弹塑性力学考题史上最全总结_没有之一

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已知一受力物体中某点的应力状态为：

式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量

之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。

解：

球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。偏应力张量作用下单元体只产生畸变。塑性变形只有在畸变时才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。

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一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。

（提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。）

解：，满足，是应力函数。相应的应力分量为：

，，；①

应力边界条件：在x = h处，②

将式①代入②得：，故知：

，，；③

由本构方程和几何方程得：

④

积分得：⑤⑥

在x=0处u=0，则由式⑤得，f1(y)= 0；

在y=0处v=0，则由式⑥得，f2(x)=0；

因此，位移解为：

附，对比另一方法：

例，z 方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且 h >>b 。试选取适当的应力函数解此问题，求出相应的应力分量。

2

b 2b h

p

O

x

解答：1、确定应力函数

分析截面内力：()()()0,0,0===x q x Q x M ，故选取,02

2=∂∂=x

y φ

σ 积分得：()()y f y xf 21+=φ，代入相容方程，有：

()()()

()0242414

422444=+=∂∂+∂∂∂+∂∂y f y xf y

y x x φφφ， 要使对任意的 x 、y 成立，有

()()()()0,04241==y f y f ，积分，得：()()232231,Ey Dy y f Cy By Ay y f +=++=，

2323Ey Dy Cxy Bxy Axy ++++=φ。

2、计算应力分量

()E Dy B Ay x y

x 262622+++=∂∂=φ

σ， ,022=∂∂=x y φσ

C By Ay y

x xy

---=∂∂∂-=2322φ

τ

3、由边界条件确定常数

左右边界（2

b y ±=）：0=y σ；0=xy τ；0,04

32

==-±-

B C Bb Ab 上边界（h x =）：,

2

2

pb dy b

b

x -=⎰-σ,022

=⎰-

dy b b xy τ,022

=⎰-

dy y b b x σ2

,p E O D C A -

==== 4、应力解答为：0,0,==-=xy y x p τσσ

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已知一半径为R ＝50mm ，厚度为t ＝3mm 的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。设管

内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持，（采用柱坐标系，r

为径向，θ为环向，z 为圆管轴向。）材料的屈服极限为＝400MPa 。试求此圆管材料屈服时

（采用Mises 屈服条件）的轴向载荷P 和轴矩M s 。 （提示：Mises 屈服条件：

；）

解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知 ，则

，且

= 0。

代入Mises 屈服条件得：

即：

解得： 200 MPa ；

轴力：P= = 2×50×10－3×3×10－3×200×106=188.495kN 扭矩：M= = 2

×502×10－6×3×10－3×200×106=9.425 kN · m

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在平面应力问题中，若给出一组应力解为：

，，，

式中a、b、c、d、e和f均为待定常数。且已知该组应力解满足相容条件。试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学平面应力问题的应力解。（15分）

解：应力解应再满足平衡微分方程即为弹性力学平面应力问题可能的应力解，代入平衡微分方程得：

则知，只要满足条件a＝－f，e＝－d，b和c可取任意常数。若给出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件，该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。

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在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：

=0，=0，=0，=0，=3a，=4a，知。

试求：（16分）

①该点应力状态的主应力、和；

②主应力的主方向；

③主方向彼此正交；

解：由式（2—19）知，各应力不变量为

、，

代入式（2—18）得：

也即

（1）

因式分解得：

（2）

则求得三个主应力分别为

。

设主应力与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为

、、。

将及已知条件代入式（2—13）得：

（3）

由式（3）前两式分别得：

（4）

将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。再由式（2—15）得：

则知

；（5）