全等三角形三种证明方法经典例题

全等三角形经典例题

典型例题：

知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

思路分析：

1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。

2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。

解答过程：

已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。

证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE

在△AFD 和△CEB 中，

∵

∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC

解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。

小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。

知识点二：全等三角形判定2

例2：已知：如图，是和的平分线，。 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。

AD CB AF CE DF BE =??=?

?=?

　OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。

解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP ∴∠AOB ＝∠COD

在△OAB 和△OCD 中，

∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ）

（2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD

解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。

例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。

解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD ∴∠1＝∠2

在△ADB 和△CBD 中，

∵

AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =??

∠=∠??=

?

AB CD ABD CDB BD DB =??

∠=∠??=?

∴△ADB≌△CBD（SAS）

∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD

∴AD∥BC

综上：AD∥BC，AD＝BC

解题后的思考：本题中证明三角形全等用到了公共边，这是解决问题的关键所在；在解决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。

例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形全等吗？

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查应用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的问题。

2）解题思路：在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，即两个三角形满足SAS的条件，所以这两个三角形全等。（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。

解答过程：（1）全等；（2）不全等。

解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。在证明题中尤其要注意这一点。

小结：本题组主要考查了对全等三角形判定2的掌握情况，即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。另一方面，也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。”另外，在证明两个三角形全等时，要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。

知识点三：全等三角形判定3

例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。

求证：AM是△ABC的中线。

思路分析：

1）题意分析：要证明AM 是△ABC 的中线，就要证明

BM ＝CM ，要证明线段相等，就要证明与BM 、CM 有关的三角形全等，即△BEM ≌△CFM ，然后从已知条件中找出能够判断这两个三角形全等的条件。

2）解题思路：

结合已知条件和对顶角相等可由ASA 来判定 △BEM ≌△CFM ，从而得出BM ＝CM ，进而得到AM 是△ABC 的中线。

解答过程：

∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE

∴∠BEM ＝∠CFM ＝90° 在△BME 和△CMF 中，

∵ ∴△BME ≌△CMF （ASA ） ∴BM ＝CM

∴AM 是△ABC 的中线。

解题后的思考：要证明AM 是△ABC 的中线，需要证明M 是BC 的中点，因此，转化为证明BM ＝CM ，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。

知识点四：全等三角形判定4

例6：已知：BC ＝EF ，BC ∥EF ，∠A ＝∠D ，∠ABF ＝∠DEC 。求证：AF ＝DC 。

思路分析：

1）题意分析：要证明AF ＝DC ，就要先证明△ABF ≌△DEC ，而已知中证明这两个三角形全等的条件是∠A ＝∠D ，∠ABF ＝∠DEC ，但还缺少一组边，如何找到这组边呢？根据BC ＝EF ，BC ∥EF ，想到连接BE ，从而证明△BFE ≌△ECB ，进一步得到BF ＝EC ，再利用AAS 来判定两个三角形全等。

2）解题思路：要证明线段相等，我们可以考虑先证明三角形全等，△ABF 和△DEC 中有两对角对应相等，要使它们全等，只要证得BF ＝EC 即可。于是连接BE 证△BFE ≌△ECB ，即可证得BF ＝EC 。

解答过程：连接BE ∵BC ∥EF

∴∠FEB ＝∠CBE

在△BFE 和△ECB 中，

BME CMF ME MF ∠=∠??

=??∠∠?

BEM=CFM

　

∵ ∴△BFE ≌△ECB （SAS ） ∴BF ＝CE

在△ABF 和△DEC 中，

∵ ∴△ABF ≌△DEC （AAS ） ∴AF ＝DC

解题后的思考：证明三角形全等是证明线段相等的一种重要方法，解答时要结合图形，分析已知条件与求证的结论，寻找沟通二者的桥梁。

例7：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，，直线经过点，且于，于。

（1）当直线绕点旋转到图a 的位置时，求证：①≌；②；

（2）当直线绕点旋转到图b 的位置时，求证：；

（3）当直线绕点旋转到图c 的位置时，试问具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

图a

图b

图c

思路分析： 1）题意分析：要证明一条线段等于两条线段之和，或证明一条线段等于两条线段之差，就要想这条线段与两条线段之间有何关系，以及两条线段AD 、BE 与CE 、DC 之间有何关系。这就需要我们用三角形全等来证明线段相等，从而实现等线段的转化。

2）解题思路：（1）于，于，又，在Rt 与Rt 中，直角对应相等，斜边对应相等。又与同为的余角，自然也是相等的，所以可得到≌。进一步可推出。（2）第（3）问中，与（1）的证明思路类似，先证明≌，再来证明三条线段间的数量关系。

解答过程：

（1）①， 。 。 。

EF BC FEB CBE =??

