1.1.2瞬时变化率-导数(1)
1.1.2瞬时变化率—导数（1）
------曲线上一点处的切线
学习目标：
1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；
2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；
3．理解切线概念实际背景，学会应用所学知识把实际问题转化数学问题的能力及数形结合思想．
学习重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．
学习难点：会用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．
【明标自学】预习课本P8-10页回答下列问题。
1．问题情境．
上节课我们共同学习了平均变化率，而平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．如下图所示
在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看做直线（即在很小的范围内以直代曲）．
2．探究活动．
如图P n的坐标为(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)，P的坐标为(x0，y0)．
P P P
放大放大
问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？
问题2：割线PP n 斜率是什么？
问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？
问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？
【建构数学】
1.割线定义：如图，设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，直线PQ 称为曲线的 ．
2.切线定义:随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C ，当点Q 点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处 曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的 ．这种方法叫 ．
3.切线的斜率：设曲线C 上一点()()x f x P ,，过点P 的一条割线
交曲线C 于另一点()()x x f x x Q ?+?+,，则割线PQ 的斜率
为 ，
当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当 时， 无限逼近 点()()x f x P ,处的切线的斜率.
探究：如何求曲线()x f y =在点()()x f x P ,处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线）
【典型例题】
例1 已知2
()f x x ＝，求曲线)(x f y =在2=x 处的切线斜率．
练习 试求2()1f x x ＝＋在x ＝1处的切线斜率．
小结：求曲线()y f x ＝上一点处的切线斜率的一般步骤：
思考：P 为已知曲线C 上的一点，如何求出点P 处的切线方程？
例2. 已知曲线33
1x y =, 求曲线在点 P （3,9）处的切线方程.
变式：1.曲线 y = 2x 2 + 1在点P (-1,3）处的切线方程为 .
2．已知2()f x x ＝，求曲线()y f x ＝在1x ＝－处的切线斜率和切线方程；
3．已知1()f x x
－＝，求曲线()y f x ＝在1x ＝－处的切线斜率和切线方程；
【当堂检测】
1.已知()f x ，求曲线()y f x ＝在12x ＝处的切线斜率和切线方程．
2.已知()f x 求曲线()y f x ＝在12
x ＝处的切线斜率和切线方程．
【课堂小结】
1．曲线上一点P 处的切线是过点P 的所有直线中最接近P 点附近曲线的直线，则P 点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）．
2．根据定义，利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．
【课后作业】
课本P10,11页练习
曲线上一点处的切线限时练
1.在曲线2x y =上有一点??? ??41,21P ，则该曲线在此点处的切线倾斜角为 .
2.已知函数 ()2
12+=x y 在0x x =处的切线斜率为 0，则 =0x .
3.曲线 y = 3x 2 + 1在点()4,1P 处的切线方程为
. 4.过点()2,1-P 且与曲线2432+-=x x y 在点()1,1M 处的切线平行的直线方程为 .
5.若曲线 y = x 2 - 3x 在点 P 处的切线平行于 x 轴，则点 P 的坐标为 .
6.已知抛物线122
+=x y 在一点处的切线的倾斜角为?45，则该点的坐标为 . 7.求曲线 y = -2x 2 + 2在点 P(1，0)处的切线的斜率及其切线方程.
8.求曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1在点()11-，
处的切线方程.
9.分别求在曲线 y = x 2 上过哪一点的切线满足条件：
（1）平行于直线 y = 4x - 5； （2）垂直于直线 2x - 6 y + 5 = 0 .
10.若曲线 y = x 2 - 1的一条切线平行于直线 y = 4x - 3，求这条切线的方程.