高等数学第十一章第二十讲正项级数收敛性的习题

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高等数学第十一章习题

第十一章总习题
1. 填空题
∞
∑ (1)
lim
n→∞
un
= 0 是级数 un 收敛的
n=1
必要
条件,
而不是
充分
条件;
∞
∞
∞
(2) 若级数 ∑un 绝对收敛, 则级数 ∑un 必定收敛 ; 若级数 ∑un 条件收敛,
n=1
n=1
n=1
∞
则级数 ∑ un 必定发散 ; n=1
∞
∞
(3) 级数 ∑un 按某一方式经添加括号后所得的级数收敛是级数 ∑un 收敛的
.
n=1 (n − 1)! 3
n=1 (n − 1)!
n=1 (n − 1)!
93
所以
S ( x)
=
x2 (
+
x
x
+ 1)e3
,
x ∈ (−∞, +∞) .
93
∑ ∑ (4) 令 t = x + 1, 则 ∞ (x + 1)n = ∞ tn . n=0 (n + 2)! n=0 (n + 2)!
设 an
−1)
,
而 lim un+1 n→∞ un
=
lim
n→∞
2(n + 1) 2n+1
−1 2n x2 2n −1
=
x2 2
,
当
x=±
2
时级数
∞
∑
2n
−
1
发散,
所以级数的收敛区间为 (−
2,
2) .
设
n=1 2
∑ S ( x)
=
∞ n=1

数项级数2——正项级数的收敛性

数项级数2 正项级数的收敛性一、本节的例题选讲如下，后面附有详细的解答过程。

例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。

例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。

例3 讨论级数∑∞=−1253n n n n的收敛性。

例4 讨论级数∑∞=11sinn n的收敛性。

例5 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛−11cos 1n n 的收敛性。

例6 讨论级数n n n πtan 23∑∞=的收敛性。

例7 讨论级数()∑∞=++3312n n n n 的收敛性。

例8 讨论级数()∑∞=>+1011n na a 的收敛性。

例9 讨论级数∑∞=−12121n n的收敛性。

例10 讨论级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n 的收敛性。

例11 讨论级数∑∞=12sinn nπ的收敛性。

例12 讨论级数∑∞=122sinn nn π的收敛性。

例13 讨论级数()11!2nn n ∞=+∑的收敛性。

例14 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。

例15 讨论级数∑∞=1!10n nn 的收敛性。

例16 讨论级数∑∞=−1212n nn 的收敛性。

例17 讨论级数∑∞=123n n n 的收敛性。

例18 讨论级数∑∞=12tann nn π的收敛性。

例19 讨论级数()[]∑∞=+11ln 1n n n 的收敛性。

例20 讨论级数123nn n n ∞=⎛⎫⎪−⎝⎭∑的收敛性。

二、上面例题的详细解答。

情况1 利用比较讨论法及其极限形式讨论正项级数的收敛性例1 讨论级数∑∞=−12141n n 的收敛性。

解：∑∞=−12141n n 和11n n∞=∑都是正项级数，1limlim 2n n n→+∞→+∞==，调和级数11n n∞=∑发散，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−12141n n 发散。

例2 讨论级数∑∞=−123n n n 的收敛性。

解： ∑∞=−123n n n 和211n n ∞=∑都是正项级数，22lim lim 3n n n →+∞==， P −级数211n n∞=∑收敛，∴由比较判别法可知，级数∑∞=−123n n n 收敛。

大一高等数学第十一章无穷级数习题 ppt课件

n1
n1
(3) 当 l 时 , 若 v n 发散 ,则 un 发散;
n1
n1
( 3 ) 极限审敛法
设un为正项级数 ,
n1
如果 n l i m nn ul0(或 n l i m nn u),
则级数 un发散 ;
n1
如果有p1, 使得n l i mnpun存在,
则级数 un收敛.
二、典型例题
例1 判断级数敛散性 :
(1)
n1
nn
n1 (n 1)n;
nnn nn (n 1 )n
n
nn (1 1 )n ,
n2
ln i (m 1n 1 2)nln i [m 1 (n 1 2)n 2]n 1e0 1;
1
limnn
1
limxx
expli{m1lnx}
n
x
x x
n1
则称 x0为级数un(x)的收敛点 , 否则称为发散点.
n1
函数项级数 u n ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域 , n 1
所有发散点的全体称为发散域 .
(3) 和函数
在收敛域上 ,函数项级数的和是 x的函数 s(x),
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
常数项级数审敛法
一般项级数正项级数

(整理)第十一章无穷级数(答案)34872

第十一章无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。

A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。

A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。

4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n n n 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。

高等数学测试及答案(第十一章)