∠=∠???

BE=EB A D ABF DEC ∠=∠??

∠=∠???

　BF=EC BC AC =MN C MN AD ⊥D MN BE ⊥E MN C ADC ?CEB ?BE AD DE +=MN C BE AD DE -=MN C BE AD DE 、

、MN AD ⊥D MN BE ⊥E ?=∠90ACB ADC ?CEB ?DAC ∠BCE ∠ACD ∠ADC ?CEB ?BE AD DE +=ADC ?CEB ?BE AD DE 、、Θ?=∠=∠90ACB ADC ∴?=∠+∠90D AC CAD ∴?=∠+∠90D AC BCE ∴BCE ∠=∠CAD

，

≌。

图a

②≌， 。

。

（2）， 。

又∵， ≌。 。

。

图b

（3）当旋转到图c 的位置时，所满足的等量关系是

（或AD ＝BE －DE ，等）

。 ， 。 又∵， ≌。 。

。

图c

解题后的思考：

在运动变换问题中，不管运动变换前后的图形、结论是否发生变化，解题的基本思路不变，一般情况下，运动前的解题思路及方法是为解答运动后的相关问题作铺垫。

小结： 本题组主要考查如何运用全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。以及在运动变换问题中如何准确地运用三角形全等实现等线段的转

ΘBC AC =∴ADC ?CEB

?ΘADC ?CEB ?∴BE CD ,AD CE ==∴BE AD CD CE DE +=+=Θ?=∠=∠=∠90ACB CEB ADC ∴CBE ∠=∠ACD BC AC =∴ACD ?CBE ?∴BE CD ,AD CE ==∴BE AD CD CE DE -=-

=MN BE DE AD 、、AD BE DE －=DE AD +=B E Θ?=∠=∠=∠90ACB CEB ADC ∴CBE ∠=∠ACD BC AC =∴ACD ?CBE ?∴BE CD CE AD ==，∴AD BE CE DE -=-=

CD

换。

知识点五：全等三角形判定5 例8：已知：如图为的高，为上一点，交于，且有，。求证：。

思路分析：

1）题意分析：要证垂直于，需证，由题意可知，若能证明，就可得垂直于，这就要证。这可由已知条件证明≌，便可知。再由∠1＋∠2＝90°和∠1＋∠2＋∠BEC ＝180°，得到∠BEC ＝90°。从而得到。

2）解题思路：运用直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，证明≌，进一步得到。

解答过程：

证明：，。

在Rt 和Rt 中，

≌。

（全等三角形对应角相等）

（直角三角形两锐角互余）

，， 解题后的思考：

（1）证明两个直角三角形全等除了可运用前面的几个条件外，还可利用“斜边和直角边”去证明；（2）证明两直线垂直可直接证明两直线夹角等于90°，也可证明夹角所在三角形中的另两个角互余。

小结：本组题主要考查如何运用直角三角形全等的判定方法来解决相关问题，在解题时注意挖掘题目中的隐含条件。

AD ABC ?E AC BE AD F AC BF =CD FD =AC BE

⊥BE AC ?=∠90BEC ?=∠+∠9021?=∠+∠90C 1BE AC 2∠=∠C ACD ?BFD ?2∠=∠C AC BE ⊥ACD ?BFD ?2∠=∠C BC AD ⊥Θ?=∠=∠90ADC BDA ACD ?BFD ??

??==,,

FD CD BF AC ACD Rt ?∴)(HL BFD Rt ?2∠=∠∴C ?=∠+∠∴9021?=∠+∠+∠180BEC C 1?=∠∴90BEC AC BE ⊥∴