交错级数的比较判别法
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第３ ｏ卷第 ２期
Ｖ０ ．Ｏ Ｎ ． １３ ｏ ２
长春师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ Ｃ ａｇｈｎＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆ ｈｎｃｕ ｏ ｌ ｎｖ ｓｙＮ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｎ ｍ ｅｉ ｕｌ ｅ
２ １ 年 ４月 ０１
［ 中图分类号 ］０７ １ ５
［ 文献标识码 】Ａ
［ 文章编号 ］１ ８ ７Ｘ ２１）２ ０２ — ０ —１ （０１ — ６５ ０ ０ ８ ０ ２
Ｉ 正项级 数 的 比较 判别 法 定理 １ … 设 ∑“ 、 为正项 级数 ， ｕ ≤口（／ ，， ）（） ∑ 收敛 ， ∑Ｍ 也 收敛 ；ｉ若 ｚＵ 都 ． ａ 且 ，ｔ＝１２ … ，ｉ若 。， 则 （） ｉ ∑ 发 散 ， ∑ 也发散 ． 则 将此定 理 类 比到交错 级数 有如下 结论 ：
由于 ∑ ｌ 一）ｖ Ｉ （ ｎ ＿∑ ， 故级 数 ∑（ ） 绝对 收敛 ． 一１
由 ∑ 一）ｎ ［１一 于 （ ｎ Ｕ
故 ∑（ ） 发散 ． 一１
］ 。 一 ， ∑ 一） 收 ，有 ＝ 。 若 （１‰ 敛 就 １ “
收 ，生 盾 敛产 矛 ，
例 １ 明在 （ ）ｕ （ ） 条件 下 ， 说 一１ 一１ 当级 数 ∑（ ）ｖ 收敛 ， 数 ∑（ ）ｕ 一１ ｎ 级 一１ “ 也可 能发散 ． 例 ２ 设 ∑ （ ）／ ∑（ ） 为交错 级数 ， （ ）“ （ ）ｖ （ ＝１２ … ）设 一Ｉ “ ／ ， 一１ ， 都 且 一１ 一１ ｎ ，， ，
．
推论 Ｉ 设 ∑（ ）“ ∑（ ） 都为 交 错级 数 ， （ ）“ （一１ （ 一１ 一１ 且 一Ｉ ） ｎ＝１２ … ） （） ∑（一Ｉ ， ， ，ｉ若 ） 收敛 ， ∑（～１ ，也可 能收敛 也 可能发散 ；ｉ若 ∑（ ）ｕ 则 ）／ ／ （） ｉ 一１ 发散 ， ∑（ ） 也 可能发 散 也可 能 收敛 ． 则 一１
即正 项级数 ∑ ｎ 收敛 ． ｌ ＝ｆ 正项级 数 的 比较 判别 法 的极 限形 可得 正 项 级 数 ∑ 收敛 ， 由 ｉ ｍ 及 即交 错 级 数
∑（ ） ， 一１ ’。 绝对 收敛 ．
（ ） 一１“ ∑（ ） 有一条件收敛时， ２ ∑（ ）Ｚ ／ 一１” 不妨设 ∑（ ） 条件收敛． ∑（ ）‰ 可能条件收敛 ， 一１ 则 一１“ 也可 能发散 ． 体实例 见例 ３和例 ４ 具 ． （ｉ若 Ｚ ｉ ） ＝０时 ，
推论 ２ 设 ∑（ ）ｕ 、 一１ 一１“， ∑（ ） 都为交错 级数 ， ｌ ＝ｚ 。 ， 且 ｉ ｍ ．
（ 当 ０ ＜∞时， １ 若 ∑ （ ）／ ∑（ ） 中其一 为绝对 收敛 ， 另一 也为绝 对 收敛 ； ２ 若 ｉ ） ＜ｚ （） 一１ ／ 一１ 则 （） ∑（ ）ｕ 、 一１“ 一级 数条件 收敛时 ， 另一级 数可 能条件 收敛 ， 可能发 散 ． 一１ ” ∑（ ） 有 则 也 （） ｚ ｉ 当 ＝０时 ， １ ∑（一１ ｎ ｉ （） ）ｖ 对 收敛 时 ， ∑ （ ）“ 绝 对 收敛 ；２ ∑（一１ ｎ 绝 则 一１“ 也 （） ）ｖ 件 收 敛 ， 条 则 ∑（ ）ｕ 可能 发散 也可能 收敛 ． 一１ “ （ ｉ若 ∞， 一１ “ ｉ） ｉ ∑（ ）” 发散 时 ， 一１ ， 能发散 也可 能收敛 ． ∑（ ）Ｍ 可 证 明 （） ０＜ｚ 。 ，（ ） ∑（ ）ｕ 、 一１ 有 一 为绝 对 收敛 时 ， 妨设 ∑（ ）‰ 绝对 收 敛 ． ｉ 若 ＜。时 １当 一１ ” ∑（ ） 不 一１ ”
ｆ
， ： ｍ， ２
（１ ： ： 一） ｛ ‘ ｎ ， ‰
