大一微积分期末试卷及答案.doc

微积分期末试卷

1TT

L设/⑴=2*"（］） = （土）血在区间（0,#）内（）。

2 2

A/'（x）是增函数，g⑴是减函数

B/Cx）是减函数，g（i）是增函数

C二者都是增函数

D二者都是减函数

2> x — Otl'j,疽* _cosx与sinMfl比是（）

A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小

£

3、x = 0 是函数y = （ 1 -sinx）v的（）

A连续点B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点

4、下列数列有极限并且极限为1的选项为（）

AX=（-l）n-- BX=sin —

11〃n 2

CX n= —（a>l）D X n =cos-

a n

5、都”⑴在X。处取得最大值，贝IJ必有（）

Af，（X°） = o Bf‘（X（））vo

Cf,（X o） = O_ar（ X°）vO Df”（x°）不存在或f'（Xo）= O

（±）

6^ 曲线y = xe x2（）

A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线

C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线

1 〜6DDBDBD

填空题

=2,则以的值分别为:

5解: 1、 d （ ） =—^—dx

x+1

2、 求过点（2,0）的一条直线，使它与曲线y =-相切。这条直线方程为:

X

2X

_ 3、 函数y =——的反函数及其定义域与值域分别是:

2X

4- 1 4、 y =Vxf|

2

止，. x + ax+ b gm —- n x +2x~3

1 Inx + l| ；

2 y = x 3-2x 2；

3 y = log,工,(0,1), R ； 4(0,0)

■

(x-l)(x +77?) x^m 1 + m c b hm ---- --------- = hm =

-------------------- = 2 原式=ATI (X-l)(% + 3) XTl x + 3 4

/• m = 7 :.b — —7, a = 6 二、判断题 1、

无穷多个无穷小的和是无穷小（）

2、 lim —在区间（-8,+ 8）是连续函数（） K ） X

3、

r （x 0）二o 一定为f （x ）的拐点（）

4、 若f （X ）在X 。处取得极值，则必有f （x ）在X 。处连续不可导（）

5、

设函数 f （x ）在［0,1］上二阶可导且

广⑴V0令A = /*(0) , B = /*(!),C = /(l)-/(0),则必有A>B>C()

1 〜5 FFFFT

三、计算题

1用洛必达法则求极限limx 2e ?

XT O

1 1 ~2~ ~y

_3 ]

解： 原式=lim^-= lim ~

=lime" =+8

XT () 1 XT 。 —2X XT O

2 若 f(x) = (必+ 10)七求/*”(())

lim4Iwcosv

・.・lim4

2, v In cos x [.

In cos x = lim --- -- ——=lim x 10 1 ,・、 ——(-sinx) cosx= lim x lim —= -2

2

f \x) = 4(x 3 +10)3 . 3*2 = 1 2X 2(X 3 + 1 0)3

f H (x) = 24x • (P +10)3 +12/ . 3 . C? +10)2 . 3x 2 = 24x (x 3 + l 0)3 +108/ (x 3 +10)2

・.•，(睥0

4

3 求极限 lim(cos x)'2

x —>0

4 f

—I/? cosx

解：原式=limW

.•・

原式=e~2 4 求）, 二（3x-的导数 V x-2 解：\n y =-|/z?|3x-l + In

,153 1111 y — = — ------ 1 -------- ---

>3 3x-l 2 x-1 2 x-2

1X ( I x -1

5 i I 1

y — (JX — 1) J --- ---------- 1 -------------------- ' \x-2\ 3x-l 2(x-l) 2(x-2)

解

1 + x 2

x 2 arctan x - [(1 ----- )dx J 1 + x 2

解：原式二 Jtan2xtan&/x= j( sec 2x-l)tan xdx

=jsec 2

xtanxJx-

= -tan 2

x + Zn|cosx| + c 2

6 求

p arctan xdx

原式二! jarctan xd (x

2

) = ^- (x 2 arctan x - ^x 2

d arctan x)

1 z

2 +1 — 1 =—

3 arctan x- J — ---------------------- -- ax)

]_ 2 1 + x 2 x

------ arctan x ——+ c

2 2

四、证明题。

1、 证明方程X 3 +x-l = 0有且仅有一正实根。

证明：设/(x) = x 3+x-l

dx

Jtan W tanx-

d cosx

=jtan xd tan x -