高等数学测试（第十一章）一. 选择题（每题3分，共30分） 1.下列级数收敛的是（）A.135(21)25(31)n n n ∞=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-∑ B. 212n n n ∞=+∑ C. 1πsin n n ∞=∑D. n ∞= 2.下列级数条件收敛的是（）A.15(1)4nn n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑B. 1(1)n n ∞=-∑C.13(1)5n n n ∞=-∑D. 1(1)n n ∞=-∑3.设a为常数，则级数21sin n a n ∞=⎛ ⎝∑（）A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与a 无关4．下列命题正确的是 ( ) A.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必发散 B.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必发散 C.lim 0n n u →∞=，则1nn u∞=∑必收敛 D.lim 0n n u →∞≠，则1nn u∞=∑必收敛5.若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（）A. 1n n u ∞=∑收敛 B. 1(1)nn n u ∞=-∑收敛 C. 11n n n u u ∞+=∑收敛 D. 112n n n u u ∞+=+∑收敛 6.设0n u >，若1nn u∞=∑发散，1(1)nnn u∞=-∑收敛，则下列结论正确的是（）A. 211n n u∞-=∑收敛，21nn u∞=∑发散 B.211n n u∞-=∑发散，21nn u∞=∑收敛C.2121()n n n uu ∞-=+∑收敛 D. 2121()n n n u u ∞-=-∑收敛7.设10(1,2,)n u n n ≤≤=，则下列级数中一定收敛的是（）A. 1n n u ∞=∑ B. 1(1)n n n u ∞=-∑C.n ∞=D. 21(1)n n n u ∞=-∑8.若幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在1-=x 处收敛,则该级数在点3=x 处（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 一定发散D. 可能收敛也可能发散 9. 设幂级数∑∞=+0)1(n n nx a在2-=x 处条件收敛，则它在2=x 处（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性不确定 10. 级数13nn n a ∞=∑收敛，则级数1(1)2n nn n a ∞=-∑（） A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性不确定二. 填空题（每题4分，共20分）11.级数0(ln3)2n nn ∞=∑的和为___________. 12.若lim n n u →∞=∞，则1111n n n u u ∞=+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ .13.幂级数1(1)nn n x∞=+∑的和函数为________________.14.函数112x +展开式为x 的幂级数为________________. 15.幂级数2024n nn x n ∞=+∑收敛区间为________.三.计算题（每题10分，共50分）16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间. 17. 求幂级数21(2)4nn n x n ∞=-∑的收敛域. （不考虑端点情况）18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间.答案：一.选择题1—5 A B C B D 6—10 D D D A C二. 填空题11. 3ln 22-. 12. 11u . 13. ()2212x x x --. 14. ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--0212121n n n n x x . 15. 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 三.计算题16. 求幂级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间（不考虑端点情况）. 【解析】因为()()()()()()()()22221221411n 22lim !!2!1!12lim lim x x n x n n x n n u u l n n n n nn n =++=++==∞→+∞→+∞→. 当142<=x l ，即21<x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=绝对收敛；当142>=x l ，即21>x 时级数()()n n x n n 202!!2∑∞=发散；故级数()()n n x n n 202!!2∑∞=的收敛区间为2121<<-x .17. 求幂级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域. 【解析】令2x t -=级数化为214n n n t n ∞=∑，这是缺项幂级数，讨论正项级数21||4nnn t n ∞=∑，而222112||41lim lim (1)4||4n n n n n n n nu t n l t u n t +++→∞→∞==⨯=+，当211,4l t =<即||2t <时级数214nn n t n ∞=∑绝对收敛；当211,4l t =>即||2t >时级数214nn n t n ∞=∑发散；当211,4l t ==即2t =±时级数化为11n n∞=∑是发散的；故级数214n n n t n ∞=∑收敛域为(2,2)-，由2x t -=得级数21(2)4nnn x n ∞=-∑收敛域为(0,4). 18.求()x x f arctan =的麦克劳林展开式.【解析】()()()()()()∑∑∞=∞=<<--=-=+='='0202211,1111arctan n n nn nn x x x x x x f .则()()()()()1,121111200200020<+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=+∞=∞=∞=∑⎰∑⎰∑⎰x x n dt t dt t dt t f x f n n nx nn n xn n n x. 19.将函数1()(3)f x x x =+展开成2x -的幂级数,并写出收敛域.【解析】令2x t -=，则2x t =+，11111111()(2)(5)3256151125f x t tt t t t ⎛⎫==-=- ⎪++++⎝⎭++；又因01()1nn x x ∞==-+∑，所以001()(1)(22)2212n n n n n n t t t ∞∞===-=--<<+∑∑； 001()(1)(55)5515n n n n n n t t t t ∞∞===-=--<<+∑∑；故0011()(1)(1)62155n nn n n n n n t t f x ∞∞===---∑∑ 11011(1)(22)3235n n n n n t t ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑ 11011(1)(2)(04)3235n n n n n x x ∞++=⎡⎤=---<<⎢⎥⋅⋅⎣⎦∑. 20.将()x x f 3=展开为2-x 的幂级数，并指出收敛区间. 【解析】令t x =-2，则()3ln 29393t t t ex f ⋅=⋅==+.而()+∞∞-∈=∑∞=,,!0x n x e n nx.所以()()()()()()()()()+∞∞-∈-=-=+∞∞-∈===∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=,,2!3ln 92!3ln 9,,!3ln 9!3ln 930x x n x n t t n n t x f n n n n n n n n n n nx.。