ｆ
ｌ —， ２ 一 Ｉ ｎ＝ ｍ一１ ｔ ．
ｍ １，， ：，… ２
， ２ ： ｍ，
（ １ｖ ｛ 一）ｎ ｎ： ｍ ｌ， ， ：， … ２ 【 １ｎ ２ —・ － ，＝ｍ ｌ
显 然有 （ ）“ ｓ（ ） （ 一１”， 一１ ｎ＝１２ …）当级数 ∑（ ） 收敛 ， ，， ． 一１ 级数 ∑（ ）‰ 也 收敛 ． 一Ｉ
Ａ ｒ２ １ ｐ ．０ １
交 错 级 数 的 比较 判别 法
赵 红发
（ 春师 范学 院数学学 院 ，吉林长 春 长
［ 摘
１０３） ３０２
要 】本文主要讨论了正项级数的 比较判别法及 正项级数 的比较判别法的极 限形式 ，类 比到交错
级数 ，得到对判 断交错级数 收敛性具有一定意义的结论 ． ［ 关键词 ］交错级数 ；比较判 别法 ；收敛 ；发散
『
一
， ： ｍ ｎ２，
例１设 一） Ｉ ‘ （１ ｛ ｎ “
，
ｍ １，， ：，… ２
ｎ ＝ ２ｍ 一 １ ．
ｆ ， ２， ： ｍ 设（ １ ＝ ？ 一） ｛ ， ｍ １， ＝ ， …， ２
【 ，＝ｍ １ 一 ｎ ２ 一．来自百度文库１
显然有 （ ）ｕ ≤（一１ （ 一１ ） ｎ＝１２ … ） ，， ．
［ 收稿 日期］２１ — ８ ２ ００ ０ — １ ［ 作者简介 ］赵红发 （ ６ 一 ，男，山西平陆人 ，长春 师范学院数 学学院讲师 ，硕士 ，从事应用数学研 究。 １９ ） ９
・
２ ・ ５
２ 正项 级数 的 比较 判别 法的极 限形式
定理 ２ 设 ∑ｎ ∑ 都为正 项级数 ， ｌ ＝ｚ （） ０ ＜∞， ∑ ‰ 与 ∑ 有相 同的敛 散性 ；ｉ 且 ｉ ｍ ，ｉ 若 ＜ｆ 则 ， 具 （ｉ ） 若 Ｚ ０ ∑／ ＝ ， ３ 收敛时 ， 收敛 ；ｉ） Ｚ Ｏ － 发散 时 ， ∑“ 也 （ｉ 若 ＝Ｏ ，． ｉ ＼ ／ ａ 、 ∑Ｍ 也发 散 ． 把 此定理 类 比到交 错级数 有如下 结论 ：
Ｖ０ ．Ｏ Ｎ ． １３ ｏ ２
长春师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ Ｃ ａｇｈｎＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｒ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆ ｈｎｃｕ ｏ ｌ ｎｖ ｓｙＮ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｎ ｍ ｅｉ ｕｌ ｅ
２ １ 年 ４月 ０１
［ 中图分类号 ］０７ １ ５
［ 文献标识码 】Ａ
［ 文章编号 ］１ ８ ７Ｘ ２１）２ ０２ — ０ —１ （０１ — ６５ ０ ０ ８ ０ ２
Ｉ 正项级 数 的 比较 判别 法 定理 １ … 设 ∑“ 、 为正项 级数 ， ｕ ≤口（／ ，， ）（） ∑ 收敛 ， ∑Ｍ 也 收敛 ；ｉ若 ｚＵ 都 ． ａ 且 ，ｔ＝１２ … ，ｉ若 。， 则 （） ｉ ∑ 发 散 ， ∑ 也发散 ． 则 将此定 理 类 比到交错 级数 有如下 结论 ：
由于 ∑ ｌ 一）ｖ Ｉ （ ｎ ＿∑ ， 故级 数 ∑（ ） 绝对 收敛 ． 一１
由 ∑ 一）ｎ ［１一 于 （ ｎ Ｕ
故 ∑（ ） 发散 ． 一１
］ 。 一 ， ∑ 一） 收 ，有 ＝ 。 若 （１‰ 敛 就 １ “
收 ，生 盾 敛产 矛 ，
例 １ 明在 （ ）ｕ （ ） 条件 下 ， 说 一１ 一１ 当级 数 ∑（ ）ｖ 收敛 ， 数 ∑（ ）ｕ 一１ ｎ 级 一１ “ 也可 能发散 ． 例 ２ 设 ∑ （ ）／ ∑（ ） 为交错 级数 ， （ ）“ （ ）ｖ （ ＝１２ … ）设 一Ｉ “ ／ ， 一１ ， 都 且 一１ 一１ ｎ ，， ，
．
