a≤﹣时，f（x）在区间[1，4]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝2a+2≤3恒成立，即a≤﹣时满足题意；2°若1＜﹣＜4，即﹣＜a＜﹣时，f（x）max＝f（﹣）＝﹣≤3，解得：﹣＜a≤﹣；3°若﹣≥4，即﹣≤a＜0时，f（x）在区间[1，4]上单调递增，f（x）max＝f（4）＝32a+8≤3，解得a≤﹣∉（﹣，0），故不成立，综合1°2°3°知，实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣]．法2°：由法1°知g（x2）min＝g（1）＝3，∵＝2ax2+2x，∴当x1∈[1，4]时，f（x1）＝2ax2+2x≤3恒成立，∴a≤＝（﹣）2﹣，∴当＝，即x＝3时，＝﹣，∴实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣]．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由x＞1，一定能得到得到＜1，但当＜1时，不能推出x＞1 （如x＝﹣1时），故x＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m B．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，m∥α，则l⊥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α【解答】解：由直线l，m及平面α，β，知：在A中，若l∥α，α∩β＝m，则l与m平行或异面，故A错误；在B中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质定理得l⊥m，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥l，则m与α相交、平行或m⊂α，故D错误．故选：C．15．（5分）在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan∠P AB•tan∠PBA＝m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：设P（x，y），则由题意，（m≠0），化简可得，故选：C．16．（5分）若函数y＝f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数是（0，1）上的“H函数”；②函数是（0，1）上的“H函数”．下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①和②均为假命题【解答】解：对于命题①：令t＝，函数＝﹣t2+2t，∵t＝在（0，1）上是增函数，函数y＝﹣t2+2t在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上是增函数；G（x）＝在（0，1）上是减函数，∴函数是（0，1）上的“H函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数＝是（0，1）上的增函数，H（x）＝是（0，1）上的增函数，故命题②是假命题；故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，P A⊥底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵P A⊥平面ABC，∴∠PBA为PB与平面ABC所成的角，即，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，又AB＝6，∴，∴．（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，∵M，N分别是棱BC，AC的中点，∴MN∥BA，∴∠PMN为异面直线PM与AB所成的角．∵P A⊥平面ABC，所以P A⊥AM，P A⊥AN，又，AN＝AC＝3，BM＝BC＝3，∴AM＝＝3，，，所以，故异面直线PM与AB所成的角为．18．（14分）已知双曲线C以F1（﹣2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）．求直线l的方程．【解答】解：（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c，则c＝2，，a＝1，…（2分）所以b2＝c2﹣a2＝3，故双曲线C的方程为．…（4分）双曲线C的渐近线方程为．…（6分）（2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程，可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3＝0（*）…（8分）△＝4t2+8（t2+3）＝12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根，所以，又由，可知x1x2+y1y2＝0，…（11分）即x1x2+（x1+t）（x2+t）＝0，可得，故﹣（t2+3）+t2+t2＝0，解得，所以直线l方程为．…（14分）19．（14分）现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE＝OF，EC＝FD，∠ECD＝∠CDF＝90°．记∠COD＝2θ，五边形OECDF的面积为S．（1）试求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值．【解答】解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC＝OD，可知OM⊥CD，∠COM＝∠DOM＝，，MD＝R sinθ，又OE＝OF，EC＝FD，OC＝OD，可得△CEO≌△DFO，故∠EOC＝∠DOF，可知，…（2分）又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO＝，在△DFO中，有，可得…（5分）所以S＝S+S ODF+S OCE＝S△COD+2S ODF＝△COD＝…（8分）（2）…（10分）＝（其中）…（12分）当，即时，sin（2θ+φ）取最大值1．又，所以S的最大值为．…（14分）20．（16分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）＝f（t）+f（2）．（1）判断f（x）＝3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）＝2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）∈M．【解答】解：（1）当f（x）＝3x+2时，方程f（t+2）＝f（t）+f（2）⇔3t+8＝3t+10…（2分）此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）＝f（t）+f（2），故f（x）＝3x+2不属于集合M．…（4分）（2）由属于集合M，可得方程有实解⇔a[（x+2）2+2]＝6（x2+2）有实解⇔（a ﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有实解，…（7分）若a＝6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△＝16a2﹣24（a﹣6）（a﹣2）≥0，解得，故所求a的取值范围是．…（10分）（3）当f（x）＝2x+bx2时，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）⇔2x+2+b（x+2）2＝2x+bx2+4+4b⇔3×2x+4bx﹣4＝0，…（12分）令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，g（0）＝﹣1＜0，g（1）＝2+4b＞0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b＜0时，g（0）＝﹣1＜0，，故g（x）在内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）＝f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b，都有f（x）∈M．…（16分）21．（18分）已知数列{a n}，{b n}满足b n＝a n+1﹣a n（n＝1，2，3，…）．（1）若b n＝10﹣n，求a16﹣a5的值；（2）若且a1＝1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；（3）若c n＝a n+2a n+1（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n＝1，2，3，…）”．【解答】解：（1）由b n＝10﹣n，可得b n+1﹣b n＝（9﹣n）﹣（10﹣n）＝﹣1，故{b n}是等差数列．