数列与级数收敛性练习题判断数列与级数的收敛性与性质

数列与级数收敛性练习题判断数列与级数的收敛性与性质数列与级数的收敛性是数学中的重要概念，在实际问题中有广泛的应用。

本文将通过一系列练习题来讨论数列与级数的收敛性与性质。

1. 判断数列的收敛性1.1 数列 {an} = 1/n，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列的值趋近于0，即lim(n→∞)1/n = 0，因此数列 {an} 收敛，收敛值为0。

1.2 数列 {bn} = (-1)^n/n，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列的值在正负1之间交替变化，即数列 {bn} 不收敛。

1.3 数列 {cn} = (2n + 3)/(3n + 1)，n为正整数解析：当n趋近于无穷大时，数列 {cn} 的值趋近于2/3，即lim(n→∞)(2n + 3)/(3n + 1) = 2/3，因此数列 {cn} 收敛，收敛值为2/3。

2. 判断级数的收敛性2.1 级数Σ(1/n)，n从1到无穷大解析：根据数列的收敛性知识，当数列 {an} = 1/n 收敛时，级数Σ(1/n)收敛。

根据前面的讨论，数列 {an} = 1/n 收敛于0，因此级数Σ(1/n)收敛。

2.2 级数Σ((-1)^(n-1)/n)，n从1到无穷大解析：该级数为调和级数的交替形式，称为莱布尼茨级数。

根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。

且根据调和级数的性质，级数Σ((-1)^(n-1)/n)的收敛值为ln(2)。

2.3 级数Σ((2n + 3)/(3n + 1))，n从1到无穷大解析：利用比值判别法来判断级数的收敛性。

设an = (2n + 3)/(3n+ 1)，则有 an+1/an = ((2n+5)/(3n+4)) * ((3n+1)/(2n+3)) = (6n^2 + 22n+15)/(6n^2 + 22n + 12)。

当n趋近于无穷大时，(6n^2 + 22n +15)/(6n^2 + 22n + 12)趋近于1/1 = 1，即lim(n→∞)(an+1/an) = 1。

无穷级数习题及答案

第十一章无穷级数(A)用概念判定以下级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n ；3．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+15131n n n ρ。

判定以下正项级数的敛散性4．∑∞=1100!n nn ；5．∑∞=1n n e e n ；6．∑∞=+121n n n ；7．()∑∞=++1332n n n n ；8．∑∞=14!n n n ； 9．n n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+113；10．()∑∞=-+121n nnn 。

求以下任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11．()∑∞=---11121n n n n ；12．()∑∞=-2ln 11n nn；13． +-+-0001.1001.101.11.1； 14．++-+++-14413312221222；求以下幂级数的收敛半径和收敛区间15．∑∞=13n nnx n ；16．()∑∞=-11n n n nn x ；17．∑∞=1!n nx n ；18．()∑∞=-1121n n n x n ；19．∑∞=+-112121n n n x；20．∑∞=123n nn x n ；求以下级数的和函数21．∑∞=-11n n nx；22．121121+∞=+∑n n n x ；将以下函数展开成0x x -的幂的级数23．2xx e e shx -=，00=x ；24．x 2cos ，00=x ；25．()()x x ++1ln 1，00=x ；26．x1，30=x ；将以下函数在区间[]ππ,-上展开为付里叶级数27．()2cosxx A =，()ππ≤≤-x 。

28．()t x f 2-=，()ππ≤≤-x29．将函数()⎩⎨⎧≤≤≤≤-=30,03,2t x t x x x f 展开成付里叶级数。

30．将函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=lx l x l l x x x f 2,20,别离展开成正弦级数和余弦级数。

《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开

概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛

(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)

arctan
x

x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数和都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un

lim
n
vn

0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;

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难点：判别法的选择问题。
解决办法:多举例子，强调每种判别法的优缺点和特征。
教学设计
引课10min
例1：10min例Leabharlann ：10min例3：5min
例4：10min
例5：15min
解法一：
解法二：
例6：10min
例7：10min
课堂练习15min
1、
2、
总结：
1、比较判别法；5min
2、比值判别法。
课后作业
《高等数学》课程课时教案
课题名称
第二十讲正项级数收敛性的习题
课次
20
授课日期
2014/05/05
2014/05/06
授课班级
会计
化工-热电
授课地点
13会计
13热电
教学目标
与
教学要求
1、理解正项级数的三个判别法；
2、会用定理判别正项级数的收敛性。
重点难点
及
解决办法
重点:比较判别法和比值判别法。
解决办法:每一种判别法讲一道典型例题给学生做典范，要求学生必须记在课本上。
P10320 22 26 27
教学反思