推论 Ｉ 设 ∑（ ）“ ∑（ ） 都为 交 错级 数 ， （ ）“ （一１ （ 一１ 一１ 且 一Ｉ ） ｎ＝１２ … ） （） ∑（一Ｉ ， ， ，ｉ若 ） 收敛 ， ∑（～１ ，也可 能收敛 也 可能发散 ；ｉ若 ∑（ ）ｕ 则 ）／ ／ （） ｉ 一１ 发散 ， ∑（ ） 也 可能发 散 也可 能 收敛 ． 则 一１
即正 项级数 ∑ ｎ 收敛 ． ｌ ＝ｆ 正项级 数 的 比较 判别 法 的极 限形 可得 正 项 级 数 ∑ 收敛 ， 由 ｉ ｍ 及 即交 错 级 数
∑（ ） ， 一１ ’。 绝对 收敛 ．
（ ） 一１“ ∑（ ） 有一条件收敛时， ２ ∑（ ）Ｚ ／ 一１” 不妨设 ∑（ ） 条件收敛． ∑（ ）‰ 可能条件收敛 ， 一１ 则 一１“ 也可 能发散 ． 体实例 见例 ３和例 ４ 具 ． （ｉ若 Ｚ ｉ ） ＝０时 ，
推论 ２ 设 ∑（ ）ｕ 、 一１ 一１“， ∑（ ） 都为交错 级数 ， ｌ ＝ｚ 。 ， 且 ｉ ｍ ．
（ 当 ０ ＜∞时， １ 若 ∑ （ ）／ ∑（ ） 中其一 为绝对 收敛 ， 另一 也为绝 对 收敛 ； ２ 若 ｉ ） ＜ｚ （） 一１ ／ 一１ 则 （） ∑（ ）ｕ 、 一１“ 一级 数条件 收敛时 ， 另一级 数可 能条件 收敛 ， 可能发 散 ． 一１ ” ∑（ ） 有 则 也 （） ｚ ｉ 当 ＝０时 ， １ ∑（一１ ｎ ｉ （） ）ｖ 对 收敛 时 ， ∑ （ ）“ 绝 对 收敛 ；２ ∑（一１ ｎ 绝 则 一１“ 也 （） ）ｖ 件 收 敛 ， 条 则 ∑（ ）ｕ 可能 发散 也可能 收敛 ． 一１ “ （ ｉ若 ∞， 一１ “ ｉ） ｉ ∑（ ）” 发散 时 ， 一１ ， 能发散 也可 能收敛 ． ∑（ ）Ｍ 可 证 明 （） ０＜ｚ 。 ，（ ） ∑（ ）ｕ 、 一１ 有 一 为绝 对 收敛 时 ， 妨设 ∑（ ）‰ 绝对 收 敛 ． ｉ 若 ＜。时 １当 一１ ” ∑（ ） 不 一１ ”
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（１ ： ： 一） ｛ ‘ ｎ ， ‰
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（ １ｖ ｛ 一）ｎ ｎ： ｍ ｌ， ， ：， … ２ 【 １ｎ ２ —・ － ，＝ｍ ｌ
显 然有 （ ）“ ｓ（ ） （ 一１”， 一１ ｎ＝１２ …）当级数 ∑（ ） 收敛 ， ，， ． 一１ 级数 ∑（ ）‰ 也 收敛 ． 一Ｉ
Ａ ｒ２ １ ｐ ．０ １
交 错 级 数 的 比较 判别 法
赵 红发
（ 春师 范学 院数学学 院 ，吉林长 春 长
［ 摘
１０３） ３０２
要 】本文主要讨论了正项级数的 比较判别法及 正项级数 的比较判别法的极 限形式 ，类 比到交错
级数 ，得到对判 断交错级数 收敛性具有一定意义的结论 ． ［ 关键词 ］交错级数 ；比较判 别法 ；收敛 ；发散
『
一
， ： ｍ ｎ２，
例１设 一） Ｉ ‘ （１ ｛ ｎ “
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显然有 （ ）ｕ ≤（一１ （ 一１ ） ｎ＝１２ … ） ，， ．
［ 收稿 日期］２１ — ８ ２ ００ ０ — １ ［ 作者简介 ］赵红发 （ ６ 一 ，男，山西平陆人 ，长春 师范学院数 学学院讲师 ，硕士 ，从事应用数学研 究。 １９ ） ９
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２ ・ ５
２ 正项 级数 的 比较 判别 法的极 限形式
定理 ２ 设 ∑ｎ ∑ 都为正 项级数 ， ｌ ＝ｚ （） ０ ＜∞， ∑ ‰ 与 ∑ 有相 同的敛 散性 ；ｉ 且 ｉ ｍ ，ｉ 若 ＜ｆ 则 ， 具 （ｉ ） 若 Ｚ ０ ∑／ ＝ ， ３ 收敛时 ， 收敛 ；ｉ） Ｚ Ｏ － 发散 时 ， ∑“ 也 （ｉ 若 ＝Ｏ ，． ｉ ＼ ／ ａ 、 ∑Ｍ 也发 散 ． 把 此定理 类 比到交 错级数 有如下 结论 ：