所以a16﹣a5＝（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）＝…（4分）（2）a2n+3﹣a2n+1＝（a2n+3﹣a2n+2）+（a2n+2﹣a2n+1）＝b2n+2+b2n+1＝（22n+2+231﹣2n）﹣（22n+1+232﹣2n）＝22n+1﹣231﹣2n…（6分）由a2n+3＜a2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n＜0⇔n＜7.5，a2n+3＞a2n+1⇔22n+1﹣231﹣2n＞0⇔n＞7.5，…（8分）故有a3＞a5＞a7＞…＞a15＞a17＜a19＜a20＜…，所以数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．…（10分）法二：由，…（5分）可知a2n+1＝a1+b1+b2+b3+…+b2n＝＝…（8分）（当且仅当22n+1＝233﹣2n，即n＝8时取等号）所以数列{a2n+1}中的第8项最小．…（10分）（3）若数列{a n}为等差数列，设其公差为d，则c n+1﹣c n＝（a n+1﹣a n）+2（a n+2﹣a n+1）＝d+2d＝3d为常数，所以数列{c n}为等差数列．…（12分）由b n＝a n+1﹣a n＝d（n＝1，2，3，…），可知b n≤b n+1（n＝1，2，3，…）．…（13分）若数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n＝1，2，3，…），设{c n}的公差为D，则c n+1﹣c n＝（a n+1﹣a n）+2（a n+2﹣a n+1）＝b n+2b n+1＝D（n＝1，2，3，…），…（15分）又b n+1+2b n+2＝D，故（b n+1﹣b n）+2（b n+2﹣b n+1）＝D﹣D＝0，又b n+1﹣b n≥0，b n+2﹣b n+1≥0，故b n+1﹣b n＝b n+2﹣b n+1＝0（n＝1，2，3，…），…（17分）所以b n+1＝b n（n＝1，2，3，…），故有b n＝b1，所以a n+1﹣a n＝b1为常数．故数列{a n}为等差数列．综上可得，“数列{a n}为等差数列”的充分必要条件是“数列{c n}为等差数列且b n≤b n+1（n＝1，2，3，…）”．…（18分）。
2017届上海市嘉定区高三数学一模试题答案及解析
2017届上海市嘉定区高三数学一模试题答案及解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：66．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos （cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD 的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则V A﹣BCD=．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，【分析】解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S 的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a ＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n 项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；﹣a n是一个定值；（1）求证：a n+2（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n 成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar ﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．。
2017年上海市长宁区高考数学一模试卷
2017年上海市长宁区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．（5分）若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．（5分）若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．（5分）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．（5分）有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．（5分）设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．（5分）给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．（5分）如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD 内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；﹣a n是一个定值；（1）求证：a n+2=a n （2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．2017年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．（5分）若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．（5分）若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a 1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．（5分）有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．（5分）设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13 cm．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．（5分）若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos （cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选：B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f （y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f（y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD 的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则V A﹣BCD=．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，【分析】解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD 内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由消去y，利用△=0证明结论成立；（2）①写出点P的坐标（t，2t2），代入直线MN的方程，用t表示出直线方程，利用直线方程求出M、N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式即可求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则0＜t＜1，∴点P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+），其中0＜t＜1；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a ＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；﹣a n是一个定值；（1）求证：a n+2=a n （2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n﹣a n为定值．+2（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①=a n+1a n+2﹣1，②∴rS n+1②﹣①，得：ra n=a n+1（a n+2﹣a n），+1﹣a n=r．∵a n＞0，∴a n+2（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
杨浦区2017届高三一模数学卷答案及官方评分标准
