考研数学数列极限内容概括及考点总结

考研数学数列极限内容概括及考点总结

来源：文都教育

数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。

一、数列极限

1. 数列极限的定义

设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列

{}n a 收敛于A ，记为A a

n

n =∞

→lim 。

2. 收敛数列的性质

（1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性.

3. 极限存在准则

（1）夹逼准则

如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件：

从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞

→∞

→lim lim ，

则A b n n =∞

→lim 。

（2）单调有界准则

单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。

【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。

4. 重要结论

（1）若lim lim n n n n a a a a

→∞

→∞

=⇒=.

（2）lim 0lim 0

n n n n a a →∞

→∞

=⇔=.

（3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a

-→∞

→∞

→∞

=⇔==.

【考点一】数列极限的概念与性质

例1设

().lim 0,n n n n n x a y y x a

→∞

≤≤-=且为常数，则数列

{}n x 和{}n y （ ）

。

（A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散

例2设

(){}{}

.lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞

≤≤-=且和{}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。

（A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限.

（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞.

例1 设()()1103,31,2,n n n x x x x n +<<=-=L

，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限

例2 设

()2

0110,20,1,2,n n n x x x x n +-<<=+=L

，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限

【考点三】夹逼准则

【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限

例1. 求极限

111lim 1111212n n →∞⎛⎫

+++ ⎪+++++⎝⎭L L

例2.求极限

222

12

lim

12

n

n

n n n n n n n

→∞

⎛⎫

++

⎪++++++⎝⎭

L

.

【考点四】利用函数极限求数列极限

设

()

n

x f n

=

，则

()()

lim lim lim

n

n n x

x f n f x

→∞→∞→+∞

==

.

例.求

2

1

lim sin

n

n

n

n

→∞

⎛⎫

⎪

⎝⎭.