8
2
MN 就是异面直线 l1
l2 之间的距离
10
设 d = AM = BM = NM = CN
1 1 1 所以 VABCN = ( (2d ⋅ d ) ⋅ d = d 3 = 9 3 2 3
所以 d = 3 ，即异面直线 l1
12
l2 之间的距离为 3
14
19
本题满 证明： 根据对
14
本题共有 2 个小题，第 1 小题满
x = −1 时，因为 f (−1 + T ) ≥ f (−1) = 1 = f (3) 成立， 所以 −1 + T ≥ 3 ，所以 T ≥ 4 13 而另一方面，若 T ≥ 4 ， x ∈ (−∞, − 1] 时， f ( x + T ) − f ( x) = x + T + | x + T − 1| − | x + T + 1| −( x + 2) = T + | x + T − 1| − | x + T + 1| −2 因为 | x + T − 1| − | x + T + 1| ≥ − | ( x + T − 1) − ( x + T + 1) |= −2 所以 f ( x + T ) − f ( x) ≥ T − 2 − 2 ≥ 0 ，所以有 f ( x + T ) ≥ f ( x) 成立 15 x ∈ [−1, + ∞ ) 时， f ( x + T ) − f ( x) = x + T − 2 − ( x + | x − 1| − | x + 1|) = T − 2− | x − 1| + | x + 1| 因为 | x + 1| − | x − 1| ≥ − | ( x + 1) − ( x − 1) |= −2 所以 f ( x + T ) − f ( x) ≥ T − 2 − 2 ≥ 0 即 f ( x + T ) ≥ f ( x ) 成立 17 综 ，恒有有 f ( x + T ) ≥ f ( x ) 成立 所以 T 的取值范围是 [4, + ∞) 18
2017上海高考各区数学一模函数题库
2017上海高考各区一模《函数》精编1.（2017嘉定区一模）有以下命题：①若函数()f x 既是奇函数又是偶函数，则()f x 的值域为{0}；②若函数()f x 是偶函数，则(||)()f x f x =；③若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；④若函数()f x 存在反函数1()f x -，且1()f x -与()f x 不完全相同，则()f x 与1()f x -图 像的公共点必在直线y x =上；其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）2.（2017普陀区一模）已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩. 若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是 153.（2017崇明县一模）设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数； （1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由； 解：（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞； 4.（2017虹口区一模）已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞；（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；解：（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 5.（2017金山区一模）已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||)f x g x =，x R ∈；（1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式 01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x 为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；解：（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；6.（2017青浦区一模）已知函数2()2f x x ax =-（0a >）；（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；（2）函数()y f x =在[,2]t t +的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；7.（2017嘉定区一模）已知函数()9233x xf x a =-⋅+；（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由；8.（2017宝山区一模）设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）；（1）当2m =时，解不等式1()1f x>；（2）若(0)1f =，且()x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围； （3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg 2nf x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；9.（2017普陀区一模）已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2x g x a =+的“平衡”数对相同；（3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π<≤）的“平 衡”数对，求2212m m +的取值范围；10.（2017闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；11.（2017浦东新区一模）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈， 都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=12.（2017浦东新区一模）已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数，设011i i n a t t t t t b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，其中分点1t 、2t 、⋅⋅⋅、1n t -将区间[,]a b 划分为n *()n N ∈个小区间1[,]i i t t -，记0112{,,}|()()||()()|M a b n t t t t ϕϕϕϕ=-+-1|()()|n n t t ϕϕ-+⋅⋅⋅+-，称为()x ϕ关于区间[,]a b 的n 阶划分的“落差总和”；当{,,}M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”0{,,}M a b n ；（1）已知()||x x ϕ=，求{1,2,2}M -的最大值0M ；（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[,]a b 上存在“最佳划分”{,,1}M a b 的充要条件是()x ϕ在[,]a b 上单调递增；（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”0{,,}M a a n -，求证：0n 是偶数，且 00110i i n t t t t t -++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=；。
2017届浦东新区高三一模数学含答案
2017届浦东新区⾼三⼀模数学含答案上海市浦东新区2017届⾼三⼀模数学试卷2016.12⼀. 填空题（本⼤题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{2,1}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =2. 已知复数z 满⾜(1)2z i -=，其中i 是虚数单位，则z =3. ⽅程lg(3)lg 1x x -+=地解x =4. 已知()log a f x x =(0,1)a a >≠，且1(1)2f--=，则1()f x -= 5. 若对任意正实数x ，不等式21x a ≤+恒成⽴，则实数a 地最⼩值为6. 若抛物线22y px =地焦点与椭圆2215x y +=地右焦点重合，则p = 7. 中位数为1010地⼀组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列地⾸项为8. 如图，⼀个空间⼏何体地主视图、左视图、俯视图均为全等地等腰直⾓三⾓形，如果直⾓三⾓形地直⾓边长都为1，那么这个⼏何体地表⾯积为9. 已知互异复数0mn ≠，集合22{,}{,}m n m n =，则 m n +=10. 有以下命题：①若函数()f x 既是奇函数⼜是偶函数，则()f x 的值域为{0}；②若函数()f x 是偶函数，则(||)()f x f x =；③若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；④若函数()f x 存在反函数1()f x -，且1()f x -与()f x 不完全相同，则()f x 与1()f x -图像的公共点必在直线y x =上；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）11. 设向量(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最⼩值为 12. 如图，已知正三棱柱的底⾯边长为2cm ，⾼为5cm ，⼀质点⾃A 点出发，沿着三棱柱的侧⾯绕⾏两周到达1A点的最短路线的长为 cm⼆. 选择题（本⼤题共4题，每题5分，共20分）13. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“⽅程221mx ny +=表⽰地曲线是双曲线”地（）A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件14. 若⽅程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =地图像可能是（）A. B. C. D.15. 已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α?+≥?=?-++π C. π D. 32π 16. 若正⽅体12341234A A A A B B B B -地棱长为1，则集合11{|,{ 1,2,3,4},i j x A B AB i j ?∈∈ {1,2,3,4}}中元素地个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题（本⼤题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知圆锥母线长为5，底⾯圆半径长为4，点M 是母线PA 地中点，AB 是底⾯圆地直径，点C 是弧AB 地中点；（1）求三棱锥P ACO -地体积；（2）求异⾯直线MC 与PO 所成地⾓；20. 过双曲线2214y x -=地右⽀上地⼀点P 作⼀直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中 P 是AB 地中点；（1）求双曲线地渐近线⽅程；（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 地⽅程；（3）求证：||||OA OB ?是⼀个定值；21. 设数列{}n a 地前n 项和为n S ，若1122n n a a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”；（1）若11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 地取值范围；（2）若{}n a 为等差数列，⾸项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”；（3）设数列{}n a 是公⽐为q 地等⽐数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 地取值范围；参考答案⼀. 填空题1. {1}-2. 1i +3. 54. 1()2x5. ？6. 4p =7. 58. 32+ 9. 1- 10. (1,0)(0,)-+∞ 11. 2y x =，x ∈12. 2⼆. 选择题13. C 14. D 15. D 16. A三. 解答题17.（1）8；（2）arctan；18.（1）2a =，递增区间(0,)+∞；（2）2(0,log 3)；19.（1）sin cos()b CB ααβ=+；20.（1）2y x =±；（2）2)P ，2y =-；（3）5；21.（1）[2,3]；（2）是；（3）1[,1]2；。
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2017届高三一模数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合{2,1}A，{1,2,3}B，则AB
2. 已知复数z满足(1)2zi，其中i是虚数单位，则z
3. 方程lg(3)lg1xx的解x
4. 已知()logafxx(0,1)aa，且1(1)2f，则1()fx
5. 若对任意正实数x，不等式21xa恒成立，则实数a的最小值为
6. 若抛物线22ypx的焦点与椭圆2215xy的右焦点重合，则p
7. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为
2015
，则该数列的首项为
8. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图
均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角
边长都为1，那么这个几何体的表面积为
9. 已知互异复数0mn，集合22{,}{,}mnmn，则
mn
10. 已知等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS，对任意的*nN，0nS恒成立，则
公比q的取值范围是
11. 参数方程|sincos|221sinxy，[0,2)表示的曲线的普通方程是
12. 已知函数()sincosfxxx(0)，xR，若函数()fx在区间(,)内单
调递增，且函数()fx的图像关于直线x对称，则的值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 对于常数m、n，“0mn”是“方程221mxny表示的曲线是双曲线”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 若方程()20fx在(,0)内有解，则()yfx的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知函数22sin,0()cos(),0xxxfxxxx([0,2))是奇函数，则（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 32
16. 若正方体12341234AAAABBBB的棱长为1，则集合11{|,{1,2,3,4},ijxABABij
{1,2,3,4}}
中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直
径，点C是弧AB的中点；
（1）求三棱锥PACO的体积；
（2）求异面直线MC与PO所成的角；
18. 已知函数22()log(2)xxfxaa(0)a，且(1)2f；
（1）求a和()fx的单调区间；
（2）(1)()2fxfx；
19. 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成
角(090)，轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45方向，
灯塔B在北偏东(090)方向，090，求CB；（结果用,,b表示）
20. 过双曲线2214yx的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中
P是AB
的中点；
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当P坐标为0(,2)x时，求直线l的方程；
（3）求证：||||OAOB是一个定值；
21. 设数列{}na的前n项和为nS，若1122nnaa *()nN，则称{}na是“紧密数列”；
（1）若11a，232a，3ax，44a，求x的取值范围；
（2）若{}na为等差数列，首项1a，公差d，且10da，判断{}na是否为“紧密数列”；
（3）设数列{}na是公比为q的等比数列，若数列{}na与{}nS都是“紧密数列”，求q的
取值范围；
参考答案
一. 填空题
1. {1} 2. 1i 3. 5 4. 1()2x 5. ？ 6. 4p
7. 5 8. 332 9. 1 10. (1,0)(0,)
11. 2yx，[0,2]x 12. 2
二. 选择题
13. C 14. D 15. D 16. A
三. 解答题
17.（1）8；（2）45arctan3；
18.（1）2a，递增区间(0,)；（2）2(0,log3)；
19.（1）sincos()bCB；
20.（1）2yx；（2）(2,2)P，222yx；（3）5；
21.（1）[2,3]；（2）是；（3）1[,1]2；